PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
|
|
- Marek Kozak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o.
2 Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie. (0 ) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe.7. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia. Poprawna odpowiedź Zadanie. (0 ).. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach. Zadanie. (0 ).9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe. Zadanie 4. (0 ).6. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. 5.. iągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. Zadanie 5. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.. Liczby rzeczywiste. Zdający: ) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; 4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. Zadanie 6. (0 ).8. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych. z 8
3 Zadanie 7. (0 ). Równania i nierówności. Zdający: ) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności; 5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Zadanie 8. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 4.. Funkcje. Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego. Zadanie 9. (0 ) 4.6. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. Zadanie 0. (0 ) 4.4. Funkcje. Zdający na podstawie wykresu funkcji y = f^xh szkicuje wykresy funkcji y = f^x+ ah, y = f^xh + a, y =-f^xh, y = f^-xh. Zadanie. (0 ) 4. Funkcje. Zdający: 4) na podstawie wykresu funkcji y = f^xh szkicuje wykresy funkcji y = f^x+ ah, y = f^xh + a, y =-f^xh, y = f^-xh; 0) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. 4.. Funkcje. a Zdający szkicuje wykres funkcji fx ^ h = x dla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi..9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe. z 8
4 Zadanie. (0 ) 5.. iągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. 6.. Funkcje. Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym). Zadanie 4. (0 ) 5.. iągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. 6. Trygonometria. Zdający: ) oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną); 4) stosuje proste zależności między funkcjami sin a trygonometrycznymi: sin a+ cos a =, tga = cos a oraz sin^90 - ah = cos a. Zadanie 5. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 6.. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. Zadanie 6. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 6.. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do z 8
5 Zadanie 7. (0 ) 7.. Planimetria. Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. Gimnazjum 0.9. Figury płaskie. Zdający oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. Zadanie 8. (0 ) 7.. Planimetria. Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający oblicza odległość dwóch punktów. Zadanie 9. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami. Zadanie 0. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. 9.. Stereometria. Zdający rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów. 6.. Trygonometria. Zdający oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną). Gimnazjum.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli [...] Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. 5 z 8
6 Zadanie. (0 ) 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych. Zadanie. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. 6 z 8
7 Zadanie 4. (0 ) Wymaganie szczegółowe.5. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Przykładowe rozwiązania I sposób Z warunków zadania fx ^ h gx ^ h otrzymujemy nierówność: x + x+ - x + x + x 0 x^x + 6h 0 Miejsca zerowe: x = 0, x =- 6. Szkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej i na jego podstawie odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności. y x Odpowiedź: fx ^ h gx ^ h dla x! ^-, -6h, ^0, h. II sposób Zauważmy, że fx ^ = ^ h x + 4x+ 4h, czyli fx ^ h= ^x +h, więc wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f ma współrzędne (-, 0). Wyznaczamy punkt przecięcia się wykresów funkcji f(x) i g(x). ^x+ h =- x+ x + x + =- x + x + x = 0 x + 6x = 0 x^x + 6h = 0 czyli x = 0 i x =-6 y = i y = 8 Zatem punkty przecięcia wykresów to (0, ) i (-6, 8). 7 z 8
8 Szkicujemy wykresy obu funkcji i z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności. g f y x Odpowiedź: fx ^ h gx ^ h dla x! ^-, -6h, ^0, h. Schemat oceniania obu sposobów gdy prawidłowo obliczy pierwiastki x = 0, x = -6. albo poprawnie narysuje wykresy funkcji f i g. gdy zapisze zbiór argumentów: x! ^-, -6h, ^0, h. pkt pkt Uwaga Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków x, x (I sposób) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, to otrzymuje punkt. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np. ^-6, -h. Zadanie 5. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe. Równania i nierówności. Zdający: 6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x =- 8; 7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x^x+ h^x- 7h = 0. Przykładowe rozwiązanie Korzystając z własności iloczynu, zapisujemy alternatywę x = 0 lub x - 6 = 0 lub x + 7 = 0 lub x + m = 0. Stąd x = 0, x =, x =-, x4 =- m. Równanie będzie miało dokładnie trzy rozwiązania, gdy pierwiastek x 4 będzie równy jednemu z pozostałych. Wynika stąd, że -m = 0 lub -m = lub -m = -, czyli m! "-0,,,. 8 z 8
9 Schemat oceniania gdy poprawnie wyznaczy pierwiastki równania: x = 0, x =, x =-, x4 =- m. gdy poda wartości m: m! "-0,,,. pkt pkt Zadanie 6. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. Wymagania szczegółowe 4.5. Funkcje. Zdający posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym..9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe. Przykładowe rozwiązanie adamy liczebność populacji po upływie kolejnych lat od momentu rozpoczęcia obserwacji: po upływie roku: p() = ,7 po upływie dwóch lat: p() = ,7 0,7 = (0,7) po upływie trzech lat: p() = (0,7) 0,7 = (0,7) itd. po upływie t lat: p(t) = (0,7) t. Ponadto p() = (0,7) = Odpowiedź: Po upływie trzech lat w jeziorze było 7 50 sztuk zagrożonego gatunku ryb. Schemat oceniania gdy poda właściwy wzór funkcji wyrażającej liczebność populacji po upływie t lat. albo gdy poprawnie obliczy liczbę ryb w jeziorze po upływie trzech lat. pkt pkt gdy poda właściwy wzór funkcji wyrażającej liczebność populacji po upływie t lat i poprawnie obliczy liczbę ryb w jeziorze po upływie trzech lat. Zadanie 7. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b. Gimnazjum 6. Wyrażenia algebraiczne. Zdający: ) opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami; 6) wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias. 9 z 8
10 Przykładowe rozwiązania Zakładamy, że p jest dowolną liczbą pierwszą i p >. adamy wyrażenie p -^p- h = p - p + 4p- 4 = 4^p-h Z założenia wynika, że p jest liczbą nieparzystą (jej jedynymi dzielnikami naturalnymi są oraz p, zatem nie jest podzielna przez ), więc liczba p - jest parzysta i można ją zapisać w postaci n, gdzie n! N. Wynika stąd, że 4^p- h = 8 n! liczba podzielna przez 8, c.n.d. Schemat oceniania gdy przekształci wyrażenie p -^p-h do postaci 4^p - h. gdy poprawnie uzasadni, że liczba 4^p - h jest podzielna przez 8. pkt pkt Zadanie 8. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe 7.. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów. Przykładowe rozwiązania P h S h I sposób Trójkąty S i S są podobne (z cechy kkk) w skali k = =, zatem stosunek ich wysokości jest również równy. Niech P będzie rzutem punktu S na prostą. Zauważmy, że P = h, P = h, czyli = h. Ponadto trójkąty i PS są podobne (z cechy kkk), więc: PS P h = = h =, stąd PS =, c.n.d. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania pkt gdy zauważy, że trójkąty S i S są podobne w skali k =. pkt gdy zauważy, że trójkąty i PS są podobne w skali k = i wywnioskuje stąd, że PS =. 0 z 8
11 II sposób Trójkąty S i S są podobne (z cechy kkk) w skali k = =, zatem stosunek ich wysokości jest również równy. Niech P będzie rzutem punktu S na prostą. Zauważmy, że P = h, P = h, czyli = h. Ponadto pole trójkąta jest sumą pól trójkątów S i S, więc: $ h = $ h + $ h $ PS Stąd = PS. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy zauważy, że trójkąty S i S są podobne w skali k =. gdy zauważy, że pole trójkąta jest sumą pól trójkątów S i S i wywnioskuje stąd, że = PS. pkt pkt Zadanie 9. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający: ) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); ) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. Przykładowe rozwiązania I sposób Zauważmy, że prosta jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty i. Obliczamy y- y współczynnik kierunkowy prostej : a = x x - = =. Z warunku równoległości a = a =. Punkt = ^-, 0h spełnia równanie prostej, więc 0 = $ ^- h + b, stąd b = 6. Ostatecznie prosta ma równanie y = x+ 6. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej : a =. gdy wyznaczy równanie prostej : y = x+ 6. pkt pkt II sposób W sześciokącie foremnym miara kąta jest równa 60, zatem współczynnik kierunkowy prostej wynosi tg 60 =. Równanie prostej przyjmuje zatem postać y = x+ b. z 8
12 Ponieważ punkt leży na tej prostej, możemy obliczyć wartość współczynnika b. 0 = ^- h + b 0 = -6 + b b = 6 Ostatecznie prosta ma równanie y = x+ 6. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej : a =. gdy wyznaczy równanie prostej : y = x+ 6. pkt pkt Zadanie 0. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe 5.4. iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Przykładowe rozwiązania I sposób Zauważmy, że długości boków kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny, w którym a 4 = 8 i q =. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego wynika, że a4 = a$ q, stąd a =. ługość łamanej L = S 0. Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 0 - L = S0 = $ $ - = 069. Odpowiedź: ługość łamanej jest równa 069. II sposób Znamy długość boku czwartego kwadratu a 4 = 8 i wiemy, że każdy następny kwadrat ma długość boku dwa razy większą niż poprzedni, więc potrafimy obliczyć długości boków wszystkich dziesięciu kwadratów: a = 4, a =, a =, a 5 = 6, a 6 =, a 7 = 64, a 8 = 8, a 9 = 56, a 0 = 5. ługość łamanej to suma długości trzech boków każdego kwadratu: L = ( ) = 069. Odpowiedź: ługość łamanej jest równa 069. Schemat oceniania obu sposobów gdy obliczy długość boku pierwszego kwadratu: a =. gdy obliczy długość łamanej: L = 069. pkt pkt z 8
13 Zadanie. (0 4) III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Przykładowe rozwiązania I sposób (model klasyczny) Z reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych X = 5$ 4$ = 60. Niech oznacza zdarzenie polegające na utworzeniu liczby trzycyfrowej podzielnej przez. Liczba jest podzielna przez, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez. Ponadto cyfry w otrzymanej liczbie muszą być różne (losowanie bez zwracania), zdarzeniu sprzyjają zatem wyniki uzyskane z następujących trójek cyfr: {,, }, {,, 6}, {,, 9}, {, 6, 9}. Z każdej trójki cyfr liczbę trzycyfrową można utworzyć na = 6 sposobów, więc z reguły mnożenia obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : = 4 6 = 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest zatem równe 4$ 6 P ^ h = = X 5$ 4$ = 5. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: X = 5 4 = 60. albo zauważy, że liczby sprzyjające zdarzeniu muszą się składać z następujących trójek cyfr: {,, }, {,, 6}, {,, 9}, {, 6, 9}. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zauważy, że liczby sprzyjające zdarzeniu muszą się składać z następujących trójek cyfr: {,, }, {,, 6}, {,, 9}, {, 6, 9}. albo wypisze wyniki sprzyjające zdarzeniu. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : X = 5 4 (lub X = 60), = 4 6 (lub = 4). Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego lub dzisiętnego: P^h = 5. z 8
14 Uwagi. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia X i, to otrzymuje 0 punktów.. jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika jasno, że zdający rozróżnia pojęcia przestrzeni zdarzeń elementarnych oraz zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu (np. pojawi się jedynie zapis 5 4 = 60 albo 4 6 = 4 bez żadnego opisu czy powszechnie używanej symboliki), to otrzymuje 0 punktów. II sposób (metoda drzewa) Losowanie z koszyka kolejno bez zwracania trzech ponumerowanych kul możemy zilustrować za pomocą drzewa. Na rysunku uwzględniamy jedynie gałęzie sprzyjające zdarzeniu Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia : P ^ h = 4 $ 5 $ 4 $ = 5. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwo przynajmniej na jednym odcinku gałęzi odpowiadającej zdarzeniu. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach przynajmniej jednej gałęzi sprzyjającej zdarzeniu. Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego lub dzisiętnego: P^h = 5. 4 z 8
15 Zadanie. (0 4) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający: ) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); ) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 5) wyznacza współrzędne środka odcinka. Przykładowe rozwiązania I sposób y 5 4 S x 7 Ustalamy (np. przez podstawienie współrzędnych punktu ), że prosta y = x+ zawiera przyprostokątną tego trójkąta. Prosta jest prostopadła do prostej i przechodzi przez punkt = (7, -), więc jej równanie ma postać: y = -x + b, zatem = (-) 7 + b, stąd b = 9. Ostatecznie prosta : y = -x + 9. Współrzędne punktu obliczamy, rozwiązując układ zbudowany z równań prostych oraz : 7 y = x+ * y =- x+ 9 Po zastosowaniu metody podstawiania otrzymujemy równanie: 7 x+ =- x x = x = 5 Podstawiamy wyznaczony x np. do pierwszego równania układu: y = $ = 4 x = 5 Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb (, stąd wierzchołek = (5, 4). y = 4 Korzystając ze wzoru na środek odcinka, wyznaczamy współrzędne punktu S będącego środkiem 5 odcinka : S = `, j. Ze wzoru na długość odcinka obliczamy długość środkowej S: S = `7 - j + `- - j = 5 z 8
16 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający wyznaczy równanie prostej : y = -x + 9. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp Zdający obliczy współrzędne wierzchołka = (5, 4). Pokonanie zasadniczych trudności zadania 5 Zdający wyznaczy współrzędne punktu S = `, j środka odcinka. Rozwiązanie pełne 5 0 Zdający obliczy długość środkowej S: S =. pkt pkt pkt 4 pkt II sposób y 5 4 S x 7 Ustalamy (np. przez podstawienie współrzędnych punktu ), że prosta y = x+ zawiera przyprostokątną tego trójkąta. Równanie ogólne tej prostej to: x - y + 7 = 0. Obliczamy długość boku, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej: = d ^, h = + + = 0. 0 Następnie wyznaczamy długość przeciwprostokątnej ze wzoru na długość odcinka: = 0 oraz długość boku z twierdzenia Pitagorasa: = 0. Z definicji środkowej S więc z twierdzenia Pitagorasa S = c m + ^ 0h =. 6 z 8 0 =, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający obliczy długość boku : = 0. albo wyznaczy długość przeciwprostokątnej : = 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy długość boku : = 0 i długość przeciwprostokątnej : = 0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 0 Zdający obliczy długość odcinka S: S =.
17 Rozwiązanie pełne Zdający obliczy długość środkowej S: S 5 0 =. 4 pkt Zadanie. (0 5) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 9.5. Stereometria. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. Gimnazjum.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Przykładowe rozwiązanie O W przekroju otrzymujemy trójkąt ', w którym wysokość O' jest o 4 dłuższa od przekątnej. Przyjmijmy oznaczenie: = d, d > 0. Z informacji o polu przekroju zapisujemy równanie: d dd ^ + 4h = d- 96 = 0. Stąd d =-, d = 8. Ponieważ długość odcinka jest dodatnia, więc = 8, czyli O' =, O = 4. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie O' obliczamy ' wysokość graniastosłupa: l = - 4 = 8. Pole podstawy graniastosłupa: P p = d =. Objętość graniastosłupa: V = $ 8 = 56. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający zaznaczy w graniastosłupie przekrój '. pkt Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zinterpretuje przekrój jako trójkąt o wysokości O' i podstawie oraz zapisze równanie dd ^ + 4h = 48 wynikające ze wzoru na pole trójkąta. 7 z 8
18 Pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający wyznaczy rozwiązania d =-, d = 8 i odrzuci pierwiastek d. pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania 4 pkt Zdający obliczy wysokość graniastosłupa: l = 8 i poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania). Rozwiązanie pełne Zdający poprawnie wyznaczy objętość graniastosłupa: V = pkt Uwaga Jeżeli zdający błędnie zaznaczy przekrój graniastosłupa lub nie zaznaczy go wcale, ale poprawnie obliczy jego objętość, to otrzymuje 4 punkty. 8 z 8
SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM Podstawowy Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp z oo Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6 7 8 0 4 5 6 7 8 0 D
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne
PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas
WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoNowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)
IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoWykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego
Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA
IV etap edukacyjny: liceum, technikum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoI. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoIII. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,
Bardziej szczegółowoZdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoSponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej
MATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi
Bardziej szczegółowo1 wyznacza współrzędne punktów przecięcia prostej danej
Wymagania edukacyjne z matematyki DLA II i III KLASY ZASADNICEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ Gwiazdką * oznaczono te hasła i wymagania, które są rozszerzeniem podstawy programowej. Nauczyciel może je realizować jedynie
Bardziej szczegółowoWymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14
z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie
Bardziej szczegółowo1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza
1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoTomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )
Bardziej szczegółowoPRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań
PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowoProjekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)
Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014
I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki
Bardziej szczegółowoOkręgi i proste na płaszczyźnie
Okręgi i proste na płaszczyźnie 1 Kąt środkowy i pole wycinka koła rozpoznawać kąty środkowe, obliczać kąt środkowy oparty na zadanym łuku, obliczać długość okręgu i łuku okręgu, obliczać pole koła, pierścienia,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 2, ZAKRES PODSTAWOWY
1 Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań na oceny 2 Trygonometria Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 3-4 Trygonometria Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z rozkładem materiału MATEMATYKA ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA
. Liczby rzeczywiste (3 h) Plan wynikowy z rozkładem materiału MATEMATYKA ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Gwiazdką * oznaczono te hasła i wymagania, które są rozszerzeniem podstawy programowej. Nauczyciel może
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
Bardziej szczegółowoOpis założonych osiągnięć ucznia klasy ZSZ (od 2012r.)
Opis założonych osiągnięć ucznia klasy ZSZ (od 2012r.) Zastosowanie przez nauczyciela wcześniej opisanych metod nauczania, form pracy i środków dydaktycznych oraz korzystanie z niniejszego programu nauczania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były
Bardziej szczegółowoZmiany dotyczące egzaminu maturalnego 2015 z matematyki
Zmiany dotyczące egzaminu maturalnego 2015 z matematyki Egzamin maturalny od 2015 r. wieńczy proces wchodzenia w życie podstawy programowej kształcenia ogólnego, którą zaczęto stosować w klasach I liceum
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 014 ( STR MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne zakres podstawowy klasa 3A
Ciągi Pojęcie ciągu. Sposoby opisywania ciągów Monotoniczność ciągów Ciąg arytmetyczny Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Ciąg geometryczny Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Procent
Bardziej szczegółowo1. LICZBY RZECZYWISTE. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli:
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE POZIOM PODSTAWOWY KLASA 1 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA IV etap edukacyjny
MATEMATYKA IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń uŝywa
Bardziej szczegółowoKLASA III LO Poziom podstawowy (wrzesień/październik)
KLASA III LO (wrzesień/październik) ZAKRES PODSTAWOWY. Funkcje. Uczeń: ) określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego; ) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2018/2019 - klasa 3a, 3b, 3c 1, Ciągi
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 2c: wpisy oznaczone jako: (PI) PLANIMETRIA I, (SA) SUMY ALGEBRAICZNE, (FW) FUNKCJE WYMIERNE, (FWL) FUNKCJE
Bardziej szczegółowoEGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 CZĘŚĆ 2. ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ
EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ GM-M7 KWIECIEŃ 2016 Zadanie 1. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 8.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowo83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3
Zakres podstawowy Zakres rozszerzony dział temat godz. dział temat godz,. KLASA 1 (3 godziny tygodniowo) - 90 godzin KLASA 1 (5 godzin tygodniowo) - 150 godzin I Zbiory Zbiory i działania na zbiorach 2
Bardziej szczegółowoRozkład. materiału nauczania
Rozkład materiału nauczania Ramowy rozkład materiału nauczania Matematyka. Poznać, zrozumieć Klasa 1 42 Lp. Klasa 2 Dział Liczba godzin zakres podstawowy Liczba godzin zakres rozszerzony 1. 36 30 2. Funkcja
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające;
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowo