Materia wiczeiowy z matematyki Marzec Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych POZIOM PODSTWOWY
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Klucz puktowaia do zada zamkitych Nr zad 3 6 7 8 9 3 6 7 8 9 Odp. D C D C C D C C D Zadaie. ( pkt) Rozwi ierówo Schemat oceiaia do zada otwartych 3 3 36. Rozwizaie Rozwizaie ierówoci kwadratowej skada si z dwóch etapów. Pierwszy etap moe by realizoway a sposoby: I sposób rozwizaia (realizacja pierwszego etapu) Zajdujemy pierwiastki trójmiau kwadratowego 3 3 36 obliczamy wyróik tego trójmiau: 3 3 9 3 i std, 3 6 6 stosujemy wzory Viète a: oraz i std oraz 3 podajemy je bezporedio (eplicite lub zapisujc posta iloczyow trójmiau lub zazaczajc a wykresie), 3 lub 3 3 lub y 3
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec II sposób rozwizaia (realizacja pierwszego etapu) Wyzaczamy posta kaoicz trójmiau kwadratowego 7 3 a astpie przeksztacamy ierówo, tak by jej lewa stroa bya zapisaa w postaci iloczyowej 9 3 7 7 3 3 3 Drugi etap rozwizaia: Podajemy zbiór rozwiza ierówoci 3,. Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwizaia i a tym poprzestaie lub bdie zapisze zbiór rozwiza ierówoci, p. o obliczy lub poda pierwiastki trójmiau kwadratowego, 3 i a tym poprzestaie lub bdie zapisze zbiór rozwiza ierówoci o zazaczy a wykresie miejsca zerowe fukcji f 3 3 36 i a tym poprzestaie lub bdie zapisze zbiór rozwiza ierówoci 3 3 i a o rozoy trójmia kwadratowy a czyiki liiowe, p. tym poprzestaie lub bdie rozwie ierówo realizujc pierwszy etap, popei bd (ale otrzyma dwa róe pierwiastki) i kosekwetie do tego rozwie ierówo, p. o popei bd rachukowy przy obliczaiu wyróika lub pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popeioego bdu rozwie ierówo o bdie zapisze rówaia wyikajce ze wzorów Viète a: i i kosekwetie do tego rozwie ierówo Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiza ierówoci : 3, lub 3, lub 3 sporzdzi ilustracj geometrycz (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiza ierówoci w postaci 3, 3
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec poda zbiór rozwiza ierówoci w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi kocami przedziaów 3 Uwagi. Jeeli zdajcy poprawie obliczy pierwiastki trójmiau 3 i i zapisze 3,, popeiajc tym samym bd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwizaie otrzymuje pukty.. Jeeli bd zdajcego w obliczeiu pierwiastków trójmiau ie wyika z wykoywaych przez iego czyoci (zdajcy rozwizuje swoje zadaie ), to otrzymuje puktów za cae zadaie. Zadaie 3. ( pkt) Fukcja f jest okreloa wzorem Oblicz wspóczyik b. f b 9 dla 9. Poadto wiemy, e f. Rozwizaie Waruek f zapisujemy w postaci rówaia z iewiadom b: Rozwizujemy to rówaie i obliczamy wspóczyik b: b 3. Schemat oceiaia b. 9 Zdajcy otrzymuje... pkt b gdy poprawie zapisze rówaie z iewiadom b, p.. 9 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy wspóczyik b 3.
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie. ( pkt) Podstawy trapezu prostoktego maj dugoci 6 i oraz tages kta ostrego jest rówy 3. Oblicz pole tego trapezu. Rozwizaie 6 h 6 Obliczamy wysoko trapezu h, korzystajc z faktu, e tages kta ostrego jest rówy 3: h 3, std h. Zatem pole trapezu jest rówe 6 96. Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: obliczy wysoko trapezu h i a tym poprzestaie lub bdie obliczy pole obliczy wysoko trapezu z bdem rachukowym i kosekwetie do popeioego bdu obliczy pole trapezu. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy pole trapezu P 96. Zadaie. ( pkt) Trójkt C przedstawioy a poiszym rysuku jest rówoboczy, a pukty, C, N s wspóliiowe. Na boku C wybrao pukt M tak, e M CN. Wyka, e M MN. N C M
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec I sposób rozwizaia N C M D Rysujemy odciek MD rówolegy do odcika. Uzasadiamy, e trójkty DM i MCN s przystajce a podstawie cechy bkb: D CN, bo D M MD CM DM Zatem M, bo trójkt MDC jest rówoboczy MN. NCM Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy apisze, e trójkty DM i MCN s przystajce i wyprowadzi std wiosek, e M MN. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, e trójkty DM i MCN s przystajce i wyprowadzi std wiosek, e M MN. Uwaga Zdajcy moe te dorysowa odciek MD C i aalogiczie pokaza, e trójkty MD i MNC s przystajce. II sposób rozwizaia Z twierdzeia cosiusów dla trójkta M obliczamy M M M cos 6 M M M M. M : 6
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Z twierdzeia cosiusów dla trójkta MCN obliczamy MN MC CN MC CN cos MC CN MC CN MC CN MC CN Poiewa M CN i MC M, wic MN M M M M MN : M M M M M Zatem M MN, czyli M MN. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia M M. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy korzystajc z twierdzeia cosiusów, obliczy kwadraty dugoci odcików M i MN. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, e M MN. Zadaie 6. ( pkt) Liczby 6,, s odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejcego cigu geometryczego. Oblicz pity wyraz tego cigu. I sposób rozwizaia Korzystajc ze wzoru a trzeci wyraz cigu geometryczego obliczamy q iloraz cigu: 6 q q 6 q lub q. Poiewa cig jest malejcy, to Obliczamy koleje wyrazy cigu: q. 6,6,,,, zatem pity wyraz cigu jest rówy. II sposób rozwizaia Z wasoci cigu geometryczego wyika, e 6. Std 6, czyli 6 lub 6. Poiewa cig geometryczy jest malejcy, to 6, a iloraz tego cigu q jest rówy. Obliczamy koleje wyrazy cigu: 6,6,,,, zatem pity wyraz cigu jest rówy. Uwaga Zdajcy moe obliczy pity wyraz cigu korzystajc ze wzoru: 3 6. 7
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy iloraz cigu: q. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy pity wyraz cigu: Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, e dla kadej dodatiej liczby cakowitej liczba wielokrotoci liczby. 3 3 jest Rozwizaie Liczb 3 3 przedstawiamy w postaci 3 3 93 3 3 9 3 3, gdzie k k jest liczb cakowit. 3 Zatem liczba 3 3 Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze liczb 3 3 w postaci 3 i ie uzasadi, e liczba jest podziela przez. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie, p.: przeksztaci liczb 3 3 k, gdzie k 3 jest liczb cakowit przeksztaci liczb 3 do postaci do postaci 3 i zapisze, e liczb cakowit zapisze liczb w postaci 3 i uzasadi, e jest podziela przez. Uwaga Jeli zdajcy zapisuje kolejo: 3 3 3 3 3 3 3 i uzasadia, e 3 jest liczb podziel przez, to otrzymuje pukty. 3 jest 8
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey 6 3 Liczba ucziów 6 9 Oblicz redi arytmetycz i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce. Rozwizaie Obliczamy redi arytmetycz oce uzyskaych przez ucziów klasy III: 6 6 3 9 7 3. Obliczamy kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: 6 3 3 6 3 3 3 9 3 3 9 6 9 9 8 6 9 8,6 Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy redi arytmetycz oce uzyskaych przez ucziów klasy III i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy lub obliczy redi arytmetycz oce uzyskaych przez ucziów klasy III z bdem rachukowym i kosekwetie do tego obliczy kwadrat odchyleia stadardowego. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy redi arytmetycz i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: odpowiedio 3 i,6. Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetrycz szecie kostk do gry. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzeia polegajcego a tym, e liczba oczek w drugim rzucie jest o wiksza od liczby oczek w pierwszym rzucie. I sposób rozwizaia jest zbiorem wszystkich par a, b takich, e a, b,,3,,,6 w którym 36. Zdarzeiu sprzyjaj astpujce zdarzeia elemetare:,,,3, 3,,,,,6 Zatem i std P 36.. Mamy model klasyczy, 9
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze, e 36 i,,,3, 3,,,,,6. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobiestwa zdarzeia : P. 36 II sposób rozwizaia: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istote dla rozwizaia zadaia gazie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobiestwa tylko a tych gaziach. 6 6 6 6 6 3 6 6 6 6 6 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzeia : P. 6 6 36 Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy arysuje drzewo, zapisze prawdopodobiestwa a jego gaziach i wskae a drzewie waciwe gazie (p. pogrubieie gazi lub zapisaie prawdopodobiestw tylko a istotych gaziach) arysuje drzewo, zapisze prawdopodobiestwa a jego gaziach i ie wskazuje a drzewie odpowiedich gazi, ale z dalszych oblicze moa wywioskowa, e wybiera waciwe gazie. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobiestwa zdarzeia : P. 36
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec III sposób rozwizaia: metoda tabeli Rysujemy tabel i wybieramy zdarzeia elemetare sprzyjajce zdarzeiu. II kostka 3 6 X X I kostka 3 X X X 6 36 i, zatem P. 36 Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy arysuje tabel i wypisze wszystkie zdarzeia sprzyjajce lub zazaczy je w tabeli. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poda popraw odpowied: P. 36
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie 3. ( pkt) Podstaw ostrosupa CDS jest romb CD o boku dugoci. Kt C rombu ma miar oraz S CS i S DS. Oblicz sius kta achyleia krawdzi S do paszczyzy podstawy ostrosupa. I sposób rozwizaia S b D h c C D O a f e O C a a a Wprowadmy ozaczeia: a dugo boku rombu e, f dugoci przektych rombu h wysoko ostrosupa b S CS c S DS. Obliczamy dugoci przektych podstawy. Poiewa C, to trójkt D jest rówoboczy. Zatem mamy: f a 3 e D a i OC, f std e, 3. Korzystajc z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie OS, obliczamy wysoko ostrosupa: h f b 3 88 h 88 Obliczamy dugo krawdzi boczej S: e c h 88 c 9 3
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Obliczamy sius kta achyleia krawdzi boczej S ostrosupa do paszczyzy podstawy: h 6 si c 3 3 3 si,978. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... pkt e Obliczeie dugoci przektych podstawy ostrosupa: e i f 3 (lub f i 3 ). Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie wysokoci ostrosupa h. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie dugoci krótszej krawdzi boczej ostrosupa: c 3. Rozwizaie pee... pkt Obliczeie si. 3 II sposób rozwizaia S b D h c C D O a f e O C a a a Wprowadmy ozaczeia: a dugo boku rombu e, f dugoci przektych rombu h wysoko ostrosupa b S CS c S DS. 3
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Obliczamy dugoci przektych podstawy. Poiewa C, to trójkt D jest rówoboczy. Zatem mamy: a 3 e D a i f OC, std e, f 3. Korzystajc z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie OS, obliczamy wysoko ostrosupa: f h b h. h 3 88, std 88 Obliczamy tages kta achyleia krótszej krawdzi boczej ostrosupa do paszczyzy podstawy: h tg e Obliczamy si korzystajc z tosamoci trygoometryczych: si si tg cos si si si si si 3si, zatemsi. 3 Uwaga Jeeli zdajcy, korzystajc z przyblioej wartoci tagesa kta ( tg,69 ), odczyta miar kta 78 i astpie zapisze si si 78,978, to za takie rozwizaie otrzymuje pukty. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... pkt Obliczeie dugoci przektych podstawy ostrosupa: e i f 3 e f (lub i 3 ). Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie wysokoci ostrosupa: h. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia...3 pkt Obliczeie tagesa kta achyleia krótszej krawdzi boczej ostrosupa do paszczyzy podstawy tg. Rozwizaie pee... pkt Obliczeie si si si 78,978. 3
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie 3. ( pkt) Wyzacz rówaie okrgu przechodzcego przez pukt ukadu wspórzdych. Rozwa wszystkie przypadki. Rozwizaie y, i styczego do obu osi S, R R S r, r, Poiewa okrg jest styczy do obu osi ukadu wspórzdych i przechodzi przez pukt, lecy w I wiartce ukadu wspórzdych, to jego rodek rówie ley w I wiartce ukadu wspórzdych. Std rodek S tego okrgu ma wspórzde S r, r gdzie r jest promieiem tego okrgu. Rówaie okrgu ma zatem posta r yr r. Pukt, ley a tym okrgu, wic r r r r,. Std otrzymujemy 6r. Rozwizaiami tego rówaia s liczby: r, r. To ozacza, e s dwa okrgi speiajce waruki zadaia o rówaiach y i y. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Zapisaie wspórzdych rodka S szukaego okrgu w zaleoci od promieia r tego okrgu: S r, r lub zapisaie, e rodek okrgu ley a prostej o rówaiu y. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... pkt Zapisaie rówaia kwadratowego z jed iewiadom: r r r czyli r 6r. Rozwizaie zadaia do koca lecz z usterkami, które jedak ie przekrelaj poprawoci rozwizaia (p. bdy rachukowe)... 3 pkt Zadaie rozwizae do koca, ale w trakcie rozwizaia popeiao bdy rachukowe.
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Rozwizaie pee... pkt Zapisaie rówa obu okrgów: w postaci kaoiczej: y i y lub w postaci ogólej: i y y. y y Uwagi. Jeeli zdajcy zapisze rówaie jedego okrgu (ie wyprowadzajc go), to otrzymuje pukt.. Jeeli zdajcy zapisze rówaia obu okrgów (ie wyprowadzajc ich), to otrzymuje pukty. Zadaie 3. ( pkt) Z dwóch miast i, odlegych od siebie o 8 kilometrów, wyruszyli aprzeciw siebie dwaj turyci. Pierwszy turysta wyszed z miasta o jed godzi wczeiej i drugi z miasta. Oblicz prdko, z jak szed kady turysta, jeeli wiadomo, e po spotkaiu pierwszy turysta szed do miasta jeszcze, godziy, drugi za szed jeszcze godziy do miasta. Uwaga W poiej zamieszczoym schemacie uywamy iewiadomych v, v,, t ozaczajcych odpowiedio: prdko turysty z miasta, prdko turysty z miasta oraz drog i czas do mometu spotkaia. Oczywicie iewiadome mog by ozaczae w iy sposób. Nie wymagamy, by iewiadome byy wyraie opisae a pocztku rozwizaia, o ile z postaci rówa jaso wyika ich zaczeie. Rozwizaie Przyjmujemy ozaczeia, p.: v, v,, t prdko turysty z miasta, prdko turysty z miasta oraz droga i czas do mometu spotkaia. Zapisujemy zaleo midzy drog, prdkoci v i czasem t dla jedego z turystów, p.: 8 v (prdko do chwili spotkaia) i v (prdko od chwili spotkaia). t, Zapisujemy zaleo midzy drog, prdkoci v i czasem t dla drugiego z turysty (wychodzcego z miasta ), p.: (prdko od chwili spotkaia). v 8 (prdko do chwili spotkaia), t v Zapisujemy zaleo midzy drog a czasem w sytuacji opisaej w zadaiu za pomoc 8 ukadu rówa t, 8 t 6
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Rozwizujc ukad rówa, doprowadzamy do rówaia z jed iewiadom, p.: Rozwizujemy rówaia otrzymujc kolejo: Z drugiego rówaia wyzaczamy 7 t i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 7, 8 t t t 8 7t 7 8t8 t t t moymy obustroie przez t 88t t 8 t 7t 7 8t 8t8 dzielimy obustroie przez 8 t t 6 t 3 t t jest sprzecze z warukami zadaia 7 7 obliczamy, t 6 a astpie prdko z jak szed kady z turystów, p: v km/h t 3 8 6 v 3km/h t Z pierwszego rówaia wyzaczamy 8t 8 t, i wstawiamy do drugiego rówaia 8t8 8t8 t 8 t, t, 8 t 8 t 7 7 7 t t, t, moymy obustroie przez t, t t t t 8 8 7, 7 7 8t 8t8 dzielimy obustroie przez 8 Z drugiego rówaia wyzaczamy t 7 t i wstawiamy do pierwszego rówaia 7, 8 87, 8 7 87, 3 moymy obustroie przez, 96 7 3, 696 dzielimy obustroie przez, 8 86 76 36 6 8 6 8 6 7 jest sprzecze z warukami zadaia 7 obliczamy t, a astpie prdko z jak szed kady z turystów, p.: 8 6 v km/h,, v 3km/h Z pierwszego rówaia wyzaczamy t,8 t 8 i wstawiamy do drugiego rówaia,8 8 8 moymy obustroie przez 8 3 36, 8 96, 8, 696 dzielimy obustroie przez, 8 86 7
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec t t 6 76 36 6 8 6 t 3 8 6 7 t jest sprzecze z warukami zadaia t jest sprzecze z warukami zadaia 7 obliczamy t, 7 7 obliczamy, t 6 a astpie prdko z jak szed kady a astpie prdko z jak szed kady z turystów, p.: z turystów, p: 8 6 v km/h,, v km/h t 3 v 8 6 3km/h v 3km/h t Zapisujemy odpowied: Turyci szli z prdkociami: v km/h, v 3 km/h. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym postp jest wprawdzie iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... pkt Zapisaie zaleoci midzy prdkoci v, prdkoci v, drog i czasem t dla jedego 8 z turystów, p.: lub 8 lub 8 v t, lub 8 vt. t, t Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Zapisaie ukadu rówa z dwiema iewiadomymi, p.: 8 t, 8 t Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia...3 pkt Zapisaie rówaia z jed iewiadom, p.: 7 7 7, 8 t lub, 8 t t Zdajcy ie musi zapisywa ukadu rówa, moe bezporedio zapisa rówaie z jed iewiadom. Uwaga: Jeeli zdajcy przy pokoywaiu zasadiczych trudoci zadaia popei bdy rachukowe, usterki i a tym zakoczy to otrzymuje pukty. Rozwizaie zadaia do koca lecz z usterkami, które jedak ie przekrelaj poprawoci rozwizaia (p. bdy rachukowe)... pkt rozwizaie rówaia z iewiadom t bezbdie: t h i ie obliczeie prdkoci turystów 8
Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec rozwizaie rówaia z iewiadom bezbdie: i ie obliczeie prdkoci turystów obliczeie t lub z bdem rachukowym i kosekwete obliczeie prdkoci. Rozwizaie pee... pkt v km/h Obliczeie szukaych prdkoci: v 3 km/h 9