Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z10, Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10 Edwin Koźniewski Zak lad Infoemacji Przestrzennej 1. Cień sfery na p lszczyznȩ 1.1. Jeszcze o kolineacji W wyk ladzie 2U zosta ly omówione przekszta lcenia kolineacyjne, które ze wzglȩdu na charakter środka i osi dziel a siȩ na cztery klasy: jednok ladność, przesuniȩcie równoleg le, powinowactwo, kolineacja środkowa. Szczególn a cechȩ posiada kolineacja środkowa. W przekszta lceniu tym Rys. Z10-01: Konstrukcja prostej granicznej: a) elementy określaj ace kolineacjȩ; a1) prowadzimy dowoln a prost a (a 1 ) przez punkt A 1 i znajdujemy jej obraz (a 2 ) (cdn) w pewnym po lożeniu figury przekszta lcanej nie maj acej punktów niew laściwych powstaje jako obraz figura zawieraj aca punkty niew laściwe. Zastanówmy siȩ nad tym faktem. Niech dana bȩdzie kolineacja określona poprzez środek S, oś s i parȩ A 1, A 2 odpowiadaj acych sobie punktów (rys. Z10-01a). Prowadzimy dowoln a prost a (a 1 ) przez punkt A 1 i znajdujemy jej obraz (a 2 ) (rys. Z10-01a1). Nastȩpnie prowadzimy przez punkt S prost a b 1, równoleg l a do prostej a 2 i znajdujemy jej obraz b 2 (= b 1 ) (rys. Z10-01a2). proste a 1 i b 1 przecinaj a siȩ w punkcie G 1, którego obrazem jest punkt przeciȩcia siȩ prostych a 2 i b 2, czyli G 2. W lasność tȩ posiadaj a wszystkie punkty prostej g 1, równoleg lej do osi s (rys. Z10-01a3). Jak to uzasadnić? Dowód tego faktu pozostawiamy Czytelnikowi. Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 Rys. Z10-01: Konstrukcja prostej granicznej: a2) prowadzimy przez punkt S prost a b 1, równoleg l a do prostej a 2 i znajdujemy jej obraz b 2 (= b 1 ) (cdn) Rys. Z10-01: Konstrukcja prostej granicznej: a3) proste a 1 i b 1 przecinaj a siȩ w punkcie G 1, którego obrazem jest punkt przeciȩcia siȩ prostych a 2 i b 2, czyli G 2. W lasność tȩ posiadaj a wszystkie punkty prostej g 1, równoleg lej do osi s 1.2. Kolineacyjne obrazy okrȩgu Obrazem okrȩgu w kolineacji jest stożkowa. Typ stożkowej zaleėć bȩdzie od po lożenia okrȩgu wzglȩdem prostej granicznej kolineacji. Ponieważ elipsa nie ma punktów niewaściwych, przekszta lcany okr ag nie może przecinać granicznej (rys. Z10-01a), obrazem okrȩgu stycznego do granicznej jest parabola (rys. Z10-01b), okrȩgu przecinaj acego graniczn a w dwóch punktach - hiperbola (rys. Z10-01c). Dla przyk ladu skonstruujemy parabolȩ jako obraz okrȩgu stycznego do prostej granicznej wed lug za lożeń na rysunku Z10-01b. W tym celu znajdziemy elementy paraboli jednoznacznie j a wyznaczaj ace i pozwalaj ace zastosować konstrukcjȩ siatkow a. Parabola ma jeden punkt niew laściwy, który należy do jej osi symetrii. Zatem oś symetrii bȩdzie mieć kierunek prostej b 1 = b 2. Aby znaleźć tȩ oś wcześniej wyznaczymy styczn a w wierzcho lku i sam wierzcho lek. Ponieważ styczna ta jest obrazem stycznej do okrȩgu i jest prostopad la do osi, przez punkt S prowadzimy prost a prostopad l a do prostej b 1 = b 2, która na

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 3 Rys. Z10-02: Po lożenia okrȩgów prowadz ace do różnych typów stożkowych Rys. Z10-02: Parabola jako obraz okrȩgu w kolineacji: b1) przez punkt S prowadzimy prost a prostopad l a do prostej b 1 ; b2) z punktu H 1 prowadzimy styczn a c 1 do okrȩgu (wyznaczamy punkt styczności W 1 ) i znajdujemy jej obraz c 2 w kolineacji (prosta c 1 przechodzi przez H2 ); b3) punkty W 1 i G 1 wyznaczaj a prost a a 1, której obrazem w kolineacji jest oś symetrii paraboli (cdn) granicznej kolineacji wyznacza punkt H 1 (rys. Z10-02b1). Z punktu H 1 prowadzimy styczn a c 1 do okrȩgu (jest to jedyna prosta, drug a jest bowiem graniczna). Prosta c 1 wyznacza na okrȩgu punkt styczności W 1 (rys. Z10-02b2). Obrazem prostej c 1 jest prosta c 2 przechodz aca przez punkt przeciȩcia siȩ prostej c 1 z osi a kolineacji s i punkt H2, bȩd acy obrazem punktu H 1. Punkty W 1 i G 1 wyznaczaj a prost a a 1, której obrazem w kolineacji jest prosta a 2 - oś symetrii paraboli (rys. Z10-02b3). Elementy W 2, a 2, G 2, P 2 wyznaczaj a jednoznacznie

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 Rys. Z10-02: Parabola jako obraz okrȩgu w kolineacji: b4) punkty wspólne okrȩgu z osi a kolineacji s a punktami konstruowanej paraboli; b5) elementy W 2, a 2, G 2, P 2 wyznaczaj a jednoznacznie parabolȩ i umożliwiaj a jej konstrukcjȩ siatkow a. Parabola narysowana zosta la w programie Auto- CAD za pomoc a funkcji napisanej w jȩzyku AutoLISP (nieistniej ace w standardowym programie AutoCAD polecenie rysuj ace parabolȩ pochodzi z pakietu komend napisanych w jȩzyku AutoLISP przez s luchaczy Podyplomowego Studium Informatyki pod kierunkiem autora) parabolȩ i umożliwiaj a jej konstrukcjȩ siatkow a (w przypadku, gdy oś kolineacji nie przecina okrȩgu potrzebny w konstrukcji dyskretnej punkt hiperboli otrzymujemy jako obraz dowolnego punktu okrȩgu w kolineacji). Na rysunku Z10-02b5 parabola narysowana zosta la w programie AutoCAD za pomoc a funkcji napisanej w jȩzyku AutoLISP (nieistniej ace w standardowym programie AutoCAD polecenie rysuj ace parabolȩ pochodzi z pakietu komend napisanych w jȩzyku AutoLISP przez s luchaczy Podyplomowego Studium Informatyki pod kierunkiem autora) 1. Jeżeli graniczna kolineacji nie przecina okrȩgu, to obrazem jest elipsa. Średnice sprzȩżone elipsy maj a tȩ w lsność, że styczne poprowadzone w końcach jednej średnicy maj a kierunek drugiej średnicy. To spostrzeżenie prowadzi do konstrukcji pokazanej na rysunku Z10-02a1 a3. Z dowolnego punktu granicznej prowadzimy dwie styczne a 1, b 1 do okrȩgu. Wyznaczaj a one na okrȩgu końce A 1, B 1 pewnej ciȩciwy (Z10-02a1). Ciȩciwa ta przecina graniczn a w drugim punkcie, z którego prowadzimy kolejne dwie styczne c 1, d 1 (Z10-02a2), które wyznaczaj a końce C 1, D 1 (Z10-02a3) drugiej ciȩciwy. Obrazy tych ciȩciw w kolineacji s a średnicami sprzȩżonymi elipsy. Możemy wiȩc zrealizować konstrukcjȩ siatkow a. Czytelnik dokończy konstrukcjȩ. Jakie kierunki maj a średnice sprzȩżone elipsy? Jeżeli graniczna przecina okr ag w dwóch punktach, to obrazem jest hiperbola. Zauważmy, że asymptoty hiperboli - to prostej (w laściwe) styczne do hiperboli w jej punktach niew laściwych (Z10-02c1). Prowadzimy wiȩc w punktach G 1, G 1 styczne a 1, b 1 do okrȩgu. Ich obrazy a 2, b 2 w kolineacji s a asymptotami hiperboli (Z10-02c1). Zważywszy, że punkt P 1 = P 2 jest punktem 1 Wszystkie stożkowe narysowane zosta ly za pomoc a polecenia z pakietu komend napisanych w jȩzyku AutoLISP przez s luchaczy Podyplomowego Studium Informatyki pod kierunkiem autora. Warto dodać, że algorytm powsta l na bazie konstrukcji siatkowej paraboli. Konstrukcje elipsy i paraboli można znaleźć w literaturze ([Gro95]).

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 5 Rys. Z10-02: Elipsa jako obraz okrȩgu w kolineacji - konstrukcja średnic sprzȩżonych elipsy: a1) z dowolnego punktu granicznej g 1 prowadzimy dwie styczne a 1, b 1 do okrȩgu; a2) powsta la ciȩciwa [A 1 B 1 ] leży na prostej, która wyznacza punkt na granicznej, z którego prowadzimy kolejne dwie styczne c 1, d 1 do okrȩgu; a3) odwzorowuj ac w powinowactwie otrzyman a parȩ ciȩciw [A 1 B 1 ], [C 1 D 1 ] otrzymujemy średnice sprzȩżone konstruowanej elipsy umożliwiaj ace jej konstrukcjȩ siatkow a Rys. Z10-02: Hiperbola jako obraz okrȩgu w kolineacji: c1) prowadzimy w punktach G 1, G 1 styczne a 1, b 1 do okrȩgu; ich obrazy a 2, b 2 w kolineacji s a asymptotami hiperboli. Ponieważ punkt P 1 = P 2 jest punktem hiperboli mamy elementy wyznaczaj ace jednoznacznie hiperbolȩ i i umożliwiaj ace jej konstrukcjȩ w sposób dyskretny

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 hiperboli mamy elementy wyznaczaj ace jednoznacznie hiperbolȩ i i umożliwiaj ace jej konstrukcjȩ w sposób dyskretny. W przypadku, gdy oś kolineacji nie przecina okrȩgu potrzebny w konstrukcji dyskretnej punkt hiperboli otrzymujemy jako obraz dowolnego punktu okrȩgu w kolineacji Kolineacyjne aspekty przekrojów powierzchni walca i stożka Powinowactwo i kolineacja środkowa znajduj a zastosowanie w realizacji wielu konstrukcji, które by ly omawiane w kursie geometrii. I tak: nie trudno zauważyć, że miȩdzy wielok atem przekroju p laskiego ostros lupa i jego podstaw a zachodzi zwi azek kolineacyjny (por. rys. Z01-01a5); miȩdzy rzutem i k ladem fugury p laskiej zachodzi powinowactwo osiowe prostok atne (por. rys. 4-05a7, 4-15a25, 4-17a14). Również latwo zuważyć, że miȩdzy przekrojem graniastos lupa (dostatecznie wysokiego) i jego podstaw a zachodzi powinowactwo osiowe. Ogólniej: dwa przekroje ostros lupa (graniastos lupa), walca (stożka) s a w zwi azku powinowactwa lub kolineacji środkowej. W odniesieniu powierzchni walca i stożka parametry powinowactw i kolineacji s a zilustrowane na rysunkach Z10-03 Z Rys. Z10-03: Stożkowa przekroju walca (elipsa) p laszczyzn a α e, którego kierownic a jest okr ag leż acy w p laszczyźnie α o jest obrazem tego okrȩgu w powinowactwie o osi s = α e α o i kierunku tworz acych walca Zadanie 1 W uk ladzie rzutni wyznaczyć cień rzucony na rzutniȩ poziom a i w lasny sfery oświetlonej z kierunku równoleg lego do rzutni pionowej (rys. Z10-06). Rozwi azanie zadania 1. Rozważmy zbiór bȩd acy sum a wszystkich promieni świetlnych stycznych do sfery, czyli powierzchni walca obrotowego. Cień ten możemy interpretować b adź jako przekrój powierzchni walca obrotowego p laszczyzn a rzutni poziomej; b adź jako rzut równoleg ly okrȩgu styczności walca świetlnego i sfery na rzutniȩ poziom a. Stosunkowo prosta konstrukcja elipsy wynika z po lożenia kierunku rzutu a wiȩc z faktu, że uk lad figur: sfera, walec promieni świetlnych (w tym okr ag styczności) maj a p laszczyznȩ symetrii równoleg l a do rzutni pionowej. Osie elipsy maj a wiȩc kierunki: prostopad ly i równoleg ly do rzutni pionowej. Dodajmy jeszcze, że proste styczne do okrȩgów, bȩd acych rzutami sfery nazywamy tworz acymi konturowymi odwzorowanego walca.

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 7 Rys. Z10-04: Stożkowa przekroju stożka p laszczyzn a α e, którego kierownic a jest okr ag leż acy w p laszczyźnie α o jest obrazem tego okrȩgu w kolineacji o osi s = α e α o i środku bȩd acym wierzcho lkiem walca Rys. Z10-05: Powinowactwo dostrzegamy w przypadku przekroju walca i w rzucie równoleg lym okrȩgu: a) okr ag-kierownica walca obrotowego i elipsa przekroju p laszczyzn a s a powinowate; b) okr ag i jego rzut równoleg ly (nie bȩd acy odcinkiem) s a powinowate Zadanie 2 W uk ladzie rzutni Monge a dane s a rzuty S, S punktu S oraz sfery (rys. Z10-06a). Skonstruować cień rzucony na rzutniȩ poziom a i w lasny sfery oświetlonej z punktu S. Rozwi azanie zadania 2 opisane zosta lo na rysunkach Z10-07 Z Wykorzystuj ac twierdzenie Dandelina skonstruujemy cień sfery na p laszczyznȩ (na rzutniȩ poziom a) przy oświetleniu punktowym. W zadaniu przyjȩto po lożenie źród la świat la tak, by p laszczyzna symetrii uk ladu (sumy) figur: punkt-źród lo świat la, sfera by la równoleg la do rzutni pionowej (rys Z10-07a). Oś stożka promieniświetlnych jest wtedy równoleg la do rzutni pionowej. Konstruujemy tworz ace konturowe stożka świat la (w rzucie poziomym i pionowym) jako styczne do okrȩgów (konturów rzutów sfer) (rys. Z10-07a1). Tworz ace konturowe rzutu pionowego

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 Rys. Z10-06: Cień równoleg ly sfery: rzucony na rzutniȩ poziom a i w lasny Rys. Z10-07: Cień sfery na rzutniȩ poziom a przy oświetleniu środkowym (centralnym): a) z za lożenia (linia l acz aca rzuty poziome źród la świat la i środka sfery jest równoleg la do osi rzutów; a1) konstruujemy tworz ace konturowe stożka świat la jako styczne do okrȩgów (konturów rzutów sfer) (cdn) wyznaczaj a rzuty (poziomy i pionowy) osi [A B ] elipsy cienia. Prowadzimy p laszczyznȩ styczn a do sfery, równoleg l a do rzutni poziomej. W ten sposób wyznaczamy ognisko F 1 elipsy bȩd acej przekrojem powierzchni stożka t a p laszczyzn a (rys. Z10-08a2 a3). Elipsa cienia i elipsa przekroju p laszczyzn a styczn a do sfery s a jednok ladne (o środku S), st ad znajdujemy

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 9 Rys. Z10-08: Cień sfery...: a2) tworz ace konturowe rzutu pionowego wyznaczaj a rzuty (poziomy i pionowy) osi [A B ] elipsy cienia; a3) prowadzimy p laszczyznȩ styczn a do sfery, równoleg l a do rzutni poziomej. W ten sposób wyznaczamy ognisko F1 elipsy bȩd acej przekrojem powierzchni stożka t a p laszczyzn a (cdn) Rys. Z10-09: Cień sfery...: a4) elipsa cienia i elipsa przekroju p laszczyzn a styczn a do sfery s a jednok ladne (o środku S), st ad znajdujemy ognisko F 1 elipsy cienia; prowadzimy symetraln a odcinka [A B ], na której odmierzamy odcinek d lugości a (z twierdzenia Pitagorasa bowiem mamy a 2 + b 2 = c 2 ); a5) wyznaczamy rzut poziomy drugiej osi [C D ] elipsy cienia (cdn) ognisko F 1 elipsy cienia. Prowadzimy symetraln a odcinka [A B ], na której odmierzamy odcinek d lugości a (z twierdzenia Pitagorasa bowiem mamy a 2 + b 2 = c 2 ). Wyznaczamy rzut

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 Rys. Z10-10: Cień sfery...: a6 a7) elipsa cienia jest także rzutem okrȩgu styczności stożka świetlnego, znajdujemy rzut pionowy tego okrȩgu oraz rzuty punktów styczności tworz acych konturowych w rzucie poziomym (cdn) Rys. Z10-11: Cień sfery...: a8) znajdujemy rzuty T, R punktów styczności tworz acych konturowych w rzucie poziomym; a9) konstruujemy (konstrukcja siatkowa) elipsȩ (cdn) poziomy drugiej osi [C D ] elipsy cienia (rys. Z10-09a4 a5). Elipsa cienia jest także rzutem okrȩgu styczności stożka świetlnego, znajdujemy rzut pionowy tego okrȩgu oraz rzuty punktów styczności tworz acych konturowych w rzucie poziomym (rys. Z10-09a6 a7). Znajdujemy rzuty T, R punktów styczności tworz acych konturowych w rzucie poziomym. Konstruujemy (konstrukcja siatkowa) elipsȩ.

11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania Rys. Z10-12: Cień sfery...: a10) konstruujemy rzut poziomy okrȩgu styczności (brzegu cienia w lasnego), t.j. najpierw rzut pionowy średnicy tego okrȩgu, której rzutem poziomym jest oś duża elipsy; a11) d lugość tej osi znajdujemy poprzez k lad okrȩgu styczności na rzutniȩ pionow a (cdn) Rys. Z10-13: Cień sfery...: a12) w rzucie pionowym znajdujemy punkty styczności U i V tworz acych konturowych (w rzucie poziomym) z okrȩgiem styczności (przeciȩcie siȩ okrȩgu styczności z okrȩgiem wielkim sfery równoleg lym do rzutni poziomej); a12 ) zakreskowano obszar sfery pozostaj acy w cieniu w lasnym Zadanie 3 W uk ladzie rzutni wyznaczyć cień rzucony na rzutniȩ poziom a i schodki i w lasny

12 12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich.zadania 10 sfery oświetlonej z punktu (rys. Z10-14a) i z kierunku (rys. Z10-14b). Rys. Z10-14: Za lożenia do zadania 3