POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a

Transkrypt

1 POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1

2 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną, zauważa jej wychylenie. Dzięki temu doświadczeniu stwierdzono że: Przepływowi prądu towarzyszy powstanie pola magnetycznego, które zmienia kierunek igły magnetycznej. Pole to ma charakter wirowy. Możemy sprawdzić to sypiąc drobne opiłki na karton przebity przewodnikiem, w którym płynie prąd elektryczny o dużym natężeniu (rys.1). Rys.1 I

3 POLE MAGNETYCZNE Oddziaływanie prądów odbywa się za pośrednictwem pola nazywanego polem magnetycznym.z doświadczenia OERSTEDA wynika, że pole mag ma charakter kierunkowy i powinno być charakteryzowane wielkością wektorową.wielkość tę przyjęto oznaczać literą [ ] df F m qv Pole magnetyczne jest relatywistyczn formą siły Coulomba. Jednostką indukcji magnetycznej jest: N N m C Am s q v (indukcja mag.) I T (tesla) r 3

4 q Dla przewodnika z prądem pole magnetyczne wyraża się zależnością. v y I 4 π 1 ε c µ 1 c 4π ε 4π, a I y µ,gdzie 4π 1 (Przenikalność mag. próżni.) 7 N A,więc wartość pola mag. wytworzonego przez przewodnik z prądem w odległości r od przewodnika wynosi: µ π ( r) 4 (Odległość od przewodnika.) I r 4

5 Pole magnetyczne wokół przewodników prostych Ułożenie opiłków rozsypanych na kartoniku wokół pionowo ustawionego przewodnika, przez który przepływa prąd elektryczny, dowodzi istnienia pola magnetycznego. Linie pola magnetycznego przebiegają koliście wokół każdego przewodu z prądem. Nie ma przy tym znaczenia z jakiego materiału został wykonany przewodnik. 5

6 Reguła prawej dłoni Jeśli obejmie się w (myślach!) przewód prawą dłonią w ten sposób, że wyciągnięty kciuk wskazuje kierunek przepływu prądu (od plusa do minusa), wtedy zgięte palce wskazują zwrot linii pola magnetycznego 6

7 Układ CGS a układ SI Wymiar pola elektrycznego w układzie SI, a pola magnetycznego: [ ] [ ] E v Natomiast w układzie CGS mamy: q F [ Gs]gauss c [ ] [ E] czyli v Wtedy pole magnetyczne ma taki sam wymiar jak pole elektryczne: SI c CGS gdzie 1 T 1kGs 7

8 Siła magnetyczna Na ładunek poruszający się w polu magnetycznym działa siła F, (siła magnetycza.) Siłę tę wyznaczają : ładunek q, prędkość jego ruchu v indukcja magnetyczna. Siła ta wyraża się wzorem: F mag q( v ) 8

9 Siła magnetyczna c.d. Siła magnetyczna jest skierowana zawsze prostopadle do płaszczyzny,w której leżą wektory v i. Jeżeli ładunek q jest dodatni, to kierunek siły pokrywa się z kierunkiem wektora [v].w przypadku ładunku ujemnego wektory F i [v] są wektorami przeciwnymi (rys 1). Rys.1 9

10 Siła Lorentza (siła lorentzowska) Jeżeli na cząstkę naładowaną działają jednocześnie pole elektryczne i pole magnetyczne, to siła na nią działająca jest równa: F + v ) qe q( Wyrażenie to otrzymał z doświadczenia Lorentz i dlatego siła ta nosi nazwę siły LORENTZA lub siły lorentzowskiej. 1

11 Siła Lorentza c.d. (czy siła magnetyczna jest słabsza od coulombowskiej) Rozpatrzymy dwa ładunki jednoimienne q1 i q, poruszające się po prostych z prędkością v << c (rys.). Warunek v << c powoduje, że ich pole elektryczne praktycznie nie różni się od pola ładunków spoczywających.stąd wielkość siły el. działającej r na każdy z ładunków można uznać za równą: q1 q F E1 F M 1 F E v v F E1 4 1 π ε F q E 1 r q F E (Wzór 1) F M 11

12 Zgodnie ze wzorami q[vr µ ] 3 4 π r i F q[ v] siłę magnetyczną działającą na ładunki można wyrazić jak następuje: F M 1 µ q 4 1 π q F r v M F M (wzór ) (wektor wodzący r jest prostopadły do wektora v) Ze wzorów 1 i wynika, że stosunek siły mag. do siły el. dany jest wzorem: F F m E µ v ε v gdzie (Wzór 3) c ε µ 1 c 1

13 Mimo że wyrażenie to otrzymaliśmy przy założeniu v << c, to jest ono prawdziwe dla dowolnych wielkości v. Ze wzoru 3 wynika, że siła magnetyczna jest słabsza od siły coulombowskiej o czynnik równy kwadratowi stosunku prędkości ładunku do prędkości światła w próżni. Można to wyjaśnić tym, że oddziaływania magnetyczne są zjawiskiem relatywistycznym. Magnetyzm uległby zanikowi, gdyby prędkość światła w próżni była nieskończenie duża. 13

14 Prawo Ampere a Amper stwierdził, że prąd elektryczny wytwarza wokół siebie pole magnetyczne. Przyjrzyjmy się teraz doświadczeniu Ampere a z dwoma przewodnikami jak na rysunkach: Siła elektrodynamiczna działająca na przewód z prądem I skierowanym w tą samą stronę co prąd I1 będzie skierowana w lewo, co oznacza przyciąganie się przewodów rys 1. Kiedy prądy mają przeciwne zwroty przewody odpychają się rys. 14

15 Dla dowolnego konturu obejmującego prąd cyrkulacja wektora będzie proporcjonalna do natężenia prądu: c c c dl dl dl Ponieważ wektor i dl są równoległe do siebie możemy iloczyn skalarny zastąpić zwykłym iloczynem. W tym przypadku wielkość jest stała i możemy wyciągnąć ją przed całkę. Całka z dl to długość okręgu, a wartość dana jest wzorem: µ I π r π r µ I µ π I r,więc 15

16 Prawo Ampera - postać całkowa: c dl µ I Czyli krążenie pola po krzywej zamkniętej równa się całkowitemu prądowi zawartemu w konturze c pomnożonemu przez przenikalność magnetyczną próżni. (jest to skierowany odcinek konturu obejmujący przewodnik z prądem) 16

17 Prawo Ampera (postać różniczkowa) Wychodzimy z postaci całkowej prawa Ampera: I µ µ Cs dl j s s ds rot Możemy użyć twierdzenia Stokese a pod warunkiem, że kontur C ogranicza powierzchnię S. c gdzie: ds dl I µ j S I ds 17

18 Przyrównując stronami otrzymujemy: µ j ds rot ds s s Ponieważ to wyrażenie jest prawdziwe dla każdej powierzchni więc możemy ścisnąć ją do punktu i porównać wyrażenia podcałkowe. Otrzymujemy w ten sposób różniczkowe prawo Ampere a: Czyli prąd o gęstości j wytwarza pole magnetyczne takie, że gęstrot µ j ość prądu pomnożona przez przenikalność magnetyczną próżni jest równa rotacji wektora indukcji magnetycznej. 18

19 Przykładowe zadania z zakresu pola magnetycznego Zad. 1. Znaleźć pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz nieskończenie długiego przewodnika o promieniu R, w którym płynie jednorodną strugą stały prąd o natężeniu I, jako funkcję odległości r od środka przewodnika. Z symetrii walcowej > pole mag musi być constans w stałej odległości r od przewodnika. Kierunek wektora w odległości jest styczny do okręgu o r 19

20 (r) wyliczamy z prawa AMPERE A Γ dl µ I' gdzie G jest dowolną krzywą zamkniętą obejmującą prąd I, który płynie przez powierzchnię S objętą tą krzywą, dl jest wektorem stycznym do tej krzywej. Jako G wybieramy okrąg o promieniu r (patrz rys.). Mamy wtedy dl dl dl Γ π Wartość całki po okręgu długości okręgu o promieniu r. Więc prawo AMPERE A prowadzi do równania: r π r µ I'

21 gdzie wartość I zależy od tego czy r jest większe, równe czy mniejsze od R. a) Dla r > R I I, a stąd, Zależność indukcji, wewnątrz i na zewnątrz przewodnika od r. czyli b) Dla r < R πr µ 1 π µ π r I I' I r π R πr gdzie πr jest polem powierzchni obejmującej I a całkowitym polem powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika. Porównując r I r µ I R 1 π otrzymujemy r π µ R

22 Zad. Przez nieskończoną płytę umieszczoną w płaszczyźnie XOY płynie prąd o stałej gęstości liniowej J (JdI/dx) w kierunku osi OY. Znaleźć indukcję pola magnetycznego (t.j. wartość kierunek i zwrot), które powstaje na skutek przepływu prądu. Z symetrii >wartość indukcji jest constans tej samej odległości od płaszczyzny.wartość indukcji możemy wyliczyć korzystając z prawa AMPERE A: Γ dl µ I'

23 gdzie prąd I jest prądem który płynie przez powierzchnię objętą konturem G.Kontur całkowania to prostokąt o bokach a i b. Mamy Γ dl µ aj Gdyż zgodnie z treścią zadania I aj. Wartość całki po prostokącie obliczamy posługując się rysunkiem; a b a b Γ dl a x dx + b z dz + a x dx + b z dz gdzie x i z to odpowiednie współrzędne wektora. Ponieważ z prawej strony płyty (x,y,z)(,,) a z lewej (x,y,z) 3 (-,,), to mamy

24 Γ dl a a a a dx + dx 4a b b dz Wracając do prawa AMPERE A mamy + a a ( ) dx + b b dz 4a µ aj i ostatecznie µ J Podobnie jak natężenie pola el.od nieskończonej jednorodnie naładowanej płyty, indukcja pola mag od płyty, przez którą płynie stały prąd o stałej gęstości liniowej, jest stała i nie zależy od odległości od płyty. 4