D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych"

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż równanie x 0x x 0 Schemat oceniania zadań otwartych I sposób rozwiązania Wyłączając wspólny czynnik x ze wszystkich składników lewej strony równania otrzymujemy równanie równoważne x x 0x 0 Stąd wynika, że x 0 lub x 0x 0 Rozwiązaniem pierwszego z otrzymanych równań jest liczba x 0, natomiast drugie równanie możemy zapisać w postaci x 0 Stąd x 0, a więc x W rezultacie równanie x 0x x 0 ma dwa rozwiązania: x 0, x Uwaga Możemy również zauważyć, że liczba x 0 jest jednym z rozwiązań równania x 0x x 0, gdyż Gdy x 0, to możemy obie strony podzielić przez x 0 Wtedy otrzymujemy równanie x 0x 0, które rozwiązujemy tak, jak wyżej obliczamy wyróżnik 0 0, a następnie jedyne rozwiązanie tego równania: Schemat oceniania x 0 0 Zdający otrzymuje pkt, gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopni dodatnich, x x 0x i zapisze, że liczba x 0 jest rozwiązaniem równania, np: na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: x 0, x Uwaga Jeżeli zdający podzieli obie strony równania x 0x x 0 przez x (lub x) i nie założy, że x 0 ani nie zapisze, że liczba x 0 jest rozwiązaniem równania, to otrzymuje 0 punktów II sposób rozwiązania Zauważmy, że lewa strona równania jest kwadratem różnicy, więc równanie możemy zapisać w postaci równoważnej Stąd wynika, że x x Strona z 7 0 x x 0

2 Wyłączając wspólny czynnik x z obu składników lewej strony tego równania otrzymujemy x x 0, skąd x 0 lub x 0, a więc x 0 lub x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy zapisze równanie w postaci równoważnej: popełnia błędy x x 0 i na tym poprzestanie lub dalej Zdający otrzymuje pkt, gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: x 0, x Zadanie (pkt) Rozwiąż nierówność x x Rozwiązanie Nierówność zapisujemy w postaci x x 0, a następnie obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x x, rozkładając go na czynniki liniowe x x x x Stąd x, x Możemy również obliczyć pierwiastki wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego Wówczas 6, 8, 8 8 x, x Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y x x, y - 0 x z którego odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności x,, Odpowiedź: x,, Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt, gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z 7

3 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności zapisze nierówność w postaci równoważnej x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np zapisze x i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje pkt, gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub,, x lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x Zadanie ( pkt) x x Oblicz wartość wyrażenia x gdzie a i b to liczby wymierne dla x Wynik zapisz w postaci a b, I sposób rozwiązania Zauważmy, że każdej liczby x i x wyrażenie w postaci xx x x x x x x x wyrażenia jest równa II sposób rozwiązania Obliczmy najpierw Strona z 7 x x możemy zapisać x Zatem dla x wartość tego 6 6 x 8 9 Zatem wartość wyrażenia 9 x x jest równa x 8 8

4 Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania 0 6 Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt, gdy zapisze wyrażenie obliczy x x x w postaci x x x 9 i zapisze wartość wyrażenia 9 9 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy oraz podstawi x : x x x w postaci Zdający otrzymuje pkt, gdy obliczy wartość wyrażenia i zapisze je w postaci: Zadanie ( pkt) Bok rombu ma długość cm, a jedna z jego przekątnych jest o 6 cm krótsza od drugiej Oblicz pole tego rombu Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i niech x oznacza długość AC dłuższej przekątnej rombu D A x S C B Wtedy krótsza przekątna tego rombu ma długość x 6 Przekątne rombu są prostopadłe i wzajemnie się połowią, więc trójkąt ABS jest prostokątny, a jego boki mają długości: AB, AS x, AS x6 x Z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta otrzymujemy AB AS BS, x x, x x x 9, Strona z 7

5 x x 6 0, x 6x 0, x 6x9 0, x 0, x x 0, x x 8 0 Stąd x lub x 8 Drugie z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, więc x Wtedy BD x 6 8, a pole rombu jest równe P 8 6 Odpowiedź: Pole rombu jest równe 6 cm Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, ABCD gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: x x dłuższej przekątnej rombu, gdzie x oznacza długość Zdający otrzymuje pkt, gdy obliczy pole rombu: PABCD 6 Uwaga Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca popełniając jedynie błędy rachunkowe, to otrzymuje punkt Zadanie ( pkt) Dwusieczna kąta CAB trójkąta prostokątnego ABC przecina przyprostokątną BC w punkcie E Punkt D jest środkiem przeciwprostokątnej AB tego trójkąta Udowodnij, że BDC EAC Dowód (I sposób) Oznaczmy EAC i niech F będzie środkiem przyprostokątnej BC B D F E A C Półprosta AE jest dwusieczną kąta BAC, więc BAC Odcinek DF łączy środki boków AB i BC trójkąta ABC, więc jest równoległy do boku AC To oznacza, że () BDF BAC oraz BFD BCA 90 Trójkąty BDF i CDF są przystające, gdyż oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DF, a ich przyprostokątne BF i CF mają równe długości (cecha b-k-b) Stąd wynika, że BDF CDF, a w konsekwencji BDC BDF To kończy dowód Strona z 7

6 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy poprowadzi odcinek DF równoległy do AC i zapisze, że kąty BDF i CDF są równe i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy uzasadni, że BDC Dowód (II sposób) Oznaczmy EAC i niech G będzie środkiem przyprostokątnej AC B D E Półprosta AE jest dwusieczną kąta BAC, więc BAC Odcinek DG łączy środki boków AB i AC trójkąta ABC, więc jest równoległy do przyprostokątnej BC, a więc jest prostopadły do AC Stąd z kolei wynika, że trójkąty AGD i CGD są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DG oraz przyprostokątne AG i CG równej długości) Zatem DCA DAC Kąt ADC jest więc równy ADC 80 80, więc kąt BDC do niego BDC 80 ADC To kończy dowód przyległy jest równy Uwaga Ostatnią równość możemy również otrzymać z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta Wtedy mamy od razu BDC DAC DCA Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy poprowadzi odcinek DG równoległy do BC i zapisze, że kąty DAC i DCA są równe i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy uzasadni, że BDC Dowód (III sposób) Oznaczmy EAC Narysujmy okrąg opisany na trójkącie ABC Środkiem tego okręgu jest środek D przeciwprostokątnej AB A G C Strona 6 z 7

7 B D E A C Półprosta AE jest dwusieczną kąta BAC, więc BAC Kąt BAC jest kątem wpisanym w narysowany okrąg opartym na łuku BC tego okręgu Na tym samym łuku oparty jest też kąt środkowy BDC, więc BDC BDF To kończy dowód Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy narysuje okrąg opisany na trójkącie ABC i zapisze, że kąt BDC jest kątem środkowym opartym na łuku BC kąt BAC jest kątem wpisanym opartym na łuku BC i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy uzasadni, że BDC Zadanie 6 ( pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b spełniających warunek ab, prawdziwa jest nierówność a b Dowód (I sposób) Z założenia ab, więc b a Nierówność w postaci równoważnej a a, a a a a, a a 0, a a 0, a 0 Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a Dowód (II sposób) Nierówność a b możemy zapisać w postaci równoważnej Strona 7 z 7 a b możemy zatem zapisać

8 a a b ab b a b ab, a b ab a b Ponieważ z założenia ab, więc nierówność jest równoważna nierówności ab, ab Pozostaje wykazać, że jeśli ab, to ab Pokażemy kilka sposobów dowodu Sposób A Z równości ab otrzymujemy b a, więc nierówność ab jest równoważna nierówności a a, a a a, aa, a, 0 a 0 Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a Sposób B Z równości ab wynika, że liczby a i b możemy zapisać w postaci a x oraz b x, gdzie x jest liczbą rzeczywistą Wówczas ab x x x, gdyż x 0 dla każdej liczby rzeczywistej x Sposób C Jeżeli liczby a i b są różnych znaków, to wówczas ab 0, więc nierówność ab jest prawdziwa W przeciwnym razie muszą być nieujemne, gdyż ich suma jest dodatnia ( ab ) Zatem z twierdzenia o średniej arytmetycznej i geometrycznej otrzymujemy a b ab, ab, skąd ab Dowód (III sposób) Nierówność a b możemy zapisać, wykorzystując wzór na sumę sześcianów, w postaci równoważnej a ba ab b, Strona 8 z 7 a b a b ab Ponieważ z założenia ab, więc nierówność jest równoważna nierówności ab, ab Dalsza część dowodu przebiega tak, jak poprzednio Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej: a a 0

9 zapisze nierówność w postaci równoważnej ab i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Zadanie 7 ( pkt) W urnie znajduje się kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od do Losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej kuli Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn numerów wylosowanych kul jest nieparzysty i większy od 00 I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - ciągi) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ( xy, ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {,6,7,8,9,0,,,,,} Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 0 0 Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule, których iloczyn numerów jest nieparzysty i większy od 00 Zauważmy najpierw, że iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste Oznacza to, że numery obu wylosowanych kul muszą być ze zbioru {,7,9,,,} Wypiszmy więc wszystkie te pary różnych liczb z tego zbioru, których iloczyn jest większy od 00, a więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,, 7,, 9,, 9,,,,,,,7,,9,,9,,,,, Strona 9 z 7, 6 Zatem A i PA 0 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule, których iloczyn numerów będzie nieparzysty i większy od 00 jest równe 6 Uwaga Możemy zilustrować zbiór wszystkich zdarzenia elementarnych w tabeli na oraz zaznaczyć pola sprzyjające zdarzeniu A X 8 9 X X 0 X X X X X X X X X Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe

10 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania A 6 P A 0 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 0 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o oba numery kul są nieparzyste o iloczyn numerów kul jest większy od 00 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: 0, A = {7,, 9,, 9,,,,,,,,,7,,9,,9,,,,,, } i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: 0, A = {7,, 9,, 9,,,,,,,,,7,,9,,9,,,,,, }, A Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 6 PA Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów Jeśli zdający błędnie obliczy liczbę kul w urnie, pisząc, że jest ich 0 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeśli zdający wypisując zdarzenia elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zbiory) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie zbiory xy, złożone z dwóch liczb naturalnych ze zbioru {,6,7,8,9,0,,,,,} Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne Strona 0 z 7

11 0 Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule, których iloczyn numerów jest nieparzysty i większy od 00 Zauważmy najpierw, że iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste Oznacza to, że numery obu wylosowanych kul muszą być ze zbioru {,7,9,,,} Wypiszmy więc wszystkie te zbiory dwóch różnych liczb z tego zbioru, których iloczyn jest większy od 00, a więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:, 7,, 9,, 9,,,,,, 6 Zatem A 6 i PA Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule których iloczyn numerów będzie nieparzysty i większy od 00 jest równe 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Strona z 7 0 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o oba numery kul są nieparzyste o iloczyn numerów kul jest większy od 00 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: 0,, } A = {7,, 9,, 9,,,,,, i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: 0,, }, A = {7,, 9,, 9,,,,,, A 6 Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA 6 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów

12 Jeśli zdający błędnie obliczy liczbę kul w urnie, pisząc, że jest ich 0 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeśli zdający wypisując zdarzenia elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Zadanie 8 ( pkt) Punkt A, jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD, którego dwa sąsiednie boki zawierają się w prostych o równaniach x y 0 i y x Oblicz obwód tego równoległoboku Rozwiązanie Sprawdźmy najpierw, czy punkt A leży na którejś z podanych prostych Ponieważ 9 0 oraz, więc punkt A nie leży na żadnej z tych prostych Wynika stąd, że punkt przecięcia tych prostych jest wierzchołkiem C równoległoboku Oznaczmy literą B ten wierzchołek równoległoboku, który leży na prostej o równaniu y x, a literą D ten, który leży na drugiej z podanych prostych, jak na rysunku y B C Obliczmy współrzędne wierzchołka C Wystarczy rozwiązać układ równań Stąd otrzymujemy równanie więc y Zatem Strona z 7 A x x 0, x x 0, 6x, x 6, C, D x x y 0 y x Wyznaczmy równanie prostej AB Jest ona równoległa do prostej o równaniu x y 0, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy Ponadto przechodzi ona przez punkt A,, więc jej równanie ma postać x x x y, y Rozwiązując układ równań, obliczymy współrzędne wierzchołka B y x Przyrównując prawe strony równań układu dostajemy równanie x x, y x,

13 więc Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania y Zatem, B x, Długość boku AB równoległoboku ABCD jest równa a długość boku BC 9 AB 9, 9 9 BC Zatem obwód równoległoboku ABCD jest równy L Schemat oceniania ABCD Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający C, obliczy współrzędne wierzchołka C: wyznaczy równanie prostej AB: y x y x wyznaczy równanie prostej AD: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający C, obliczy współrzędne wierzchołków B i C:, B, obliczy współrzędne wierzchołków C i D: C,, D, obliczy współrzędne wierzchołków B i D:, B,, D Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy długość jednego z boków równoległoboku ABCD, np AB Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy obwód równoległoboku ABCD: LABCD Zadanie 9 ( pkt) Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS do płaszczyzny podstawy ABC ma miarę 60 Objętość tego ostrosłupa jest równa 7 Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku Strona z 7

14 S H h C B Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, więc ze wzoru na wysokość takiego trójkąta otrzymujemy AD a Ostrosłup jest prawidłowy, więc spodek O jego wysokości opuszczonej z wierzchołka S jest środkiem okręgu wpisanego w tę podstawę Punkt ten jest też środkiem ciężkości trójkąta ABC, więc OD AD a 6 Trójkąt ODS jest połową trójkąta równobocznego, więc SO OD oraz SD OD, czyli a a H oraz 6 Objętość ostrosłupa jest równa ale z treści zadania 7 ABCS a a h 6 a a a ABC VABCS P H, V, więc a 7, a , a Zatem h Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest zatem równe a PABCS PABC PBCS ah 08 Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe PABCS 08 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy długość odcinka OD w zależności od długości krawędzi podstawy: OD a 6 A a zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt O 60 D Strona z 7

15 Zdający wyznaczy wysokość ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: a H Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: 7 Rozwiązanie prawie pełne pkt Zdający obliczy długość krawędzi podstawy i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: PABCS 08 Zadanie 0 ( pkt) Z dwóch miejscowości oddalonych od siebie o 7 km wyjechały naprzeciw siebie dwa samochody A i B Samochód A wyjechał o pół godziny wcześniej i jechał ze średnią prędkością o km/h większą od średniej prędkości samochodu B Do miejsca spotkania obu samochodów samochód A przebył drogę km Oblicz średnią prędkość każdego z tych samochodów I sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu A, natomiast t czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B Wówczas średnia prędkość samochodu B jest równa v, a czas, jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem A jest równy t Do momentu spotkania samochód A przejechał drogę równą km, a samochód B drogę równą 7 km km 6 km Otrzymujemy więc układ równań vt v t 6 Drugie z równań możemy zapisać w postaci równoważnej vt v t 6 Stąd i z pierwszego równania układu otrzymujemy v t 6, v 8v t, t Podstawiając w miejsce t w pierwszym równaniu układu v, uzyskujemy równanie z jedną niewiadomą v 8v, 8v v 0, v 8v0 0 Strona z , 76, 8 8 v 0 lub v 6 Gdy v 0, to v 6, a gdy v 6, to v 8

16 Odpowiedź: Średnia prędkość samochodu A była równa 0 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 6 km/h, średnia prędkość samochodu A była równa 6 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 8 km/h Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający przyjmie oznaczenia, np: v średnia prędkość samochodu A, t czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania v t 6 z samochodem B oraz zapisze równanie: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze układ równań: v t 6 vt i Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający doprowadzi układ do równania z jedną niewiadomą, np: v 8v Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający rozwiąże równanie v 8v i nie obliczy prędkości samochodu B w każdym z dwóch przypadków rozwiąże równanie z niewiadomą t i na tym poprzestanie: 8t 8t 0, t, t rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający obliczy średnie prędkości samochodu A i samochodu B w dwóch przypadkach: 0 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 6 km/h to średnia prędkość samochodu B lub 6 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 8 km/h to średnia prędkość samochodu B II sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu A, natomiast t czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B Wówczas czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B, a więc czas, w jakim samochód ten przebył drogę km jest równy v, średnia prędkość samochodu B jest równa v, a czas, jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem A, a więc czas, w jakim przebył on drogę równą 7km km 6 km jest równy 6 v Ponieważ samochód B wyjechał godziny później niż samochód A, więc otrzymujemy równanie 6 v v vv, otrzymujemy Mnożąc obie strony tego równania przez 0 v v vv, 0 0 v v v v, Strona 6 z 7

17 v 8v , 76, 8 8 v 0 lub v 6 Gdy v 0, to v 6, a gdy v 6, to v 8 Odpowiedź: Średnia prędkość samochodu A była równa 0 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 6 km/h, średnia prędkość samochodu A była równa 6 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 8 km/h Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą v średnią prędkość jednego z samochodów, np samochodu A, następnie zapisze w zależności od wprowadzonej zmiennej średnią prędkość samochodu B oraz czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu samochodu B do momentu spotkania z samochodem A: v, 6 v Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą v średnią prędkość jednego z samochodów, np samochodu A, następnie zapisze w zależności od wprowadzonej zmiennej czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B, średnią prędkość samochodu B oraz czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu samochodu B do momentu spotkania z samochodem A: v, v, 6 v Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 6 Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: v v Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający 6 rozwiąże równanie i nie obliczy prędkości samochodu B w każdym v v z dwóch przypadków rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający obliczy średnie prędkości samochodu A i samochodu B w dwóch przypadkach: 0 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 6 km/h to średnia prędkość samochodu B lub 6 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 8 km/h to średnia prędkość samochodu B Strona 7 z 7

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 4 czerwca 2019

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Zadanie 14 15 16 17 18

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A

Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 04 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla piszącego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 6 stron.. W zadaniach od. do

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 7 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 7 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 203 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 017 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI P-1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut Za rozwiązanie wszystkich zadań można uzyskać łącznie 50 punktów BRUDNOPIS Zadanie 1. (1 pkt) ZADANIA ZAMKNIĘTE

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 017 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 strony (zadania 1 34). Ewentualny brak

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 1 sierpnia 018

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 MARCA 2019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena towaru bez podatku

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum)

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum) Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. WPISUJE UCZEŃ KOD PESEL PRZEDMATURALNA DIAGNOZA KSZTAŁTUJĄCA Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 018 (dla klas trzecich liceum

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2

Rozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2 (Kod ucznia).... /50 pkt. (Liczba uzyskanych punktów) Matura próbna z matematyki KLASA III poziom podstawowy Czas trwania 170 minut Liczba punktów do uzyskania - 50 Zadanie 1. (0-1) Liczba jest równa A)

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo