STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią Sreszczenie: W zdecydowanej większości prac z eorii magisral rozparuje się sacjonarną gospodarkę ze sałą (niezmienna w czasie) echnologią. Bardzo nieliczne są próby wyjścia poza zaklęy krąg sacjonarności i prześledzenia zw. efeku magisrali w niesacjonarnej gospodarce eumanna-gale a ze zmienną echnologią. Zadanie o podjęo w arykule, w kórym zaprezenowano słabą i bardzo silną wersję wierdzenia o magisrali w niesacjonarnej gospodarce von eumanna z echnologią zbieżną do pewnej echnologii granicznej. Słowa kluczowe: niesacjonarny model von eumanna, echnologia graniczna, słabe i bardzo silne wierdzenie o magisrali. Klasyfikacja JEL: C. Wsęp Aczkolwiek największe zaineresowanie ekonomisów maemaycznych modelami von eumanna-gale a i zw. równowagą neumannowską przypada na drugą połowę XX wieku (por. obszerną bibliografię w pracy Panka [2]), do chwili obecnej raz po raz pojawiają się nowe, warościowe prace na en ema (zob. np. Khan i Piazza [2a, b], Khan i Zaslavski [2], Zaslavski [26]). Ich auorzy w zdecydowanej większości zajmują się różnymi warianami sacjonarnej gospodarki ze sałą (niezmienną w czasie) echnologią. Do bardzo nielicznych należą próby wyjścia poza zaklęy krąg sacjonarności i prześledzenia zw. efeku magisrali w niesacjonarnej gospodarce ypu von eumanna-gale a ze zmienną echnologią [Ganz 98; Joshi 997; Keeler 972]. Zadanie o podejmujemy w arykule. awiązując do pracy Panka [2] oraz pracy Panka i Runki [22] prezenujemy słabą i bardzo silną wersję wierdzenia o magisrali w niesacjonarnej gospodarce von eumanna z echnologią zbieżną do pewnej echnologii granicz-
5 nej. Rolę kryerium wzrosu gra warość (mierzonej w cenach równowagi von eumanna) produkcji wyworzonej w końcowym okresie usalonego horyzonu T = {,,, }. Obowiązują oznaczenia z pracy Panka [2].. Podsawowe założenia Zakładamy, że czas zmienia się skokowo, =,,,. Okres końcowy informuje o długości horyzonu T. W gospodarce zużywa się i/lub wywarza n owarów. Liczba n nie zmienia się w czasie, choć nie znaczy o, że w dowolnym okresie wszyskie owary muszą być zużywane i/lub wywarzane. aomias w każdym okresie możliwości wywórcze gospodarki deerminuje echnologia produkcji, uożsamiana z pewną liczbą m zw. bazowych procesów echnologicznych worzących wiersze neumannowskich macierzy nakładów (zużycia) a() a2()... a n () a2() a22()... a2n () A () =............ am() am2()... amn () i wyników (produkcji) b() b2()... b n () b2() b22()... b2 n () B () =............ bm() bm 2()... bmn () Liczba m bazowych procesów echnologicznych nie zmienia się w czasie. Wiersz aj () = ( aj(), aj2(),..., ajn ()) macierzy nazywamy wekorem nakładów (zużycia), a wiersz bj () = ( bj(), bj2(),..., bjn ()) macierzy wekorem wyników (produkcji), kórą można wyworzyć w okresie, sosując j-y bazowy proces echnologiczny z jednoskową inensywnością. Elemen aji () wskazuje na wielkość zużycia i-ego owaru w j-ym bazowym procesie echnologicznym (prowadzonym z jednoskową inensywnością) w okresie. Podobnie skalar bji () informuje o wielkości produkcji i-ego owaru w okresie w j-ym bazowym procesie echnologicznym (prowadzonym z jednoskową inensywnością). O neumannowskich macierzach nakładów i wyników zakładamy, że są określone dla =,, oraz
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 5 () lim A ( ) = A i każdy wiersz macierzy, A zawiera elemen dodani (w każdym bazowym procesie echnologicznym zużywany jes co najmniej jeden owar), lim B ( ) = Bi każda kolumna macierzy B ( ), B zawiera elemen dodani (każdy owar jes wywarzany w co najmniej jednym bazowym procesie echnologicznym); (2) wśród bazowych procesów echnologicznych ( aj(, bj( ), j =,..., m, są procesy posaci ( e k,) = ((,...,,...,),(,...,)), k =,..., n, (warunek dopuszczający możliwość marnorawswa nakładów i/lub mocy produkcyjnych). Ponieważ k lim A ( ) = A oraz lim B ( ) = B, więc akże graniczne macierze A, B zawierają wiersze posaci ( e,), k =,2,..., n. k Z warunku (2) wynika, że liczba bazowych procesów produkcyjnych jes większa od liczby owarów: m > n. O macierzach, mówimy, że opisują echnologię produkcji w gospodarce von eumanna w okresie, naomias o macierzach A, B że opisują echnologię graniczną w gospodarce von eumanna. Model jes liniowy w ym sensie, że jeżeli przez v oznaczymy nieujemny m-wymiarowy (wierszowy) wekor inensywności sosowania bazowych procesów echnologicznych w okresie, o w gospodarce z echnologią, z wekora nakładów m m x() = v) = v a () można orzymać wekor produkcji y() = v) = v b (). j= j j Podobnie w gospodarce z echnologią graniczną A, B z nakładów va orzymujemy wekor produkcji vb. O każdej parze ( x(), y() ) = ( v), v) ) z dowolnym wekorem v mówimy, że opisuje dopuszczalny proces produkcji w okresie w niesacjonarnej gospodarce von eumanna ze zmienną echnologią. aomias o parze ( x, y) = ( va, vb) mówimy, że opisuje dopuszczalny proces produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B. Zbiór Z ( ) = {( xy, ) x= va (, y = v ; ν } nazywamy neumannowską przesrzenią produkcyjną w okresie. Podobnie zbiór Z = {( x, y) x= = va, y = vb; ν } nazywamy graniczną neumannowską przesrzenią produkcyjną (generowaną przez graniczną echnologię A, B). ierudno zauważyć, że 2n przesrzeń produkcyjna Z () jes szczególnym sożkiem wielościennym w R + z wierzchołkiem w, kóry spełnia nasępujący warunek: j= j j ( xy, ) Z ( )& x' x ( x', y) Z ( ) ( x, y) Z( & y ' y ( xy, ') Z ( ) ()
52 Analogiczną własność ma akże graniczna przesrzeń produkcyjna Z. Sożek aki z pięcioma bazowymi procesami echnologicznymi przedsawia poniższy rysunek (ze względu na konieczność zawarcia całej ilusracji w przesrzeni R 3, na rysunku nakład jes reprezenowany przez wekor dwuelemenowy, x= ( x, x ), a wynik przez skalar y). y 2 (a 2 (, b 2 () (a 3 (, b 3 () x (a (, b () (a 4 (, b 4 () (a 5 (, b 5 () Rysunek. Przesrzeń produkcyjna von eumanna () Z spełniająca warunki (), (2) x 2
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 53 Zakładamy, że rozwój echnologii w gospodarce von eumanna zwiększa z czasem jej możliwości wywórcze, co w języku przesrzeni produkcyjnych Z( prowadzi do warunku: (3) Z ( ( ) Z ( ) Z) +. 2. Technologiczna i ekonomiczna efekywność produkcji Weźmy dowolny m-wymiarowy wekor inensywności v (). Liczbę: α ( v) = max{ ααv v } (2) nazywamy wskaźnikiem echnologicznej efekywności procesu ( x(, y( ) = ( v, v ) Z( ( x(, y( ) = ( v, v ) Z(. Zasępując w (2) macierze, granicznymi macierzami A, B, orzymujemy definicję wskaźnika echnologicznej efekywności procesu ( x, y ) = ( va, vb) Z (w gospodarce z graniczną echnologią): α( v) = max{ ααva vb} Funkcje α (), v α () v są ciągłe i dodanio jednorodne na R + \ {} (dowód przebiega analogicznie jak dowód podobnych własności funkcji α ( x, y) w gospodarce Gale a ze sałą echnologią; zob. Panek [23], wierdzenie 5.2. Liczby: m (3) α = max α( v) v (4) nazywamy odpowiednio: opymalnym wskaźnikiem ( ) echnologicznej efekywności produkcji w gospodarce von eumanna w okresie (z echnologią, ), opymalnym wskaźnikiem ( ) echnologicznej efekywności produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B. Zapis v oznacza, że nieujemny wekor v ma co najmniej jedną współrzędną dodanią.
54 Twierdzenie. Przy założeniach () (3): (i) zadania (3), (4) mają rozwiązania v ( ), ν, j.: v () ( α ( v ( )) = v ( α( v ) (2i) ( α, α, + α). Dowód (i) Funkcja α () v jes dodanio jednorodna sopnia, więc zadanie: jes równoważne z zadaniem 2 : max α ( v) v v = (5) maksymalizacji ciągłej funkcji α () v na simpleksie (zbiorze zwarym) m m S+ () = v R+ vi = i, kóre ma rozwiązanie v (). Podobnie z ciągłości m funkcji α () v na simpleksie S + () wynika, że isnieje rozwiązanie v zadania: równoważne z rozwiązaniem zadania: (2i) W myśl (3) Z Z+ Z i, zważywszy na definicje przesrzeni produkcyjnych Z(, Z, mamy: 2 Tuaj i wszędzie dalej x = xi. i
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 55 α = max α( v) = = v max α ( v) = α max α ( v) = α, = +, + v v Wekory v (, v rozwiązania zadań (3), (4) nazywamy opymalnymi wekorami inensywności sosowania bazowych procesów, odpowiednio, w gospodarce von eumanna z echnologią A (), B () oraz w gospodarce z echnologią graniczną A, B. Podobnie o parach wekorów: ( x (), y ()) = ( va () (), vb () ()) ( x, y) = ( va, vb) mówimy, że opisują opymalne procesy produkcji, odpowiednio, w gospodarce von eumanna z echnologią, oraz w gospodarce von eumanna z echnologią graniczną A, B. Opymalne wekory inensywności v ( ), v oraz odpowiadające im opymalne procesy produkcji są określane z dokładnością do mnożenia przez sałą dodanią (z dokładnością do srukury). Zakładamy, że wśród opymalnych procesów produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B isnieje proces, w kórym wywarzane są wszyskie owary: (4) v ( α( v ) = α & vb > ) Własność ę nazywamy warunkiem regularności. 3. Ceny von eumanna w gospodarce z graniczną echnologią. Magisrala produkcyjna Oznaczmy przez p n-wymiarowy wekor (kolumnowy) cen owarów i weźmy dowolny wekor inensywności v. Liczbę: vbp β (, vp) = vap (am, gdzie jes określona) nazywamy wskaźnikiem ekonomicznej efekywności procesu ( x, y) = ( va, vb) w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B.
56 iech v będzie opymalnym wekorem inensywności w gospodarce von eumanna z echnologią graniczną (dla kórego α( v ) = α ). Definicja. Ceny p, przy kórych: β = β( v, p) = max β ( v, p) v maxα ( v) = α( v) = α = v (6) nazywamy cenami von eumanna (w gospodarce z graniczną echnologią). Jeżeli spełnione są warunki () (4), o ceny von eumanna isnieją i są określone z dokładnością do srukury (dowód przebiega podobnie jak dowód isnienia cen von eumanna w gospodarce ze sałą echnologią; zob. Panek [2], α v, p } spełniającej warunek (6) mówimy, że charakeryzuje gospodarkę z graniczną echnologią w równowadze von eumanna. Z (6) wynika, że: wierdzenie 2. O rójce {, czyli: vbp v β(, vp) = α vap v ( vbp α vap ) (7) i jedynie dla v = v zachodzi równość: vbp α vap = (8) W gospodarce z echnologią graniczną w równowadze von eumanna dochodzi zaem do zrównania ekonomicznej efekywności produkcji z efekywnością echnologiczną i jes o najwyższa efekywność jaką w ogóle może osiągnąć niesacjonarna gospodarka spełniająca warunki () (4). Warunek 7 jes równoważny z warunkiem 3 : ( xy, ) Z( p, y α p, x ) (7 ) 3 Tuaj i wszędzie dalej x, y = xy i i (iloczyn skalarny wekorów x, y). i
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 57 gdzie: Z = {( x, y) x= va, y = vb; ν } a warunek (8) z warunkiem: p, y α p, x = dla x = va, y = vb. W celu uproszczenia dalszych wywodów będziemy zakładać, że: (5) Ceny von eumanna p są dodanie 4. ierudno zauważyć, że przy ym założeniu opymalny wekor inensywności v spełnia warunek: α va = vb (9) Isonie, z definicji opymalnego współczynnika α i opymalnego wekora inensywności v mamy: α va v B () (zob. wierdzenie (i) ). Załóżmy, że po pewnej, np. i-ej, współrzędnej w () mamy osrą nierówność: Wówczas orzymujemy: α ( va) < ( vb) i i α vap < vbp (gdyż p >, zgodnie z (5)), co przeczy (8). Opymalnemu wekorowi inensywności v w gospodarce z graniczną echnologią odpowiada opymalny wekor nakładów x = va oraz wyników (produkcji) y = vb i zgodnie z (9): s = x x va α va vb = = = = y va α va vb y 4 Założenie o znacznie upraszcza dowody wierdzeń o magisrali (w arykule wierdzenia 3 i 4), choć nie jes konieczne.
58 j. srukura nakładów i wyników w opymalnym procesie ( x, y) = ( va, vb) jes idenyczna. Definicja 2. O wekorze s mówimy, że charakeryzuje opymalną srukurę produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią. Promień (półprosą) = { λs λ > } nazywamy magisralą produkcyjną w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią. 4. Wzros iech v( będzie wekorem inensywności, z jaką w okresie w niesacjonarnej gospodarce von eumanna sosowane są bazowe procesy echnologiczne. Gospodarka jes zamknięa w ym sensie, że źródłem nakładów w okresie nasępnym x ( + ) = v( + ) + ) może być ylko produkcja wyworzona w okresie poprzednim y ( = v( : v( + ) + ) v ( =,,, v ( =,,, () Oznaczmy przez v inensywność, z jaką bazowe procesy echnologiczne są sosowane w począkowym okresie = : v = v (2) Definicja 3. Rozwiązanie ( v ( ) = układu () (2) nazywamy ( v, ) dopuszczalną rajekorią inensywności (sosowania bazowych procesów echnologicznych) w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Ciągi ( x ( ) =, ( y ( ) =, gdzie: x ( = v(, y ( = v(
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 59 nazywamy odpowiednio (, x ) dopuszczalną rajekorią nakładów (z począ- y ) dopuszczalną rajekorią produkcji kowym wekorem x = v ) ) oraz ( (z począkowym wekorem y = v ) ). O rójce ciągów ( v (, x(, y( ) = mówimy, że opisuje dopuszczalny proces wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Twierdzenia o magisrali prezenowane w ym arykule wymagają, aby isniał co najmniej jeden proces dopuszczalny ( v~ (, ~ x(, ~ y ( ) = umożliwiający dojście gospodarki w pewnym okresie do magisrali. Warunek en oznacza, że: (6) Isnieje aka ( v, że: ) dopuszczalna rajekoria inensywności α ( v ~ ( ) = α ( v~ ( =, Mówi o ym nasępujące wierdzenie. Twierdzenie 2. Jeżeli zachodzi warunek (6) oraz > o isnieje aki ( v, ) dopuszczalny proces wzrosu ( v ( ), x ( ), y ( )) = oraz aka liczba σ >, że dla =, +,..., : α ( v( ) = α (3) x ( ) = v ( ) A ( ) = α x ( ) = α σs (4) y () = vb () () = α y ( ) = α σs + (5) Dowód. Z założenia mamy aką ( v, ) dopuszczalną rajekorię inensywności ( v~ ( ) =, że α ( v ~ ( )) = α, czyli: oraz ~ ( ) α ) ~ v ( ) ) v iech ~ a v ( ) = ), ~ b v ( ) = ). Wówczas: ( a, b) Z( ) = {( x, y) x = v ), y = v ); ν } α a b
6 Sąd oraz z własności () przesrzeni produkcyjnych Z ( wynika, że ( a, α a) Z( ), czyli: v' ( ) ( αv'() A () = αv () A () = v'() B () ) Przyjmijmy oznaczenia 5 : a ' = v' ( ) ), b ' = v' ( ) ). Wówczas: ( a', b') Z( ) oraz α a' b' (6) = Uwórzmy nasępujący ciąg ( ξ ( ) : = ( ) = a' = v' ( ) ), ξ ( + ) = α a',..., ξ ( ) = α a' ξ ( ) Z (6), (3) oraz ego, że przesrzenie produkcyjne Z(, Z są sożkami wielościennymi w R 2 + z wierzchołkiem w wynika, że: n ( ξ ( ), ξ ( + )) Z( ) Z ( ξ ( + ), ( ξ + 2)) Z( ) Z( + ) Z (7) ξ ( ), ξ ( )) Z ) Z( ) Z ( + ( Z własności () przesrzeni Z( ) oraz definicji ciągu ( ξ ( ) orzymujemy: = ( ξ ( ), ( ξ +)) = ( v' ( ) ), v' ( ) )) = ( a', α a' ) Z własnoaści () przesrzeni Z( +) oraz (7) wynika, że: v' ( + ) ( ξ ( + ), ( + 2)) = v' ( + ) + ), v' ( + ) + ) = ( α ', a α a' ) Rozumując analogicznie, dalej swierdzamy, że dla =, +,..., : v '( ( ξ (, ( +)) ξ ( ) = + ( v = ( α a', α a') ) ξ = ( '(, v' ( ) 5 Ponieważ v'() A () = v () A (), zaem de faco a' = a.
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 6 Zgodnie z aką konsrukcją ciągu ( v'( ) = : v' ( ) ) = ~ v ( ) ) = a ' ~ v ( ) ) v' ( + ) + ) = a' α = v' ( ) ) v ( ) ) = α a' = v ( ) ) ' ' Uwórzmy ciąg ( v ( ) = ze sklejenia ( v, ) dopuszczalnej rajekorii inensywności ( v~ ( ) = i wyżej zbudowanego ciągu ( v'( ) = : Tak zbudowany ciąg jes v, ) dopuszczalną rajekorią inensywności spełniającą dla =, +,..., warunek (3). Jednocześnie z inkluzji: ( v(, v( ) = ( + ( α a', α a' ) Z( Z, =, +,..., wynika, że: ( x, y) = ( a', α a' ) Z (gdyż Z jes sożkiem z wierzchołkiem w ) oraz: ( x = a' = va, y = α a' = vb) & α( v = α v ) Wekor v jes opymalnym wekorem inensywności w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią, x = a' = va jes opymalnym wekorem nakładów, a y = vb ( = α a' ) opymalnym wekorem produkcji w akiej gospodarce oraz: x x = y y = s Z definicji magisrali = { λ s λ > } wynika, że σ > ( a' = σ s). Definiując rajekorię nakładów x ( = v( oraz produkcji y ( = v( orzymujemy żądany proces spełniający dla =, +,..., warunki (4), (5).
62 W celu zapewnienia jednoznaczności magisrali będziemy zakładać, że: vbp (7) v x = va y = vb β ( v, p) = < α vap W myśl ego warunku ekonomiczna efekywność jakiegokolwiek procesu (x, y) = = (va, vb) poza magisralą jes niższa od opymalnej. Twierdzenie 3. Jeżeli w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią spełniony jes warunek (7), o: v ( x, y) = ( va, vb) ε > δ ε > vbp β ( v, p) = α δε vap x x s x ε y y s x ε Z dowodem ego wierdzenia można zapoznać się np. w pracy Panek [2], wierdzenie 3. awiązując do ej pracy, rozparzymy nasępujące zadanie maksymalizacji warości produkcji (mierzonej w cenach von eumanna) wyworzonej w niesacjonarnej gospodarce w osanim okresie horyzonu T =,,..., } : { max v ( ) ) p v( + ) + ) v ( =,,, v ( =,,, v() = v (8) (9) (wekor v usalony) Definicja 4. Rozwiązanie ( v ( ) = zadania (8) (9) nazywamy ( v,, p ) opymalną rajekorią inensywności w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Ciągi ( x ( ) =, ( y ( ) =, gdzie ( ) ( ) ( ) x = v A, y ( = v (, nazywamy (odpowiednio): ( x,, p ) opymalną rajekorią nakładów (z począkowym wekorem nakładów x = v ) ) oraz ( y,, p ) opymalną rajek- orią produkcji (z począkowym wekorem produkcji y = v ) ). O rójce cią-
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 63 gów ( v (, x (, y ( ) = mówimy, że opisuje opymalny proces wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Twierdzenie 4. ( Słabe wierdzenie o magisrali). Jeżeli niesacjonarna gospodarka von eumanna spełnia warunki () (7), o ε >, isnieje aka liczba nauralna k ε, że liczba okresów, w kórych zachodzi kórykolwiek z warunków: x ( x ( s y ( ε, s ε y ( (2) nie przekracza k ε. Liczba k ε nie zależy od długości horyzonu. Dowód. iech ( v ( ) = będzie v,, p ) opymalną rajekorią inensywności (rozwiązaniem zadania (8) (9)). Ponieważ: więc zgodnie z (7): ( ( x (, y ( ) = ( v (, v ( ) Z( Z ) ) czyli: oraz: p, y ( α p, x ( (2) v ( p α v ( p =,,, v ( + ) + ) v ( =,,, (zgodnie z (9)), czyli: v v ( + ) + ) p α ( p =,,, (22) Oznaczmy przez L ε zbiór ych okresów T, w kórych zachodzi kórykolwiek z warunków (2). iech l ε będzie liczbą elemenów zbioru L ε. Wobec (3): v' (( x ( ( ) = ( v ( A ( ), v () B ()) = ( vavb ', ' ))
64 Wedy, zgodnie z wierdzeniem 3: ( α δε ) v ( p Z (22), (23) orzymujemy: v ( p dla Lε (23) lε l ( ( α δ ε ε ) v ) ) p α Zgodnie z (6) i wierdzeniem 2 isnieje aki (, wzrosu ( v (, x(, y( ) = i aki okres <, że: σ + x( = v( = α y( = v( = α dla pewnej liczby σ > i =, +,...,. Wówczas: ( v ) p (24) x s σs + ( ) dopuszczalny proces v ) ) p v ) ) p = α σ p, s > (25) v ) ) p α v ( ) ) p ), docho- Łącząc (24), (25) (oraz pamięając, że dzimy do nierówności: ( + < α σ p, s v ( ) ) p α v ) lε α ( α ( ) δ ε ) kóra pozwala na oszacowanie górnego ograniczenia liczby l ε : l lε δ ε ) ε p α ( α lε v ) p lε lnα ln A ln( α δ ε = B ) α v ) p gdzie A =. W charakerze liczby k ε wysarczy wziąć najmniejszą σ p, s liczbę nauralną większą od min {,B}. Zgodnie z powyższym wierdzeniem, opymalne procesy wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna prawie zawsze 6, niezależnie od długości 6 To znaczy, zawsze poza pewną skończoną liczbą okresów.
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 65 horyzonu T = {,,, } przebiegają w dowolnie bliskim ooczeniu magisrali produkcyjnej, kórą wyznacza graniczna echnologia A, B. Tempo wzrosu produkcji na magisrali jes najwyższym empem możliwym do osiągnięcia przez gospodarkę. iewielkim wysiłkiem można orzymać eraz zw. bardzo silną wersję wierdzenia o magisrali w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Twierdzenie 5. ( Bardzo silne wierdzenie o magisrali). Jeżeli niesacjonarna gospodarka von eumanna spełnia warunki () (5), (7) i opymalny proces wzrosu ( v (, x (, y ( ) =, w pewnym okresie < dochodzi do magisrali, zn. α ( v ( ) = α, o: ( x ( = v ( oraz y ( = v ( ) Dowód. Weźmy opymalny proces wzrosu ( v (, x (, y ( ) =. Trajekoria ( v ( = jes rozwiązaniem zadania (8) (9) oraz x ( ) = v ( ) A (, y ( = v (. Z założenia proces en w okresie < prowadzi do magisrali, zaem zgodnie z wierdzeniem 2 isnieje aka liczba σ > oraz aki dopuszczalny proces wzrosu ( v (, x(, y( ) = z rajekorią inensywności: v (, dla =,,..., v () = v'(, dla =, +,..., że: dla =,,...,, oraz: dla =, +,...,. Wówczas: x ( = x ( = v y ( = y ( = v ( ( + x( = v' ( = α σ s y( = v' ( = α σ s ( v ) ) p x ) ) p = α σ p, s > ( + (27)
66 Z drugiej srony, posępując analogicznie jak przy dowodzie wierdzenia 4 z (22) (pamięając, że v ) ) p α v ) p ), orzymujemy: ( ( ) ( v ) ) p α v ( ) ) p α v ( ) ) p + + α v ( ) ) p = α σ p, s 2 (28) Załóżmy, że w pewnym okresie τ > x ( τ ) = v ( τ ) τ ), zn.: ε > x ( τ ) x ( s ε y ( y ( τ ) s ε i zgodnie z wierdzeniem 3: δ ε > (( v ( τ + ) τ + ) p v ( τ ) τ ) p ( α δε ) v ( τ) τ) p)) (29) co łącznie z (28) prowadzi do nierówności: ( ( ε v ) ) p α α δ ) σ p, s (3) Z (27), (3) orzymujemy warunek: ( δε α α ) σ p, s + α σ p, s z kórego wynika, że δ ε. Orzymana sprzeczność kończy dowód wierdzenia. Twierdzenie głosi, że wejście opymalnego procesu wzrosu na magisralę w niesacjonarnej gospodarce von eumanna (z echnologią zbieżną do pewnej echnologii granicznej) jes bezpowrone. Uwaga. Jeżeli począkowy wekor inensywności v w zadaniu (8) (9) (w opymalnym procesie wzrosu) jes dodani, wedy obydwa wierdzenia o magisrali są prawdziwe akże bez warunku (6). Uwaga 2. Obydwa wierdzenia pozosają prawdziwe, jeżeli kryerium (8) maksymalizacji warości produkcji mierzonej w cenach von eumanna w osanim okresie horyzonu T zasąpimy kryerium maksymalizacji dowolnej społecznej
iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 67 funkcji użyeczności u ( y ( ) = g ( p, y( ) ), gdzie g jes monoonicznie rosnącą, ciągłą funkcją z R do R oraz y ( ) = v ) ). + + ( Uwaga 3. Wydaje się, że własności podobne do sformułowanych w wierdzeniach 4, 5 mają akże opymalne procesy wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna z kryerium maksymalizacji łącznej warości produkcji (mierzonej w cenach von eumanna) wyworzonej w całym horyzoncie T = {,,..., } (a nie ylko w jego końcowym okresie). Wymaga o jednak dalszych badań. Bibliografia Ganz, D.T., 98, A Srong Turnpike Theorem for a onsaionary von eumann-gale Producion Model, Economerica, vol. 48, no. 7. Joshi, S., 997, Turnpike Theorems in onconvex onsaionary Environmens, In. Econ. Rev., vol. 38, no.. Keeler, E.B., 972, A Twised Turnpike, In. Econ.Rev., vol. 3, no.. Khan, M.A., Piazza, A., 2a, An Overview of Turnpike Theory: Towards he Discouned Deerminisic Case, Adv. Mah. Econ., vol. 4. Khan, M.A., Piazza, A., 2b, The Economics of Foresry and a Se-valued Turnpike of he Classical Type, onlinear Analysis, vol. 74. Khan, M.A., Zaslavski, A.J., 2, On Two Classical Turnpike Resuls for he Robinson- -Solow-Srinivasan Model, Asv. Mah. Econ., vol. 3. Panek, E., 23, Ekonomia maemayczna, Wydawnicwo AEP, Poznań. Panek, E., 2, O pewnej wersji słabego wierdzenia o magisrali w modelu von eumanna, Przegląd Saysyczny,. 58, nr 2. Panek, E., Runka, H.J., 22, Dwa wierdzenia o magisrali w modelu von eumanna, Przegląd Saysyczny,. 59, nr 2. Zaslavski, A.J., 26, Turnpike Properies in he Calculus of Variaions and Opimal Conrol, Springer, ew York. on-saionary von eumann model wih limi echnology Absrac: The vas majoriy of papers on he urnpike heory consider a saionary economy wih consan echnology (over ime). There are only few aemps o go beyond he vicious circle of saionariy and o race he so called urnpike effec in a non-saionary eumann-gale economy wih unsable echnology. This aricle underakes his ask. In
68 he paper weak and very srong versions of he urnpike heorem in a non-saionary von eumann economy are presened, wih he echnology converging o a cerain echnology limi. Key words: non-saionary von eumann model, limi echnology, weak and very srong urnpike heorem.