3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania pola. Do metod dokładnch najpowsechniej stosowanch w analiie pól naleŝą: metoda bepośredniego całkowania (dla aleŝności od jednej miennej), metoda rodielania miennch (MRZ), metoda odbić wierciadlanch (MOZ), metoda prekstałceń całkowch (MPC), metoda prekstałceń konforemnch (MPK). Cęść tch metod ostanie omówiona w dalsch rodiałach. Metodami dokładnmi dają się rowiąać bardo nielicne agadnienia polowe, charakterujące się wkle nieskomplikowanm kstałtem obsaru diałania pola (np. prostokąt, koło, kula, walec, prostopadłościan), jednorodnością materiału w obsare diałania pola, specficnmi warunkami bregowmi itp. Warunki te nie są spełnione w ogromnej więksości praktcnch agadnień polowch, dla którch metod dokładnch nie da się astosować, gdŝ po prostu nie wiadomo, jakie operacje matematcne wkonać, ab uskać uŝtecn wnik. Dlatego stosuje się sereg róŝnch metod prbliŝonch. Prkład 3.. Wokół roległej blach panuje harmonicne (tj. sinusoidalnie mienne w casie) pole magnetcne, którego składowa stcna do powierchni blach wnosi H (rs. 3.a). ω H H ka = H µ γ H ka = x ka = x Rs. 3.. Prekrój blach (a) ora pole magnetcne w jej wnętru (b) dla róŝnch wartości k
3. Metod rowiąwania agadnień polowch W tch warunkach dala od bregów blach pole magnetcne aleŝ jednie od współrędnej x-owej, a składowa -owa natęŝenia pola magnetcnego spełnia równanie gdie d H ( x) Γ H ( x) =, (a) dx Γ = jωµγ, Γ = k + jk, k = ωµγ, (b) pr cm j jest jednostką urojoną, ω pulsacją pola H, µ prenikalnością magnetcną blach, γ jej konduktwnością elektrcną. PowŜse równanie jest róŝnickowm równaniem wcajnm drugiego rędu. Jego rowiąanie moŝna łatwo uskać be uciekania się do metod specjalnch. Po uwględnieniu warunków bregowch H ( a) = H (a) = H dostajem coshγx x) = H, (c) coshγa H ( pr cm cosh onaca kosinus hiperbolicn (cosh = (e + e )/). Rokład pola dla róŝnch wartości k obraowano na rs. 3.a i b. Prkład 3.. Pre prostokątną płtkę prepłwa prąd o natęŝeniu I. Płtka ma wmiar a b h, a elektrod dostarcające i odbierające prąd mają wmiar d h i umiescone są smetrcnie na obdwu końcach płtki (rs. 3.a). Konduktwność płtki wnosi γ. W tch warunkach potencjał elektrcn spełnia równanie Laplace a V V + x Metoda rodielania miennch prowadi do wraŝenia na potencjał ora restancję płtki I V x = x + (, ) bhγ d n= =. (a) sinλn d sinhλ x n cosλn, λn = λn coshλna n= nπ b a b sin λnd R = + tanhλ 3 na. (c) bhγ hγ d ( nπ) Prkładow rokład potencjału pokaano na rs. 3.b. (b) a h I b γ d I x b d a Rs. 3.. Płtka prądem (a) ora prkładow rokład pola dla a = b = 4d (b)
3.. Dokładne metod anali pola Prkład 3.3. Równolegle do roległej powierchni ferromagnetcnej o prenikalności wględnej µ r w odległości d od niej umiescono równolegle długi prewód o nikomo małm prekroju poprecnm, wiodąc prąd stał o natęŝeniu I (rs. 3.3a). Metoda odbić wierciadlanch prowadi do następującch wraŝeń opisującch potencjał wektorow pola magnetcnego: A µ I µ r ln + ln π + + x ( d) µ r x + ( + d) ( x, ) = µ I µ r ln dla <. π µ + r x + ( d) dla, Linie pole magnetcnego dla prkładowej wartości µ r pokaano na rs. 3.3b i c. c) (a) d I µ r Rs. 3.3. Metoda odbić wierciadlanch: a) prewód prądem stałm nad powierchnią ferromagnetcną, b) i c) linie pola magnetcnego dla µ r = (b) i µ r = (c), jaśniejse kolor wskaują obsar o duŝej energii pola Prkład 3.4. Na osi uiemionej rur metalowej o promieniu R najduje się ładunek elektrcn q (rs. 3.4a). Metoda prekstałceń całkowch prowadi do następującego wraŝenia na potencjał elektrostatcn wewnątr rur (rs. 3.4b) ( λr) ( λr) + q K V ( r, ) = I( λr) cosλ dλ, (a) 4πε r + π I gdie I (x) ora K (x) są modfikowanmi funkcjami Bessela pierwsego i drugiego rodaju rędu. q R Rs. 3.4. Ładunek punktow w uiemionej rure (a) ora obra pola elektrcnego (b) 3
3. Metod rowiąwania agadnień polowch Prkład 3.5. Dan jest kondensator clindrcn niewspółosiowmi okładinami o promieniach R, R (rs. 3.5a). Osie okładin presunięte są o wartość d, wewnętrna okładina ma potencjał U, a ewnętrna. Metoda prekstałceń konforemnch powala naleźć rokład potencjału międ okładinami (rs. 3.5b) gdie + xx + a = d + R x =, R U x + j Ra ( x, ) = Re ln V (a) ln R ax + ja R ( x x + x x )( x ), d R =, R jak równieŝ pojemność ropatrwanego kondensatora: xx + R = πεε ln R ( x )( x x x ), (b) r C =. (c) ε r R d R Rs. 3.5. Kondensator clindrcn niewspółosiow: a) prekrój, b) obra pola elektrcnego 3.. PrbliŜone metod anali pola 3... Metod analitcne Jednm podstawowch problemów podcas analitcnego rowiąwania agadnień polowch jest wnacenie postaci analitcnej rowiąania. Jak juŝ wŝej wspomniano, nie awse wiadomo, jakie operacje wkonać, ab uskać wraŝenie o uŝtecnej postaci. PrbliŜone metod analitcne omijają ten problem popre pewne ałoŝenia dotcące postaci rowiąania lub sposobu rowiąwania agadnienia. Do metod tego rodaju moŝna alicć m.in.: metodę kolejnch prbliŝeń, metodę Rita, 4
3.. PrbliŜone metod anali pola metodę Treffa, metodę Bubnova-Galerkina. Pierwsa nich polega na polega na sukceswnm najdowaniu prbliŝonch worów wraŝającch rowiąanie cora to więksą dokładnością. W scególnch prpadkach moŝliwe jest naleienie rowiąania dokładnego popre jego odgadnięcie na podstawie ciągu kolejnch prbliŝeń, ale na cęsto poostaje się tlko pr drugim lub trecim prbliŝeniu, które w praktce okauje się wstarcająco dokładne. Tr poostałe metod polegają na prjęciu, Ŝe rowiąanie naleŝ do pewnej klas funkcji awierającej pewne parametr, które następnie wnaca się tak, ab uskać jak najdokładniejse rowiąanie. Jednak i takie podejście jest w wielu prpadkach niewstarcające, gdŝ naleienie funkcji wstarcająco dokładnie prbliŝającej posukiwane rowiąanie jest bardo cęsto praktcnie niewkonalne, własca w prpadku bardiej łoŝonch kstałtów obsaru diałania pola. Poostaje wted korstanie innch metod prbliŝonch. Prkład 3.6. Wróćm do prkładu 3., w którm równanie (a) dla H uskano równań Maxwella. Z uwagi na prjęte tam onacenia i uproscenia równania Maxwella moŝna apisać jako H x które moŝna prekstałcić do = J E, E = γj, = x H dx, H ( x) = jωµh, (a) J ( x) = jωµγ J ( x) dx. (b) Metoda kolejnch prbliŝeń, wana w tm prpadku metodą kolejnch reakcji prądów wirowch, astosowana do tch równań pocątkową wartością H = H prowadi do 4 6 + ( Γx) + ( Γx) + ( Γx) +... H ( x) = H 4 7. (c) 4 6 + ( Γa) + ( Γa) + ( Γa) +... 4 7 Łatwo auwaŝć, Ŝe seregi w licniku i mianowniku są rowinięciami w sereg Talora coshγx ora coshγa, a stąd otrmuje się aleŝność (c) prkładu 3.. JeŜeli nie da się odgadnąć postaci końcowej, to cęsto kilka wraów daje wstarcająco dokładn w praktce wnik (rs. 3.6). Prkład 3.7. Stosując metodę Rita próbnm rowiąaniem prkładu 3. w postaci H 4 4 ( x) = H + C ( a x ) + C ( a ), (a) x dostajem rowiąanie automatcnie spełnione warunki bregowe H (a) = H ( a) = H, pr cm wartości nienanch pocątkowo stałch C i C wnacam minimaliując funkcjonał agadnienia. W efekcie dostajem (rs. 3.6) C 7 Γ a 8 4 = Γ H 4 4, C = Γ H. (b) 4 4 4Γ a + 8Γ a + 63 8 Γ a + 8Γ a + 63 5
3. Metod rowiąwania agadnień polowch Rs. 3.6. RóŜnica międ rowiąaniem uskanch metodą kolejnch prbliŝeń (linia fioletowa, tr wra) i metodą Rita (linia niebieska) a rowiąaniem dokładnm prkładu 3.: a) ka =, b) ka = 3 3... Metod numercne Metod numercne sprowadają rowiąwanie równania róŝnickowego lub całkowego do rowiąwania układu liniowch równań algebraicnch. Rowiąanie generowane pre numercne metod rowiąwania równań ma atem postać bioru licb określającch wartość funkcji pola w wbranch punktach obsaru diałania pola. Powoduje to, Ŝe kaŝda miana parametrów wmiarowch, materiałowch lub źródłowch powoduje koniecność ponownego rowiąwania problemu, gdŝ dla róŝnch wartości parametrów rowiąaniem numercnm będie inn estaw licb. Poostaje to w kontraście do metod analitcnch ra naleione rowiąanie analitcne opisuje awcaj całą klasę rowiąań dla róŝnej sił źródeł pola (np. napięcia), wartości parametrów materiałowch (np. konduktwności obsaru) c wmiarów prestrennch obsaru diałania pola. Zmiana wartości parametru sprowada się atem do podstawienia we wore jogo nowej wartości. Metod numercne pobawione są tej alet, a poa tm awse obarcone są pewnmi błędami wnikającmi astąpienia orginalnego agadnienia jego numercnm odpowiednikiem. Do najcęściej stosowanch metod numercnch naleŝą: metoda elementów skońconch (MES), metoda róŝnic skońconch (MRS), metoda elementów bregowch (MEB), metoda kolokacji (scególn prpadek ogólniejsej metod momentów). Niektóre nich ostaną omówione w dalsej cęści ksiąŝki. Prkład 3.8. Prkład 3. rowiąan metodą róŝnic skońconch dla 6 węłów umiejscowionch równomiernie wdłuŝ grubości prewodu dla k = 3 prowadi do wników pokaanch na rs. 3.7. Ze wględu na smetrię uwględniono jednie prawą połowę obsaru. 6
i x i H i/h MRS 3.. PrbliŜone metod anali pola H dok(x i)/h wór (c) prkładu 3.,,89 j,,98 j,4,,8 j,54,9 j,49 3,4,35 j,44,45 j,48 4,6,5 j,6,9 j,7 5,8,45 j,93,455 j,36 6,,, Rs. 3.7. Metoda róŝnic skońconch rowiąanie prkładu 3. dla ka = 3 i 6 węłów Prkład 3.9. Jak prkład dla MES, rowaŝm obsar o kstałcie pokaanm na rs. 3.8a, któr predstawia pewną płtkę prewodącą warunkami bregowmi. W obsare płtki potencjał elektrcn spełnia dwuwmiarowe równanie Laplace a. Do dolnej krawędi prłoŝono potencjał V, a do górnej krawędi otworu potencjał V. W efekcie popłnie prąd, którego linie wnacone a pomocą MES pokaano na rs. 3.8b. Widocne są na nim równieŝ linie ekwipotencjalne (kolorowe), strałki wskaujące kierunek prepłwu prądu, ich długość jest proporcjonalna do gęstości prądu w danm punkcie. Zanacono takŝe końcow podiał na element skońcone. 5 5,5,5 7,5 D: D: 7,5 5 5,5,5 7,5 7,5 5 5,5,5 D: D: D: D:,5 5 7,5,5 5 7,5,5 5,5 5 7,5,5 5 7,5,5 5 Rs. 3.8. Metoda elementów skońconch: a) obsar warunkami bregowmi, b) linie pola prądu (carne), linie ekwipotencjalne (kolorowe), pole gęstości prądu (strałki), w tle podiał na element skońcone Prkład 3.. PoniŜej amodelowano pole magnetcne wtworone pre cewkę prądem nawiniętą na rdeniu ferromagnetcnm w kstałcie liter C (rs. 3.9a). Potencjał wektorow spełnia tutaj równanie Poissona w obsare cewki ora równanie Laplace a w poostałm obsare. Rowiąanie wgenerowane pre metodę elementów bregowch pokaano na rs. 3.9b. 7
3. Metod rowiąwania agadnień polowch Rs. 3.9. Metoda elementów bregowch: a) geometria agadnienia podiałem na element bregowe i obsarowe, b) linie pola magnetcnego naniesionm podiałem Prkład 3.. Z powodu indukcji elektromagnetcnej prąd nie płnie całm prekrojem poprecnm prewodu równomiernie, lec jest wpieran na ewnątr. Jest to tw. efekt wpierania. Gęstość prądu w prpadku długiego prostoliniowego prewodnika ma tlko składową wdłuŝną, dla której moŝna ułoŝć równanie całkowe o postaci U J (, ) j (, )ln d d x + k J x x + γ π ( x x ) + ( ) l Ω =, (a) gdie J (x, ) jest gęstością prądu w punkcie (x, ), k = ωµγ/, ω pulsacja prądu, µ prenikalność magnetcna prewodu, γ konduktwność prewodu, U napięcie na odcinku o długości l. PowŜse równanie moŝna rowiąać m.in. metodą kolokacji. Wkres pokaane na rs. 3. predstawiają moduł wględnej gęstości prądu ora presunięcie faowe wględem całkowitego natęŝenia prądu płnącego w prewodie o prekroju kwadratowm dla pewnej cęstotliwości. Rs. 3.. Rokład modułu (a) i fa (b) gęstości prądu w prewodie o prekroju kwadratowm wiodącm prąd sinusoidalnie mienn dla ka = 5, gdie a bok kwadratu; wniki uskane metodą kolokacji, anacono dskretację 8
3..3. Metod analogowe 3.. PrbliŜone metod anali pola Metod numercne wmagają na ogół ułoŝenia układu równań i jego rowiąania. Problem w tm, Ŝe są to bardo duŝe układ równań, w którch licba niewiadomch to cęsto kilkaset, kilka tsięc, a nawet setki tsięc. Jest jasne, Ŝe tak ogromne układ równań mogą bć rowiąane tlko pre odpowiednio sbkie komputer, a i to wmaga niera długotrwałch obliceń. Wad tej moŝna uniknąć w metodach analogowch. Polegają one na astąpieniu orginalnego równania układem równań dskretnch, dla którch buduje się następnie schemat blokow operacji analogowch (tj. niecfrowch). Schemat ten realiuje się następnie popre budowanie odpowiedniego układu elektronicnego, mechanicnego lub popre smulowanie na komputere. Prkładem moŝe bć modelowanie linii długiej a pomocą cwórników. Niektóre metod analogowch wkorstują analogie pomięd róŝnmi jawiskami, np. prepłwem prądu stałego i nieturbulentnm prepłwem nieściśliwej ciec. Wted rowiąwanie orginalnego problemu astępuje się rowiąwaniem innego, opisanego analogicnmi równaniami, lec prostsego w realiacji pomiarowej. Do metod tego rodaju naleŝą metod modelowania pól a pomocą siatek restorów, tkanin prewodącch lub wanien elektrolitcnch. Prkład 3.. Ropatrm równanie Laplace a V V + x =. (a) Metoda róŝnic skońconch dla równomiernej siatki węłów (rs. 3.a) prowadi do postaci dskretnej tego równania 4 i, j i, j i+, j i, j i, j+ = V V V V V. (b) Identcne równanie dostaniem dla węła na precięciu i-tej kolumn i j-tego wiersa prostokątnej sieci restorów (rs. 3.b). Onaca to, Ŝe dskretna postać równania Laplace a moŝe bć rowiąwana analogowo a pomocą siatki restorów. j=j i i, j+ i, j+ i, j i, j i+, j i, j i, j i+, j j j= h h i, j j= i= i= i=i i, j R R Rs. 3.. Siatkowe modelowanie pól: a) siatka MRS dla obsaru dwuwmiarowego, b) fragment siatki restorów modelującej agadnienia opisane równaniem Laplace a (wróŝniono jeden węłów wra jego sąsiadami wstępującmi w równaniu (b)) 9
3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3..4. Metod hbrdowe Istnieją agadnienia, wkle bardiej łoŝone, które trudno jest rowiąać wŝej omówionmi metodami. Wted stosuje się metod hbrdowe (miesane), tn. w pewnej cęści obsaru diałania pola stosuje się jedną metodę, np. MES, a w poostałej cęści inna metodę, np. MEB lub MRZ. Do najcęściej stosowanch metod hbrdowch naleŝą: MES + MEB, MES + MRZ. Prkład 3.3. Dwuwarstwowa brła (tutaj kula) dielektrcna (rs. 3.a) najduje się w ewnętrnm równomiernm polu elektrcnm. Jest to tw. agadnienie bregiem otwartm, tn. obsar diałania rociąga się teoretcnie do nieskońconości. W prpadku brł o dowolnm kstałcie nie da się astosować metod analitcnej, więc poostają metod prbliŝone numercne. Zastosowanie tw. metod obsarowch (np. MES lub MRS) jest utrudnione e wględu na nieogranicon obsar diała pola. Dobre nadawałab się MEB, ale utrudnia to niejednorodność brł (dwie warstw o róŝnch właściwościach elektrcnch). Zatem sensowne jest astosowanie MES dla obsaru brł i MEB dla obsaru ewnętrnego. Rsunki 3.a i b pokaują obra pola w wbranch prekrojach brł. -4 - -84-56 -8 8 56 84 4 - -8-6 -4 - x 4 6 8 4-4 - -6-8 - 4 8 6 - -4-6 -8-6 8-5 -5 - -75-5 -5 x 5 5 75 5 5-5 -5-75 - -5-5 5-5 -5-75 - -5-5 55 75 5 5 5 5 75 5 Rs. 3.. Prkładowe agadnienie rowiąwane hbrdową metodą MES/MEB: a) geometria obsaru (róŝne kolor odpowiadają róŝnm właściwościom elektrcnm brł), anacono podiał na element skońcone (cworościan) ora bregowe (trójkąt) ora do celu wiualiacjnch usunięto cęść brł w celu uwidocnienia wewnętrnej struktur brł, b) wkres kombinowan obrau pola: kontur ekwipotencjalne, natęŝenie pola elektrcnego (strałki), połowa brł usunięta wiualiacji 3..5. Zastosowanie procesu iteracjnego Proces iteracjn polega na sukceswnm poprawianiu uskanego wceśniej rowiąania, pr cm poprawianie to odbwa się pre powtaranie procesu rowiąwania jedną wceśniej omówionch metod, wkle jednej metod numercnch. Ogóln schemat metod iteracjnej jest pokaan na rs. 3.3.
3.. PrbliŜone metod anali pola START Znajdź rowiąanie startowe Znajdź kolejne prbliŝenie C dokładność wstarcająca? N C wkonano maks. licbę iteracji? N T T STOP Rs. 3.3. Schemat procesu iteracjnego Wnika niego, Ŝe najpierw prjmuje się pewne rowiąanie startowe, które później poprawia się sukceswnie aŝ do uskania wmaganej dokładności lub teŝ po wkonaniu gór adanej licb iteracji. Proces iteracjn moŝe dotcć róŝnch metod i agadnień, np.: wnacania kolejnego prbliŝenia rowiąania analitcnego w metodie kolejnch prbliŝeń, wnacania kolejnego prbliŝenia rowiąania równania lub układu równań w metodie numercnej, wnacania kolejnego prbliŝenia rowiąania numercnego agadnienia nieliniowego. Prkład 3.4. Dla ilustrowania procesu iteracjnego rowaŝm następując równanie x = cos x. Rowiąania tego równania nie da wraić się w postaci skońconej. Jest to tw. równanie prestępne. Z rs. 3.4 wnika, Ŝe rowiąanie istnieje i najduje się w prediale [, ]. Prjmując atem pewne x (), moŝem wnacć x () = cosx (). Ogólnie, w k-tej iteracji mam x (k) = cosx (k ). W ten sposób otrmujem ciąg kolejnch prbliŝeń rowiąania, któr w pewnch warunkach jest bieŝn do rowiąania dokładnego. k x (k),543 3,857533 4,6549 5,79348 37,73985 Dokładne rowiąanie (do 6 cfr),73985 Rs. 3.4. Ilustracja iteracjnego rowiąwania równania nieliniowego x = cosx.
3. Metod rowiąwania agadnień polowch Z powŝsego prkładu wnika, Ŝe kolejne prbliŝenie rowiąania wnaca się na podstawie popredniego, co moŝna dość ogólnie apisać jako ( k ) ( k ) x = f ( x ), (3.) gdie k onaca numer iteracji, a f jest prekstałceniem wnacającm nową wartość rowiąania na podstawie popredniej. W ostatnim prkładie prekstałcenie f bło opisane funkcją kosinus. Proces taki moŝe bć dość wolno bieŝn, jak to bło widać w prkładie. MoŜna go prspiesć, stosując tw. metodę relaksacji, w której k-te prbliŝenie wnaca się jako gdie x jest poprawką równą x ( k ) = x ( k ) + x, (3.) ( k ) ( k ) x = ω[ f ( x ) x ]. (3.3) Parametr ω nosi nawę współcnnika relaksacji i aleŝnie od agadnienia prjmuje wartości prediału (, ). Najwięks kłopot polega na tm, Ŝe wartość ω dobiera się wkle ekspermentalnie dla danego agadnienia. Jednak dla wielu tpów agadnień wartość ta jest nana. Jako krterium uskania wmaganej dokładności moŝna prjąć max dla miennej skalarnej ora jego odpowiednik ( k) x δ x (3.4) x j δ j max j ( k ) j ( x ) (3.5) dla miennej wektorowej, pr cm δ max jest maksmalnm dopuscalnm błędem wględnm, np. δ max = 5. Prkład 3.5. W ostatnim prkładie mieliśm do cnienia osclacjnm procesem iteracjnm (tn. kolejne prbliŝenia osclował wokół rowiąania dokładnego). Rowiąanie dokładnością do 6 cfr otrmaliśm dopiero po 37 iteracjach. Prjmując ω =,8 otrmam Ŝądaną dokładność juŝ po 4 iteracjach, dla ω =,6 po 6 iteracjach: ;.6;,735;,73998;,73985;,73985. Nieodpowiednie wartości ω mogą wdłuŝć proces bieŝności (np. dla ω =, potreba 8 iteracji) lub spowodować robieŝność procesu iteracjnego (np. ω =,3). 3.3. Metod rowiąwania agadnień odwrotnch Rowiąwania agadnienia odwrotnego polega wkle na minimaliacji pewnej funkcji, wanej funkcją celu. Minimaliacja ta odbwa się cęsto w ten sposób, Ŝe prjmuje się pewne rowiąanie wstępne, a następnie metodą iteracji
3.3. Metod rowiąwania agadnień odwrotnch poprawia się je, pr cm poprawianie to odbwać się moŝe na róŝne sposob, które moŝna ogólnie podielić na deterministcne ora stochastcne. 3.3.. Metod deterministcne Do metod deterministcnch naleŝą m.in.: metoda najwięksego spadku, metoda gradientów spręŝonch, metoda Newtona i jej odmian (metod quasi-newtonowskie). Metod deterministcne posukują minimum lokalnego funkcji celu w analiowanm prediale mienności posukiwanch parametrów. JeŜeli funkcja celu jest wpukła, to minimum lokalne jest równieŝ minimum globalnm i metod deterministcne diałają dobre. W prpadku funkcji celu o wielu minimach lokalnch astosowanie metod deterministcnch moŝe doprowadić do jednego minimów, które niekoniecnie będie minimum globalnm. Pomaga tutaj odpowiedni dobór pocątkowej postaci rowiąania, pr którm nieodowna jest duŝa wieda i doświadcenie inŝniera. 3.3.. Metod stochastcne Metod deterministcne cechują się na ogół stosunkowo duŝą łoŝonością matematcną i mogą łatwo doprowadić do utknięcia w minimum lokalnm. Wad tch nie mają metod stochastcne, do którch naleŝą: metoda Monte Carlo, metoda algortmów genetcnch, metoda smulowanego wŝarania. O ile w metodach deterministcnch kolejne prbliŝenie rowiąania wnacane jest w ścisłm powiąaniu dotchcasowo uskanm rowiąaniem, o tle metodach stochastcnch kolejne prbliŝenie wnaca się na drode pewnej losowości. Dięki temu istnieje moŝliwość wrwania się minimum lokalnego, lec uskanie wstarcająco dokładnego rowiąania okupione jest na ogół bardo duŝą licbą iteracji. Iteracje te są jednak stosunkowo proste, a dodatkowo metod stochastcne nie wmagają ciągłości ani róŝnickowalności funkcji celu, jak ma to miejsce w prpadku metod deterministcnch. 3.3.3. Metod hbrdowe Metod deterministcne wmagają na ogół nacnie mniejsej licb iteracji niŝ metod stochastcne, ale mają tę wadę, Ŝe mogą prowadić do minimum lokalnego, a nie globalnego. Metod stochastcne są nacnie wolniej bieŝne, ale powalają na ucieckę minimum lokalnego. Dlatego celowe jest połącenie obdwu metod. Zawcaj w pierwsej faie stosuje się metodę stochastcną w celu lokaliowania okolic minimum globalnego, a kied efektwność metod 3
3. Metod rowiąwania agadnień polowch stochastcnej spada, co objawia się bardo powolną bieŝnością, prechodi się do astosowania metod deterministcnej, która sbko daje dokładne połoŝenie minimum. Do scególnie chętnie stosowanch metod naleŝą: metoda smulowanego wŝarania i metoda spręŝonch gradientów, metoda algortmów genetcnch i jedna metod deterministcnch. 3.3.4. Metoda pochodnej materiałowej Metoda pochodnej materiałowej stosowana jest do projektowania kstałtu obsaru. Polega ona na prjęciu pewnego wjściowego kstałtu i prekstałcenia mieniającego ten kstałt wra upłwem casu. Następnie sukam takiego casu, w którm funkcja celu osiągnie minimum. Powala to naleźć kstałt optmaln wśród tch, które dopusca prjęte prekstałcenie. 3.3.5. Wkorstanie sieci neuronowch Stucne sieci neuronowe to struktur budowane na wór sieci neuronowch mógu, jednak o nacnie mniejsej łoŝoności. Tpowa sieć składa się pewnej licb wejść, na które podaje się dane wejściowe, ora pewnej licb wjść, którch odctuje się sgnał interpretowane jako wniki obliceń. Pomięd wejściami a wjściami najduje się sereg neuronów ułoŝonch wkle w warstw. Stucne sieci neuronowe stosuje się do rowiąwania róŝnego rodaju adań, w tm odwrotnch agadnień polowch. W pierwsej faie sieć naleŝ naucć poprawnego podawania wników dla nanch prpadków, co polega na podawaniu na wejścia danch, odctwaniu wników wjść i porównwaniu ich wnikami poprawnmi, a następnie korgowaniu tw. wag neuronów (pewnch parametrów determinującch ich diałanie). Proces ten powtara się iteracjnie i końc, gd wniki otrmwane wjść są stosunkowo poprawne. W dalsm etapie na wejścia moŝna podać dane, dla którch rowiąanie nie jest nane, a wniki odctane wjść traktuje się jako rowiąanie agadnienia. Zaletą takiego postępowania jest sbkość uskania rowiąania, jeŝeli dsponujem juŝ naucona siecią. Podstawową wadą jest to, Ŝe nie ma Ŝadnego dowodu na poprawność wników dawanch pre sieci. Z praktki wiadomo, Ŝe sieci tego rodaju diałają dobre dla danch wejściowch podobnch do tch, na którch sieć ucono. Dla danch nacnie odbiegającch od tego worca wniki generowane pre sieć mogą (choć nie musą) bć całkowicie absurdalne. 4