S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 I. ROZMAITOŚCI STOPNIA W PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ Rozmaitość drugiego stopnia w przestrzeni euklidesowej to hiperpowierzchnia opisana warunkiem, który mówi, że pewna funkcja wielomianowa stopnia wspó lrzȩdnych punktów w przestrzeni zeruje siȩ gdy punkty te leż a na tej powierzchni. Np. w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej ze wspó lrzȩdnymi x,,, i x 4, równanie 3 4 + = 0 opisuje,,sferȩ o środku w punkcie 0, 0, 0, 0 i promieniu, a równanie + = 0 opisuje nieskończony,,walec o promieniu, powstaj acy z okrȩgu, leż acego w p laszczyźnie = x 4 = 0, o środku w punkcie 0, 0, 0, 0 i promieniu, w wyniku nadawania wspó lrzȩdnym i x 4 wszystkich możliwych wartości. Gdyby przestrzeń by la trójwymiarowa, walec by lby tworzony przez okr ag przesuwany na wszystkie możliwe sposoby w kierunku wspó lrzȩdnej. W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej na p laszczyźnie hiperpowierzchnie s a krzywymi. Krzywe stopnia na p laszczyźnie to proste, elipsy, parabole, i hiperbole. Ruch dwóch mas przyciagaj acych siȩ si la Newtona, odwrotnie proporcjonaln a do kwadratu odleg lości miȩdzy masami, odbywa siȩ w ten sposób, że z up lywem czasu wektor l acz acy te masy zakreśla swym końcem jedn a z tych krzywych. Podobnie odbywa siȩ ruch ladunków elektrycznych oddzia luj acych na siebie si l a Coulomba. Hiperpowierzchnie stopnia w przestrzeni trójwymiarowej to stożki, proste, p laszczyzny, para p laszczyzn przecinaj acych siȩ lub równoleg lych, elipsoidy, hiperboloidy jednopow lokowe i dwupow lokowe, walce eliptyczne i hiperboliczne, paraboloidy eliptyczne i hiperboliczne, oraz walce paraboliczne. G ladkie powierzchnie w przestrzeni trójwymiarowej można w wiȩkszości punktów lokalnie przybliżać przez jak aś powierzchniȩ drugiego stopnia.,,lokalnie znaczy w ma lym otoczeniu wybranego punktu powierzchni. Wiele zagadnień fizycznych opisuje siȩ za pomoc a energii potencjalnej, która jest funkcj a wspó lrzȩdnych w przestrzeni o dużej liczbie wymiarów. Kiedy mówimy o jednej cz astce, liczba wymiarów jest trzy. Kiedy mówimy o N cz astkach, liczba wymiarów jest 3N. Kiedy opisujemy ruch pola, liczba wymiarów jest nieskończona. Niemniej we wszystkich tych przypadkach stabilne po lożenie uk ladu odpowiada lokalnemu minimum energii potencjalnej. Istniej a też po lożenia równowagi odpowiadaj ace lokalnemu maksimum, punktowi siod lowemu, lub powierzchni walcowej. W mechanice kwantowej lokalne minima odpowiadaj a stanom metastabilnym, które rozpadaj a siȩ z czasem życia zależnym od bariery potencja lu, oddzielaj acej minimum lokalne od minimum absolutnego i minimów lokalnych o pośrednich wartościach. Kiedy mamy do czynienia z punktami przegiȩcia, ewolucja uk ladu komplikuje siȩ jeszcze bardziej. Ponieważ g ladkie funkcje daj a siȩ przybliżać lokalnie wokó l swoich extremów i punktów przegiȩcia przez funkcje drugiego stopnia, znajomość możliwych kszta ltów drugiego stopnia jest ważnym elementem rozumowania w analizie rzeczywistości. Trzeba umieć narysować powierzchniȩ opisan a funkcj a wielomianow a drugiego stopnia. Takie problemy powstaj a np. w teorii ruchów elektronów w cia lach sta lych, kiedy rozważa siȩ ich energiȩ w funkcji pȩdu, lub w modelach ruchów kolektywnych w j adrach atomowych, kiedy analizuje siȩ energiȩ uk ladu nukleonów w funkcji parametrów opisuj acych ten uk lad. Po analizie stosowalności powierzchni drugiego stopnia w danym problemie, jeśli taki opis nie wystarczy, można przyst apić do analizy powierzchni wyższych stopni wokó l ekstremów. Np. w teorii cz astek elementarnych używa siȩ funkcji pól kwantowych trzeciego i czwartego stopnia, i te funkcje s a przedmiotem trudnych badań. Ogólna procedura identyfikacji hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej na podstawie znajmości jej równania opisana jest w Rozdziale III ksi ażki Jacka Komorowskiego Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego, i kwadryk, PWN, Warszawa 978. W tekście poniżej podane s a odnośniki do tej ksi ażki. Jej Rozdzia l III zawiera tabelȩ kanonicznych postaci równań wszystkich krzywych i powierzchni stopnia w przestrzeniach euklidesowych o wymiarach i 3 str. 84. Na str. 90-97 znajduj a siȩ rysunki tych rozmaitości. Rozdzia l III można studiować w celu zrozumienia rysunków hiperpowierzchni stopnia niemal niezależnie od reszty ksi ażki. II. RYSOWANIE ROZWIA ZAŃ RÓWNAŃ KWADRATOWYCH W E 3 Zamiast ogólnych wzorów w przestrzeni euklidesowej o dwolnym wymiarze, rozważmy przestrzeń trójwymiarow a. Przypuśćmy, że ktoś podaje nam równanie α + β + γ 3 + δx + ɛ + φ x + χx + κ + λ + µ = 0, 3
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 i pyta jak narysować zbiór rozwi azań tego równania. Rysunek może być sporz adzony w wyniku postȩpowania wed lug nastȩpuj acego schematu. Po pierwsze, zauważmy, że równanie 3 można napisać w postaci [x,, ] α δ φ δ x + [χ, κ, λ] x + µ = 0. 4 β ɛ φ ɛ γ W tej postaci wszystkie dzia lania mnożenia wykonuje siȩ wed lug zasady,,wiersz razy kolumna. Po drugie, ponieważ macierz A = α δ δ φ β ɛ φ ɛ γ 5 jest rzeczywista i symetryczna, można j a zdiagonalizować w przestrzeni E 3. Po trzecie, wektory w lasne odwzorowania liniowego A, reprezentowanego przez symetryczn a macierz A w bazie kanonicznej, odpowiadaj ace różnym wartosciom w lasnym, s a ortogonalne. W podprzestrzeniach w lasnych o wymiarze wiȩkszym niż tzn. gdy mamy wiȩcej niż jeden wektor w lasny o tej samej wartości w lasnej można wybrać wektory w lasne tak,żeby by ly miȩdzy sob a ortogonalne. Można wiȩc zbudować bazȩ ortogonaln a z wektorów w lasnych odwzorowania A. Można wektory tej bazy znormalizować, i otrzymać ortonormaln a bazȩ zbudowan a z wektorów w lasnych odwzorowania A. Przypuśćmy, że wartości w lasne macierzy A wynosz a ω, ω, ω 3, i odpowiadaj ace im kolumny wspó lrzȩdnych znormalizowanych ortogonalnych wektorów w lasnych u, v, i w odwzorowania A w bazie kanonicznej w E 3 s a odpowiednio u u 3, v v 3, w w w 3. 6 Macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy wektorów w lasnych dana jest wzorem B = u v w w. 7 Wspó lrzȩdne wektorów x,, i w bazie kanonicznej s a zwi azane ze wspó lrzȩdnymi wektorów w nowej bazie, y,, i, wzorami x = u v w w y. 8 y = u v w w x. 9 Ponieważ macierz B jest ortogonalna, jej odwrotność jest dana przez macierz transponowan a B = B T, i mamy y =. 0 u v u 3 v 3 w w w 3 W nowych wspó lrzȩdnych ortogonalnych, y,, i, mierzonych wzd luż ortonormalnych wektorów w lasnych u, v, i w odwzorowania A, tworz acych now a bazȩ, nasze wyjściowe równanie zapisuje siȩ w postaci [y,, ] ω 0 0 0 ω 0 0 0 ω 3 y + [χ, κ, λ] x u v w w y + µ = 0.
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 3 Wprowadzamy wiȩc wektor o wspó lrzȩdnych w nowej bazie danych wzorem µ µ = u u 3 v v 3 χ κ, µ 3 w w w 3 λ równoważnym transponowanemu [χ, κ, λ] u v w w = [µ, µ, µ 3 ]. 3 Teraz możemy sprowadzić nasze równanie zapisane w nowych zmiennych do pe lnego kwadratu w nastȩpuj acym sensie. Piszemy je w postaci [y,, ] ω 0 0 0 ω 0 y + [µ, µ, µ 3 ] y + µ = 0, 4 0 0 ω 3 i obserwujemy, że ma ono strukturȩ ω + µ y + ω + µ + ω 3 3 + µ 3 + µ = 0. 5 Nastȩpny krok zależy od tego, czy wartości w lasne ω, ω, ω 3, s a wszystkie różne od zera, czy niektóre siȩ zeruj a. Za lóżmy najpierw, że wszystkie wartości w lasne s a różne od zera. Wtedy możemy je wyci agn ać przed nawiasy i napisać nasze równanie w postaci ω y + µ µ + ω + µ µ + ω 3 + µ 3 µ 3 + µ = 0. 6 ω 4ω ω 4ω ω 3 4ω 3 Znaki wartości w lasnych oznaczmy literami s, tzn. ω = s ω, 7 ω = s ω, 8 ω 3 = s 3 ω 3. 9 Wyraz wolny w naszym równaniu ma postać µ µ µ µ 3 = s 4 4ω 4ω 4ω 3 µ µ µ µ 3 4ω 4ω 4ω 3 0 = s 4 m Za lóżmy, że jego modu l jest różny od zera, tzn. m 0. Gdy m wychodzi równe 0, to nie ma powodu do żadnych dodatkowych kroków z powodu cz lonu wolnego bo po porostu go nie ma. Ostatni etap przekszta lcania równania polega na wprowadzeniu wspó lrzȩdnych z = y + µ, m ω z = m ω z 3 = m ω 3 + µ + µ 3 ω 3 ω, 3 ω. 4 W tych ortogonalnych wspó lrzȩdnych, mierzonych wzd luż wektorów w lasnych odwzorowania A, nasze równanie przybiera postać kanoniczn a s z + s z + s 3 z 3 + s 4 = 0. 5
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 4 Na postawie tabeli na str. 84 w ksi ażce Jacka Komorowskiego odczytujemy typ powierzchni, z jak a mamy do czynienia. Możemy tȩ powierzchniȩ narysować przez analogiȩ z przyk ladami ze str. 90-97. Przeskalowanie wspó lrzȩdnych nie jest niezbȩdne do zorientowania siȩ z jak a powierzchni a mamy do czynienia, ale jest pomocne w rysowaniu szczegó lowych obrazów rozważanych powierzchni. W przypadku gdy jedna lub wiȩcej wartości w lasnych odwzorowania A wychodz a 0, wspó lrzȩdne w kierunku wektorów w lasnych o zerowych wartościach w lasnych traktujemy inaczej. Mianowicie, wspó lrzȩdne w tych kierunkach wystȩpuj a tylko w cz lonach liniowych w naszym równaniu, bo w kwadratowych zerowe wartości w lasne A zabijaj a ich wk lad. Gdyby cz lony liniowe w kierunkach zerowych wartości w lasnych by ly zero, to nic już nie musimy robić. Jeśli cz lony liniowe w kierunkach o zerowych wartościach w lasnych nie znikaj a, to opisujemy je nastȩpuj aco. Przeżywaj ace cz lony liniowe maj a postać µ y. 6 Pamiȩtajmy, że strza lki odnosz a siȩ tylko do sk ladowych w kierunkach o zerowych wartościach w lasnych. Postać iloczynu skalarnego mówi nam, że można wybrać jedn a now a wspó lrzȩdn a wzd luż wektora µ, a pozosta le w kierunkach prostopad lych. Te w kierunkach prostopad lych nie wnosz a żadnego wk ladu do naszej funkcji, i prowadz a do struktur typu walcowego. Natomiast ta jedna wspó lrzȩdna, która jest wzd luż µ i wystȩpuje tylko liniowo w naszym równaniu, wprowadza osobn a klasȩ hiperpowierzchni parabolicznych lub paraboidalnych. Rozmaitości te identyfikujemy na postawie tabeli na str. 84 w ksi ażce Jacka Komorowskiego. Odczytujemy typ powierzchni i rysujemy jej kszta lt w szczegó lach pos luguj ac siȩ analogi a z przyk ladami ze str. 90-97. Warto też zapoznać siȩ z przyk ladem na str. 98-300. III. SKRÓCONA FORMA ROZUMOWANIA Zauważmy, że równanie 4 można zapisać w postaci x Ax + a x + µ = 0. 7 W tej postaci znak oznacza iloczyn skalarny w rzeczywistej przestrzeni unitarnej, która jest użyta do definicji rzeczywistej przestrzeni euklidesowej. Używaj ac w lasności iloczynu skalarnego w przestrzeni euklidesowej, możemy napisać ] b b x + b [x A + b = x Ax + x A b + Ax + A b. 8 Jeśli odwzorowanie A jest ortogonalne, to istnieje A = A T, i możemy napisać x + b [x A + b ] b = x Ax + x Ab + A b. 9 Wprowadzaj ac otrzymujemy b = A a, 30 x + b/ A[x + b/] = x Ax + x a + a A a. 3 W takim razie, za pomoc a wektorów y zdefiniowanych wzorem możemy napisać równanie 7 w postaci y = x + A a, 3 y Ay + µ 4 a A a = 0. 33 Nastȩpnie diagonalizujemy odwzorowanie A i rysujemy obraz rozmaitości.
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 5 Gdy odwzorowanie A jest diagonalizowalne, ale odwrotność A nie istnieje z powodu zerowania siȩ pewnych wartości w lasnych, powyższe rozumowanie stosuje siȩ tylko do podprzestrzeni o niezerowych wartościach w lasnych, z tak ograniczonym A. Zaś w podprzestrzeni rozpinanej przez wektory w lasne A o zerowych wartościach w lasnych wprowadzamy jeden wektor nowej bazy wzd luż tej czȩści a, która leży w tej podprzestrzeni, a pozosta le wektory bazy w tej podprzestrzeni s a wybrane w kierunkach prostopad lych do a. Kierunek wektora bazy utworzonego w ten sposób z a wyznacza orientacjȩ hiperpowierzchni paraboloidalnych lub parabolicznych. Pozosta le wektory bazy w podprzestrzeni w lasnej A o wartości w lasnej 0 wskazuj a kierunki osi walców.