Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym dzielnikiem liczb n k Z gdy istnieje m n oraz m k; liczby n k Z są względnie pierwsze gdy liczba 1 jest ich największym wspólnym dzielnikiem. Zadanie 1. Uzasadnić że podane liczby są niewymierne: a) b) 7 c) p p - l. pierwsza d) 6 e) log f) log 5 g) h) 5 i). Definicja. Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy liczbę x R zdefiniowaną wzorem { x gdy x 0 x = x gdy x < 0. Fakt 1. Dla dowolnych x y R oraz a > 0: 1. x 0. x = 0 x = 0. x a a x a 4. x < a a < x < a 6. x + y x + y 7. xy = x y 8. x y = x y jeśli y 0 9. x y x + y x + y 5. x = a x = a x = a 10. ( x+ x ) ( ) + x x = x 11. x y x y ; w szczególności x y x y. Zadanie. Udowodnić powyższe własności. 1
Zadanie. Rozwiązać równania (pamiętając o odpowiednich założeniach): a) x = (graficznie) b) x + 1 = (graficznie) c) 4x = x d) x = x e) x = x 1 f) x 8 = 10 g) 5x x = 6 h) x + 1 4x = 0 i) x 4 x = j) x + x = 6 k) x + 1 x 1 = 0 l) 4x + x = x m) x + 1 + x = x n) x 1 + x x = x o) 1 x + x 6 = x p) x x + = 0 q) x x + 1 = 0 x r) x = x 1. s) x + 1 = x + 1 t) x π x + 1 = x 1 u) x + x 1 + 1 x = x Odpowiedzi: a) x {1 5} b) x { 1} c) x = 0 d) x 0 e) x f) x { } g) x { 1 6} h) x { 1 6 } i) x = 1 j) x { } k) x { 1 0 } l) x m) x {1 } n) x = 1 o) x = 5 p) x { 1 1 } q) x { 1 1} r) x = 1 5 s) x { 0} t) x = 1 6 (π 1) u) x { }. Zadanie 4. Rozwiązać nierówności (pamiętając o odpowiednich założeniach): a) x b) 4x 1 i) x 5 x + 6 < 0 j) x < x x + c) x 5 1 d) x > x + e) x 4 x+1 f) x x+ < g) x 4 h) x + + x + 4 < x ( Odpowiedzi: a) x [0 ] b) x 1 [ ] 4 e) x 6 \ { 1} f) x k) x + < x x + 5 l) x + 1 1 x > x m) x + 1 < 0 n) lnx + 5 + x > 0 o) x x +1 1 p) x 4 x +1 < 0. ] [ ) [ 4 c) x ] 8 d) x ( 1) ( ) ( 1 4 ) g) x ( 10] [14 ) h) x ( 5 1) i) x ( ) ( ) j) x ( 0) (1 ) k) x ( 1) ( ) l) x ( 1) (0 ) m) x n) x > 0 o) x 1 p) x. Definicja. Niech f : X Y X Y R. Wtedy: zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f zbiór W f = {f(x) Y : x D f } nazywamy zbiorem wartości funkcji f
zbiór tych elementów z R dla których wzór określający funkcję f ma sens nazywamy dziedziną naturalną tej funkcji. Zadanie 5. Znaleźć dziedzinę naturalną funkcji: a) f(n) = 5n n 6 n N b) g(x) = log(x 1) c) h(x) = log (1 + x ) d) f(x) = x e) g(x) = 1 x 4 f) h(x) = 1 + 4 sin(x) g) f(x) = arcsin ( x ) h) g(x) = arccos ( x ) i) h(x) = x+1 log 1 x j) f(x) = (e x 1) 1 k) g(x) = log x (x+1) x 1 l) h(x) = e x. Odpowiedzi: a) D f = {n N : n } b) D g = ( 1) (1 ) c) D h = R d) D f = ( 1] [5 ) e) D g = ( ) ( ) f) D h = [kπ (k + 1)π] k Z g) D f = [ ] h) D g = ( 0] i) D h = [1 ) j) D f = (0 ) k) D g = (0 ) \ {1} l) D h = R. Zadanie 6. Naszkicować wykres funkcji: a) f(x) = arcsin(x) b) f(x) = arccos(x) c) f(x) = arctg(x) d) f(x) = arcctg(x) e) g(x) = arcsin(sin(x)) f) g(x) = sin(arcsin(x)) g) g(x) = arccos(cos(x)) h) g(x) = cos(arccos(x)) i) g(x) = arctg(tg(x)) j) g(x) = ctg(arcctg(x)) k) g(x) = ctg(arctg(x)) l) f(x) = sin(x) m) f(x) = cos(x) n) f(x) = log 1 (x + 5) o) f(x) = ln(x) + ) x p) f(x) = ( 1 q) f(x) = e x r) f(x) = e x+. Zadanie 7. Obliczyć: a) arcsin ( 1 ) + arctg( 1) b) arcsin( 1 ) + arccos( 1 ) c) arcsin( 1 ) + arccos( ) + arctg( ) d) arccos( ) + arcsin( 1 ) + arctg( ) e) arcsin(1) + arccos(1) + arctg(1) f) arcsin( 1) + arccos( 1) + arcctg( 1). Odpowiedzi: a) 7 1 π b) 11 6 π c) 0 d) π e) 4 π f) π 4. Definicja 4. Niech f : X Y X Y R będzie funkcją oraz A X B Y. Wówczas: obrazem zbioru A poprzez f nazywamy zbiór f(a) := {y Y : x A y = f(x)} przeciwobrazem zbioru B poprzez f nazywamy zbiór f 1 (B) := {x X : f(x) B}.
Zadanie 8. Niech A = (0 1] B = ( 1 ) {8} oraz a) f : R R dana wzorem f(x) = 1 x b) f : R R dana wzorem f(x) = x c) f : R R dana wzorem f(x) = x d) f : R R dana wzorem f(x) = { x + gdy x 1 x + gdy x > 1. Naszkicować wykres funkcji f i wyznaczyć f(a) oraz f 1 (B). Odpowiedzi: a) f(a) = [0 1) f 1 (B) = ( ) b) f(a) = (0 1] f 1 (B) = ( 1 ) {} c) f(a) = ( ] f 1 (B) = { 5 11} (0 6) d) f(a) = [0 1) (/ ] f 1 (B) = ( 5 ). Definicja 5. Funkcję f : X Y gdzie X Y R nazywamy: rosnącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) < f(x )] niemalejącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) f(x )] malejącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) > f(x )] nierosnącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) f(x )] stałą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) = f(x )] okresową o okresie T jeżeli T >0 x X f(x + T ) = f(x) dla x + T X parzystą jeżeli x X x X oraz f( x) = f(x) nieparzystą jeżeli x X x X oraz f( x) = f(x) różnowartościową injekcją lub 1-1 jeżeli x1 x X [(x 1 x ) f(x 1 ) f(x )] na lub surjekcją jeżeli y Y x X y = f(x) wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. Definicja 6. Niech f : X Y i g : Y Z będą funkcjami. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f : X Z zdefiniowaną wzorem (g f)(x) := g (f(x)). Definicja 7. Mówimy że funkcja f : X Y jest odwracalna jeżeli istnieje funkcja g : Y X taka że x X g f(x) = x oraz y Y f g(y) = y. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f. 4
Zadanie 9. Zbadać monotoniczność funkcji: a) f(x) = x + 4 b) f(x) = x c) f(x) = x + 1 d) f(x) = x e) f(x) = x f) f(x) = 1 x x R \ {0} g) f(x) = 1 x x (0 ) h) f(x) = 1 x x R \ {0} i) f(x) = 1 x x (0 ) j) f(x) = 1 x x ( 0) k) f(x) = 1 x x (0 ) l) f(x) = 1 x x R \ {0} m) f(x) = x n) f(x) = x x 0 o) f(x) = x + 4 x ( 4] p) f(x) = x x ( ). Odpowiedzi: a) rosnąca b) rosnąca c) malejąca d) rosnąca e) rosnąca f) nie jest monotoniczna g) malejąca h) nie jest monotoniczna i) malejąca j) rosnąca k) rosnąca l) nie jest monotoniczna m) nie jest monotoniczna n) rosnąca o) malejąca p) rosnąca. Zadanie 10. Sprawdzić czy funkcja f : R R jest różnowartościowa. a) f(x) = 1 x x R \ {0} b) f(x) = x 5 x+ x R \ { } c) f(x) = x x [0 ) d) f(x) = x 4 x R \ { } e) f(x) = x x ( 0] f) f(x) = x 4 g) f(x) = x 4 x [0 ) h) f(x) = x 8. Odpowiedzi: a) tak b) tak c) tak d) nie e) tak f) nie g) tak h) tak. Zadanie 11. Sprawdzić czy funkcja f : R R jest bijekcją. Jeśli tak znaleźć funkcję do niej odwrotną (f 1 ). { x+1 a) f(x) = x+ gdy x gdy x = x gdy x 0 b) f(x) = x gdy x (0 1) x gdy x 1 c) f(x) = 4 x x [0 ) d) f(x) = x + 1 x [ 0) e) f(x) = x f) f(x) = ln(x 1) g) f(x) = 1 x h) f(x) = x + i) f(x) = 1 + e x j) f(x) = x + 1 k) f(x) = x 4 sgn(x) l) f(x) = log (x + 1) m) f(x) = ax+b cx d f : R \ { a c } R \ { a c } n) f(x) = arccos(x + 1) x + gdy x R \ { 1 0} o) f(x) = gdy x = 1 1 gdy x = 0 p) f(x) = x x + x x x 0. Odpowiedzi: a) tak b) nie c) nie d) nie e) nie f) nie g) nie h) tak i) nie j) tak k) tak l) tak m) tak n) nie o) tak p) nie. 5
Zadanie 1. Czy funkcja f jest bijekcją? Jeśli tak narysować wykres funkcji do niej odwrotnej. a) f : R [ 1 1] f(x) = sin x b) f : [ π/ π/] [ 1 1] f(x) = sin x c) f : R [ 1 1] f(x) = cos x d) f : [0 π] [ 1 1] f(x) = cos x e) f : ( π/ π/) R f(x) = tg(x) f) f : (0 π) R f(x) = ctg(x). Odpowiedzi: a) nie b) tak c) nie d) tak e) tak f) tak. Zadanie 1. Sprawdzić czy funkcja f : R \ { } { a c R \ a } c f(x) = ax+b cx a gdzie a + bc 0 jest odwrotna względem siebie. Zadanie 14. Sprawdzić czy funkcja jest okresowa i wyznaczyć jej okres podstawowy. Które z tych funkcji są parzyste/nieparzyste? a) f(x) = cos x b) f(x) = sin x c) f(x) = sin x d) f(k) = ( 1) k k Z e) f(x + 1) = 1+f(x) 1 f(x). f) f(x) = 4 tg x. Odpowiedzi: a) T = π parzysta b) nie parzysta c) T = π parzysta d) T = parzysta e) T = 4 f) T = π nieparzysta. Zadanie 15. Dane są funkcje f oraz g: a) f(x) = x g(x) = x + b) f(x) = arccos(x) g(x) = cos(x) c) f(x) = e x g(x) = ln(x + 4) d) f(x) = cos(x) g(x) = x i) f(x) = { x + 1 gdy x [0 1] x + gdy x (1 ] g(x) = e) f(x) = log x g(x) = x f) f(x) = x g(x) = x g) f(x) = x g(x) = x 4 h) f(x) = 1 x g(x) = x { x + gdy x [0 1) 1 x + gdy x [1 ]. Wykonać wszystkie możliwe złożenia funkcji f oraz g tzn. f g f f g f g g (o ile są możliwe - w przeciwnym wypadku uzasadnić). Definicja 8. Mówimy że funkcja f : X Y jest: ograniczona z dołu na zbiorze A X jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu tzn. m R x A f(x) m ograniczona z góry na zbiorze A X jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry tzn. M R x A f(x) M ograniczona na zbiorze A X jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze. 6
Zadanie 16. Zbadać ograniczoność funkcji: a) f(x) = 4 cos(x) b) f(x) = log (x) c) f(x) = 1 x+1 d) f(x) = 1 x +1 x ( 1 1) e) f(x) = x 1 x +1 f) f(x) = x1 x 4 +1 g) f(x) = 1 x +1 h) f(x) = tg(x) x ( π π ) i) f(x) = x x (0 ) j) f(x) = x x ( 0] k) f(x) = 1 + x l) f(x) = x x m) f(x) = log x x (0 ) n) f(x) = 1 x o) f(x) = x x [ ). Odpowiedzi: a) ograniczona b) nieograniczona c) ograniczona d) ograniczona e) ograniczona f) ograniczona z dołu g) ograniczona h) nieograniczona i) ograniczona z dołu j) ograniczona k) ograniczona z dołu l) ograniczona z góry m) nieograniczona n) ograniczona z góry o) ograniczona z dołu. Twierdzenie 1 (Indukcja matematyczna (zupełna)). Niech T (n) oznacza formę zdaniową zmiennej n określoną w dziedzinie N. Jeżeli: istnieje taka liczba naturalna n 0 że T (n 0 ) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0 prawdziwa jest implikacja T (n) T (n + 1) to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0. Zadanie 17. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych faktów dotyczących ciągów: a) wzór na ciąg arytmetyczny (a n = a 1 + r(n 1) dla n 1) b) wzór na sumę ciągu arytmetycznego (a 1 + a +... + a n = (a 1+a n)n dla n 1) c) wzór na ciąg geometryczny (a n = a 1 q n 1 dla n 1) d) wzór na sumę ciągu geometrycznego (a 1 + a +... + a n = a 1 1 q n 1 q dla n 1). Zadanie 18. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych równości i nierówności: a) 1 + +... + n = n(1+n) b) 1 + +... + n = n(1+n)(n+1) 6 c) 1 + +... + n = ( n(1+n) ) d) 1 4 + 4 +... + n 4 = n(1+n)(n+1)(n +n 1) 0 e) 1 + + 5 +... + n 1 = n 7
f) 1 + + 5 +... + (n 1) = n(4n 1) g) 1 + + 5 +... + (n 1) = n (n 1) h) 1 4 + 4 + 5 4 +... + (n 1) 4 = n(4n 1)(1n 7) 15 i) 1 1 + 1 1 +... + 1 n 1 = (n+)(n 1) 4n(n+1) dla n j) 1 + +... + (n + 1) = (n + 1) 4 (n + 1) dla n 1 k) + 4 +... + (n) = ( + 4 +... + n) dla n 1 l) n > n dla n m) 1 + +... + n n 1 > n 1 dla n n) (1 + +... + n)( 1 1 + 1 +... + 1 n ) n dla n 1 o) n n+1 > (n + 1) n dla n > 4 Zadanie 19. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych faktów dotyczących podzielności: a) n n dla n b) 6 n n dla n c) 6 n(n + 1)(n + 1) dla n 1 d) 7 n 7 n dla n e) 7 10 n+1 ( 1) n dla n f) 9 10 n 1 dla n 1 g) 9 4 n + 6n 10 dla n h) 10 n 6 dla n i) 11 10 n ( 1) n dla n 1 j) 1 10 n 4 dla n 1 k) 0 n 5 n dla n l) 4 n 7 n dla n m) (x 1) (4n + )x n+ (7n + 6)x n+1 + (n + )x n + 1 = w n (x) dla n 0. Zadanie 0. Wyznaczyć wzór na liczbę przekątnych w n-kącie foremnym i wykazać jego prawdziwość metodą indukcji matematycznej. Bibliografia: 1. J. Banaś S. Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej WNT Warszawa 001.. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław 00.. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania GiS Wrocław 00. 4. K. Jankowska T. Jankowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk 006. 5. W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach część 1 PWN Warszawa 1999. 6. W. Kryszewski Wykład analizy matematycznej cz. 1 - Funkcje jednej zmiennej UMK Toruń 009. 7. F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych PWN Warszawa 1977. 8