Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę kostrukcji liiowego, potęgowego, wykładiczego i logarytmiczego modelu ekoometryczego zależości otowań ołowiu i akcji spółki Orzeł Biały S.A. zajmującej się odzyskiwaiem ołowiu z wyeksploatowaych akumulatorów. Dae do modelu pochodzą z pięciomiesięczego okresu otowań ołowiu a Lodo Metal Exchage i akcji spółki Orzeł Biały S.A. a Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Abstract The preset article describes the attempt to costructio of the liear, power, expoetial ad logarithmic ecoometric models of depedece betwee quotatios of the lead ad the stock of Orzeł Biały S.A., the compay recoverig the lead from exploited accumulators. The data to the model iclude the five-moth period of quotatios of the lead o Lodo Metal Exchage ad the stock of Orzeł Biały S.A. o Warsaw Stock Exchage. 1. Wstęp Celem iiejszej pracy jest testowaie hipotezy o liiowej, ewetualie potęgowej, wykładiczej lub logarytmiczej zależości pomiędzy dwiema zmieymi: giełdowymi otowaiami ołowiu jako zmieą objaśiającą x i kursem akcji spółki Orzeł Biały S.A. (OBL) zajmującej się odzyskiwaiem ołowiu z wyeksploatowaych akumulatorów jako zmieą objaśiaą y. Oszacowaie modelu takiej zależości mogłoby być pomoce w progozowaiu otowań OBL a podstawie przewidywaego tredu ce ołowiu.
172 2. Notowaia Dae użyte w iiejszym opracowaiu pochodzą ze stroy iteretowej [4]. Poiżej przedstawioe jest tabelarycze zestawieie otowań ołowiu a Lodo Metal Exchage (LME) - dostawa za 3 miesiące w USD/t (zmiea x) oraz kurs zamkięcia OBL a Giełdzie Papierów Wartościowych (GPW) w PLN (zmiea w półroczym okresie od połowy listopada 2010 do połowy kwietia 2011. W zestawieiu tym pomiięte są soboty i iedziele, czyli di tygodia, w których obie giełdy są ieczye oraz dodatkowo 01.11.2010, 11.11.2010, 24.12.2010 i 06.01.2011 - di, w których ie była czya GPW. Tabela podaje rówieżśredi kurs NBP dolara względem złotego (zmiea z). Tabela1. Notowaia ołowiu a LME x w USD/t, kurs akcji OBL a GPW y w PLN oraz średi kurs NBP dolara z w PLN/USD (a podstawie [4]) Data x (USD/t) Y (PLN) z (PLN/USD) Data x (USD/t) Y (PLN) z (PLN/USD) 15.11.2010 2445,0 24,3 2,8915 31.01.2011 2475,5 23,8 2,8845 16.11.2010 2405,0 23,5 2,8937 01.02.2011 2533,0 23,5 2,8468 17.11.2010 2237,0 23,2 2,9217 02.02.2011 2537,0 23,0 2,8230 18.11.2010 2335,0 23,4 2,8871 03.02.2011 2580,0 22,5 2,8424 19.11.2010 2272,0 23,5 2,8749 04.02.2011 2573,0 23,4 2,8666 22.11.2010 2255,0 23,4 2,8591 07.02.2011 2585,0 23,7 2,8438 23.11.2010 2169,0 23,0 2,9020 08.02.2011 2527,0 23,5 2,8471 24.11.2010 2223,0 23,0 2,9808 09.02.2011 2545,5 23,9 2,8581 25.11.2010 2250,0 22,8 2,9881 10.02.2011 2485,0 24,9 2,8795 26.11.2010 2290,0 22,5 3,0363 11.02.2011 2509,0 25,4 2,9116 29.11.2010 2278,0 22,5 3,0441 14.02.2011 2627,0 25,4 2,9219 30.11.2010 2225,0 22,9 3,1308 15.02.2011 2649,0 25,1 2,9159 01.12.2010 2283,0 22,0 3,0753 16.02.2011 2619,0 25,6 2,8864 02.12.2010 2318,0 22,3 3,0282 17.02.2011 2582,0 25,7 2,8790 03.12.2010 2355,0 22,5 3,0172 18.02.2011 2619,0 25,7 2,8803 06.12.2010 2337,0 22,6 3,0057 21.02.2011 2665,0 25,0 2,8755 07.12.2010 2427,0 23,2 2,9955 22.02.2011 2571,0 24,8 2,9198 08.12.2010 2380,0 23,9 3,0558 23.02.2011 2548,0 25,6 2,8868 09.12.2010 2393,0 23,9 3,0508 24.02.2011 2480,0 25,7 2,8941 10.12.2010 2415,0 23,9 3,0458 25.02.2011 2501,0 25,7 2,8770 13.12.2010 2435,0 23,5 3,0445 28.02.2011 2528,0 25,9 2,8765 14.12.2010 2454,0 23,6 2,9708 01.03.2011 2560,0 26,5 2,8643 15.12.2010 2404,5 23,5 2,9978 02.03.2011 2525,0 26,5 2,8843
173 16.12.2010 2388,0 23,1 3,0125 03.03.2011 2600,0 27,0 2,8704 17.12.2010 2377,5 23,5 2,9840 04.03.2011 2655,0 27,1 2,8646 20.12.2010 2447,0 23,5 3,0396 07.03.2011 2610,0 27,0 2,8372 21.12.2010 2465,0 23,5 3,0370 08.03.2011 2537,0 27,0 2,8549 22.12.2010 2446,0 23,5 3,0323 09.03.2011 2575,0 26,9 2,8644 23.12.2010 2412,5 23,0 3,0196 10.03.2011 2445,0 25,8 2,8849 27.12.2010 2436,0 23,2 3,0215 11.03.2011 2415,0 25,8 2,9212 28.12.2010 2436,0 23,0 3,0112 14.03.2011 2490,0 25,8 2,8825 29.12.2010 2530,0 23,1 3,0383 15.03.2011 2470,0 25,2 2,9284 30.12.2010 2542,5 23,9 2,9979 16.03.2011 2578,0 25,0 2,9052 31.12.2010 2563,5 23,6 2,9641 17.03.2011 2667,0 25,3 2,9077 03.01.2011 2563,5 24,1 2,9822 18.03.2011 2700,0 26,0 2,8850 04.01.2011 2572,0 24,1 2,9415 21.03.2011 2691,0 26,0 2,8588 05.01.2011 2543,0 23,7 2,9476 22.03.2011 2638,0 25,5 2,8358 07.01.2011 2635,0 24,0 2,9818 23.03.2011 2705,0 25,6 2,8446 10.01.2011 2616,0 23,4 3,0268 24.03.2011 2700,0 25,5 2,8516 11.01.2011 2600,5 23,7 3,0065 25.03.2011 2670,0 25,4 2,8425 12.01.2011 2639,0 24,0 3,9466 28.03.2011 2640,0 25,1 2,8431 13.01.2011 2674,0 24,0 2,9353 29.03.2011 2621,0 24,5 2,8277 14.01.2011 2635,0 24,0 2,9048 30.03.2011 2662,0 24,3 2,8277 17.01.2011 2677,0 23,6 2,9181 31.03.2011 2671,0 24,5 2,8229 18.01.2011 2660,0 23,8 2,8848 01.04.2011 2668,0 24,4 2,8455 19.01.2011 2618,0 23,6 2,8879 04.04.2011 2767,0 24,3 2,8395 20.01.2011 2481,0 23,8 2,8856 05.04.2011 2723,0 24,5 2,8388 21.01.2011 2471,0 23,8 2,8779 06.04.2011 2775,0 24,4 2,7986 24.01.2011 2395,0 23,7 2,8561 07.04.2011 2821,5 24,4 2,7863 25.01.2011 2480,0 23,7 2,8558 08.04.2011 2853,0 24,0 2,7489 26.01.2011 2393,0 23,7 2,8280 11.04.2011 2848,5 24,3 2,7501 27.01.2011 2430,0 23,7 2,8508 12.04.2011 2810,0 23,9 2,7511 28.01.2011 2466,0 24,0 2,8501 3. Liiowy model zależości Hipoteza dodatiej korelacji otowań ołowiu i akcji Orła Białego jest aturala ze względu a przedmiot działalości tej spółki. Nie jest oczywiste, czy związek tych dwóch wielkości jest istoty, gdyż jest jeszcze wiele iych czyików, które mogą wpływać a kurs OBL, a iekoieczie a otowaia ołowiu. Przykłady takich czyików moża zaleźć w prospekcie emisyjym
174 spółki [3] (Dokumet Podsumowujący s. 7, Dokumet Rejestracyjy s. 9-15): kurs dolara, działalość kokurecyjej firmy Baterpol Spółka z o.o., ryzyko powstaia iego przedsiębiorstwa utylizującego akumulatory, straty spowodowae ewetualymi szkodami góriczymi a tereach spółki, duże awarie maszy, ograiczeia dostaw gazu i eergii elektryczej w sytuacjach awaryjych. Dalej spośród ich rozpatrywać będziemy jedyie kurs dolara ze względu a słabą mierzalość i brak daych o iych. Poiżej pokazujemy kostrukcję modelu wspomiaej zależości. Wszystkie obliczeia wykoao za pomocą programu Microsoft Excel. Kostrukcję modelu liiowego zaczyamy od wyzaczeia współczyika korelacji liiowej między zmieymi x i y dla aszej próby ze wzoru (zobacz a przykład [1], s. 481): r i ( ( x x)( y = 1 i i ( x, =. 2 2 x = i i x) ( y i= i 1 1 Dla aszych daych uzyskujemy r ( x, = 0,4837. Wysoka wartość współczyika korelacji dla dużej próby ozacza, że prawdopodobie zmiee x i y są skorelowae w całej populacji otowań, to zaczy, że współczyik korelacji dla populacji ρ jest iezerowy. Moża to zweryfikować stosując test istotości opisay a przykład w [1], s. 482-483. Dla hipotezy zerowej postaci H 0 : ρ = 0 i alteratywej H 0 : ρ 0 test te wykorzystuje statystykę r t = 2 1 r 2 o rozkładzie Studeta z -2 stopiami swobody. Dla = 105 rozkład te moża uzać za rozkład przybliżeiu ormaly. Wartość statystyki testowej wyosi t = 5, 6089, wobec wartość krytyczej 5,3267 a poziomie istotości α =10 7 (uzyskaej z odpowiedich tablic rozkładu ormalego). Możemy zatem uzać, że współczyik korelacji jest istotie iezerowy i przyjąć liiową postać modelu zależości między x i y:
175 y = α x + β + ε, gdzie ε jest składikiem losowym (zobacz a przykład [1], s. 460-462). Ocey a i b parametrów odpowiedio α i β są wyliczae metodą ajmiejszych kwadratów, to zaczy tak, by miimalizowały wartość wyrażeia 2 ( ˆ ) i = y 1 i yi, gdzie (y i )są wartościami rzeczywistymi, a ( y ˆi = α xi + β ) teoretyczymi zmieej y. Odpowiedie wzory pozwalające obliczyć te ocey mają postać: a ( i= 1 = xi x)( yi, 2 ( x x) i= 1 b = y ax, gdzie x ozacza średią wartość ( x i ), a y - średią wartość ( y i ). Stosując powyższe wzory do aszych daych wyzaczamy oszacowaie modelu liiowego: y = 0,0039x + 14, 3987 + ε. Miarą dopasowaia wartości rzeczywistych i teoretyczych może być współczyik determiacji r 2 ( x,, którego wartości bliskie 1 wskazują a dobre dopasowaie oszacowaego modelu do daych (zobacz [2], s.41). Dla aszych daych otrzymamy wartość i r 2 ( x, = 0,2340, która wskazuje iestety a iedopasowaie wartości teoretyczych i rzeczywistych. 4. Uwzględieie zmia kursowych Wielkości w powyższym modelu są mierzoe w różych jedostkach pieiężych, których zależość jest zmiea. Wydawać by się mogło, że ustaleie jedej jedostki, a więc a przykład przeliczeie otowań ołowiu
176 z USD/t a PLN/t według aktualego kursu dolara, zdecydowaie poprawi jakość modelu. Okazuje się jedak, że tak ie jest. W Tabeli 1 podao średi kurs dolara w NBP z daego dia z, a podstawie którego moża przeliczyć otowaia ołowiu a złotówki według wzoru xz. Współczyik korelacji dla podaych otowań ołowiu a LME wyrażoych w PLN/t (xz) i otowań OBL ( wyosi r( xz, = 0,2391 i jest dużo miejszy iż odpowiedi współczyik dla otowań ołowiu ieprzeliczoych a złotówki (0,4837). W związku z tym budowaie odpowiediego modelu liiowego ie ma sesu, bo będzie o jeszcze słabiej dopasoway do daych, iż poprzedi. W zestawieiu z tymi faktami ciekawe jest to, że współczyik korelacji pomiędzy kursem dolara (z), a otowaiami OBL ( jest zacząco róży od zera i wyosi r ( z, = 0,3109. Przeprowadzając test istotości opisay w rozdziale 3. stwierdzamy, że a poziomie istotości 0,001 korelacja w całej populacji otowań jest istotie iezerowa (wartość statystyki testowej wyosi t = 3, 3201, czyli t = 3, 3201, wobec wartości krytyczej 3,2905). Ozacza to, że po części wzrost kursu dolara idzie w parze ze spadkiem otowań OBL, co prawdopodobie wiąże się z odpływem kapitału spekulacyjego z giełdy warszawskiej w sytuacji słabącej złotówki. Powyższa uwaga mogłaby sugerować, że lepszym modelem wyjaśiającym otowaia OBL będzie model liiowy dwóch zmieych postaci y = α x + βz + γ + ε ze względu iezerową korelację kursu dolara (z), a otowaiami OBL (. Niestety, współczyik korelacji pomiędzy x i z wyosi r( x, z) = 0,3135 i jest większy co do wartości bezwzględej od współczyika korelacji między z i y. Tak więc x i z ie adają się a quasi-iezależe zmiee modelu (zobacz [2], s. 64).
177 5. Modele ieliiowe Powodem słabego dopasowaia modelu do daych może być iewłaściwa postać aalitycza modelu. Próbujemy zatem przetestować użycie typowych modeli ieliiowych, sprowadzalych do liiowych: potęgowego, wykładiczego i logarytmiczego. Przez model potęgowy rozumiemy hipotetyczą zależość postaci a ε y = bx e. Logarytmując obie stroy powyższej rówości, sprowadzamy model potęgowy do modelu liiowego: y ' = ax' + b' +ε, gdzie b'= lb, x'= l x, y'= l y. Model wykładiczy to hipotetycza zależość postaci x ε y = ba e. Logarytmując obie stroy powyższej rówości, sprowadzamy model potęgowy do modelu liiowego: y ' = a' x + b' +ε, gdzie b'= lb, a'= l a, y'= l y. Model logarytmiczy to hipotetyczą zależość postaci y = al x + b + ε, sprowadzala do zależości liiowej y = ax' + b + ε przez podstawieie x'= l x. Najprostszym kryterium wyboru postaci modelu spośród powyższych może być wartość współczyika korelacji zmieych w modelu zliearyzowaym. Dla aszych daych uzyskujemy: r ( x', y') = r(l x,l = 0,5026, r ( x, y') = r( x,l = 0,4949, r ( x', = r(l x, = 0,4923.
178 Użycie otowań ołowiu przeliczoych a złotówki w miejsce orygialych wyrażoych w dolarach, czyli zmiaa zmieej x a xz daje wyiki słabsze: r (l( xz),l = 0,2719, r ( xz,l = 0,2468, r (l( xz), = 0,2640. Spośród rozpatrywaych wariatów ajlepszym okazał się model potęgowy zmieych x i y. Według rozpatrywaego kryterium jest o ieco lepszy od modelu liiowego. Zliearyzowaa postać tego modelu ma oszacowaie: y ' = 0.4138x' 0, 0531+ ε, dla którego współczyik determiacji wyosi r 2 = 0,2526, a więc iezaczie więcej, iż w modelu liiowym. Wyzaczając b = e b' = e 0,0531 = 0,9483, otrzymujemy oszacowaie modelu potęgowego: y 0,4138 ε = 0,9483x e. 5. Wioski Powyższe rozważaia pokazują a kokretym przykładzie trudość uzyskaia dobrego w sesie ekoometryczym modelu zależości otowań giełdowych. Nie ozacza to, że szukaie takich zależości ie ma sesu, gdyż każde badaie statystycze typu szukaie korelacji daje pewie zasób iformacji o związku (lub braku związku) pomiędzy badaymi wielkościami. W aszym przypadku awet tak iedoskoałe modele, jak opisae, mogłyby być podstawą do progozowaia orietacyjego poziomu otowań OBL w sytuacji, gdy uważamy światowe cey surowców za bardziej przewidywale iż otowaia akcji a GPW.
179 Bibliografia 1. Aczel A.D., Statystyka w zarządzaiu, PWN, Warszawa 2000, ISBN 83-01- 13001-6. 2. Welfe A., Ekoometria, Państwowe Wydawictwo Ekoomicze, Warszawa 2008, ISBN 83-208-1444-4. 3. Prospekt emisyjy trzyczęściowy spółki Orzeł Biały S.A. [olie], 2007, dostępy w World Wide Web: http://www.orzel-bialy.com.pl/prospektemisyjy.html. 4. http://www.ryek.bizzoe.pl/.