Spis tre±ci 1. Wprowadzenie Sprawy formalne O matematyce O kursie Ci gªo± Pochodna Caªka

Spis tre±ci 1. Wprowadzeie 3 1.1. Sprawy formale 3 1.. O matematyce 3 1.3. O kursie 3 1.4. Ci gªo± 3 1.5. Pochoda 5 1.6. Caªka 6 1.7. Liczby rzeczywiste 6 1.8. Ie iformacje 6. Liczby rzeczywiste 7.1. Formala deicja 7.. Liczby aturale i zasada idukcji 8.3. Rozkªad a czyiki pierwsze 10.4. Ie zbiory liczb 10.5. Kresy 11 3. Ci gi liczbowe (cz ± I) 13 3.1. Deicje 13 3.. Zbie»o± 13 3.3. Zbie»o± a liczby rzeczywiste 16 3.4. Szeregi 18 4. Fukcja wykªadicza i logarytm 0 4.1. Fukcja wykªadicza 0 4.. Logarytm aturaly 4.3. Pot gowaie 3 5. Ci gi liczbowe (cz ± II) 5 5.1. Graice iewªa±ciwe 5 5.. Podci gi 7 5.3. Przykªady 30 6. Fukcje elemetare 3 6.1. Fukcje trygoometrycze 3 6.. Fukcje cyklometrycze 33 6.3. Fukcje elemetare 34 6.4. Ci gªo± fukcji elemetarych 35 7. Fukcje ci gªe 37 7.1. Wªaso±ci fukcji ci gªych 37 7.. Graice fukcji 40 7.3. Graice iewªa±ciwe fukcji 43 7.4. Graice jedostroe fukcji 44 7.5. Typy ieci gªo±ci 46 7.6. Asymptoty fukcji 47 8. Pochode 49 8.1. Deicje 49 8.. Obliczaie pochodych 50 8.3. Twierdzeia o warto±ci ±rediej 54 8.4. Ekstrema i mootoiczo± 56 1

8.5. Reguªa de l'hospitala 57

3 1. Wprowadzeie 1.1. Sprawy formale. [[...]] 1.. O matematyce. Matematyka to przede wszystkim dowodzeie twierdze«, czyli sztuka logiczego wyci gaia wiosków. Najlepszym przykªadem jest geometria euklidesowa: kilka stwierdze«przyjmuje si za pewiki s to aksjomaty albo postulaty i a ich podstawie tworzy si teori matematycz, czyli zbiór twierdze«. J zyk matematyki musi by ±cisªy, tak, aby ka»dy mógª bez trudu go zrozumie i sprawdzi poprawo± rozumowaia. Aby, jak w Plaecie maªp Pierre'a Boulle'a, móc udowodi swoj iteligecj awet przed obc cywilizacj. J zyk matematyki ie mo»e odwoªywa si do ituicji: pozorie oczywiste stwierdzeia wymagaj cz sto pracochªoego uzasadieia. Przykªadem iech b dzie twierdzeie Jordaa o krzywej : ka»da ci gªa liia zamki ta a pªaszczy¹ie dzieli j a dwie cz ±ci, z których jeda jest ograiczoa (w trze), a druga ieograiczoa (zew trze). Dªugo uzawao,»e fakt te ie wymaga uzasadieia, dopiero Berard Bolzao dostrzegª potrzeb ±cisªego dodwodu, który ast pie zostaª poday przez Camille'a Jordaa. Trzeba tu podkre±li,»e ituicja jest iezwykle wa»a w matematyce: pomaga stawia prawidªowe hipotezy i zajdowa wªa±ciwe argumety. Nale»y jedak pami ta, by zawsze sprawdza to, co wydaje si oczywiste. 1.3. O kursie. Tradycyja (i precyzyjiejsza) azwa kursu to Rachuek ró»iczkowy i caªkowy. Celem zaj jest zapozaie Pa«stwa z poj ciem pochodej i caªki, dwiema operacjami a fukcjach rzeczywistych, czyli fukcjach odwzorowuj cych podzbiór zbioru liczb rzeczywistych (ajcz ±ciej sum przedziaªów) w zbiór liczb rzeczywistych. Operacje te wprowadzoe zostaªy przez Isaaca Newtoa i Gottfrieda Leibiza pod koiec XVII wieku. Podobe idee mo»a odale¹ ju» w staro»yto±ci w pracach Archimedesa. J zyk matematyczy stosoway przez Newtoa i Leibiza byª ieprecyzyjy i przez to ie wszystkie uzyskae przez ich rezultaty byªy prawdziwe. Próby u±ci±leia teorii pochodej i caªki zako«czyªy si sukcesem dopiero w XIX wieku i jest to sukces wielu matematyków, m.i. Augustia-Louisa Cauchy'ego, Karla Weierstrassa i Berharda Riemaa. Wspóªczesy, bardzo sformalizoway j zyk pochodzi ju» z XX wieku, o czym w szczegóªach dowiedz si Pa«stwo a kursie Wst p do logiki i teorii mogo±ci. Cztery ajwa»iejsze poj cia w rachuku ró»iczkowym i caªkowym, a zapewe i w caªej aalizie matematyczej, to ci gªo± (oraz pokrewe poj cie graicy), pochoda, caªka i liczba rzeczywista. Szczegóªowo zosta oe omówioe pó¹iej, w tym miejscu warto jedak zasygalizowa, czym wªa±ciwie oe s. 1.4. Ci gªo±. Jeda wielko± zale»y od drugiej w sposób ci gªy, je±li odpowiedio maªa zmiaa pierwszej zmieia drug tylko iezaczie. Nie jest to precyzyja deicja, ale staowi dobry pukt wyj±cia. Stwierdzeie druga zmiea zale»y od pierwszej ozacza,»e druga zmiea jest fukcj pierwszej zmieej. Aby wyrazi si precyzyjie, potrzebe s ozaczeia: iech t b dzie pierwsz zmie (argumetem), za± f(t) drug zmie (fukcj ). Wygodie mie przed oczami kokrety obraz: iech a przykªad t ozacza czas, w sekudach, za± Dla wielok tów i wielu iych liii dowód ie jest bardzo trudy. Ale liie mog by bardzo ieregulare! Hasªa do dalszej lektury: fraktale, krzywa Osgooda. Autor otatek a stwierdzeie To jest oczywiste! zawsze odpowiada pytaiem: Dlaczego?.

4 f(t) pozycj (tj. odlegªo± od lufy) pocisku wystrzeloego z karabiu, w metrach. Fukcja f jest ci gªa, je±li odpowiedio maªa zmiaa warto±ci zmieej a przykªad z t a t + h ozacza maª zmia warto±ci fukcji z f(t) a f(t + h). ci±lej: dla dowolie zadaej maksymalej zmiay warto±ci fukcji ε > 0 mo»a dobra maksymal zmia warto±ci zmieej δ > 0 tak, aby zmiaa argumetu o miej i» δ ozaczaªa zmia warto±ci o miej i» ε: z waruku h < δ ma wyika waruek f(t + h) f(t) < ε. Deicja 1.1. Fukcja f jest ci gªa w pukcie t, je±li dla dowolego ε > 0 istieje δ > 0 o ast puj cej wªaso±ci: z waruku h < δ wyika f(t + h) f(t) < ε. Sªowo o historii: autorem powy»szej epsiloowo-deltowej deicji jest Karl Weierstrass, cho wcze±iej podobe sformuªowaie podaª Berard Bolzao. Cz sto azywaa jest oa deicj Cauchy'ego, mimo»e Augusti-Louis Cauchy stosowaª zamiast iej sformuªowaie oparte a ieprecyzyjym poj ciu wielko±ci iesko«czeie maªych. Aby udowodi,»e daa fukcja jest ci gªa, trzeba dla dowolego ε > 0 wskaza odpowiedi δ > 0 (lub przyajmiej udowodi jej istieie). Dla ±cisªo±ci: δ mo»e zale»e od warto±ci ε, fukcji f oraz argumetu t. Przykªad. Fukcja f(t) = t jest ci gªa w pukcie 1. Zachodzi bowiem f(1 + h) f(1) = 1 + h 1 = (1 + h) 1 h =. 1 + h + 1 1 + h + 1 Niech ε > 0 i iech δ b dzie miejsz z liczb ε i 1. Przy tym wyborze δ z waruku h < δ wyika [[rysuek]] f(1 + h) f(1) = h 1 + h + 1 < δ 0 + 1 = δ ε. Przykªad. Fukcja f(t) = 1 jest ci gªa w ka»dym pukcie swojej dziedziy. Zachodzi t bowiem f(t + h) f(t) = 1 t + h 1 t = (t + h) t (t + h)t = h t + h t. Niech t 0 oraz ε > 0. Wówczas istieje δ > 0 taka,»e δ < t oraz δ < 1 t ε. Przy tym wyborze δ z waruku h < δ wyika t + h t h t h > t t = t (dowód pierwszej ierówo±ci to jedo z wicze«a li±cie zada«r 1) i wobec tego [[rysuek]] f(t + h) f(t) = h t + h t < δ δ = t t t < ε. Przykªad. Wielko± t, azywaa podªog lub cz ±ci caªkowit liczby t, jest zdeiowaa jako ajwi ksza liczba caªkowita miejsza lub rówa t (czyli zaokr gleie t w dóª do ajbli»szej liczby caªkowitej). Fukcja f(t) = t jest ieci gªa w pukcie 0. W istocie Pukt ozacza tu to samo, co argumet. Wielko±ci iesko«czeie maªe mo»a uj w formale ramy, zajmuje si tym aaliza iestadardowa, lecz zgodie z azw jest to teoria wykraczaj ca poza stadardowy program studiów z matematyki, a przy tym maj ca stosukowo iewiele zastosowa«.

dla ε = 1 ie istieje taka δ > 0, dla której speªioy byªby waruek ci gªo±ci: je±li h < δ i 1 < h < 0, to h = 1 i w takim razie [[rysuek]] f(0 + h) f(0) = h 0 = 1 0 = 1 = 1 > 1 = ε. Powy»sze trzy przykªady wiele mówi o tym, jak ale»y przeprowadza dowody matematycze. Poj cie ci gªo±ci rozszerza si w ró»ych kierukach: rozwa»a si fukcje wielu zmieych lub o warto±ciach a pªaszczy¹ie czy w przestrzei (a przykªad we wspomiaym twierdzeiu Jordaa). Jed z podstawowych wªaso±ci fukcji ci gªych jest wªaso± warto±ci po±rediej, azywaa zwykle w Polsce wªaso±ci Darboux. [[rysuek]] Twierdzeie 1.. Je±li fukcja f jest ci gªa w ka»dym pukcie przedziaªu [a, b] oraz y jest zawarte pomi dzy f(a) i f(b), to rówaie f(t) = y ma rozwi zaie w przedziale [a, b]. Kolejym podstawowym twierdzeiem jest wªaso± osi gaia kresów. [[rysuek]] Twierdzeie 1.3. Je±li fukcja f jest ci gªa w ka»dym pukcie przedziaªu [a, b], to przyjmuje oa w tym przedziale warto± ajmiejsz oraz warto± ajwi ksz. Podobie jak twierdzeie Jordaa, powy»sze wªaso±ci wydaj si oczywiste; wymagaj jedak dowodu. Te a szcz ±cie jest do± ªatwy, cho wymaga dokªadego zrozumieia, czym s liczby rzeczywiste i wobec tego zostaie poday w cz ±ci dotycz cej ci gªo±ci. 1.5. Pochoda. Je±li fukcja f(t) opisuje poªo»eie w czasie, to ±redia pr dko± w przedziale czasowym [t, t + h] wyra»a si wzorem [[rysuek]] Gdy a przykªad f(t) = 1 t, to g(h) = g(h) = f(t + h) f(h) h 1 (t + h) 1 t h. = t + h. rodkowe wyra»eie ie jest okre±loe, gdy h = 0, ale ju» wyra»eie po prawej stroie ma wtedy ses. Naturale jest zatem rozszerzeie deicji g tak, aby g(0) = t. Nie zawsze jest tak prosto: je±li f(t) = t, to wyra»eia g(h) = t+h t h ie sposób upro±ci tak, by miaªo oo ses dla h = 0. Mimo to fukcj g(h) mo»a rozszerzy (zadaj c odpowiedi warto± g(0)) tak, aby uzyska fukcj ci gª. Dowód tego faktu zostaie poday w cz ±ci dotycz cej pochodych. [[rysuek]] Warto± f(t 0 ), która czyi z daej fukcji f(t) fukcj ci gª w pukcie t 0, azywa si graic tej fukcji w t 0. Je±li dla zadaej warto±ci t fukcja (f(t + h) f(t))/h zmieej h ma graic w pukcie 0, to opisuje oa pr dko± chwilow i azywaa jest pochod fukcji f w pukcie t. Iterpretacj geometrycz pochodej jest tages k ta achyleia styczej do wykresu fukcji f w pukcie (t, f(t)). Spotykae ozaczeia pochodej to pochodz ce od Newtoa (i stosowae tutaj) f (t), wprowadzoe przez Leibiza df, podobe zapisy d f(t) i f(t), a tak»e zapis operatorowy Df(t). Obliczaie pochodej fukcji dt dt 5

6 zadaej wzorem azywae jest ró»iczkowaiem i jest zazwyczaj czyo±ci zaskakuj co ªatw. 1.6. Caªka. Zagadieie odwrote: wyzaczaie fukcji, je±li zaa jest jej pochoda, jest zaczie trudiejsze i azywae jest caªkowaiem. Je±li g(t) jest pochod f(t), tj. g(t) = f (t), to f(t) azywaa jest fukcj pierwot lub caªk ieozaczo fukcji g(t). Stosowae jest ozaczeie f(t) = g(t)dt, którego pochodzeie wyja±ioe jest w kolejym akapicie. O ile ka»d fukcj zada prostym wzorem mo»a ªatwo zró»iczkowa, o tyle caªki iektórych fukcji (a przykªad t 3 + 1) ie wyra»aj si ªatwym wzorem. Warto wspomie,»e (w odró»ieiu od pochodej) caªka ieozaczoa ie jest wyzaczoa jedozaczie: je±li f(t) jest caªk g(t), to dla dowolej staªej C fukcja f(t) + C rówie» jest caªk g(t). Jedym z zaskakuj cych zastosowa«caªki jest obliczaie pola pod wykresem fukcji: pole trapezu krzywoliiowego zawartego pomi dzy przedziaªem [t 1, t ] a osi poziomej i poªo»oym ad tym przedziaªem odcikiem wykresu fukcji g(t) dae jest wzorem f(t ) f(t 1 ), gdzie f(t) jest caªk ieozaczo z g(t). [[rysuek]] Wielko± t azywa si caªk ozaczo fukcji g(t) a przedziale [t 1, t ] i ozacza symbolem t t 1 g(t)dt. Zachodzi zatem zasadiczy wzór rachuku ró»iczkowego i caªkowego : t g(t)dt = f(t ) f(t 1 ), gdzie g(t) = f (t). t 1 Caªki ieozaczoe i ozaczoe maj móstwo iych zastosowa«, o których wi cej zostaie powiedziae w cz ±ci dotycz cej caªkowaia. 1.7. Liczby rzeczywiste. W dowodzie wªaso±ci Darboux [[szkic?]] potrzeba jest ast puj ca wªaso± kresów : je±li iepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych jest ograiczoy z góry, to ma kres góry, czyli istieje liczba a o wªaso±ciach: x a dla wszystkich elemetów x zbioru A; je±li liczba b ma aalogicz wªaso±, to a b. Faktu tego ie da si udowodi, wykorzystuj c tylko prawa dziaªa«i ierówo±ci (wtedy bowiem wªaso± t miaªyby te» liczby wymiere). S dwa rozwi zaia: mo»a przyj to stwierdzeie za aksjomat, albo odpowiedio skostruowa zbiór liczb rzeczywistych przy pomocy bardziej podstawowych poj. Podej±cie aksjomatycze (przedstawioe w kolejym rozdziale) wymaga miej pracy, ale ie gwaratuje istieia zbioru liczb rzeczywistych. Kostrukcja jest bardziej pracochªoa, ale te» bardziej amacala jest tre±ci wiczeia dodatkowego a li±cie zada«r. 1.8. Ie iformacje. W otatkach b d si pojawiaªy odo±iki do ast puj cych podr czików: [Leja] Fraciszek Leja, Rachuek ró»iczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 008. [MWM] Marek Zakrzewski, Markowe wykªady z matematyki, GiS, Wrocªaw, 013. Pierwszy to klasyka polskiej literatury matematyczej. Drugi jest doskoaªym podr czikiem, przezaczoym gªówie dla studetów kieruków iematematyczych, ale iezwykle ceym rówie» dla Pa«stwa. To zdaie jest ±cisªym twierdzeiem matematyczym: ie istieje wzór opisuj cy t 3 + 1 dt, cho sk di d wiadomo,»e caªka istieje.

7. Liczby rzeczywiste.1. Formala deicja. Te rozdziaª jest iy i» wszystkie pozostaªe. Wszyscy ituicyjie rozumiej, czym s liczby rzeczywiste, ale dla peªej ±cisªo±ci potrzeba formalych deicji. Dla porz dku: zbiór A jest ograiczoy z góry, je±li istieje x o ast puj cej wªaso±ci: a x dla wszystkich a A. Podobie A jest ograiczoy z doªu, je±li istieje x o wªaso±ci: x a dla wszystkich a A. Deicja.1. Liczby rzeczywiste to zbiór R, w którym wyró»ioo dwa ró»e elemety 0 i 1, okre±loo dziaªaia + i oraz zadao porz dek w taki sposób,»e: (R1) dziaªaie + jest przemiee i ª cze, 0 jest elemetem eutralym (tj. x+0 = x), a ka»da liczba ma liczb przeciw (tj. tak liczb x,»e x + ( x) = 0); (R) dziaªaie jest przemiee i ª cze, 1 jest elemetem eutralym (tj. x 1 = x dla x 0), a ka»da róza od zera liczba ma liczb odwrot (tj. tak liczb x 1,»e x x 1 = 0); (R3) dziaªaie jest rozdziele wzgl dem dziaªaia + (tj. (x+y) z = (x z)+(y z)); (R4) porz dek to relacja zwrota (tj. x x), atysymetrycza (tj. je±li x y oraz y x, to x = y) i przechodia (tj. je±li x y oraz y z, to x z), która dodatkowo speªia waruek liiowo±ci (tj. x y lub y x); (R5) dziaªaia s zgode z porz dkiem (tj. je±li x y, to x + z y + z, za± je±li 0 x i 0 y, to 0 x y); (R6) je±li iepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych jest ograiczoy z góry, to ma kres góry, czyli istieje liczba a o wªaso±ciach: x a dla wszystkich elemetów x A; je±li liczba b ma aalogicz wªaso±, to a b. Waruek (R1) ozacza,»e zbiór R z dziaªaiem + jest grup przemie, za± waruek (R)»e grup przemie jest R \ {0} z dziaªaiem. Waruki (R1)(R3) ozaczaj,»e zbiór R z dziaªaiami + i jest ciaªem liczbowym. Waruek (R4) ozacza,»e R z relacj jest zbiorem liiowo uporz dkowaym. Wszystkie waruki oprócz (R6) ozaczaj,»e R z dziaªaiami + i oraz relacj jest ciaªem uporz dkowaym. Waruek (R6) osi azw waruku zupeªo±ci Dedekida. Kres góry zbioru A azyway jest te» supremum A i ozaczay sup A. Aalogiczie zdeiowa mo»a kres doly A, azyway imum A i ozaczay if A. Nie trzeba zakªada istieia imum zbiorów ograiczoych z doªu, jest to kosekwecja aksjomatów (R1)(R6) (jest to wiczeie a li±cie zada«r ). Oczywi±cie stosoway b dzie zapis x y zamiast x + ( y), xy zamiast x y oraz x/y lub x zamiast x y y 1. Poadto x < y ozacza x y i x y, x y za± to samo, co y x; podobie x > y to iy zapis y < x. Dzi ki ª czo±ci wolo pisa a przykªad x + y + z; tradycyjie te» x y + z ozacza (x y) + z. Poadto x = x x, x 3 = x x x itd. Wszystko to wydaje si oczywiste, ale jest elemetem formalej deicji stosowaych tu ozacze«. Z aksjomatów (R1)(R6) mo»a wywioskowa wszystkie dobrze zae wªaso±ci zbioru liczb rzeczywistych, cho ie zawsze jest to ªatwe. Kilka wicze«a te temat zajduje si a li±cie zada«r, ilustracj jest poi»szy przykªad. Tego typu rozwa»aia ie s gªówym tematem kursu, ale warto cho raz si z imi zmierzy.

8 Twierdzeie.. Zachodzi 0 < 1. Dowód. Dowód jest zadziwiaj co skomplikoway i skªada si z kilku cz ±ci: elemet przeciwy jest wyzaczoy jedozaczie; w istocie, je±li a + x = 0 oraz b + x = 0, to a = a + 0 = a + b + x = b + a + x = b + 0 = b; elemet eutraly dodawaia jest wyzaczoy jedozaczie; w istocie, je±li dla wszystkich x zachodzi x + a = x i x + b = x, to a = a + b = b; 0 x = 0; w istocie, 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x, sk d 0 = 0 x; ( 1) x = x; w istocie, x + ( 1) x = 1 x + ( 1) x = (1 + ( 1)) x = 0 x = 0, zatem ( 1) x jest elemetem przeciwym do x; ( x) = x; w istocie, x z deicji jest elemetem przeciwym do x; ( 1) ( 1) = 1; w istocie, ( 1) ( 1) = ( 1) = 1; je±li x 0, to x 0; w istocie, x 0 ozacza x + ( x) 0 + ( x), czyli 0 x; x x 0; w istocie, je±li x > 0, to x x 0; je±li za± x 0, to x 0, wi c x x = 1 x x = ( 1) ( 1) x x = ( x) ( x) 0. Pozostaje zauwa»y,»e 1 = 1 1 0, za± z deicji 1 0. W dalszej cz ±ci wªaso±ci liczb rzeczywistych zae ze szkoªy ±rediej b d wykorzystywae bez szczegóªowego dowodu (takiego, jak powy»ej), czasem tylko szkic takiego dowodu b dzie poday w formie uwagi. Nale»y jedak pami ta,»e wszystkie te wªaso- ±ci mo»a wyprowadzi wprost z aksjomatów. Wa»e te» jest ast puj ce twierdzeie. Twierdzeie.3. Zbiór liczb rzeczywistych istieje (tj. mo»a skostruowa zbiór i dziaªaia o po» daych wªaso±ciach przy pomocy metod logiki i teorii mogo±ci). Dowód (kostrukcja zbioru liczb rzeczywistych) jest wiczeiem dodatkowym a li±cie zada«r... Liczby aturale i zasada idukcji. Formala deicja zbioru liczb aturalych jest ieco ieaturala. Deicja.4. Liczby aturale to podzbiór N zbioru R o ast puj cych wªaso±ciach: (a) 0 ale»y do N; (b) je±li N, to + 1 N; (c) dowoly podzbiór A zbioru R o powy»szych dwóch wªaso±ciach zawiera N. Dowód poprawo±ci deicji. Niech B b dzie cz ±ci wspól wszystkich zbiorów A R o wªaso±ciach: 0 A; je±li A, to + 1 A. Wówczas 0 B oraz je±li B, to + 1 B. Poadto B jest podzbiorem ka»dego zbioru A R o tych wªaso±ciach. Zatem B jest zbiorem liczb aturalych. Pozorie oczywistym, ale bardzo wa»ym twierdzeiem jest poi»sza zasada idukcji. Zob. te» [Leja, V.1].

9 Twierdzeie.5. Niech ϕ() ozacza pewe zdaie dotycz ce liczby N. Je±li ϕ(0) jest prawdziwe, a poadto dla ka»dego N prawdziwa jest implikacja: z ϕ() wyika ϕ( + 1), to ϕ() jest prawdziwe dla ka»dego N. Dowód. Niech A b dzie zbiorem tych liczb aturalych, dla których ϕ() jest prawdziwe. Z zaªo»eia 0 A oraz je±li A, to + 1 A. Z deicji zbioru liczb aturalych zachodzi N A. Ale A N, zatem A = N. Przykªad. Dla ka»dej liczby aturalej zachodzi >. W istocie, dla = 0 zachodzi = 1 > 0 =. Je±li za± dla pewego N zachodzi > (zaªo»eie idukcyje), to +1 = + + 1 > + 1 (ostatia ierówo± wyika z zaªo»eia idukcyjego, za± oczywista ierówo± 1 formalie te» ma dowód idukcyjy: 0 = 1 oraz je±li 1, to +1 = 1 1). Dowodzoa ierówo± wyika zatem a mocy zasady idukcji. Nast puj ce rozszerzeie zasady idukcji jest bardzo u»ytecze. Twierdzeie.6. Niech ϕ() ozacza pewe zdaie dotycz ce liczby N i iech N b dzie ustalo liczb atural. Je±li ϕ(n) jest prawdziwe, a poadto dla ka»dego aturalego N prawdziwa jest implikacja: z ϕ() wyika ϕ( + 1), to ϕ() jest prawdziwe dla ka»dego aturalego N. Dowód. Niech ψ(k) ozacza zdaie ϕ(n +k). Wówczas ψ speªia zaªo»eia zasady idukcji, a wi c ψ(k) zachodzi dla ka»dego k N. St d ϕ() zachodzi dla ka»dego aturalego N. W powy»szym dowodzie wykorzystao ast puj c wªaso± liczb aturalych: je±li m,, m N, to m N. Na margiesie warto zauwa»y,»e formaly dowód tej wªaso±ci jest»mudy (i przyale»y raczej do kursu Wst p do logiki i teorii mogo±ci ; w skrócie: dowodzi si,»e (1) N wtedy i tylko wtedy, gdy = 0 lub 1 N; () dla ka»dego N z waruków k N, k wyika k N). Ie bardzo u»ytecze (i dobrze zae) fakty to: 0 dla N; je±li, m N i > m, to m + 1; je±li, m N, to + m N i m N (wybrae wªaso±ci s tre±ci iektórych wicze«a li±cie zada«r ). Przykªad. Dla ka»dej liczby aturalej 4 zachodzi. W istocie, dla = 4 zachodzi = 16 =. Je±li za± dla pewego aturalego 4 zachodzi (zaª. id.), to +1 = ( + 1) (pierwsza ierówo± wyika z zaªo»eia idukcyjego, drugiej ierówo±ci mo»a za± dowie± ast puj co: ( + 1) = 1 4 1 = 1 0). Wa»ym twierdzeiem rówowa»ym zasadzie idukcji jest ast puj ca zasada miimum. Twierdzeie.7. Ka»dy iepusty podzbiór zbioru liczb aturalych ma elemet ajmiejszy. Dowód. Niech A b dzie podzbiorem N bez elemetu ajmiejszego. Niech B b dzie zbiorem tych b N, dla których b a dla wszystkich a A. Wówczas 0 B (bo wszystkie liczby aturale s ieujeme). Przypu± my,»e b B, ale b + 1 / B, a wi c

10 b + 1 > a dla pewego a A. Skoro b a, to b = a (bo z ierówo±ci b + 1 > a wyika b a), a wi c a jest ajmiejszym elemetem A, wbrew zaªo»eiu. Zatem je±li b B, to b + 1 B. Na mocy deicji N zachodzi B = N. Je±li wi c a A, to a + 1 N = B, sk d a + 1 a, sprzeczo±. Wobec tego A jest zbiorem pustym..3. Rozkªad a czyiki pierwsze. Niech N + ozacza dodatie liczby aturale. Deicja.8. Liczb p N + azywa si liczb pierwsz, je±li p > 1 oraz ka»dy rozkªad a czyiki p = m (gdzie, m N + ) zawiera czyik 1, tj. = 1 lub m = 1. Twierdzeie.9. Ka»da liczba aturala > 1 jest iloczyem sko«czeie wielu liczb pierwszych. Dowód. Gdyby twierdzeie ie byªo prawdziwe, z zasady miimum istiaªaby ajmiejsza liczba aturala k > 1, która ie jest iloczyem sko«czeie wielu liczb pierwszych. W szczególo±ci k ie jest liczb pierwsz, a wi c ma rozkªad k = m, gdzie, m N + oraz > 1 i m > 1. St d < k oraz m < k, czyli i m s iloczyami sko«czeie wielu liczb pierwszych. Zatem i k = m ma t wªaso±, sprzeczo±. Dowód kolejego twierdzeia, azywaego twierdzeiem o jedozaczo±ci rozkªadu a czyiki pierwsze albo zasadiczym twierdzeiem arytmetyki, staowi tre± wiczeia dodatkowego a li±cie zada«r. Te pozorie oczywisty wyik jest ieoczekiwaym wioskiem z (rozszerzoego) algorytmu Euklidesa zajdowaia ajwi kszego wspólego dzielika. Twierdzeie.10. Rozkªad a czyiki pierwsze jest jedozaczy: je±li N + i > 1, to istieje wyzaczoy jedozaczie sko«czoy ci g liczb pierwszych p 1, p,..., p k taki,»e = p 1 p p k oraz p 1 p... p k..4. Ie zbiory liczb. Poi»sze deicje przytoczoe s gªówie po to, by ustali ozaczeia. Deicja.11. Przedziaªem sko«czoym o ko«cach a i b (gdzie a < b) azywa si ka»dy ze zbiorów (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b) = {x R : a x < b}, [a, b] = {x R : a x b}, (a, b] = {x R : a < x b}. Przedziaªem iesko«czoym o ko«cu a azywa si ka»dy ze zbiorów (a, + ) = {x R : a < x}, [a, + ) = {x R : a x}, (, a) = {x R : x < a}, (, a] = {x R : x a}. Symbole + i ie maj tu»adego matematyczego zaczeia. W szczególo±ci ie s to liczby rzeczywiste!

11 Deicja.1. Liczby caªkowite to zbiór Z liczb postaci lub, gdzie N. Liczby wymiere to zbiór Q liczb postaci /m, gdzie Z, m N +. Liczby iewymiere to liczby rzeczywiste, które ie s wymiere. Zbiór N jest zamki ty ze wzgl du a dodawaie, zbiór Z dodawaie i odejmowaie. Zbiór Q jest uporz dkowaym ciaªem liczbowym: speªia wszystkie postulaty R z wyj tkiem ostatiego, o istieiu kresów. Twierdzeie.13. Liczby wymiere i liczby iewymiere le» g sto w R: ka»dy przedziaª zawiera zarówo liczb wymier, jak i liczb iewymier. Dowód. Niech b > a i iech m N b dzie wi ksze i». Przedziaª (ma, mb) ma dªugo± b a wi ksz od, zawiera wi c iezerow liczb caªkowit (±cisªy dowód ostatiego wyikaia jest do±»mudym wiczeiem) iech b dzie i. Zachodzi wi c ma < < mb, czyli (a, b). m Podobie przedziaª (a, b ) zawiera iezerow liczb wymier k. Wobec tego l k (a, b). Zatem (a, b) zawiera liczb wymier i liczb iewymier k (iewymiero± ostatiej wyika z wiczeia a li±cie zada«r ). l m l.5. Kresy. Przypomieie: liczb x = sup A azywa si kresem górym lub supremum zbioru A, je±li: (a) a x dla wszystkich a A; (b) je±li y ma wªaso± : a y dla wszystkich a A, to x y. Drug wªaso± rówowa»ie mo»a zapisa w postaci (b') je±li y < x, to y < a dla pewego a A. Rówowa»ie oba waruki mo»a zapisa w bardziej geometryczej postaci [[rysuek]]: (a) A (, x]; (b) A (x ε, x] jest iepusty dla dowolego ε > 0. W ostatim waruku wystarczy rozwa»a dowolie maªe liczby ε > 0, tj. mo»a zast pi te waruek jeszcze iym: (b''') A (x ε, x] jest iepusty dla dowolego ε (0, E), gdzie E jest dowol ustalo liczb dodati. W istocie, je±li A (x ε, x] jest iepusty dla pewego ε > 0, to jest iepusty dla wszystkich wi kszych warto±ci ε. Aalogiczie wprowadza si poj cie kresu dolego: x = if A jest kresem dolym lub imum zbioru A, je±li (a) a x dla wszystkich a A; (b) je±li y ma wªaso± : a y dla wszystkich a A, to x y. Zów, rówowa»ie: (a') A [x, + ); (b') A [x, x + ε) jest iepusty dla dowolego ε (0, E), gdzie E jest ustalo liczb dodati. Elemet x A jest elemetem ajwi kszym zbioru A, je±li a x dla ka»dego a A. W tej sytuacji x = sup A (bowiem A (, x] oraz x A (x ε, x] dla ε > 0). Podob wªaso± maj elemety ajmiejsze s kresami dolymi.

1 Zbiór ograiczoy z góry ie musi zawiera elemetu ajwi kszego: a przykªad sup(a, b) = b (bowiem (a, b) (, b] oraz (a, b) (b ε, b] = (b ε, b) jest iepusty gdy ε (0, b a) korzystamy tu z waruku (b''')), ale b ie ale»y do (a, b). Przykªad. Zbiór {1 1 : N +} zawiera elemet ajmiejszy 0 (bo 1 1 = 0 dla = 1 oraz 1 1 1 1 = 0 dla 1), ie zawiera za± elemetu ajwi kszego. Jego kres góry to 1 (bo 1 1 1 oraz dla dowolego ε > 0 istieje N + takie,»e 1 1 > 1 ε (rówowa»ie: > 1). ε Przykªad. Niech A = {x + x : x > 0}. Zbiór A jest ieograiczoy z góry, bo x + x > x, zatem»ada liczba x > 0 ie jest ograiczeiem A z góry. Poiewa» x + x = + ( x /x), zbiór A jest ograiczoy z doªu przez. Rówo± w ostatiej ierówo±ci zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = /x, czyli x =, czyli x =. Wobec tego A zawiera elemet ajmiejszy. Przykªad. Niech A = {x + : x Q, x > 0}. Jak poprzedio, A jest ieograiczoy z x góry i ograiczoy z doªu przez. Liczba ta ie ale»y do A, bowiem x = ie jest liczb wymier (jest to wiczeie a li±cie zada«r ). Zachodzi jedak if A = : dla ε > 0 rozwi zaiem ierówo±ci x + < + ε jest pewie przedziaª zawarty w x (0, ) (szczegóªy s ªatwym wiczeiem), który zawiera pew liczb wymier. Wobec tego + ε ie jest ograiczeiem z doªu zbioru A. [[rysuek]] Przykªad. Kresem dolym zbioru { : N + } jest 0, a kresem górym jest 1. Dowód jest do± skomplikoway. Oczywi±cie 0 jest ograiczeiem z doªu zbioru A. Niech x ozacza kres doly A i przypu± my,»e x > 0. Niech k = 1. Wówczas 1 k < 1 + 1, czyli 1 kx < 1 + x. W x x x szczególo±ci 1+x > x. Niech a A speªia waruek x a < 1+x. Wtedy 1 ka < 1+x. k k Liczba a jest postaci, zatem ka = k k. Niech y = k k oraz z = k k. Wówczas y [1, 1 + x) oraz z [0, 1), zatem 0 < y z < 1 + x. Poiewa» y z = k k jest liczb caªkowit, zachodzi y z = 1 i w zwi zku z tym z [0, x). Ale z A, wi c z x sprzeczo±! Zaªo»eie,»e x > 0, musi by zastem faªszywe. Aalogiczie (cho ieco trudiej) dowodzi si rówo±ci sup A = 1.

13 3. Ci gi liczbowe (cz ± I) 3.1. Deicje. Poi»sze deicje s do± stadardowe. Deicja 3.1. Ci g (formalie: iesko«czoy ci g liczbowy ) to fukcja a z N + w R. Warto±ci fukcji a azywae s wyrazami ci gu i ozaczae a = a(), za± argumety ideksami. Zamiast a (ozaczeie fukcji, czyli caªego ci gu) dla przejrzysto±ci pisze si (a : N + ) lub w skrócie (a ). Deicja 3.. Ci g (a ) jest ograiczoy z góry, je±li istieje x o wªaso±ci: a x dla wszystkich N + ; ograiczoy z doªu, je±li istieje x o wªaso±ci: a x dla wszystkich N + ; ograiczoy, je±li je±li jest ograiczoy z doªu i z góry; ros cy (lub iemalej cy), je±li a a +1 dla wszystkich N + ; malej cy (lub ieros cy), je±li a a +1 dla wszystkich N + ; ±ci±le ros cy, je±li a < a +1 dla wszystkich N + ; ±ci±le malej cy, je±li a > a +1 dla wszystkich N + ; mootoiczy, je±li jest ros cy lub malej cy. Deicja 3.3. Ci g (a ) ma da wªaso± od pewego miejsca lub dla dostateczie du»ych, je±li wªaso± ta jest speªioa przy dodatkowym zaªo»eiu,»e wszystkie ideksy s rówe co ajmiej daej liczbie k N +. Na przykªad ci g jest ros cy od pewego miejsca, je±li istieje k N + takie,»e a a +1 dla wszystkich aturalych k. 3.. Zbie»o±. Motywacja: ci g jest zbie»y, je±li koleje wyrazy s coraz lepszymi, dowolie dokªadymi przybli»eiami pewej liczby, azywaej graic. Deicja 3.4. Ci g (a ) jest zbie»y do x (iaczej: ma graic x lub d»y do x), je±li dla ka»dego ε > 0 istieje N takie,»e dla > N zachodzi a x < ε. Fakt te zapisuje si w postaci lim a = x. Ci g, który ie ma graicy, azyway jest + rozbie»ym. Liczba N mo»e zale»e od ε (i oczywi±cie od samego ci gu (a )), ale ie mo»e zale»e od. Powy»sz deicj mo»a modykowa (i uzyska rówowa» deicj ) a kilka sposobów: zamiast dowolego ε > 0 mo»a rozwa»a a przykªad tylko ε = 1 dla k k N +, albo ε = 1 dla k N, albo ε (0, E) dla dowolie ustaloego E > 0; k waruek > N mo»a zast pi warukiem N; waruek a x < ε mo»a zast pi warukiem a x ε; Zob. [Leja, I.79]; ieco zmieioe zostaªy ozaczeia. Zob. [Leja, II.14], [MWM,.1].

14 mo»a wymaga, by N byªo liczb atural. Dowód jest wiczeiem wst pym a li±cie zada«umer 5. Waruek a x < ε ozacza tyle, co x ε < a < x + ε, czyli a (x ε, x + ε). Oczywi±cie je±li dwa ci gi s rówe od pewego miejsca, to zbie»o± jedego z ich ozacza zbie»o± drugiego do tej samej graicy. Podobie pomii cie lub dopisaie sko«czeie wielu wyrazów ci gu ie wpªywa a zbie»o± i graic. Twierdzeie 3.5. Graica wyzaczoa jest jedozaczie. Dowód. Je±li x < y i obie te liczby s graicami ci gu (a ), to dla ε = 1 (y x) zachodzi a (x ε, x+ε) dla N 1 oraz a (y ε, y +ε) dla N. Dla rówego wi kszej z liczb N 1 i N zachodzi a (x ε, x + ε) (y ε, y + ε) =, sprzeczo±. Przykªad. Ci gi o wyrazach 1 i 1 s zbie»e do zera (speªiaj deicj odpowiedio z N = 1 ε oraz N = 1 ε ). Przykªad. Ci g staªy jest zbie»y do swej (staªej) warto±ci (speªioa deicja z N = 0). Przykªad. Ci g o wyrazach ( 1) ie jest zbie»y, bowiem dla dowolego x deicja zbie»o±ci ie jest speªioa: dla ε = 1 ie istieje N takie,»e a x < ε dla N, gdy» ozaczaªoby to 1 x < ε (istieje parzysty N) oraz 1 x < ε (istieje ieparzysty N), sk d = (1 x) + (1 + x) < 1 x + 1 x < ε =, sprzeczo±. Przykªad. Ci g o wyrazach a = ( + 1 ) jest zbie»y do 1 : a = ( + 1 ) = (( + 1) ) + 1 + = 1 1 + 1/ + 1, zatem a < 1 oraz a > 1/((1 + 1 ) + 1) = N = 1. ε = 1 1 > 1 1 ; wystarczy wi c wzi +1 4+ Twierdzeie 3.6. Je±li ci gi (a ) i (b ) s zbie»e oraz a b (od pewego miejsca), to lim a lim b. + + Dowód. Niech x = lim a, y = lim b. Gdyby x > y, to dla ε = 1 (x y) i dostateczie + + du»ych zachodziªoby a (x ε, x + ε) i b (y ε, y + ε), wbrew a b. Wiosek 3.7. Je±li ci g (a ) jest zbie»y oraz a b (od pewego miejsca), to lim a b; je±li za± a b (od pewego miejsca), to lim a b. + + Twierdzeie 3.8. Ci g zbie»y jest ograiczoy. Dowód. Niech x = lim a. Istieje N takie,»e gdy N, to a (x 1, x + 1) + (ε = 1). Ci g (a ) jest wi c ograiczoy z góry przez ajwi ksz z liczb a 1, a,..., a N 1, x + 1, a z doªu przez ajmiejsz z liczb a 1, a,..., a N 1, x 1. Przykªad. Ci g o wyrazach ie jest zbie»y (bo jest ieograiczoy: je±li > x, to > x).

15 Poi»sze twierdzeie to tzw. twierdzeie o trzech ci gach. Twierdzeie 3.9. Je±li ci gi (a ) i (c ) s zbie»e do tej samej graicy oraz a b c (od pewego miejsca), to i ci g (b ) jest zbie»y, do tej samej graicy. Dowód. Niech x = lim a = lim c. Dla dostateczie du»ych zachodzi a, c + + (x ε, x + ε), a wi c i b (x ε, x + ε). Przykªad. Ci g o wyrazach 1 +1 jest zbie»y do zera, bo 0 < 1 +1 < 1. W kolejych przykªadach wykorzystao podae poi»ej twierdzeie o artytmetyce graic. Przykªad. Ci g o wyrazach jest zbie»y do 1, bo 1 < 1+ 1 Beroulliego, a ci gi o wyrazach 1 oraz 1 + 1 d» do 1. a mocy ierówo±ci Przykªad. Ci g o wyrazach 1 jest zbie»y do, bo 3 > 1 dla 3, zatem / 1 dla 3, a ci gi o wyrazach / oraz d» do. Poi»sze fudametale twierdzeie osi azw twierdzeia o arytmetyce graic. Twierdzeie 3.10. Je±li lim a = x oraz + lim (a b ) = x y, + lim b = y, to + lim (a b ) = xy, a je±li h 0, to rówie» + lim (a + b ) = x + y, + a b = x. y lim + Dowód. Je±li a x < ε i b h < ε, to (a +b ) (x+y) < ε i (a b ) (x y) < ε. St d wyikaj pierwsze dwie wªaso±ci. ε Niech ε > 0 i iech δ b dzie ajmiejsz z liczb 1, oraz ε. Je±li a (1+ x ) (1+ y ) x < δ oraz b y < δ, to a b xy = a (b y) + (a x)y a (b y) + (a x)y = a b y + a x y a δ + δ y. Poadto a = (a x) + x a x + x < δ + x 1 + x, a wi c a b xy < (1 + x )δ + δ y < ε + ε = ε. To dowodzi trzeciej wªaso±ci. Aalogiczie je±li δ jest ajmiejsz z liczb 1, ε y i, za± a 4(1+ x ) x < δ i b y < δ, to sk d b = y (y b ) y y b y δ y, 1 b 1 y = y b y b Dalej jak w dowodzie trzeciej wªaso±ci: δ y b δ y. a b x y a 1 b 1 y + a x 1 y (1 + x ) δ y + δ 1 y < ε + ε = ε. y, ε y

16 Uwaga: dopuszcza si sytuacj, w której b = 0 dla pewych. Wtedy ci g ( a b ) jest okre±loy tylko od pewego miejsca, a w powy»szym dowodzie ale»y przyj,»e ale»y do dziedziy ci gu ( a b ) (czyli b 0). Ogóliej: mówi si o graicach ci gów okre±loych tylko od pewego miejsca, p. lim + 1 100 = 0, cho sety wyraz ci gu jest ieokre±loy. W dowodzie twierdzeia w istocie udowodioo rówie» poi»sze twierdzeie, które osi azw ci gªo±ci dziaªa«arytmetyczych, wystarczy w miejsce a i b pisa a i b. [[rysuek]] Twierdzeie 3.11. Niech x, y R i iech ε > 0. Istieje wówczas δ > 0 taka,»e je±li a x < δ i b y < δ, to (a + b) (x + y) < ε, (a b) (x y) < ε, ab xy < ε, a je±li y 0, to tak»e a x < ε. b y Ci gªo± dziaªa«arytmetyczych b dzie jeszcze wielokrotie wykorzystywaa. Twierdzeie o arytmetyce graic wyika z tej wªaso±ci bªyskawiczie: od pewego miejsca wyrazy a ale» do A, a wyrazy b ale» do B, zatem a + b ale»y do U (i tak samo dla pozostaªych dziaªa«). Przykªad. Zachodzi Przykªad. Zachodzi lim + lim + +1 = lim (+1) + 4 = 1+1/ (1+1/) = 1+0 (1+0) = 1. lim ( ) = 1 1 = 1. + Koleje twierdzeie to podoby wyik dla ci gªych fukcji jedej zmieej. Jest w zasadzie oczywista kosekwecja dwóch deicji. Dla przypomieia: fukcja f jest ci gªa w x, je±li dla dowolego ε > 0 istieje δ > 0 o wªaso±ci: je±li a x < δ, to f(a) f(x) < ε (jest to przeformuªowaie deicji 1.1). Twierdzeie 3.1. Je±li ci g (a ) jest zbie»y do x, a fukcja f jest ci gªa w x, to ci g (f(a )) jest zbie»y do f(x). Milcz co zakªada si tu,»e warto±ci a ale» do dziedziy fukcji f. Dowód. Niech ε > 0. Istieje δ > 0 o wªaso±ci: je±li a x < δ, to f(a ) f(x) < ε. Istieje N o wªaso±ci: je±li N, to a x < δ. Prawdziwe jest te» dwierdzeie przeciwe, zostaie udowodioe w cz ±ci o fukcjach ci gªych. Z twierdze«o ci gªo±ci dziaªa«arytmetyczych wyika,»e fukcja f(x) = 1 x jest ci gªa. Dowód ci gªo±ci wielu iych fukcji (a tak»e dziaªaia pot gowaia) zostaie poday wkrótce; dla fukcji f(x) = x jest to w grucie rzeczy tre± kilku wicze«a li±cie zada«r 5. 3.3. Zbie»o± a liczby rzeczywiste. Postulat o istieiu kresów, odró»iaj cy liczby rzeczywiste od liczb wymierych (i iych ciaª uporz dkowaych), ma fudametale zaczeie dla poj cia zbie»o±ci. Twierdzeie 3.13. Ci g mootoiczy i ograiczoy jest zbie»y. Mówi oo o ci gªo±ci dziaªa«, traktowaych jako fukcje dwóch zmieych. Zagadieia fukcji wielu zmieych b d badae w drugim semestrze. Zob. [Leja, II.3, II.8, V.3].

Dowód. Je±li (a ) jest ros cy, to kres góry x zbioru {a : N + } jest jego graic : a x oraz dla dowolego ε > 0 istieje N takie,»e a N > x ε i wobec tego a > x ε dla N. Przykªad. Ci g a = 1 1 + 1 + + 1 jest ros cy (jase) i ograiczoy jest to wiczeie a li±cie zada«r 4, a iy dowód to a 1 + 1 1 + 1 3 +... + 1 ( 1) = 1 + (1 1) + ( 1 1) +... + ( 1 1 ) 3 1 = 1 + 1 1. Ci g (a ) jest zatem zbie»y. (Graic jest π, dowód zostaie przedstawioy a drugim 6 semestrze). Przykªad. Ci g (a ) day wzorami a 1 =, a +1 = + a (gdzie N + ) jest ros cy (idukcja: a 1 = + = a i poadto je±li a a +1, to a +1 = + a + a+1 = a + ; uogólieie jest wiczeiem a li±cie zada«r 5) i ograiczoy (idukcja: a 1 i poadto je±li a, to a +1 + = ). Wobec tego ci g (a ) jest zbie»y. Skoro a +1 = + a, graica x ci gu (a ) speªia rówaie x = + x, sk d ªatwo x = lub x = 1. Skoro a > 0, musi zachodzi lim a =. Nieformalie: + + + + +... =. 17 Przypomieie: ci g jest ograiczoy, je±li jego zbiór warto±ci {a ograiczoy. : N + } jest Deicja 3.14. Je±li (a ) jest ci giem ograiczoym, to graica dola i graica góra ci gu (a ) dae s wzorami lim if a = lim if{a k : k N +, k }, + + lim sup a = lim sup{a k : k N +, k }. + + Dowód poprawo±ci deicji. Powy»sze graice istiej, bo ci gi o wyrazach b = if{a k : k N +, k } i c = sup{a k : k N +, k } s mootoicze i ograiczoe: b +1 b (kres doly miejszego zbioru jest wi kszy), c +1 c (kres góry miejszego zbioru jest miejszy) oraz b c. Z powy»szego uzasadieia wyika te»,»e lim if a lim sup a. + + Przykªad. Je±li a = ( 1), to lim if a = 1 oraz lim sup a = 1. + + Twierdzeie 3.15. Ci g (a ) jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograiczoy i lim if a = lim sup a. W tym przypadku wspóla warto± graic dolej i górej + + jest te» graic ci gu (a ).

18 Dowód. Niech (a ) b dzie zbie»y do x. Wówczas (a ) jest ograiczoy, a je±li ε > 0, to istieje N takie,»e dla > N zachodzi a (x ε, x + ε). Je±li (b ) i (c ) s zdeiowae jak w dowodzie poprawo±ci deicji graic dolej i górej, to dla > N zachodzi b x ε i c x+ε. Wyika st d,»e lim if a x+ε. Skoro ε > 0 jest dowoly, zachodzi lim if a + lim if a lim sup b, ostateczie lim if + + Je±li za± (a ) jest ograiczoy i x = lim if a x ε oraz lim sup + + x lim sup + b = x. a, a poiewa» zawsze a = lim sup + + a = lim sup a, to dla dowolego ε > 0 + + istieje N N + taki,»e b N > x ε oraz c N < x + ε (dla (b ) i (c ) jak wy»ej). Ozacza to,»e a > x ε i a < x + ε dla > N. St d lim a = x. + Deicja 3.16. Ci g (a ) jest ci giem podstawowym (iaczej: Cauchy'ego lub fudametalym), je±li dla ka»dego ε > 0 istieje N takie,»e dla, m > N zachodzi a a m < ε. Ka»dy ci g zbie»y jest podstawowy: je±li lim a = x, to dla dostateczie du»ych +, m zachodzi a x < ε oraz a m x < ε, zatem a a m a x + x a m < ε + ε = ε. Okazuje si,»e prawdziwe jest rówie» przeciwe wyikaie. Twierdzeie 3.17. Ci gi podstawowe s zbie»e. Dowód. Niech (a ) b dzie ci giem podstawowym. Wówczas (a ) jest ograiczoy (dowód jest taki sam, jak dla ci gów zbie»ych). Niech ε > 0 i iech (b ) i (c ) b d takie, jak w dowodzie poprawo±ci deicji graic dolej i górej. Istieje takie N N +,»e je±li, m N, to a a m < ε, sk d b N a N ε i c N a N + ε. Wyika st d,»e lim if a a N+1 ε oraz lim sup + + ε > 0 jest dowoly i lim sup + a a N+1 + ε, czyli lim sup + a lim if + a, zachodzi lim if a lim if a ε. Skoro + a = lim sup a. + + 3.4. Szeregi. Cz sto zae s ie koleje wyrazy ci gu, a jego przyrosty. Deicja 3.18. Szereg a wzorem o wyrazach a to ci g sum cz ±ciowych (s ) daych s = a j = a 1 + a +... + a. j=1 Szereg jest zbie»y, je±li ci g (s ) jest zbie»y. sum szeregu i ozaczaa + a. =1 Graica ci gu (s ) azywaa jest Formalie sumy sko«czoe zdeiowae s idukcyjie 1 a j = a 1, j=1 +1 a j = j=1 a j + a +1. j=1

Proste wªaso±ci sum sko«czoych b d wykorzystywae bez (zwykle idukcyjego) formalego dowodu. 19 Deicja 3.19. Szereg a jest bezwzgl die zbie»y, je±li szereg a jest zbie»y. Szereg, który jest zbie»y, lecz ie bezwzgl die zbie»y, azyway jest warukowo zbie»ym. Twierdzeie 3.0. Szeregi bezwzgl die zbie»e s zbie»e. Dowód. Niech s = a 1 + a +... + a i t = a 1 + a +... + a. Je±li > m, to s s m = a m+1 + a m+ +... + a m a m+1 + a m+ +... + a m = t t m, sk d ªatwo s s m t t m dla wszystkich, m N +. Je±li (t ) jest zbie»y, to jest te» podstawowy. Na mocy udowodioej ierówo±ci (s ) jest wi c podstawowy, zatem jest zbie»y. Wiosek 3.1. Je±li a +1 a jest zbie»y, to (a ) jest zbie»y. Przykªad. W jedym z przykªadów wykazao,»e szereg jest wi c bezwzgl die (a wi c i zwyczajie) zbie»y. 1 jest zbie»y. Szereg Przykªad. Szereg geometryczy q jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy q < 1. Zachodzi wówczas + q = (jest to wiczeie a li±cie zada«r 5). =1 q 1 q Przykªad. Szereg harmoiczy ieograiczoy. W istocie, 1 ( 1) jest rozbie»y, bowiem ci g sum cz ±ciowych jest s k = 1 + 1 + 1 +... + 1 3 k = 1 + 1 + ( 1 + 1) + ( 1 + 1 + 1 + 1) +... + ( 1 + 1 +... + 1 ) 3 4 5 6 7 8 k 1 +1 k 1 + k 1 + 1 + ( 1 + 1) + ( 1 + 1 + 1 + 1) +... + ( 1 + 1 +... + 1 ) 4 4 8 8 8 8 k k k = 1 + 1 + 1 + 1 +... + 1 = 1 + k. Przykªad. Szereg aharmoiczy ( 1) 1 jest warukowo zbie»y: ie jest o bezwzgl die zbie»y, lecz jego sumy cz ±ciowe speªiaj ierówo±ci: s s 1 = 1 < 0, s +1 s 1 = 1 + 1 < 0, s +1 + s = 1 1 > 0, +1 + a wi c (s 1 ) jest malej cy, (s ) jest ros cy i oba te ci gi s ograiczoe przez s 1 = 1 z góry oraz s = 1 z doªu. S to wi c ci gi zbie»e. Poadto lim (s s 1 ) = + 1 lim = 0, zatem (s + 1) i (s ) s zbie»e do tej samej graicy. St d ªatwo wywioskowa (wprost z deicji zbie»o±ci) zbie»o± (s ) (do tej samej graicy).

0 4. Fukcja wykªadicza i logarytm 4.1. Fukcja wykªadicza. Niiejszy rozdziaª po±wi coy jest ajwa»iejszej fukcji w rachuku ró»iczkowym i caªkowym. Deicja 4.1. Fukcja wykªadicza (iaczej: ekspoecjala) daa jest wzorem: ) t + exp(t) = lim (1 + + + t1!! + t3 3! +... + t t =!!. =0 Do dowodu poprawo±ci deicji potrzeby b dzie ast puj cy pomociczy wyik. Lemat 4.. Je±li t R, to ci g ( t ) jest ograiczoy.! Dowód. Ci g ( t : N) jest malej cy od pewego miejsca (od = t ), jest wi c! ograiczoy z góry. Dowód poprawo±ci deicji. Niech t R oraz a = 1 + t + t + t3 +... + t. Niech 1!! 3!! poadto M b dzie ograiczeiem z góry ci gu o wyrazach t. Wtedy a! +1 a = t M( 1! ), zatem ci g (a ) jest zbie»y. W dalszej cz ±ci potrzeby b dzie wzór dwumiaowy Newtoa. Twierdzeie 4.3. Dla, k N takich,»e k, iech ( ) k =!. Zachodzi k!( k)! (t + s) = ( ) 0 t + ( ) 1 t 1 s + ( ) t s +... + ( ) 1 ts 1 + ( ) s. Dowód. Dla = 1 oczywi±cie wzór zachodzi (dla = 0 rówie»). Przypu± my,»e zachodzi o dla pewego N (i wszystkich t, s R). Wtedy (t + s) +1 = (t + s) (t + s) = (( ) 0 t + ( ) 1 t 1 s + ( ) t s +... + ( ) 1 ts 1 + ( ) ) s (t + s) = (( ) 0 t +1 + ( ) 1 t s + ( ) t 1 s +... + ( ) 1 t s 1 + ( ) ) ts + (( ) 0 t s + ( ) 1 t 1 s + ( ) t s 3 +... + ( ) 1 ts + ( ) ) s +1 = ( ) 0 t +1 + (( ( 1) + )) 0 t s + (( ( ) + )) 1 t 1 s + (( ( 3) + )) t 1 s 3 +... + (( ) ( 1 + )) t s 1 + (( ) ( + )) 1 ts + ( ) s +1. Pozostaje zauwa»y,»e ( ) ( +1 0 = ) ( 0 = 1 = ( ) = +1) oraz (jest to wiczeie a li±cie zada«r 6) ( ( k) + ( k 1) = ) k gdy 1 k. Teza wyika z zasady idukcji. Twierdzeie 4.4. Zachodzi exp(t + s) = exp(t) exp(s). Zob. [MWM, 3.3].

Dowód. Niech a = 1 + t 1! + t! +... + t!, b = 1 + s 1! + s! +... + s!, c = 1 + t+s 1! + (t+s)! +... + (t+s)!. Wtedy a b = 1 + ( t + + ) + s 1! 1! ( t + ts + s! 1!1!! ) ( t 3 + t s + ts + s3 3!!1! 1!! 3! ) +... ( ) t + + t 1 s + t s +... + ts 1 + s! ( 1)!1! ( )!! 1!( 1)!! + r, gdzie reszta r jest sum (+1) skªadików postaci t k s l /(k!l!) z ideksami k i l speªiaj cymi ierówo±ci k + l > oraz k, l. Ze wzoru dwumiaowego Newtoa, a b = c + r. Niech M b dzie wspólym ograiczeiem z góry ci gów o wyrazach 8 t oraz 8 s.!! Wówczas t k s l M 8 k l M, a wi c k!l! r (+1) M M +1. 8 +1 Poiewa», zachodzi r M /, czyli r jest zbie»y do zera. Wobec tego c = a b r jest zbie»y jedocze±ie do exp(t + s) i do exp(t) exp(s). Wiosek 4.5. Fukcja wykªadicza jest dodatia i ±ci±le ros ca. Dowód. Oczywi±cie dla t > 0 zachodzi exp(t) > exp(0) = 1, sk d exp( t) = 1/ exp(t) > 0. Poadto gdy s < t, to exp(t) = exp(s) exp(t s) > exp(s). Twierdzeie 4.6. Fukcja wykªadicza jest ci gªa. Dowód. Je±li s < 1, to oczywi±cie 1 exp(s) 1 = lim + s 1! + s +... + s!! lim + ( s + s +... + s ) = Je±li wi c s < 1 i s < ε, to exp(s) 1 s < ε. Zatem exp jest ci gªa w 0. Podobie je±li t R, s t < 1 oraz s t < exp( t) ε, to czyli exp jest ci gªa w t. exp(s) exp(t) = exp(t) exp(s t) 1 exp(t) s t < ε, s 1 s. Z powy»szych waruków wyika ju»,»e exp(t) = (exp(1)) t, czyli exp(t) = e t, gdzie e = exp(1) jest liczb Eulera. Wygodie jest przyj t rówo± za deicj pot gowaia; do tego potrzeby jest jeszcze logarytm. Wcze±iej warto odotowa bardzo u»ytecze oszacowaie i udowodi iewymiero± e. Wiosek 4.7. Zachodzi 1 + t < exp(t) (t 0) oraz exp(t) < 1 1 t (t 0, t < 1).

Dowód. Dole oszacowaie jest oczywiste dla t > 0 i t 1. Góre zostaªo udowodioe, gdy 0 < t < 1. Gdy t < 0, to t > 0 i st d exp(t) = Gdy za± 1 < t < 0, to 0 < t < 1 i wobec tego exp(t) = W przyszªo±ci zostaie wykazae,»e exp(t) = 1 exp( t) < 1 1 t. 1 exp( t) < 1 + t. lim + (1 + t ) (iy dowód jest tre±ci wiczeia dodatkowego a li±cie zada«r 6). Wzór te ma wa» iterpretacj : je±li odsetki w wysoko±ci omialej t roczie s kapitalizowae (czyli dopisywae do lokaty) w okresach, to faktycze oprocetowaie rocze wyosi (1 + t ) 1. Gdy jest du»e, z dobrym przybli»eiem warto± lokaty po jedym roku to warto± pocz tkowa przemo»oa przez exp(t). W szczególo±ci zachodzi sªyy wzór e = lim + (1 + 1 ). Twierdzeie 4.8. Liczba e jest iewymiera. Ogóliej: exp(t) jest iewymiera dla wszystkich wymierych t 0. S to wr cz liczby przest pe, ie s wi c pierwiastkami»adego wielomiau o wspóªczyikach wymierych. Dowód. Gdyby e = p q (gdzie p Z, q N +), to dla N +, q, zachodziªoby!(e (1 + 1 + 1 +... + 1! )) = +! +.... 1!!! (+1)! (+)! Lewa stroa ma warto± caªkowit, prawa za± speªia 0 <! (+1)! +! (+)! + < 1 +1 + 1 (+1) + = 1 +1 (1 1 +1 ) 1 = 1 Jedak ie ma liczby caªkowitej zawartej w przedziale (0, 1) sprzeczo±. Zatem e jest iewymiera. 4.. Logarytm aturaly. Logarytm aturaly to fukcja odwrota to fukcji wykªadiczej. [[rysuek]] 1. Deicja 4.9. Logarytm aturaly liczby x > 0 to liczba t R taka,»e exp(t) = x. Logarytm aturaly jest ozaczay l(x) (lub l x, lub log(x), lub log x). Dowód poprawo±ci deicji. Je±li taka liczba t istieje, to jest jedya, bowiem exp jest ±ci±le ros ca. Niech x > 0. Poiewa» exp(t) > t dla t R, zbiór I = {t R : exp(t) x} jest ograiczoy z góry (przez x). Poiewa» exp( t) < 1 dla t > 0, zbiór I jest iepusty t (zawiera 1). Niech T = sup I. Istieje ci g (t x ) elemetów I zbie»y do T (jest to wiczeie a li±cie zada«r 6; w rozwa»aym przypadku I jest przedziaªem, wi c mo»a przyj t = T 1 ), z ci gªo±ci fukcji wykªadiczej wyika zatem,»e exp(t ) =

lim exp(t ) x. Istieje te» iy ci g (t ) elemetów R \ I zbie»y do T (p. t = T + + 1 ), zatem zów z ci gªo±ci fukcji wykªadiczej wyika,»e exp(t ) = lim exp(t ) x. + St d exp(t ) = x. Wprost z deicji wyika,»e l(exp(t)) = t oraz exp(l(x)) = x (dla x > 0). Twierdzeie 4.10. Logarytm aturaly jest ±ci±le mootoicz fukcj ci gª. Dowód. ci±ªa mootoiczo± wyika ze ±cisªej mootoiczo±ci fukcji wykªadiczej: je±li 0 < x < y oraz x = exp(t) i y = exp(s), to t < s. Niech x > 0 i ε > 0. Niech t = l(x), czyli x = exp(t). Niech wreszcie δ = mi(exp(t + ε) exp(t), exp(t) exp(t ε)). Je±li y x < δ, to exp(t ε) < y < exp(t + ε). Skoro logarytm aturaly jest ±ci±le mootoiczy, t ε < l(y) < t + ε. Ozacza to,»e je±li y x < δ, to l(y) l(x) < ε. Powy»sze dowody wykorzystuj wyª czie ci gªo± i ±cisª mootoiczo± fukcji exp. Warto to wyrazi w postaci osobego twierdzeia. Opisaie miimalych zmiay w dowodzie staowi wiczeie a li±cie zada«r 8. Twierdzeie 4.11. Niech f b dzie ±ci±le ros c fukcj ci gª okre±lo a przedziale (a, b). Niech c i d b d kresami zbioru warto±ci fukcji f, czyli c = if{f(t) : t (a, b)}, d = sup{f(t) : t (a, b)}; gdy zbiór warto±ci jest ieograiczoy z doªu, powy»sza deicja ozacza c =, gdy za± zbiór warto±ci jest ieograiczoy z góry, ale»y przyj d = +. Wówczas dla dowolego x (c, d) rówaie f(t) = x ma dokªadie jedo rozwi zaie t, ozaczae f 1 (x). Poadto f 1 (fukcja odwrota do f) jest ±ci±le ros c fukcj ci gª okre±lo a przedziale (c, d). Aalogicze twierdzeie jest rówie» prawdziwe dla fukcji ±ci±le malej cych. Z wªaso±ci exp(t + s) = exp(t) exp(s) atychmiast wyika wªaso± l(xy) = l(x) + l(y). Podobie z oszacowa«fukcji wykªadiczej wyikaj aalogicze oszacowaia logarytmu aturalego. 3 Wiosek 4.1. Zachodzi 1 1 x < l(x) < x 1 (x 1, x > 0). Dowód. Dla t 0, t > 1 zachodzi 1 + t < exp(t), czyli l(1 + t) < t. By uzyska oszacowaie z góry, wystarczy podstawi t = x 1. Podobie dla t 0, t < 1, zachodzi exp(t) < 1 1, czyli t < l( 1 t 1 t Oszacowaie z doªu wyika z tej po podstawieiu t = 1 1. x 4.3. Pot gowaie. Pot gowaie mo»a okre±li wpierw idukcyjie dla wykªadików aturalych, ast pie dla wykªadików wymierych przez pierwiastkowaie, i wreszcie dla wykªadików rzeczywistych przez ci gªo±. Taka deicja jest jedak skomplikowaa i wymaga du»o pracy. Prostszy sposób przedstawioy jest poi»ej. Deicja 4.13. Dla x > 0 oraz y R pot ga x y zdeiowaa jest wzorem x y = exp(y l(x)).

4 Wªaso±ci pot gi: x 1 = x, x 0 = 1, x z y z = (xy) z, x y x z = x y+z, (x y ) z = x y z, wyikaj wprost z deicji. Šatwo te» (idukcyjie) sprawdzi,»e x jest iloczyem czyików x gdy N +. Mootoiczo± fukcji pot gowej f(t) = t a = exp(a l(t)) i wykªadiczej g(t) = a t = exp(t l(a)) wyika z mootoiczo±ci exp i l. Prawdziwe jest te» ast puj ce twierdzeie o pot gowaiu graic. Twierdzeie 4.14. Je±li lim a = x, + lim b = y oraz x > 0, to + Dowód. Z ci gªo±ci logarytmu i fukcji wykªadiczej wyika kolejo,»e l(x), lim (b l(a )) = y l(x) oraz + lim exp(b l(a )) = exp(y l(x)). + Przy dodatkowych zaªo»eiach podoby rezultat zachodzi, gdy x = 0. Twierdzeie 4.15. Je±li lim a = 0, + miejsca), to = 0. lim + ab lim + ab = x y. lim l(a ) = + lim b = y oraz y > 0 i a > 0 (od pewego + Dowód. Niech ε > 0. Od pewego miejsca zachodzi 0 < a < ε /y i b > 1 y, sk d 0 < a b < ε. Logarytm o dowolej podstawie zdeioway jest ast puj co: log a (x) = t wtedy i tylko wtedy, gdy a t = x (tu x > 0, a > 0 i a 1). Wprost z deicji wyika,»e log a (x) = t je±li exp(t l(a)) = x, czyli t = l(a)/ l(x). Podobie prosto dowodzi si iych wªaso±ci logarytmów: log a (x) = log b (x) log b (a), log a(xy) = log a (x) + log a (y), log a (x y ) = y log a (x). Na koiec tego rozdziaªu warto wspomie,»e (w my±l powy»szych deicji) exp(t) = e t oraz l(x) = log e (x).

5 5. Ci gi liczbowe (cz ± II) 5.1. Graice iewªa±ciwe. Wprowadzoa w twierdzeiu 4.11 kowecja if A = sup A = + gdy A jest ieograiczoy z doªu, gdy A jest ieograiczoy z góry, jest iezwykle u»ytecza. Podob kowecj stosuje si przy opisie dwóch klas ci gów rozbie»ych. Deicja 5.1. Ci g (a ) jest rozbie»y do plus iesko«czoo±ci (iaczej: ma graic iewªa±ciw plus iesko«czoo± lub d»y do plus iesko«czoo±ci ), je±li dla ka»dego x istieje N takie,»e dla > N zachodzi a > x. Fakt te zapisuje si w postaci lim a = +. Aalogiczie ci g (a ) jest rozbie»y do mius iesko«czoo±ci + (iaczej: ma graic iewªa±ciw mius iesko«czoo± lub d»y do mius iesko«- czoo±ci), je±li dla ka»dego x istieje N takie,»e dla > N zachodzi a < x; zapisuj si te fakt w postaci lim a =. + Dla ±ci±lejszego odró»ieia ci gów zbie»ych od ci gów rozbie»ych do + i mówi si cz sto,»e ci gi zbie»e maj graic wªa±ciw. W deicji graicy wªa±ciwej wystarczy rozwa»a dowolie maªe ε > 0; podobie w deicji graicy iewªa±ciwej + wystarczy rozwa»a dowolie du»e x (p. x > 1), za± w deicji graicy iewªa±ciwej dowolie maªe x (p. x < 1). Ci gi rozbie»e do + lub maj wiele u»yteczych wªaso±ci, podobych to wªaso±ci graic. Prawdziwe jest ast puj ce twierdzeie o dwóch ci gach: Twierdzeie 5.. Je±li a b (od pewego miejsca) oraz lim b + lim a = +. + = +, to Dowód. Dla ka»dego x istieje N takie,»e b x dla > N. Ozacza to,»e a x dla > N. Twierdzeie 5.3. Nieograiczoy z góry ci g ros cy jest rozbie»y do +. Dowód. Je±li (a ) jest ieograiczoy z góry, to dla ka»dego x istieje N N + takie,»e a N > x. Je±li dodatkowo (a ) jest ros cy, to a a N > x dla N, co ozacza,»e lim a = +. + Twierdzeie 5.4. (a) Waruek lim a = jest rówowa»y warukowi + lim ( a ) = + ; + (b) waruek lim a = + jest rówowa»y warukowi: a > 0 od pewego + 1 miejsca oraz lim + a = 0; (c) je±li lim a = +, to ci g (a ) jest ograiczoy z doªu; + Zob. [Leja, II.16].

6 (d) je±li ci g (a ) jest ograiczoy z doªu i lim b = +, to lim (a + b ) = + + + ; (e) je±li ci g (a ) jest od pewego miejsca ograiczoy z doªu przez dodati liczb i lim b = +, to lim a b = + ; + + (f) je±li ci g (a ) jest ograiczoy i lim b a = +, to lim + + b = 0. Aalogicze wªaso±ci maj ci gi rozbie»e do mius iesko«czoo±ci. Dowód. Poi»ej przedstawioy jest zarys dowodu w ka»dym z przypadków: (a) a < x wtedy i tylko wtedy, gdy a > x; (b) gdy x > 0, to a > x wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < 1 a < 1 x ; (c) a > 0 od pewego miejsca; (d) je±li m jest ograiczeiem z doªu ci gu (a ) i b > x m, to a + b > x; (e) je±li m > 0 jest ograiczeiem z doªu dalekich wyrazów ci gu (a ) i b > x m, to a b > x; (f) je±li m > 0 jest ograiczeiem z góry ci gu a i b > m a, to ε b < ε. Wiosek 5.5. (a) Je±li lim a = x i lim b = +, to lim (a + b ) = + ; + + + (b) je±li lim a = + i lim b = +, to lim (a + b ) = + ; + + + (c) je±li lim a = y > 0 i lim b = +, to lim (a b ) = + ; + + + (d) je±li lim a = + i lim b = +, to lim (a b ) = +. + + + Aalogicze wªaso±ci maj ci gi rozbie»e do mius iesko«czoo±ci. Twierdzeie 5.6. (a) Je±li lim a = +, to lim l(a ) = + oraz + + lim exp(a ) = + ; + (b) je±li lim a =, to lim exp(a ) = 0; + + (c) je±li lim a = 0 i a > 0 (od pewego miejsca), to lim l(a ) =. + + Dowód. Dwa ostatie stwierdzeia wyikaj z pierwszego, wªaso±ci fukcji exp i l oraz wªaso±ci graic iewªa±ciwych: exp(a ) = 1/ exp( a ) oraz l(a ) = l( 1 a ). Pozostaje udowodi pierwsze stwierdzeie. Je±li lim a = +, to z ierówo±ci exp(a ) a i twierdzeia o dwóch ci gach + wyika,»e lim exp(a ) = +. Poadto dla dowolego x zachodzi a > exp(x) od + pewego miejsca, zatem l(a ) > x od pewego miejsca. Ozacza to,»e (z deicji) lim l(a ) = +. + Wiosek 5.7. (a) Je±li lim a = + i lim b = y > 0, to lim + + + ab = + ; (b) je±li lim a = + i lim b = +, to lim + + + ab = + ; (c) je±li lim a = x > 1 i lim b = +, to lim + + + ab = + ; (d) je±li lim a = x (0, 1) i lim b = +, to lim + + + ab = 0;