DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Modele zgodne dla procesów GARCH. Wprowadzenie W 98 roku Granger sformułował ideę zgodności, jako podobieńswo dominującyc własności zmiennej objaśnianej oraz dominującyc własności zmiennyc objaśniającyc (zgodność srukur armonicznyc). Zieliński (984) sformułował koncepcję budowy dynamicznego modelu zgodnego. Przez zgodność modelu w sensie Zielińskiego rozumie się zgodność armonicznej srukury procesu objaśnianego z łączną armoniczną srukurą procesów objaśniającyc oraz procesu reszowego, kóry jes niezależny od procesów objaśniającyc. Koncepcja dynamicznego modelowania zgodnego opiera się na uwzględnieniu na eapie specyfikacji modelu informacji o wewnęrznej srukurze badanyc procesów i budowie dynamicznego modelu zgodnego na podsawie zależności dla białoszumowyc składników reszowyc. Jeżeli poprawnie zosaną zidenyfikowane elemeny wewnęrznej srukury wykorzysywanyc procesów i wyspecyfikowane w modelu pełnym, o modele budowane na podsawie procedury budowy zgodnego modelu dynamicznego są na ogół lepszymi modelami pod względem srukury przyczynowo-skukowej, jak i pod względem własności saysyczno-prognosycznyc. Wykorzysanie informacji o wewnęrznej srukurze procesów było również podsawą koncepcji budowy modelu zrównoważonego sformułowanej przez Grangera (990). W obu powyższyc koncepcjac modelowania nie wspomina się o zgodności doyczącej warunkowyc wariancji. W niniejszym arykule pojęcie zgodności zosało rozszerzone na wariancje warunkowe. Przez zgodność modelu w wariancji warunkowej rozumie się równość wariancji warunkowej zmiennej objaśnianej z wariancją warunkową formy ważonej procesów objaśniającyc i procesu reszowego. W niniejszym arykule zakładamy, że wszyskie procesy mają sałe i skończone wariancje bezwarunkowe. Model jes zgodny w wariancji wa-

70 Pior Fiszeder runkowej, jeżeli wariancja bezwarunkowa zmiennej objaśnianej jes równa wariancji bezwarunkowej formy ważonej procesów objaśniającyc i procesu reszowego oraz wysępuje zgodność armonicznej srukury kwadrau procesu objaśnianego z armoniczną srukurą kwadrau formy ważonej procesów objaśniającyc i procesu reszowego. Układ arykułu jes nasępujący. W części drugiej przedsawiono modele zgodne w wariancji dla procesów GARCH. W części rzeciej pokazano jakie mogą być konsekwencje wykorzysywania modeli niezgodnyc w wyżej podanym sensie. Część czwara zawiera przykłady empiryczne doyczące procesów finansowyc. Arykuł kończy podsumowanie.. Modele zgodne w wariancji warunkowej Proces GARCH ( p, q) można przedsawić w nasępującej formie: ε ψ ~ D(0, ), () = α o + q p αiε-i + i = j = β j -j, () gdzie ψ oznacza zbiór wszyskic informacji dosępnyc w okresie, a D ( 0, ) oznacza określoną posać funkcji gęsości prawdopodobieńswa (najczęściej rozkład normalny lub -Sudena) o warości oczekiwanej równej zero i wariancji. ε y, Niec ε x s ( s =,,..., k) oraz ε będą białoszumowymi procesami GARCH (procesami o warości oczekiwanej równej zero, sałej wariancji brzegowej i pozbawione auokorelacji). Nasępujący model: k y = ρsε ε s= ε +, (3) x s gdzie E( ε, ε ) = 0, jes zgodny, ponieważ srukury armoniczne lewej i prawej srony równania są idenyczne. Jeżeli ε jes procesem reszowym w modelu opisującym wewnęrzną sruku- y rę zmiennej objaśnianej, a ε x s procesami reszowymi w modelac opisującyc wewnęrzną srukurę zmiennyc objaśniającyc, o model zgodny można zbudować w radycyjny sposób uwzględniając w równaniu (3) wewnęrzną srukurę procesów (parz Talaga i Zieliński, 986). Sopy zwrou procesów finansowyc są najczęściej sacjonarne, częso można je dobrze opisać za pomocą modeli auoregresyjnyc o niskim rzędzie auoregresji. Pojęcie zgodności modelu może być dalej rozszerzane na wyższe momeny warunkowe rozkładu.

Modele zgodne dla procesów GARCH 7 Powyższe modele zgodne nie muszą być modelami zgodnymi w wariancji warunkowej. Rozważmy najpierw przykład z jedną zmienną objaśniającą. Niec ε x i ε y oznaczają procesy GARCH odpowiednio o rzędac: GARCH p, ) i GARCH p, ). Jeżeli procesy ( q ( q ε y, ε x oraz ε są procesami białoszumowymi, o model: ε = ρε + ε (4) y x y jes modelem zgodnym. Model (4) jes modelem zgodnym w wariancji warunkowej, jeżeli wariancja bezwarunkowa ε jes równa wariancji bezwarunkowej ρε x + ε oraz zacodzi zgodność srukury armonicznej procesów oraz ρε + ε ), czyli jeżeli nasępujący model: y x ρε xε ε ε = ρ ε + + ε y ( x ε jes zgodny. Równość wariancji bezwarunkowyc ε i ρε x + ε powinna mieć miejsce w każdym modelu zgodnym w posaci (4). Przyjmując za ν = ε, model GARCH ( p, q) można zapisać w posaci modelu ARMA (m,p) dla, gdzie m = max {p,q}. Wobec ego oraz można przedsawić w formie: x ε = α + ε y gdzie ν y = α 0 0 Srukura + q p p α iε x i + β jε x j β jν x j + i= j= j= q p p α iε y i + β jε y j β jν y j + i= j= j=, ν x są procesami białoszumowymi. ν x ν y ε x (5), (6), (7) ε będzie zależała od wewnęrznej srukury procesów ε y oraz ( p q 3 3 p3 3 ε x. Wariancja warunkowa składnika losowego ε w równaniu (4) może być zaem opisana za pomocą modelu GARCH, ). Warości i q będą zależały od carakeru zależności pomiędzy i oraz od własności yc procesów (własności procesów powsającyc z sumowania procesów auoregresyjnyc można znaleźć w pracac Kufel, Piłaowska i Zieliński, 996, Sawicki i Górka, 996). Jeżeli B Y = A ε i B Y = A ε są niezależnymi procesami ypu ARMA o rzędac równyc odpowiednio p, q ) oraz ( p, q ), o ε y ε x ε y ( Y = Y Y = B A ε B A ε (8)

7 Pior Fiszeder oraz B ) B Y = B A ε B A ( u ε. (9) Zaem proces Y jes procesem ARMA (, q), gdzie p = p + p i p q = max( pq, pq ). Jeżeli niekóre paramery są zbliżone do zera, o proces może zosać zidenyfikowany jako proces o mniejszej liczbie opóźnień. W przypadku procesów finansowyc dysponujemy na ogół dużą liczbą obserwacji, dlaego będzie prawie zawsze idenyfikowany jako proces ypu ARMA. Y ε y x Analogicznie, jeżeli i ε są niezależne, o wariancja ε w równaniu (4) może być zapisana jako proces ARMA ( p, q). Tylko prawidłowa specyfikacja modelu (4) oraz modelu GARCH dla ε zapewnia zgodność modelu (4) w wariancji. Podobne wnioski wynikają z ogólnego modelu dla k zmiennyc objaśniającyc w posaci (3), przy założeniu E( ε, ε ) = 0. Jeżeli zmienne objaśniające są skorelowane, o wariancja ε będzie zależała również od kowariancji poszczególnyc zmiennyc objaśniającyc. Waro zwrócić uwagę, że nie da się wyprowadzić klasycznego modelu zgodnego miedzy procesami GARCH ε y i ε x na podsawie procesów san- y ' daryzowanyc. Niec z, z oraz z będą sandaryzowanymi procesami białoszumowymi o sałyc wariancjac warunkowyc: y y y x z = ε /, z x = ε x / x, z = ε /. (0) Nasępujący model: z = ρ z + z () y x jes modelem zgodnym. Podsawiając (0) do równania () i mnożąc równanie przez orzymujemy: y y y ε y = ρ ε x + ε. () x y * y * Podsawiając ρ = ρ oraz ε = ε orzymujemy model zgodny: * x x * ε = ρ ε + ε, (3) y * z losowym paramerem ρ. ε x Oczywiście isnieje klasyczny model zgodny między procesami ε y i, czyli między procesem ε y i odpowiednio sandaryzowanym procesem ε x. x y

Modele zgodne dla procesów GARCH 73 3. Eksploaacja modelu modele zgodne w wariancji warunkowej Zmienność jes ważnym paramerem w wielu analizac finansowyc, jak na przykład wycena insrumenów pocodnyc, wycena akywów kapiałowyc, analiza przepływu informacji pomiędzy różnymi rynkami czy insrumenami finansowymi. Zmienność wariancji warunkowej składnika losowego w modelu (3) obniża efekywność esymaorów paramerów srukuralnyc ρ i orzymanyc meodą najmniejszyc kwadraów, a macierz kowariancji esymaorów σ ( X ' X ) jes nieodpowiednia. Wynik wnioskowania o isoności paramerów ρ i może być w ej syuacji błędny. Należałoby zaem zasosować meodę esymacji odporną na zmienność wariancji lub opisać bezpośrednio w modelu zmienną wariancję warunkową składnika losowego, na przykład za pomocą modelu GARCH lub SV. Jeżeli model na podsawie, kórego konsruowana jes miara zmienności nie jes zgodny w wariancji warunkowej, o szacunek wariancji będzie najczęściej zaniżony. Zgodność modelu w wariancji jes zaem isona dla wszyskic analiz, w kóryc wykorzysywane są prognozy zmienności. Niec y oznacza proces AR (r) -GARCH ( p, q) : y = φ + φ y 0 r i= i i + ε, (4) ε ψ ~ N(0, ), (5) = α o + q p αiε-i + i = j = β j -j. (6) Szacunki wariancji y konsruowane na podsawie wariancji warunkowej ε będą zaniżone, ponieważ nie uwzględniają zmienności procesu auoregresyjnego. Prognozy wariancji konsruowane na podsawie wariancji warunkowej y ε będą naomias niedoszacowane. Aby zacować zgodność modelu (4) w wariancji warunkowej szacunki wariancji warunkowej powinny zosać skorygowane w nasępujący sposób: s = r φ i= i, (7) gdzie s oznacza skorygowaną warość wariancji warunkowej y. Podobnie szacunki wariancji warunkowej ε y konsruowane na podsawie wariancji warunkowej ε w równaniu (3) będą niedoszacowane, ponieważ zosaje pominięa zmienność zmiennyc objaśniającyc ε x s. Niec

74 Pior Fiszeder E( ε, ε ' ) = 0 nasępującą formułą: s y = k s= s ρ. Skorygowana warość warunkowej wariancji ε y dana jes +, (8) gdzie ( s =,,..., k)oraz oznaczają wariancje warunkowe odpowiednio x s zmiennyc objaśniającyc i składnika losowego. Jeżeli model (3) nie będzie zgodny w wariancji warunkowej, czyli ε y uwzględnia wewnęrznej srukury i ε ( s =,,..., k ), o szacunki wariancji warunkowej konsruowane na podsawie ego modelu będą niedokładne (niedoszacowane lub przeszacowane). x s ε nie 4. Przykłady empiryczne Opisane powyżej zagadnienia zilusrowano na przykładzie rzeczywisyc procesów finansowyc. Dzienne sopy zwrou najsarszego indeksu carakeryzującego GPW w Warszawie indeksu WIG można opisać za pomocą modelu AR()-GARCH(,). Warości r, p, q były zawsze usalane na podsawie bayesowskiego kryerium informacyjnego. Do badania przyjęo najdłuższy możliwy okres, w kórym noowania odbywały się pięć razy w ygodniu (od 3 października 994 r. do 8 kwienia 005 r.). Oszacowany za pomocą meody największej wiarygodności model zosał przedsawiony w abeli. Tabela. Model AR-GARCH dla indeksu WIG φ 0 0-4 φ α 0 0-6 α β ν 4.396 0.487 3.680 0.090 0.897 8.785 (.50) (0.095) (.79) (0.0) (0.03) (.886) W nawiasac pod ocenami paramerów podano średnie błędy szacunku. Paramer ν oznacza liczbę sopni swobody w warunkowym rozkładzie -Sudena. Źródło: obliczenia własne. Ocena wariancji brzegowej składnika losowego z modelu auoregresyjnego wynosi 0,0003098, naomias ocena wariancji brzegowej sóp zwrou indeksu WIG równa jes 0,000368. Zaem szacunek wariancji, jak i jej prognoza konsruowana na podsawie wariancji warunkowej ε w równaniu (6) będą niedoszacowane średnio o,%. Koniunkura na Giełdzie Papierów Warościowyc w Warszawie zależy w dużym sopniu od koniunkury na giełdzie w Nowym Jorku. Do badania wybrano indeks S&P 500. Sopy zwrou indeksu S&P 500 są pozbawione auokorelacji, a wariancję warunkową najlepiej opisuje model GARCH(,). Noowania w Nowym Jorku kończą się po zamknięciu sesji na GPW w Warszawie, dlaego inwesorzy mogą zareagować na wydarzenia na NYSE dopiero nasępnego

Modele zgodne dla procesów GARCH 75 dnia. Sąd pomiędzy indeksem WIG a indeksem S&P 500 wysępuje nauralne opóźnienie czasowe. Oszacowany model przedsawia abela. Tabela. Model indeksu WIG z indeksem S&P 500 φ 0 0-4 φ φ S&P500 α 0 0-6 α β ν.773 0.05 0.33 3.9584 0.0955 0.8904 8.7340 (.4508) (0.090) (0.08) (.785) (0.030) (0.04) (.3939) W nawiasac pod ocenami paramerów podano średnie błędy szacunku. Paramer ν oznacza liczbę sopni swobody w warunkowym rozkładzie -Sudena. Źródło: obliczenia własne. Wariancję warunkową składnika losowego najlepiej opisuje model GARCH (,), a więc srukura wariancji warunkowej jes prossza, niż wynikałoby o z formuły (9). Ocena wariancji brzegowej sóp zwrou indeksu WIG wynosi 0,000368, naomias ocena wariancji brzegowej składnika losowego równa jes 0,0008. Szacunek wariancji, jak i jej prognoza konsruowana na podsawie wariancji warunkowej dla modelu przedsawionego w ablicy (na podsawie wariancji warunkowej składnika losowego) będą niedoszacowane średnio o,3%. Pomiędzy większością indeksów noowanyc na GPW w Warszawie isnieją silne zależności. Poniżej zbadano zależności pomiędzy sopą zwrou indeksów TecWIG (carakeryzuje spółki z Segmenu Innowacyjnyc Tecnologii) i WIG0 (carakeryzuje 0 spółek o największej warości rynkowej i największym obrocie). W abeli 3 przedsawiono dwa modele oszacowane dla indeksu TecWIG. Pierwszy model uwzględnia jedynie wewnęrzną srukurę procesu sóp zwrou i jes o model AR()-GARCH(,). Drugi opisuje zależność z indeksem WIG0. Wariancje warunkowe składnika losowego dla obu modeli zosały przedsawione na rysunku. Tabela 3. Modele dla indeksu TecWIG φ 0 0-4 φ φ WIG0 φ WIG0 α 0 0-6 α β ν 0.0606 0.083.84 0.068 0.9348 0.9809 - - (4.3739) (0.08) (0.8080) (0.04) (0.04) (3.84) -5.8655 (.347) 0.044 (0.08).346 (0.043) -0.5 (0.0355) 3.84 (0.83) 0.033 (0.084) 0.8644 (0.08) 9.875 (.56) W nawiasac pod ocenami paramerów podano średnie błędy szacunku. Paramer ν oznacza liczbę sopni swobody w warunkowym rozkładzie -Sudena. Źródło: obliczenia własne. Wariancja warunkowa składnika reszowego dla modelu opisującego zależność z indeksem WIG0 jes znacznie mniejsza niż wariancja warunkowa składnika reszowego dla modelu opisującego jedynie wewnęrzną srukurę procesu. Regresja indeksu TecWIG względem indeksu WIG0 spowodowała znaczne zmniejszenie warunkowej wariancji składnika reszowego.

76 Pior Fiszeder 0.0050 0.0040 AR-GARCH Model z indeksem WIG0 0.0030 0.000 0.000 0.0000 000 00 00 003 004 005 Wykres. Wariancje warunkowe składników reszowyc dla indeksu TecWIG Większość zmienności indeksu TecWIG zosała wyjaśniona przez zmienność indeksu WIG0, szczególnie w okresie od drugiej połowy 000 r. do końca 00 r. Zaem pomiędzy wariancjami indeksów TecWIG i WIG0 isnieje silna zależność jednoczesna. 5. Zakończenie W arykule rozszerzono pojęcie zgodności modelu na wariancje warunkowe. Pokazano jakie mogą być konsekwencje wykorzysywania modeli niezgodnyc w wariancji oraz podano przykłady empiryczne doyczące procesów finansowyc. Lieraura Granger, C. W. J. (98), Some Properies of Time Series Daa and eir Use In Economeric Model Specificaion, Journal of Economerics, 6, 30. Granger, C. W. J. (990), Were Are e Conroversies In Economeric Meodology?, w: C. W. J Granger (red.), Modelling Economic Series, Clarendonpress, Oxford. Kufel, T., Piłaowska, M., Zieliński, Z., (996), Symulacyjna analiza poznawczyc własności dynamicznyc modeli zgodnyc, Przesrzenno-czasowe modelowanie i prognozowanie zjawisk gospodarczyc, AE, Kraków. Sawicki, J., Górka, J. (996), An ARMA Represenaion for a Sum of Auoregressive Processes, Dynamic Economeric Models, vol., UMK, Toruń. Talaga, L., Zieliński, Z. (986), Analiza spekralna w modelowaniu ekonomerycznym, PWN, Warszawa. Zieliński, Z. (984), Zmienność w czasie srukuralnyc paramerów modelu ekonomerycznego, Przegląd Saysyczny, 3, /, 35 48.