EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania ). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl. 6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie. 7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. 0. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL. Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. Życzymy powodzenia! MAJ ROK 007 Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów Wypełnia zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (5 pkt) Znajdź wzór funkcji kwadratowej y = f ( x), której wykresem jest parabola o wierzchołku (, 9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (, 8). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. Zapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej wierzchołka: y a( x ) = 9. Wyznaczam współczynnik a, korzystając z tego, że parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (, 8): ( ) 8= a 9 stąd a =. Wzór funkcji w postaci kanonicznej: f ( x) ( x ) Wyznaczam miejsca zerowe funkcji f: = 9. ( x ) 9= 0, stąd po zastosowaniu odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia otrzymuję ( x ) ( x + ) = 0 i po redukcji ( x ) ( x ) Miejscami zerowymi funkcji są liczby: x =, x = = 0. Szkicuję wykres funkcji, biorąc pod uwagę miejsca zerowe oraz współrzędne wierzchołka. 9 y x

3 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. ( pkt) Wysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta została przedstawiona w tabeli: Wartość transakcji do 500 zł od 500,0 zł do 000 zł od 000,0 zł do 8000 zł od 8000,0 zł do 5000 zł powyżej 5000 zł Wysokość prowizji 5 zł % wartości transakcji + 5 zł,5% wartości transakcji + 0 zł % wartości transakcji + 60 zł 0,7% wartości transakcji + 05 zł Klient zakupił za pośrednictwem tego biura maklerskiego 50 akcji w cenie 5 zł za jedną akcję. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po 45 zł za jedną sztukę. Oblicz, ile zarobił na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił. Obliczam wartość transakcji: zakupu 50 5 = 50zł sprzedaży = 850 zł. Obliczam, jaką prowizję należy zapłacić przy transakcjach: przy zakupie 50 0,0+ 60 = 9,50 zł przy sprzedaży 850 0, = 7,95 zł. Obliczam zysk ze sprzedaży: ( 9,50 + 7,95) = 05,55 zł. Odpowiedź: Klient zarobił 05,55 zł.

4 4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (4 pkt) Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia: tg β 5sin β ctgα + cos α. 8 i C 6 A α β B Stosuję twierdzenia Pitagorasa do obliczenia przeciwprostokątnej trójkąta ABC: AB = = 00 = 0. Obliczam wartości funkcji trygonometrycznych kąta α : 4 cosα =, 5 4 ctgα =. Obliczam wartości funkcji trygonometrycznych kąta β : 4 sin β =, 5 4 tg β =. Obliczam wartość wyrażenia tg β 5sin β ctgα + cos α : =

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 4. (5 pkt) Samochód przebył w pewnym czasie 0 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 0 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód. Wprowadzam oznaczenia: v średnia prędkość samochodu, 0 v 0 v +0 czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością v, czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością v +0. Warunki zadania zapisuję za pomocą równania: które po przekształceniu przyjmuje postać: v 0 0 =, v v v 400 = 0. Rozwiązaniem równania są liczby: v = 60, v = 70. Odrzucam rozwiązanie v = 70, które jest niezgodne z warunkami zadania. Odpowiedź: Samochód jechał ze średnią prędkością 60 km/h.

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( a n ), gdzie n. Wiadomo, że dla każdego n suma n początkowych wyrazów S = a+ a a wyraża się wzorem: a) Wyznacz wzór na n ty wyraz ciągu ( ) n b) Oblicz a 007. c) Wyznacz liczbę n, dla której a n = 0. n n a. Sn n n = +. a) Do wyznaczenia wzoru na n-ty wyraz ciągu ( a n ) stosuję własność sum częściowych: an = Sn Sn. ( ) ( ) ( ) an = n + n n + n, stąd a 4 n = n+. b) Obliczam a 007 : a 007 = = c) Obliczam, który wyraz ciągu przyjmuje wartość zero: n + 4= 0 n = 7 Odpowiedź: a n = 0 gdy n = 7.

7 Zadanie 6. (4 pkt) Dany jest wielomian W ( x) = x + ax 4x+ b. a) Dla a = 0 i 0 Egzamin maturalny z matematyki 7 b = otrzymamy wielomian ( ) W x = x 4x. Rozwiąż równanie x 4x= 0. b) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny jednocześnie przez x oraz przez x +. a) Rozwiązuję równanie: x 4x= 0 ( ) x x 7 = 0 ( )( x ) x x = 0 z zapisanej postaci iloczynowej odczytuję rozwiązania równania: x = 0, x = 7, x = 7. b) Aby znaleźć wartość współczynników a i b korzystam z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian, z którego wynika, że: W ( ) = 0 oraz ( ) W = 0. Otrzymuję układ równań: 6 + 4a 8 + b= 0, z którego wyznaczam a i b a b = 0 4a+ b= 9a+ b= Rozwiązanie układu równań są liczby: a = 0, b =. Wielomian przyjmuje postać: ( ) W x x x = 4 +.

8 8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7. (5 pkt) Dany jest punkt (,) C = i prosta o równaniu y = x 8 będąca symetralną odcinka BC. Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź. 5 y y=x-8 l 4 C S B=(x,y) x Poszukiwany punkt B ( xy, ) = leży na prostej l, która jest prostopadła do prostej y= x 8. Wyznaczam współczynnik kierunkowy a prostej l: a =. Prosta l przechodzi przez punkt C = (,), więc zachodzi równość = + b, z której wyznaczam współczynnik b. b = 4, więc równanie prostej l ma postać: y= x+ 4.

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Wyznaczam współrzędne punktu S będącego punktem przecięcia prostych: y= x 8 oraz y= x+ 4. y = x + 4 Rozwiązaniem układu równań są liczby: y= x Punkt S ma więc współrzędne:, 5 5. Punkt S jest środkiem odcinka BC. 4 x =, 5 8 y =. 5 Zapisuję zależność między współrzędnymi punktu S i końcami odcinka BC: x+ y+ 4 8, =, i rozwiązuję równania: 5 5 x =, stąd x = oraz 5 5 y + 8 =, stąd y =. 5 5 Punkt B ma współrzędne: 8 B =, 5 5.

10 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8. (4 pkt) Na stole leżało 4 banknotów: banknoty o nominale 00 zł, banknoty o nominale 50 zł i 0 banknotów o nominale 0 zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 0 zł. Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego. Ω jest zbiorem wszystkich pięcioelementowych podzbiorów czternastoelementowego zbioru banknotów. Zbiór Ω ma moc: 4 = Zdarzenie A na podłogę spadło 5 banknotów, które dają kwotę 0 zł. Jest tylko jeden układ nominałów opisanych w zdarzeniu A: = 0 zł. Obliczam liczbę zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A: A 0 = = Obliczam prawdopodobieństwo P( A ) szukanego zdarzenia: ( ) P A = i otrzymany ułamek skracam do postaci ułamka nieskracalnego: ( ) P A =. 4

11 Zadanie 9. (6 pkt) Egzamin maturalny z matematyki Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: A = 90, B = 75, C = 60, D = 5, a boki AB i AD mają długość cm. Sporządź rysunek pomocniczy. Sporządzam rysunek pomocniczy. B 0 45 C 60 A D 45 Trójkąt DAB jest równoramiennym trójkątem prostokątnym, dlatego kąty przy wierzchołkach B i D są równe i mają miarę 45. Obliczam miarę kąta BDC: BDC = 5 45 = 90. Trójkąt CDB jest więc prostokątny. Obliczam długość przekątnej BD czworokąta ABCD: BD = cm. Z trójkąta CDB obliczam długość boku CD: CD ctg60 BD =, stąd CD = BD ctg60 i po podstawieniu otrzymuję: CD = 6 cm. Obliczam pole trójkąta DAB oraz pole trójkąta CDB: P Δ DAB = 4,5 cm, P Δ CDB = cm. Pole czworokąta ABCD jest sumą pól tych trójkątów: 9 ( ) P ABCD = + = + cm.

12 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 0. (5 pkt) Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60. Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Sporządzam rysunek pomocniczy graniastosłupa i zaznaczam opisane w zadaniu kąty. H G E F h D 60 C A 60 B Obliczam pole P podstawy graniastosłupa: P = 8 sin 60 = cm. Długość dłuższej przekątnej rombu AC wyznaczam, korzystając z pola rombu: Prombu = PΔ ABC = AB AC sin0, = 8 AC stąd AC = 8 cm. Wysokość graniastosłupa h wyznaczam z trójkąta CAE: h = 4cm. Obliczam objętość graniastosłupa: V = 4 = 768 cm. h AC = tg60 stąd

13 Zadanie. (4 pkt) Egzamin maturalny z matematyki Dany jest rosnący ciąg geometryczny ( a n ) dla n, w którym a Oblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że x+ y = 5. = x, a = 4, a = y. Wykorzystuję własności ciągu geometrycznego do zapisania układu równań uwzględniającego warunki zadania: x+ y= 5 x y = 4 Doprowadzam układ równań do równania postaci: x Rozwiązaniem równania są liczby: x = 7, x = 8. 5x + 96 = 0. Wyznaczam pary liczb, które są rozwiązaniem układu równań: x = 7 oraz y = 8 x y = 8. = 7 Rosnący ciąg geometryczny otrzymamy, gdy x = 7, y = 8.

14 4 Egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS