Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy luty 01 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotował zespół w składzie: Agnieszka Sałaj Nauczyciel I Liceum Ogólnokształcącego im Adama Mickiewicza w Białymstoku Anna Rybak Pracownik Uniwersytetu w Białymstoku Artur Miśkiewicz Nauczyciel i Liceum Ogólnokształcącego im Stefana Żeromskiego w Zespole Szkół Ogólnokształcących w Iławie Wicedyrektor Liceum Ogólnokształcącego im Stefana Żeromskiego w Zespole Szkół Ogólnokształcących w Iławie Cezary Kacprzyk Nauczyciel III Liceum Ogólnokształcącego im Alfreda Lityńskiego w Zespole Szkół nr 1 w Suwałkach orota Mozyrska Pracownik Politechniki Białostockiej Elżbieta Guziejko Nauczyciel Liceum Ogólnokształcącego im Jana Kochanowskiego w Olecku Ewa Olszewska Nauczyciel Technikum w Zespole Szkół Handlowo-Ekonomicznych im M Kopernika w Białymstoku Ewa Pawłuszewicz Pracownik Politechniki Białostockiej Ewa Ziętek Nauczyciel II Liceum Ogólnokształcące im Konstantego Ildefonsa Gałczyńskiego w Olsztynie Nauczyciel Technikum nr 6 w Zespole Szkół Elektronicznych i Telekomunikacyjnych w Olsztynie Irena Jakóbowska Nauczyciel VI Liceum Ogólnokształcącego im G Narutowicza w Olsztynie Wicedyrektor VI Liceum Ogólnokształcącego im G Narutowicza w Olsztynie Tomasz Chomicz Nauczyciel w Zespole Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych im Jarosława Iwaszkiewicza w Ciechanowcu Agata Siwik Starszy ekspert ds egzaminu maturalnego z matematyki w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej Kierownik Zespołu Matematyczno-Przyrodniczego w Wydziale Sprawdzianów, Egzaminów Gimnazjalnych i Matur w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Łomży

Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 odpowiedź C A B A B C C C B C A B A C B A B C Zadanie 5 ( pkt) Rozwiąż równanie 3 5 3 dla 0 Schemat punktowania zadań otwartych Rozwiązanie Mnożymy równanie 3 5 obustronnie przez 6 i zapisujemy równanie kwadratowe 3 15 18 0 Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 15 18 obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: 15 9 3 15 9 5 4 18 81 i stąd 1 oraz 6 4 4 stosujemy wzory Viete a: 15 3 1 oraz 1 9 i stąd 1 oraz 6 Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy 3 5 poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego 3 15 18 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy zapisze równanie kwadratowe z błędem i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże równanie Zdający otrzymuje punkty 3 gdy poprawnie wyznaczy oba pierwiastki równania: 1 oraz 6 Uwagi 1 Jeżeli zdający przekształcając równanie 3 5 otrzyma równanie liniowe, to za 3 takie rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający zapisze równanie kwadratowe z błędem i jeden z pierwiastków będzie równy 0, to za takie rozwiązanie otrzymuje 0 punktów

Zadanie 6 ( pkt) Wykaż, że jeśli 0 i y 0, to y y y I sposób rozwiązania y y Przekształcamy nierówność y do postaci y 0 y y Sprowadzamy lewą stronę otrzymanej nierówności do postaci iloczynowej, wykorzystując np wzory skróconego mnożenia: 3 3 y y y y ( y)( y y ) y( y) ( y)( y) y y y y y Z założenia mamy 0 i y 0, stąd y 0 i y 0, natomiast nierówność ( y) 0 jest prawdziwa dla dowolnych i y, zatem ( y)( y) y 0 Co kończy dowód Uwaga y Uczeń może lewą stronę nierówności y 0 przekształcić do postaci y iloczynowej, grupując wyrazy: 3 3 y y y y ( y) y ( y) ( y)( y) y y y y y Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy y zapisze lewą stronę nierówności y 0 w postaci y y y y 3 y 3 y y y ( y)( i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, y y y y zapisze lewą stronę nierówności y 0 w postaci y 3 3 y y y y ( y) y ( y) y y y y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy ) y( y) Zdający otrzymuje punkty gdy przeprowadzi pełne rozumowanie 3

II sposób rozwiązania Mnożymy obie strony nierówności y i y 0) i zapisujemy nierówność w postaci y y 3 3 y y y Stosujemy wzór skróconego mnożenia i zapisujemy nierówność np ( y)( y y ) ( y) y Następnie sprowadzamy nierówność do postaci: ( y)( y) 0 przez y (z założenia mamy 0 3 3 y y y w postaci Z założenia mamy 0 i y 0, stąd y 0, natomiast nierówność ( y) 0 jest prawdziwa dla dowolnych i y, zatem ( y)( y) 0 Co kończy dowód Uwaga 3 3 3 3 Uczeń może przekształcić nierówność y y y do postaci y y y 0, następnie pogrupować wyrazy i zapisać lewą stronę nierówności w postaci ( y) y ( y) 0 Schemat oceniania II sposób rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy zapisze nierówność zapisze nierówność i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy 3 3 y y y w postaci ( y)( y y ) ( y) y, 3 3 y y y w postaci ( y) y ( y) 0, Zdający otrzymuje punkty gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Uwaga Jeżeli zdający podstawi konkretne wartości w miejsce i y, to przyznajemy 0 punktów III sposób rozwiązania la dowolnych i y, prawdziwa jest nierówność: ( y) 0 Z założenia mamy 0 i y 0, stąd y 0, zatem ( y)( y) 0 Stosujemy wzór skróconego mnożenia i redukcję wyrazów i przekształcamy lewą stronę nierówności ( )( ) 3 3 y y 0 do postaci: y y y 0, a następnie do postaci 3 3 y y( y) zielimy obie strony nierówności 3 3 y i y 0, stąd y 0 ) i wnioskujemy, że y y y y( y) przez y (z założenia mamy 0 4

Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy korzystając z założenia 0 i y 0, doprowadzi nierówność ( y) 0 do 3 3 nierówności y y y 0 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje punkty gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Uwaga Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadniając daną nierówność nie zapisze, że y 0 i y 0 5

Zadanie 7 ( pkt) any jest trapez ABC łuższa podstawa AB ma długość m, pozostałe trzy boki trapezu są równej długości Przedłużenia ramion trapezu A i BC przecinają się w punkcie E pod kątem Oblicz obwód tego trapezu I sposób rozwiązania G C A E F B Wprowadzamy oznaczenia A BC C i AB m Zauważamy, że trójkąty AE i AGF są podobne, zatem AE AGF Różnica między długościami podstaw trapezu jest równa AB C m Stąd m AE m Trójkąt AE jest prostokątny, zatem sin AE A Stąd m sin 1 Wyznaczamy obwód trapezu ABC: m msin 4m msin O AB 3 A m 3 m 3 sin 1 sin 1 sin 1 Schemat oceniania I sposób rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy m zauważy, że trójkąty AE i AGF są podobne oraz zapisze równość sin Zdający otrzymuje punkty m sin gdy wyznaczy obwód trapezu O sin 1 6

Uwagi 1 Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu i dalej konsekwentnie obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu II sposób rozwiązania G F C A E B Zauważamy, że trójkąty ABG i CG są podobne Wprowadzamy oznaczenia A BC C, G CG y i AB m Trójkąty ABG i CG są podobne, zatem C AB G Stąd y AG m y Trójkąt FG jest prostokątny, zatem sin F G y Stąd 1 y sin sin Podstawiamy y do równania y i otrzymujemy sin m y m sin 1 Wyznaczamy obwód trapezu ABC: m msin 4m msin O AB 3 C m 3 m 3 sin 1 sin 1 sin 1 7

Schemat oceniania II sposób rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy zauważy, że trójkąty ABG i CG są podobne, stąd sin F G y y oraz zauważy, że m y Zdający otrzymuje punkty m sin gdy wyznaczy obwód trapezu O sin 1 Uwagi 1 Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa trójkątów 3 Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu i dalej konsekwentnie obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt 4 Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu III sposób rozwiązania G F C A E B Zauważamy, że trójkąty ABG i CG są podobne Wprowadzamy oznaczenia A BC C, G CG y i AB m Trójkąty ABG i CG są podobne, zatem C AB G Stąd y AG m y 8

m AE Trójkąt AEG jest prostokątny, zatem sin Stąd AG y m sin y sin Podstawiamy m sin y do równania y i otrzymujemy sin m y m sin 1 Wyznaczamy obwód trapezu ABC: m msin 4m msin O AB 3 C m 3 m 3 sin 1 sin 1 sin 1 Schemat oceniania III sposób rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt Gdy zauważy, że trójkąty ABG i CG są podobne, stąd m AE sin AG y y oraz zauważy, że m y Zdający otrzymuje punkty m sin gdy wyznaczy obwód trapezu O sin 1 Uwagi 1 Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa trójkątów 3 Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu i dalej konsekwentnie obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt 4 Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu 9

IV sposób rozwiązania G C A E F H B Wprowadzamy oznaczenia A BC C, E h i AB m Zauważamy, że trójkąty AE i AGF są podobne, zatem AE AGF E h Trójkąt AE jest prostokątny, zatem cos A i sin AE Stąd E h cos A i AE sin Zapisujemy pole trapezu ABC na dwa sposoby: 1 1 1 PABC AB C E i PABC AE E C E HB CH m 1 Otrzymujemy równanie: cos cos sin cos m Po przekształceniach otrzymujemy 1 sin Wyznaczamy obwód trapezu ABC: m msin 4m msin O AB 3 C m 3 m 3 sin 1 sin 1 sin 1 Schemat oceniania IV sposób rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy zapisze równanie m 1 cos cos sin cos Zdający otrzymuje punkty m sin gdy wyznaczy obwód trapezu O sin 1 10

Uwagi 1 Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu i dalej konsekwentnie obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu 11

Zadanie 8 ( pkt) Przemek w czasie ferii zimowych podjął pracę w firmie Ulotek-epress Pierwszego dnia rozniósł 900 ulotek, każdego następnego dnia o 40 mniej niż poprzedniego Za dostarczenie jednej ulotki firma płaci 5 groszy Jaką kwotę zarobił Przemek w czasie 14 dni pracy? I sposób rozwiązania Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego r 40, a następnie czternasty wyraz ciągu a14 900 1340 380 Obliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli liczbę ulotek, jaką rozniósł Przemek) S14 8960 Obliczamy jaką kwotę zarobił Przemek: 89605groszy 448 zł II sposób rozwiązania Obliczamy kwotę, którą zarobił Przemek pierwszego dnia: 9005groszy 45 zł Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego r 40 0, 05, a następnie czternasty wyraz ciągu a14 45 13 19 Obliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli kwotę, jaką zarobił Przemek w czasie 14 dni pracy) S14 448 zł III sposób rozwiązania Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego r 40 lub r, a następnie bezpośrednio sumę czternastu wyrazów tego ciągu S14 8960 lub S14 448 Zapisujemy odpowiedź: Przemek zarobił 448 zł Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy: zauważy, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym i wyznaczy różnicę tego ciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, popełni błąd rachunkowy w wyznaczeniu różnicy i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy jaką kwotę zarobił Przemek Zdający otrzymuje punkty gdy obliczy kwotę jaką w czasie 14 dni pracy: 448 zł Uwagi 1 Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np 900 860 80 380 i poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy punkty Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np 45 43 41 39 19 i poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy punkty 3 Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu (np tak jak w uwadze 1 lub ) i popełni błąd rachunkowy, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów 4 Jeśli zdający zapisze poprawną odpowiedź (bez uzasadnienia) to otrzymuje 0 punktów 1

Zadanie 9 ( pkt) any jest kwadrat ABC Na przekątnej B obrano dwa różne punkty K i L, takie że BK L (zobacz rysunek) Uzasadnij, że czworokąt AKCL jest rombem C L K A B I sposób rozwiązania C L O K A B Przekątna B to dwusieczna kąta prostego, stąd AL CL CBK ABK 45 Z założenia mamy L BK oraz AB BC C A Trójkąty AL, CL, CBK, ABK są przystające (cecha bkb), stąd AL CL CK AK Zatem czworokąt AKCL jest rombem Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy: zapisze, że trójkąty AL, CL, CBK, ABK są przystające, zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach AL, CL, CBK, ABK i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje punkty gdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL jest rombem 13

II sposób rozwiązania C L O K A B Trójkąty AOL, AOK, COK, COL są prostokątne, bo przekątne kwadratu są prostopadłe Ponieważ L KB, O OB i LO O L oraz OK OB KB, zatem LO OK Wiemy, że AO OC Trójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające (cecha bkb), stąd AL CL CK AK Zatem czworokąt AKCL jest rombem Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy: zapisze, że trójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające, zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach AL, CL, CBK, ABK i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje punkty gdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL jest rombem 14

III sposób rozwiązania C L O K A B Przekątne czworokąta AKCL pokrywają się z przekątnymi kwadratu, zatem są prostopadłe Punkt przecięcia przekątnych kwadratu O, dzieli przekątne AC i B na połowy Stąd O OB oraz AO OC Z założenia mamy L KB odatkowo LO O L oraz OK OB KB, zatem LO OK W czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe i punkt ich przecięcia O dzieli je na połowy Zatem czworokąt AKCL jest rombem Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy: zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zapisze, że AO OC, zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zaznaczy na rysunku, że AO OC, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje punkty gdy uzasadni, że LO OK oraz zapisze, że w czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe i ich punkt przecięcia O dzieli je na połowy Zatem czworokąt AKCL jest rombem 15

Zadanie 30 ( pkt) any jest romb ABC o boku długości 16 i polu powierzchni równym 18 3 Oblicz długość dłuższej przekątnej tego rombu I sposób rozwiązania C A E B Wprowadzamy oznaczenia AB BC C A a 16, E h 18 3 18 3 Obliczamy wysokość rombu: h 8 3 a 16 Trójkąt AE jest prostokątny, więc AE h a Stąd AE =8 Zatem AE EB AB A i AE EB stąd trójkąty AE i EB są przystające, zatem trójkąt AB jest równoboczny łuższa przekątna rombu jest równa AC h 16 3 II sposób rozwiązania C A B Zapisujemy pole rombu za pomocą wzoru PABC a sin, stąd 3 sin i wtedy =60 AB A i =60, zatem trójkąt AB jest równoboczny łuższa przekątna jest równa AC h 16 3 18 3 16 sin Zatem Uwaga Uczeń może zauważyć, że AC 16 3 1 PABC B AC Zatem 1 16 AC 18 3, stąd 16

Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt gdy: obliczy długość wysokości rombu h 8 3, obliczy 3 sin i zauważy że, trójkąt AB jest równoboczny Zdający otrzymuje punkty gdy obliczy długość dłuższej przekątnej rombu AC 16 3 III sposób rozwiązania C A B Zapisujemy pole rombu korzystając ze wzoru PABC a sin 3 Otrzymujemy równanie 16 sin 18 3, stąd sin Zatem 60 Korzystamy z twierdzenia cosinusów i zapisujemy AC AB BC AB BC cos10 a a a cos10, stąd AC 16 3 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 punkt 3 gdy obliczy sin i zapisze AC a a a cos10 Zdający otrzymuje punkty gdy obliczy długość dłuższej przekątnej rombu AC 16 3 17

Zadanie 31 (4 pkt) Julia i ominika mają skarbonki W skarbonce Julii znajduje się 1 banknot 50 zł, dwa banknoty 0 zł i 3 banknoty 10 zł, natomiast w skarbonce ominiki znajdują się banknoty 50 zł, 1 banknot 0 zł i 5 banknotów 10 zł Każda z dziewcząt losuje ze swojej skarbonki jeden banknot Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość wylosowanych banknotów przekroczy 38 zł? Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego I sposób rozwiązania (metoda klasyczna) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary b 50,50, 0,10,10,10,10,10 Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 68 48 a, b takie, że 50, 0, 0,10,10,10 a, Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na tym, że wartość wylosowanych banknotów przekroczy 38 zł, np wypisując je i zliczając: Wypisujemy wszystkie możliwe pary wyboru banknotów: A 50,50, 50, 0, 50, 0, 50,10, 50,10, 50,10, 50,50, 50, 0, 50, 0, 50,10, 50,10, 50,10, 0,50, 0, 0, 0, 0, 10,50, 10,50, 10,50, 10,50, 10,50, czyli A 0 A 0 5 P A 48 1 Stąd Uwaga Uczeń może: obliczyć liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A zapisując możliwe układy banknotów: 50 zł i 50 zł lub 50 zł i 0 zł lub 50 zł i 10 zł lub 0 zł i 50 zł lub 0 zł i 0 zł lub 10 zł i 50 zł i stąd A 1 1115 1 3 0, obliczyć liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu przeciwnemu do zdarzenia A (wartość wylosowanych banknotów nie przekroczy 38 zł) Wystarczy zauważyć, że niemożliwe są układy: 0 zł i 10 zł lub 10 zł i 10 zł lub 10 zł i 0 zł, więc A' 5 35 3 8 8 48 Stąd P A' Zatem (lub 8 0 5 P A 1 48 48 1 A A', stąd 48 8 0 A Zatem 0 5 P A ) 48 1 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 punkt uczeń zapisze, że 6 8 i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie, uczeń pokaże metodę zliczania zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu A' i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie, uczeń wypisze wszystkie zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A lub A ' i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie 18

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp punkty uczeń zapisze, że 48 i pokaże metodę zliczania zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu A ', np: A 1 1115 1 3 lub A' 5 35 3 1 i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie, uczeń zapisze, że 48 i wypisze wszystkie zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A lub A ' i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty uczeń obliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A 0 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, uczeń obliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A' 8 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 4 punkty Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i zapisanie wyniku w postaci ułamka 5 nieskracalnego P A 1 II sposób rozwiązania (metoda tabeli) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary b 50,50, 0,10,10,10,10,10 Tworzymy tabelę ilustrującą sytuacją opisaną w zadaniu, np: 50zł 0 zł 0 zł 10 zł 10 zł 10 zł 50 zł 50 zł 0 zł 10 zł 10 zł 10 zł 10 zł 10 zł a, b takie, że 50, 0, 0,10,10,10 a, Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 68 48 Zliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: A 0 0 5 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P A 48 1 Uwaga Uczeń może oznaczyć w tabeli zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu przeciwnemu do zdarzenia A 19

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 punkt Zdający sporządzi tabelkę przedstawiającą sytuację w zadaniu, np: 50 zł 50 zł 0 zł 10 zł 10 zł 10 zł 10 zł 10 zł 50zł 0 zł 0 zł 10 zł 10 zł 10 zł Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp punkty uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych 48 i zaznaczy w tabeli zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu A i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie, uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych 48 i zaznaczy w tabeli zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu błędnie A ' i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A 0 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie, uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A' 8 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie pełne 4 punkty Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i zapisanie wyniku w postaci ułamka 5 nieskracalnego P A 1 0

III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Rysujemy drzewo uwzględniając tylko istotne gałęzie i zapisujemy na nich prawdopodobieństwo 1 6 6 3 6 50 0 10 8 1 8 5 8 8 1 8 5 8 8 1 8 5 8 50 0 10 50 0 10 50 0 10 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 1 1 1 1 5 1 3 1 5 4 6 0 5 P( A) 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 48 1 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp punkty Uczeń narysuje drzewo uwzględniającego tylko istotne gałęzie i zapisze na nich prawdopodobieństwo Uwaga Jeżeli zdający narysuje drzewo uwzględniające tylko istotne gałęzie i nie zapisze na nich prawdopodobieństwa, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty 1 1 1 1 5 1 3 Uczeń zapisze P( A) i nie poda wyniku w postaci 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 ułamka nieskracalnego Rozwiązanie pełne 4 punkty 5 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A 1 Uwagi 1 Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P( A) 1, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów Jeżeli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia metodą drzewa i otrzymany wynik podzieli przez 48, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów 3 Jeżeli zdający opuści w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt 4 Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np: 0 5 P ( A), to za takie rozwiązanie przyznajemy 3 punkty 48 6 1

Zadanie 3 (5 pkt) Punkty o współrzędnych A, 8, B, 4,, C są wierzchołkami trapezu Ramię trapezu A jest prostopadłe do podstaw AB i C Oblicz współrzędne punktu oraz pole powierzchni tego trapezu I sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB: 4 8 1 a 3, stąd y 3 8 Zatem y 3 4 Wyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C: y 3, stąd y 3 8 Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt A: Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy 3, stąd współczynnik kierunkowy prostej 1 1 6 A jest równy Zatem prosta A ma równanie y 3 3 3 y 3 8 Obliczamy współrzędne punktu rozwiązując układ równań 1 6 y 3 3 Punkt ma współrzędne 5, 7 Obliczamy długości podstaw i wysokość trapezu: AB 160 4 10, C 90 3 10 i A 10 1 P 4 10 3 10 10 35 Obliczamy pole trapezu: Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Wyznaczenie równania prostej AB: y 3 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a 3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie równania prostej równoległej do prostej AB: y 3 8 i równania prostej 1 6 prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt A: y 3 3 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Wyznaczenie współrzędnych punktu 5, 7 oraz obliczenie jednej z wielkości: długości podstawy trapezu AB 160 4 10, długości podstawy trapezu C 90 3 10, wysokości trapezu A 10

Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt Obliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu: długości podstawy trapezu C 90 3 10 i wysokości trapezu A 10 długości podstawy trapezu AB 160 4 10 i wysokości trapezu A 10 długości podstaw trapezu AB 160 4 10 i C 90 3 10 Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie pola trapezu: P 35 Uwaga Jeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu lub przy obliczaniu długości podstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd nieprzekreślający poprawności rozwiązania np błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie obliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty II sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB: 4 8 1 a 3, stąd y 3 8 Zatem y 3 4 Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C: 1 1 4 y, stąd y 3 3 3 Prosta prostopadła do AB i przechodząca przez punkt C przecina prostą AB w punkcie E Obliczamy współrzędne punktu E rozwiązując układ równań Punkt E ma współrzędne punktu wynoszą E 1,1 Obliczamy wysokość trapezu CE: CE 9 1 10 y 3 1 4 y 3 3 Obliczamy długości podstaw trapezu: AB 160 4 10 i C AE lub C AB EB (bo trapez jest prostokątny) Zatem C AE 9 81 90 3 10 lub C 4 10 10 3 10 1 P 4 10 3 10 10 35 Obliczamy pole trapezu: Obliczamy współrzędne punktu (porównując wektory EC A 3,1, y 8 Zatem 3 i y 8 1, czyli 5, 7 ) Stąd 3

Uwaga Współrzędne punktu możemy obliczyć jak poniżej: Wyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej CE i przechodzącej przez punkt A: 1 1 6 y 8 Stąd współrzędne punktu, 3 3 3 A 1 CE więc 10 3 3 Otrzymujemy równanie 1 10 9, stąd 9, które rozwiązaniem są 5 i 1 Obliczamy drugą współrzędną punktu : y 7 i y 9 ruga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt ma współrzędne: 5, 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Wyznaczenie równania prostej AB: y 3 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a 3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C: 1 6 y i wyznaczenie współrzędnych punktu E 1,1 3 3 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Wyznaczenie współrzędnych punktu 5, 7 oraz obliczenie jednej z wielkości: długości podstawy trapezu AB 160 4 10, długości podstawy trapezu C 90 3 10, wysokości trapezu A 10 Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt Obliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu: długości podstawy trapezu C 90 3 10 i wysokości trapezu A 10 długości podstawy trapezu AB 160 4 10 i wysokości trapezu A 10 długości podstaw trapezu AB 160 4 10 i C 90 3 10 Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie pola trapezu: P 35 4

Uwaga Jeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu lub przy obliczaniu długości podstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd nieprzekreślający poprawności rozwiązania np błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie obliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty III sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej AB: 4 8 1 a 3, stąd y 3 8 Zatem 3 y 0 4 Obliczamy wysokość trapezu (wyznaczamy odległość punktu C od prostej AB): 6 10 h 9 1 10 10 Wektor prostopadły do prostej AB ma współrzędne: u = 3 t, t, gdzie t R \ 0 Zatem h u t t t = 9 10 i t 10 10, stąd t 1 lub t 1 Prosta A na równanie: 3t y 8 t Otrzymujemy: 5 i y 7 lub 1 i y 9 ruga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt ma współrzędne: 5, 7 Obliczamy długości podstaw trapezu: AB 160 4 10 i C 90 3 10 1 P 4 10 3 10 10 35 Obliczamy pole trapezu: Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Wyznaczenie równania prostej AB: 3 y 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie wysokości trapezu: h 10 oraz zapisanie współrzędnych wektora prostopadłego u = 3 t, t do prostej AB w zależności od parametru t: np, gdzie t R \ 0 oraz obliczenie wartości t, dla których długość wektora u jest równa długości wysokości trapezu Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Wyznaczenie współrzędnych punktu 5, 7 oraz obliczenie długości jednej z podstaw trapezu: AB 160 4 10 C 90 3 10 Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt 5

Obliczenie długości drugiej podstawy trapezu: C 90 3 10 AB 160 4 10 Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie pola trapezu: P 35 Uwaga Jeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu lub przy obliczaniu długości podstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd nieprzekreślający poprawności rozwiązania np błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie obliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty 6

Zadanie 33 (5 pkt) Szkoła zakupiła na raty serwer za kwotę 5400 zł Będzie go spłacała w równych miesięcznych ratach Gdyby okres spłaty skrócić o pół roku, wówczas kwota raty wzrosłaby o 75 zł Jaka była miesięczna wysokość raty i przez jaki okres szkoła spłacała swoje zobowiązania finansowe? I sposób rozwiązania Niech oznacza liczbę miesięcy spłacania zobowiązania i niech y oznacza wysokość miesięcznej raty y 5400 Zapisujemy układ: ( 6) ( y 75) 5400 Z pierwszego równania wyznaczamy 5400 y 5400 y Podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, np: 5400 6 75 5400 5400 6 75 5400 y y Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np: 75 450 3400 0 lub 6 43 0 6y 450y 405000 0 lub y y 75 67500 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe: 75 450 3400 0 0500 97000 99500 3150 450 3150 450 3150 1 0 lub 4 150 150 lub 6 43 0 36 178 1764 4 6 4 6 4 1 0 lub 4 6y 450y 405000 0 0500 97000 99500 3150 450 3150 450 3150 y1 5 lub y 0 1 1 lub y y 75 67500 0 565 70000 7565 55 75 55 75 55 y1 5 lub y 0 Odrzucamy rozwiązanie nie spełniające warunków zadania i zapisujemy, że 4 i y 5 Odp: Wysokość miesięcznej raty wynosiła 5 zł, a szkoła spłacała swoje zobowiązanie przez 4 miesiące 7

II sposób rozwiązania Niech a oznacza liczbę lat spłacania zobowiązania i niech b oznacza wysokość rocznej spłaty a b 5400 Zapisujemy układ: 1 a ( b 900) 5400 5400 5400 Z pierwszego równania wyznaczamy b a a b Podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, np: 1 5400 a 900 5400 a 5400 1 900 5400 b b Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np: 900a 450a 700 0 lub b b a a 6 0 1 450 4860000 0 lub b 900b 970000 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe: 900a 450a 700 0 0500 97000 99500 3150 450 3150 450 3150 a1 0 lub a 180 1800 lub a a 6 0 1 48 49 7 1 7 1 7 a1 0 lub a 4 4 1 b 450b 4860000 0 0500 97000 99500 3150 450 3150 450 3150 b1 700 lub b 0 1 1 lub b b 900 970000 0 810000 38880000 39690000 6300 900 6300 900 6300 b1 700 lub b 0 Odrzucamy rozwiązanie nie spełniające warunków zadania i zapisujemy, że a i b 700 Odp: Wysokość miesięcznej raty wynosiła 5 zł, a szkoła spłacała swoje zobowiązanie przez lata 8

Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Wprowadzenie oznaczeń, np: liczba miesięcy spłacania zobowiązania, y wysokość miesięcznej raty i zapisanie związku między tymi wielkościami y 5400 Wprowadzenie oznaczeń, np: liczba miesięcy spłacania zobowiązania, y wysokość miesięcznej raty i zapisanie związku między tymi wielkościami w przypadku skrócenia okresu spłaty np: y 6 75 5400 Wprowadzenie oznaczeń, np: a liczba lat spłacania zobowiązania, b wysokość rocznej spłaty i zapisanie związku między tymi wielkościami a b 5400 Wprowadzenie oznaczeń, np: a liczba lat spłacania zobowiązania, b wysokość rocznej spłaty i zapisanie związku między tymi wielkościami w przypadku skrócenia 1 okresu spłaty np: a b 900 5400 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi i y: y 5400, ( 6) ( y 75) 5400 Zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b: a b 5400 1 a ( b 900) 5400 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą lub y a lub b np: 5400 6 75 5400 lub 75 450 3400 0 lub 6 43 0 9

5400 6 75 5400 y y y y 75 67500 0 lub 6y 450y 405000 0 lub 1 5400 a 900 5400 a lub 900a 450a 700 0 lub a a 6 0 5400 1 900 5400 b b Uwaga b b 900 970000 0 lub 1 450 4860000 0 lub b b Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt rozwiązanie równania z niewiadomą i nie obliczenie wysokości miesięcznej raty, rozwiązanie równania z niewiadomą y i nie obliczenie liczby miesięcy spłacania zobowiązania, rozwiązanie równania z niewiadomą a i nie obliczenie wysokości rocznej spłaty, rozwiązanie równania z niewiadomą b i nie obliczenie liczby lat spłacania zobowiązania, rozwiązanie równania z niewiadomą lub y a lub b i konsekwentne rozwiązanie zadania do końca Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie wysokości miesięcznej raty (5 zł) i podanie okresu spłaty (4 miesiące lub lata) Uwagi 1 Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający poda odpowiedź bez uzasadnienia, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt 30