Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3 + p v 3 = 7 10 + p 7 3p 13 Ćwiczenie Podać bazȩ sumy i przeciȩcia pow loki liniowej V = a 1 a a 3 oraz W = b 1 b b 3 gdzie [ [ [ 1 1 1 1 3 a 1 = a = a 3 = 3 0 b 1 = [ 1 0 [ 3 b = [ 1 1 b 3 = 3 0 Podaj postać parametryczn a i uwik lan a V W V W i V + W Sprawdź że dim(v + W ) = dim V + dim W dim V W Rozwi azanie: W postaci parametrycznej piszemy elementy podprzestrzeni liniowej jako liniowe kombinacje elementów bazy tej podprzestrzeni Dla V mamy że [ [ [ 1 1 1 1 3 V = a 1 a a 3 = 3 0 Szukamy bazy V Pow loka liniowa uk ladu generaj acego nie zmienia siȩ kiedy zast apimy wektor tego uk ladu przez liniow a kombinacjȩ zawieraj ac taki wektor Zatem [ [ [ [ [ [ 1 3 1 3 1 3 3 6 V = = 3 0 3 0 i V = [ 1 [ 3 [ 1 = [ 1 [ 3
Skoro [ 1 [ 3 nie s a proporcjonalne to s a liniowo niezależne i tworz a bazȩ V Zatem postać parametryczna V to [ [ [ 1 3 = λ x 3 x 1 + λ 4 λ 1 λ Z postaci paramatrycznej można zapisać postać uwik lan a W tej postaci opisujemy elementy podprzestrzeni jako rozwi azania uk ladu równań liniowych Na przyk lad wcześniej mamy że x 1 = λ 1 + λ x = λ 1 + 3λ x 3 = λ 1 x 4 = 0 Zatem elementy V s a takie elementy które spe lniaj a że x 4 = 0 x 1 = x 3 + λ x = x 3 + 3λ Usun ac λ 1 i λ możemy znaleźć równości miȩdzy wspó lrzȩdnami elementów V : Wtedy x 4 = 0 λ = (x 1 x 3 )/ = (x x 3 )/3 x 4 = = 3x 1 3x 3 x + 4x 3 = 3x 1 + x 3 x Teraz dla drugiej podprzestrzeni [ 1 W = b 1 b b 3 = 0 [ 3 [ 1 1 3 0 Ale pow loka liniowa nie zmienia siȩ kiedy zast apimy wektor przez liniow a kombinacjȩ zawieraj ac taki wektor Zatem [ [ [ [ [ 1 3 3 1 3 W = = 0 0 Skoro [ 1 0 [ 3 nie s a proporcjonalne to s a liniowo niezależne i tworz a bazȩ W
Zatem postać parametryczna podprzestrzeni W to [ [ [ 1 3 = λ x 3 x 1 + λ 4 0 λ 1 λ R Z postaci paramatrycznej można zapisać postać uwik lan a Ta postać polega na tym że opisujemy elementy podprzestrzeni jako rozwi azania uk ladu równań liniowych Na przyk lad wcześniej mamy że x 1 = λ 1 + λ x = λ 1 + 3λ x 3 = λ 1 λ x 4 = 0 Zatem elementy W s a takie elementy które spe lniaj a że Zatem i Wtedy x 4 = 0 x = (x 1 λ ) + 3λ x 3 = (x 1 λ ) λ x 4 = 0 x = x 1 λ x 3 = x 1 5λ x 4 = 0 x 3 = x 1 5(x 1 x ) x 4 = 0 x 3 + 8x 1 5x = 0 Podprzestrzeń V W można latwo oblizcyć za pomoc a postaci uwik lanej podprzestrzeni V W Widać że [ V W x x 3 x 4 = 0 x 3 + 8x 1 5x = 0 x 4 = = 3x 1 + x 3 x 4 Zatem x 4 = 0 5x 1 3x = 0 3x 1 + x 3 x = 0 To postać uwik lan a V W Możemy obliczyć teraz elementy V W Możemy zak ladać że x przejmujȩ dowoln a wartość x = λ i wtedy x 4 = 0 x 1 = 3/5λ x 3 = λ 9/5λ = λ/5 Wówczas [ x 3 x 4 [ V W x 3 x 4 [ 3/5 1 = λ 1/5 0 V W = [ 3 5
Drugie wyrażenie daje nam postać parametryczn a V W Na samym koncu mamy że V + W to podprzestrzeń zgenerowana przez elementy V i W Wtedy [ [ [ [ 1 3 1 3 V + W = 0 Zatem V +W = [ 1 [ 1 V + W = [ [ 3 1 V + W = Widać że [ 0 1 [ 3 [ 0 1 [ 1 0 [ [ [ 3 = [ [ 1 [ 1 [ tworz a bazȩ V + W Postać uwik lana V + W to x 4 = 0 [ 1 [ Ćwiczenie 3 Dane s a podprzeszteni V W C gdzie C to przeztrzeń liniowa nad C macierzy o wspó lczynnikack w ciele C postaci {[ } [ [ V = 0 1 x x 3 x + x 3 = 0 x 1 + x 4 = 0 W = 4 0 1 Oblicz V + W V W Czy C jest sum a prost a podprzestrzeni V i W? W takim przypadku podaj rok lad na sk ladowe wektorów [ 1 1 a = 3 1 Rozwi azanie: Z definicji V + W to zbiór C wektorów postaci V + W = {v + w v V w W } Aby ustalić V + W obliczymy uk lady generuj ace V i W Takie uk lady daj a nam uk lad generuj acy W + V
Dla V mamy [ M = x 3 x 4 [ V M = x x 1 = x 1 [ 0 1 + x [ 0 1 Z tego wynika że V = [ 0 1 M1 V := [ M V := 0 1 Latwo widać że [ 0 1 to baza dla V Dla W już mamy że baza to [ M1 W := 0 1 Wiȩc V + W = [ 0 1 [ 0 1 M W := [ 0 1 [ 0 1 [ 0 1 [ 0 1 Zast api ac elementy uk ladu generuj acego V + W przez liniowe kombinacje z tym elementem widać że [ [ [ [ 0 0 0 1 V + W = 0 1 [ 0 1 V + W = [ 0 1 V + W = [ [ [ 0 1 [ 0 1 [ 0 1 [ Wiȩc V + W jest zgenerowana przez bazȩ kanoniczn a C Zatem W + V = C i dim W + V = 4 Można bezpośrednio zauwaźyć że dim V W = dim V + dim W dim V + W = + 4 = 0 V W = 0
Możemy obliczyć też obliczyć V W za pomoc a postaci uwik lanych V i W Znamy już postać uwik lan a V Dla W mamy że [ [ [ [ W 0 1 = λ + µ x 3 x 4 x 3 x 4 0 1 Z tego wynika że x 1 = x 4 = µ i x = x 3 = λ i postać uwyk lana to x 1 x 4 = 0 x x 3 Wtedy widać że [ v = W V x x 3 x 1 = x 4 x = x 3 x 1 = x 4 x = x 3 4 Hence v = [ Skoro V +W = C 0 V W = {0} to mówi siȩ że V W s a w sumie prostej Z tego wynika że każdy element M C można zapisać tylko w jednym sposób jak M = M V + M W gdzie M V V i M W W W laśnie dany drugi rozk lad M = M V + M W to M V + M W = M V + M W M V M V = M W M W Prawa strona należy do V i lewa do W Skoro V W = {0} to 0 = M V M V = M W M W i z tego wynika że rozk lad M jest jedynym W naszym przypadku musimy obliczyć λ 1 λ λ 3 λ 4 takie że [ 1 1 a = = λ 3 1 1 M1 V + λ M V + λ 3 M1 W + λ 4 M W (31) Takie uk lad równań liniowych ma postać Z tego wynika że 1 = λ + λ 3 1 = λ 1 + λ 4 3 = λ 1 + λ 4 1 = λ + λ 3 λ 3 = 1 λ 4 = 1 λ = 0 λ 1 = Aby rozwi azać taki uk lad możemy też korzystać z form liniowych ω 1 = x 1 + x 4 ω = x + x 3 ω 3 = x 1 x 4 ω 4 = x x 3
W laśnie zastosuj ac ω 1 po obu stronach (31) otrzymujemy = ω (a) = ω 1 (λ 1 M1 V + λ M V + λ 3 M1 W + λ 4 M W ) = λ 3 λ 3 = 1 Podobnie 0 = ω (a) = ω (λ 1 M1 V + λ M V + λ 3 M1 W + λ 4 M W ) = λ 4 λ 4 = 1 Znowu 0 = ω 3 (a) = ω (λ 1 M1 V + λ M V + λ 3 M1 W + λ 4 M W ) = λ λ = 0 Zatem i 4 = ω 4 (a) = ω (λ 1 M V 1 + λ M V + λ 3 M W 1 + λ 4 M W ) = λ 1 λ 1 = a = M V 1 + M W 1 + M W a = [ 0 0 + [ 1 1 1 1 gdzie [ 0 0 V [ 1 1 1 1 W Ćwiczenie 4 Niech V = R 3 i W = {(x y z) x + y + z = 0} Oblicz klasy przestrzeni V/W i podaj interpretacjȩ geometrycznţych klas Udowodnij że V/W jest isomorficzny do R Rozwi azanie: Z definicji klasa absktrakcji [v przestrzeni V/W to zbiór Widać że zbiór [v = {w V v w W } v + W := {v + w w W } należy do [v W laśnie widać z definicji [v że każdy element [v należy też do [v Zatem [v = v + W
Geometrycznie W to p laszczyźna π przechod aca przez ( 0) Widać że W = [0 Dodatkowo mamy że [v to p laṡzczyźna π v równoleg la do W przechodz ac przez v W dok ladności aby zdefiniować równoleg lość potrzebujemy jakieś struktury matematycznej aby zdefiniować k aty i jeszcze tego nie mamy Tutaj równoleg ly tylko oznacza że p laszczyźnie π i π v maj a puste przeciȩcie Możemy udowodnić że V/W R dwoma sposobami Możemy zdefiniować odwzorowanie: Φ : V/W [v Φ([v) = ω(v) R gdzie ω(v) = (x + y + z)(v) gdzie x y z to s a odwzorowanie x(x 1 x x 3 ) = x 1 y(x 1 x x 3 ) = x z(x 1 x x 3 ) = x 3 Można udowodnić że ω to odwzorowanie liniowe cyzli ω(λ 1 v 1 + λ v ) = λ 1 ω(v 1 ) + λ ω(v ) dla dowolnych λ 1 λ R i v 1 v R 3 Teraz udowodnimy że Φ jest dobrze zdefiniowane W laśnie trzeba zauważyć że może si a zdarzyć że [v 1 = [v A takim przypadku Φ([v 1 ) = ω(v 1 ) i Φ([v ) = ω(v ) Ale skoro [v 1 = [v nasze odwzorowanie jest dobrze zdefiniowane wtedy i tylko wtedy gdy ω(v 1 ) = ω(v ) Natomiast [v 1 = [v w W v 1 = v + w ω(v 1 ) = ω(v ) + ω(w) Z definicji W wynika że ω(w) = 0 Zatem ω(v 1 ) = ω(v ) i Φ jest dobrze zdefiniowane Udowodnimy że Φ jest liniowe Trzeba pamiȩtać że V/W ma struktur a przestrzeni liniowej z dzia laniami: λ[v 1 = [λv 1 [v 1 + v = [v 1 + [v λ R v 1 v V Teraz i zatem Φ(λ 1 [v 1 + λ [v ) = Φ(λ 1 [v 1 + λ [v ) = Φ([λ 1 v 1 + λ v ) ω(λ 1 v 1 + λ v ) = λ 1 ω(v 1 ) + λ ω(v ) = λ 1 Φ([v 1 ) + λ Φ([v )
Teraz mamy udowodnić że Φ jest injekcj a czyli musimy sprawdzić że Korzystaj ac z liniowości ω mamy że Φ([v 1 ) = Φ([v ) [v 1 = [v Φ([v 1 ) = Φ([v ) ω(v 1 ) = ω(v ) ω(v 1 v ) = 0 v 1 v W [v 1 = [v Wiȩc Φ jest injekcj a Sprawdzamy że Φ jest surjekcj a Dla dowolnego λ R mamy że Φ([λ(1 )) = ω(λ(1 )) = λ R Zatem Φ(V/W ) = R i Φ jest surjekcj a Z tego wynika że Φ jest izomorfizmem Istnieje inna metoda aby udowodnić że Φ jest izomorfizmem Trzeba udowodnić że posiada funkcja odwrotna po prawie i lewej stronie czyli istnieje Φ : R V/W takie że Φ Φ = Id V/W i Φ Φ = Id R Możemy zdefinjować Φ : R λ [λ(1 ) V/W Wtedy Φ Φ(λ) = Φ([λ(1 ) = ω(λ(1 )) = λ = Id R (λ) i Φ Φ([v) = Φ(ω(v)) = ω(v)[(1 ) Skoro ω(v) = ω(ω(v)(1 )) to [v = [ω(ω(v)(1 )) i Φ Φ([v) = Φ(ω(v)) = [v = Id V/W ([v) Wiȩc Φ jest bijekcj a Ostatecznie możemy zdefiniować Φ inaczej Dana podprzestrzeń W możemy zdefiniować podprzestrzeń W tak a że W W = R 3 np W = (1 ) W takim przypadku każdy element v R 3 ma tylko jeden rozk lad Korzystaj ac z tego zdefiniujemy v = v W + v W v W W v W W Φ : V/W [v v W W Takie odwzorowanie jest dobrze zdefiniowane czyli jeżeli [v = [w to Φ([v 1 ) = Φ([v ) W laśnie [v 1 = [v w W v 1 W + v 1 W = v W + v W + w v 1 W v W = v W + w v 1 W
Skoro W W lewa strona należy od W i prawa do W to [v 1 = [v v 1 W v W = 0 v 1 W = v W Zatem Φ([v 1 ) = Φ([v ) Poza tym Φ)[v 1 = Φ([v ) [v 1 = [v i Φ jest injekcj a Dodatkowo Φ jest surjekcj a ponieważ dla dowolnego elementu e W mamy że Φ([e) = e Wiȩc Φ jest bijekcj a i skoro W R wynika że V/W R