Geometria odwzorowań inżynierskich cienie w rzucie środkowym 06D

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6D, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich cienie w rzucie środkowym 06D Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Cienie w perspektywie i perspektywie pionowej Rys. 6D-01: Ilustracja cieni dwóch odcinków równoleg lych do siebie, prostopad lych do p lszczyzny γ przy oświetleniu punktowym: a) rysunek pogl adowy (aksonometria); a ) odwzorowanie w dowolnym rzucie środkowym (perspektywie); a ) odwzorowanie w perspektywie (perspektywie pionowej) Przy wyznaczaniu cieni w perspektywie postȩpujemy podobnie jak w aksonometrii i w rzutach Monge a, t.j. prowadzimy odpowiednie promienie świetlne, które tworz a pasy lub obszary k atów p laszczyzn (w przypadku p laskościennych bry l - powierzchni wielościennych) lub powierzchnie stożkowe (walcowe) określone przez świec acy punkt i brzeg oświetlanego obiektu (w laściwy - przy oświetleniu punktowym, niew laściwy przy oświetleniu równoleg lym) i otrzymujemy ostros lup świetlny lub powierzchniȩ stożkow a (przy oświetleniu punktowym) graniastos lup świetlny lub powierzchniȩ walcow a (przy oświetleniu równoleg lym). Nastȩpnie konstruujemy punkty wspólne promieni świetlnych z p laszczyzn a (powierzchni a) na któr a cień ten Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D Rys. 6D-02: Ilustracja cieni dwóch odcinków równoleg lych przy oświetleniu równoleg lym: a) rysunek pogl adowy (aksonometria); a ) odwzorowanie w dowolnym rzucie środkowym (perspektywie); a ) odwzorowanie w perspektywie (perspektywie pionowej) Rys. 6D-03: Ilustracja cieni dwóch odcinków równoleg lych przy oświetleniu równoleg lym do t la: a ) odwzorowanie w dowolnym rzucie środkowym (perspektywie); a ) odwzorowanie w perspektywie (perspektywie pionowej); b) cień domku przy oświetleniu równoleg lym, w celu wyznaczenia cienia s lupa na dach dokonano pomocniczego przekroju pada. Mamy wtedy cień rzucony. Jeżeli t a p laszczyzn a (powierzchni a) jest czȩść tego samego obiektu geometrycznego, to mówimy o cieniu w lasnym. Jeżeli t a p laszczyzn a (powierzchni a) jest czȩść innej bry ly, to mówimy o cieniu wzajemnym. O czȩści bry ly znajduj cej siȩ w ostros lupie lub stożku (graniastos lupie lub walcu) świetlnym i bȩd acej po przeciwnej stronie punktu świec acegomówimy, że jest w cieniu w lasnym.

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D Cień przy oświetleniu punktowym Rysunek 6D-01a ilustruje powstawanie cienia rzuconego na p laszczyznȩ przy oświetleniu punktowym, w odniesieniu do dwóch odcinków prostopad lych do p laszczyzny, na któr a cień ten zosta l rzucony. W celu odwzorowania w rzucie środkowym zauważmy, że promienie świetlne a, b i ich rzuty prostok atne a, b tworz a odpowiednio p laszczyzny α i β prostopad le do p laszczyzny podstawy γ, na któr a rzucany jest cień. Implementujemy tȩ sytuacjȩ pogl adow a w rzucie środkowym (rys. 6D-01a). Dana jest p laszczyzna γ(t γ, z γ ) (rys. 6D-01a). Przyjmujemy na niej dwie proste a s (T a, Z a ), b s (T b, Z b ) przecinaj ace siȩ w punkcie S s. Prosta SS jest prostopad la do p laszczyzny γ. Znajdujemy wiȩc punkt Z 90γ. Nastȩpnie ślady zbiegu z α, z β p laszczyzn α, β przechodz ace przez punkt Z 90γ i odpowiednio Z a i Z b. Ślady t lowe t α, t β s a równoleg le do śladów zbiegu i przechodz a odpowiednio przez T a, T b. Punkt S s przyjmujemy na prostej przechodz acej przez punkty S s i Z 90γ. Podobnie przyjmujemy punkty A s, B s (mamy bowiem [AA ] γ, [BB ] γ). Przez dwójki punktów S s,a s ; S s,b s prowadzimy odpowiednio proste a s, b s. Pary prostych (a s,a s ); (b s,b s ) wyznaczaj a cienie A s c,bs c. Ten sam algorytm implementacji mamy w perspektywie pionowej (rys. 6D-01a ) z t a różnic a, że proste prostopad le do p laszczyzny γ s a pionowe ([S s S s ] [A s A s ] [B s B s ] p(= t γ )). Wizualnie rysunek aksonometryczny (rys. 6D-01a) i w perspektywie pionowej (rys. 6D-01a ) s a bardzo podobne, a istota konstruowania cienia ta sama tak w aksonometrii jak i w obu perspektywach. Rys. 6D-04: Konstrukcja cienia równoleg lego bry ly - rzuconego i k lad acego siȩ na elementy tej samej bry ly (cień w lasny): a) zrealizowany cień rzucony i w trakcie realizacji cień w lasny (cień A s c punktu A) (cdn) Postȩpowanie przy odwzorowaniu algorytmu tworzenia cienia przy oświetleniu równoleg lym jest podobne (rys. 6D-02). Warto zwócić uwagȩ na po lożenie rzutów S s, S s. Po pierwsze punkt S s z γ (S s h), po drugie (dotyczy to perspektywy pionowej) [S s S s ] h. Ponadto obrazy punktów (kierunków) S, S powinniśmy oznaczać przez S s, S s, co uczyniono na rys. 6D-03b. Formalnie oznaczenie w rzucie środkowym jest budowane tak: s. W kó lko wstawiamy identyfikator punktu, np. A, X, S itd. Z drugiej strony jeśli rzutem punktu niew laściwego jest punkt w laściwy, co ma miejsce w omawianej sytuacji, to zapis S s może być myl acy i dlatego decydujemy siȩ na skrócenie tego zapisu do postaci S s. Rysunki 6D-03a, 6D-03a ilustruj a cienie odcinków przy oświetleniu równoleg lym do t la.

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D Rys. 6D-04: Konstrukcja cienia równoleg lego bry ly - rzuconego i k lad acego siȩ na elementy tej samej bry ly (cień w lasny): a1 a2) konstrukcja cienia punktu pomocniczego F (cień F s c ) w celu wyznaczenia punktu za lamania siȩ cienia odcinka [AB] (cdn) Rys. 6D-04: Konstrukcja cienia równoleg lego bry ly - rzuconego i k lad acego siȩ na elementy tej samej 1.2. Cień z lożonej bry ly przy oświetleniu równoleg lym Na rysunku 6D-03b przedstawiono cień domku przy oświetleniu równoleg lym obok, którego stoi s lup rzucaj acy cień na ścianȩ i dach tego domku. Przyjmujemy rzut domku w perspektywie stosowanej. Ślady zbiegu krawȩdzi modelu budynku znajduj a siȩ poza rysunkiem. Kierunek świat la (s lonecznego, gdyż jest oświetlenie równoleg le) przyjmujemy S s h i [S s S s ] h. W nastȩpnym rozdziale zobaczymy kiedy S s przyjmujemy pod horyzontem a kiedy nad horyzontem. Znajdowanie cienia danego punktu X (X s, X s ) polega (niezależnie czy jest to cień przy oświetleniu punktowym, czy równoleg lym) na poprowadzeniu dwu prostych S s X s, S s X s i znalezieniu punktu przeciȩcia siȩ tych prostych. Jest to zreszt a zasada obowi azuj aca także przy znajdowaniu cienia w aksonometrii. Jedyna różnica, zupe lnie przecież nieistotna to taka, rzut aksonometryczny punktu X zapisuje siȩ jako X a a nie jako X s. Ta uwaga pokazuje dobitnie, że nie ma żadnej formalnej różnicy w konstrukcjach cienia w aksonometrii i w rzucie

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D 5 Rys. 6D-04: Konstrukcja cienia równoleg lego bry ly - rzuconego i k lad acego siȩ na elementy tej samej bry ly (cień w lasny): a4) wyznaczenie pe lnego cienia (rzuconego, w lasnego) środkowym. Na rysunku 6D-04 przedstawiono konstrukcjȩ cienia z loȯnej bry ly w perspektywie stosowanej (pionowej). Konstruujemy tam najpierw cień rzucony (6D-04a) wyznaczony przez punkty D i E. Pewne ściany bry ly wielościennej znajd a siȩ w cieniu w lasnym (np. ściana pionowa zawieraj aca punkty A, B, C). Przy tak ustawionym oświetleniu pojawi siȩ cień w lasny innego rodzaju, który ma charakter cienia wzajemnego jeśli przyj ać, że niższa czȩść bry ly stanowi inny obiekt. W celu wyznaczenia tej czȩści cienia znajdujemy najpierw cień punktu A. Padnie on na ścianȩ pionow a (rys. 6D-04a). Nastȩpnie znajdujemy punkt za lamania siȩ cienia odcinka [AB] poprzez wprowadzenie punktu pmocniczego F (rys. 6D-04a1 a2), który do bry ly nie należy. Cień Fc s punktu F wraz z cieniem As c daje prost a, która wyznacza na górnej krawȩdzi bry ly szukany punkt za lamania siȩ cienia.

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D 1.3. Cień z lożonej bry ly przy oświetleniu punktowym Na rysunkach 6D-05 przedstawiono cień bry ly przy oświetleniu punktowym. Algorytm konstrukcji jest identyczny. Zmienia siȩ tylko po lożenie punktu źród la świat la. Nie bȩdziemy wiȩc omawiali szczegó lowo konstrukcji, która zosta la omówiona w przypadku oświetlenia równoleg lego Wysokości punktów w laściwych Po lożenie punktu w laściwego S wzglȩdem p laszczyzny podstawy α jest określone przez rzut prostok atny S na p laszczyznȩ α i wysokość d wzglȩdem tej p laszczyzny. Wysokość d jest wzglȩdna (dodatnia d +, gdy punkt S leży nad p laszczyzn a α i ujemna d, gdy punkt S leży pod p laszczyzn a α). Punkt odwzorowany w perspektywie może być wieȩc, podobnie

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D 7 jak w aksonometrii, określony za pomoc a rzutów środkowych S s, S s dwóch punktów S, S. Wysokość odmierzamy przesuwaj ac równolegle odcinek [S S]([S s S s ]) tak by punkt S znalaz l siȩ na prostej podstawy p (rys. 6D-06a1a ) Azymuty i k aty wysokości punktów niew laściwych Po lożenie punktu niew laściwego S (S ) określamy za pomoc a dwóch wspó lrzȩdnych k atowych: azymutu λ i k ata wysokości ε (rys. 6D-07, 6D-08). Azymut jest to k at nachylenia danego kierunku do obranego kierunku na p laszczyźnie. Zwykle jest to kierunek prostopad ly do horyzontu (k at λ na rys. 6D-07a,a1). K at wysokości jest to k at nachylenia kierunku do p laszczyzny podstawy α (k at ε na rys. 6D-07a,a1). Jak już to powiedzieliśmy perspektywa S rzutu prostok atnego S leży zawsze na horyzoncie h, natomiast perspektywa samego punktu S leży na prostej prostopad lej do horyzontu, przechodz acej przez punkt S (rys. 6D-02a, 6D-04, 6D-07a1,a, 6D-08a1,a ). Punkty S, S leż a na śladzie zbiegu p laszczyzny

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D Rys. 6D-06: Odmierzanie wysokości punktu w perspektywie: a) rzut środkowy w perspektywie pionowej odcinka prostopad lego do p laszczyzny podstawy α; a1) ilustracja przesuniȩcia równoleg lego odcinka SS (w perspektywie-obrazie i w dziedzinie rzeczywistego po lożenia); a ) konstrukcja w perspektywie Rys. 6D-07: Ilustracja parametrów określaj acych po lożenie kierunku oświetlenia: a a1) azymut i k at wysokości w ujȩciu pogl adowym; a ) konstrukcja po lożenia w perspektywie punktu S o danych parametrach: azymut λ, k at wysokości ε w przypadku, gdy świat lo świeci z ty lu obserwatora przechodz acej przez punkt niew laściwy S i prostopad lej do p laszczyzny α. Jego po lożenie można scharakteryzować tak: jeżeli kierunek S (S ) oznacza źród lo świat la i świat lo to świeci z przodu obserwatora (6D-08), to perspektywa (stosowana) S s leży nad horyzontem, jeśli z ty lu obserwatora (6D-07), to perspektywa (stosowana) S s leży pod horyzontem. Na rysunku 6D-07 zaprezentowano ideȩ określania po lożenia źród la świat la świec acego z ty lu obserwatora, na rysunku 6D-08 zaprezentowano ideȩ określania po lożenia źród la świat la

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, cienie... 06D 9 Rys. 6D-08: Ilustracja parametrów określaj acych po lożenie kierunku oświetlenia: a a1) azymut i k at wysokości w ujȩciu pogl adowym; a ) konstrukcja po lożenia w perspektywie punktu S o danych parametrach: azymut λ, k at wysokości ε w przypadku, gdy świat lo świeci z przodu obserwatora świec acego z przodu obserwatora. Algorytm konstrukcji rzutów S s (S s ) punktów niew laściwych S (S ) 1 przy danych k atach λ, ε jest nastȩpuj acy (rys. 6D-07a, 6D-08a ). Dokonujemy k ladu O x punktu O. Przy odcinku [O τ O x ] odk ladamy k at λ i kreślimy drugie ramiȩ k ata. Znajdujemy punkt S s w przeciȩciu z horyzontem h. Przy odcinku [O x S s ] odk ladamy k at ε i konstruujemy trójk at prostok atny o k acie prostym przy wierzcho lku S s, przyprostok atnej [O x S s ] i jednym k acie ε. Znajdujemy w ten sposób wierzcho lek S x. Konstruujemy okr ag o środku w punkcie S s i promieniu S s S x (tu musimy pamiȩtać czy świat lo świeci z przodu czy z ty lu). Znajdujemy punkt S s. Literatura [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Pal85] Z. Pa lasiński: Zasady perspektywy. Skrypt. Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Kraków Jak już zwróciliśmy uwagȩ rzut punktu niew laściwego X bȩd acy punktem w laściwym czȩściej oznaczać bȩdziemy przez X s niż przez X s. Tak też post apiono na rysunkach 6D-07a1a, 6D-08a1a.