Mciej Grzesik Istytut Mtemtyki Politechiki Pozńskiej Cłki ozczoe. Defiicj cłki ozczoej Niech d będzie fukcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey podprzedziłów puktmi = x < x < x <... < x < x = b Długość i tego podprzedziłu ozczymy x i = x i x i, cły zbiór podprzedziłów ozczymy. Podziłowi możemy przyporządkowć liczbę δ = mx x i, zywą średicą podziłu. Możemy rozptrywć ciąg podziłów ( ). Tki ciąg zywmy ormlym, gdy δ =. Dl dego podziłu wybiermy w kżdym podprzedzile liczbę ξ i, x i ξ i x i i tworzymy sumę σ = f(ξ i ) x i. () Jeżeli dl kżdego ciągu ormlego podziłów przedziłu [, b] kżdy ciąg sum (σ ) dąży do gricy skończoej (iezleżej od wyboru puktów ξ i ), to gricę tę zywmy cłką ozczoą fukcji f(x) w przedzile [, b] i ozczmy przez Sumy () zywmy summi cłkowymi lub summi Riem. Pojedycze skłdiki sumy () są polmi prostokątów o podstwie x i i wysokości f(ξ i ). Sum tych pól jest przybliżeiem pol figury ogriczoej od dołu osią Ox, od góry wykresem fukcji f, z boków odcikmi prostych x =, x = b (tką figurę zywmy trpezem krzywoliiowym). Przybliżeie to jest corz dokłdiejsze gdy rośie. Wrtość gricz, czyli cłk ozczo, jest polem trpezu krzywoliiowego. Uwg. Powyższe określeie cłki dotyczy przypdku gdy < b. Przyjmujemy podto, że f(x) =, b f(x) = f(x) dl < b. Przykłd. Obliczymy z defiicji cłkę x. W tym celu rozptrzymy ciąg podziłów rówych części: Berhrd Riem 86-866 < < < < =.
Pukty ξ i wybierzemy jko środki odpowiedich odcików: Wtedy σ = Ciąg jest stły, więc i ξ i = x i + = i + = i. = (i ) = + ( ) =. x = σ =. Zuwżmy, że dl iego wyboru liczb ξ i, p. ξ i = x i = i σ = i = (i ) = + ( ) Tym rzem ciąg ie jest stły, le gric jest tk sm: =. Jeszcze iczej: gdy ξ i = x i = i, to otrzymmy σ = i = I zowu gric jest tk sm: Twierdzeie. (włsości cłki).. (f(x) ± g(x)) = f(x) = c f(x) + f(x) ± 4. Jeżeli f(x) g(x) dl x [, b], to c i = + + =. g(x) ; Af(x) = A f(x) dl < c < b; f(x) otrzymmy = +. g(x). f(x) ; =. Twierdzeie. (o istieiu cłki) Jeżeli fukcj f jest ogriczo [, b] i m tym przedzile skończoą liczbę puktów ieciągłości pierwszego rodzju, to istieje cłk ozczo Mówimy wtedy, że fukcj f jest cłkowl [, b]. Wiosek. Fukcj f ciągł przedzile [, b] jest cłkowl [, b]. Uwg. Liter, jkiej użyjemy jko zmieej cłkowi jest ieistot, bo f(x) = f(s) ds = f(t) dt = Cłk ozczo jest liczbą, cłk ieozczo zbiorem fukcji. Niemiej te dw pojęci są blisko ze sobą związe. Nstępujące twierdzei, wyjśijące te związek, są podstwowymi twierdzeimi rchuku cłkowego.
Twierdzeie (o cłce ze zmieą górą gricą) Jeżeli fukcj f jest ciągł [, b], x to dl kżdego x [, b] istieje cłk ozczo f(t) dt. Moż więc określić fukcję G(x) = x f(t) dt. Fukcj G(x) jest różiczkowl [, b] i G (x) = f(x). Nieformly dowód twierdzei. Chcemy wykzć, że dl dowolego x [, b] jest G (x) = f(x), tz. że G(x + h) G(x) = f(x). h h Gdy f(x) [, b], to G(x) jest rówe polu pod wykresem fukcji f, od do x. Ztem G(x + h) G(x) jest rówe polu pod wykresem fukcji f, od x do x + h. Ituicyjie jest zrozumiłe, że to pole jest rówe polu prostokąt o podstwie h i wysokości rówej f(z) dl pewego z [x, x + h]. Wtedy ilorz G(x+h) G(x) h jest rówy f(z). Z ciągłości fukcji f wyik, że gdy h, to z x orz f(z) f(x). Tego włśie chcieliśmy dowieść. Przykłd. Obliczyć G(x), gdy { x dl x [, ] f(x) = + x dl x [, 3] Rozwiązie. Trktując G(x) jk pole odpowiediego obszru zuwżmy jpierw, że gdy x [, ], to obszr jest trpezem o podstwch 3 i f(x) = x orz wysokości x+. Ztem G(x) = 3+ x (x + ) = x + x + 4. W szczególości G() = 4. Gdy x [, 3], to obszr jest sumą dwóch trpezów: tego lewo od osi Oy i trpezu o podstwch i f(x) = + x orz wysokości x. Ztem G(x) = G() + ++x x = x + x + 4. Ostteczie { G(x) = x + x + 4 dl x [, ] x + x + 4 dl x [, 3] Moż sprwdzić (z defiicji), że t fukcj jest różiczkowl w zerze. Twierdzeie 4. (Newto-Leibiz) Jeżeli F jest dowolą fukcją pierwotą fukcji f ciągłej [, b], to f(t) dt = F (b) F (). D o w ó d. Niech G ozcz fukcję pierwotą zdefiiową wyżej: G(x) = dl dowolego x [, b] G(x) F (x) = C. Dl x = jest G() =. Ztem C = F (), więc Jeśli terz podstwimy x = b, to G(x) F (x) = F (). x f(t) dt. Wtedy ztem f(t) dt F (b) = F (), f(t) dt = F (b) F (). 3
To kończy dowód. Zmist F (b) F () piszemy F (x) b lub [F (x)] b. 8 Przykłdy.. 3 x ;. 4. (x + 3 x ) ; 3 π ( si x 3 cos x). 3 +x. Nstępujące twierdzei ułtwiją obliczie cłek. Twierdzeie 5. (o cłkowiu przez podstwieie) Jeżeli fukcj f(t) jest ciągł zbiorze wrtości fukcji t = ϕ(x) ciągłej i mjącej ciągłą pochodą w [, β] orz jeżeli ϕ() =, ϕ(β) = b, to Przykłdy.. 9 4 x ; f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. Podstwimy x = t, więc x = (t + ) orz = (t + ) dt. Gdy x = 4 to t =, gdy x = 9 to t =. Ztem 9 4 = x (t ) t dt = [t l t] = ( l ). e x +e ; Podstwimy e x = t, więc x = l t orz = dt x t x = to t = e. Ztem π/ cos x si x. e e x + e x = dt e t(t + t ) =. Gdy x = to t =, gdy dt t + = rctg t e = rctg e π 4. Podstwimy t = cos x, więc dt = si x. Gdy x = to t =, gdy x = π to t =. Ztem π/ cos x si x = ( t ) dt = t dt = 3. Twierdzeie 6. (o cłkowiu przez części) Jeżeli fukcje u(x) i v(x) mją w przedzile [, b] ciągłe pochode, to Przykłdy... xe x ; l x ; u(x)v (x) = u(x)v(x) b 4 v(x)u (x).
π π x si x. Ze wzorów redukcyjych dl cłek ieozczoych si x = cos x si x + si x,, cos x = si x cos x + cos x,, wyikją wzory dl cłek ozczoych: π/ π/ si x d x = cos x d x, = π/ π/ si x d x, cos x d x,. Zstosowie cłek w geometrii.. Obliczie pól Pole trpezu krzywoliiowego ogriczoego od dołu osią Ox, od góry wykresem fukcji f(x), z boków odcikmi prostych x =, x = b wyosi: P = Jeżeli fukcj ogriczjąc z góry m rówi prmetrycze x = x(t), y = y(t), gdzie t β, orz x(t) jest rosąc i m ciągłą pochodą [, β] y(t) jest ciągł i ieujem [, β] x() =, y(β) = b to: P = y(t)x (t) dt. Jeżeli x(t) jest mlejąc (pozostłe złożei jk wyżej), to P = y(t) x (t) dt. Jeżeli obszr jest ogriczoy od dołu wykresem fukcji g, od góry wykresem fukcji f, z boków odcikmi prostych x =, x = b, to wzór pole uleg modyfikcji i m postć: P = (f(x) g(x)). Uwg. Nie m zczei, czy wykresy są d osią Ox, czy ie. Wże jest jedyie by f(x) g(x) dl dowolego x [, b]. Przykłdy. Obliczyć pol figur ogriczoych krzywymi: 5
. xy =, y =, x =, x =.. y = 4x + 4, y = x. x + y b = (elips). Wsk. Korzystmy z symetrii elipsy: P = 4 b x. Wrtość cłki uzyskujemy bez liczei iterpretując ją jko pole ćwirtki koł. Moż też obliczć pole posługując się rówimi prmetryczymi elipsy x = cos t, y = b si t. 4. x = (t si t), y = ( cos t), t π, y = (łuk cykloidy). Jeżeli w bieguowym ukłdzie współrzędych mmy obszr określoy ierówościmi: ϕ β, ρ ρ(ϕ), gdzie ρ(ϕ) jest pewą krzywą (tki obszr jest trójkątem krzywoliiowym), to jego pole obliczmy stosując wzór P = ρ (ϕ) dϕ Uzsdieie. Przedził [, β] dziey podprzedziły: = ϕ < ϕ < ϕ < < ϕ < ϕ = β obszr podobszry W i, które są w przybliżeiu wycikmi koł; kąt wycik W i to ϕ i = ϕ i ϕ i, promień to ρ(ψ i ), gdzie ψ i (ϕ i, ϕ i ) jest pewą liczbą. Sum pól tych wycików (ρ(ψ i)) ϕ i jest przybliżoą wrtością pol obszru, które jest tym lepsze im większe jest. W gricy otrzymujemy cłkę (ρ(ψ i)) ϕ i = ρ (ϕ) dϕ Przykłdy. Obliczyć pol figur ogriczoych krzywymi:. ρ = ϕ dl < ϕ < π ;. ρ = cos ϕ, gdzie > (lemiskt Beroullego).. Długość łuku Aby obliczyć długość łuku krzywej y = f(x) głdkiej (tz. zkłdmy, że fukcj f jest różiczkowl) dl x b przedził [, b] dziey puktmi = x < x < x <... < x < x = b i tworzymy łmą P P... P, gdzie P i = (x i, f(x i )). Długość tej łmej jest sumą długości odcików P i P i = (x i x i ) + (f(x i ) f(x i )). Z twierdzei o wrtości średiej istieje w i (x i x i ) tkie, że Ztem f(x i ) f(x i ) = f (w i )(x i x i ) P i P i = (x i x i ) + (f (w i )(x i x i )) = (x i x i ) + (f (w i )) = gdzie x i = x i x i. = + (f (w i )) x i, 6
Długość cłej łmej wyosi P i P i = + (f (w i )) x i, i jest to przybliżeie długości łuku krzywej y = f(x). W gricy otrzymujemy cłkę + f (x). Ztem otrzymliśmy stępujące twierdzeie Twierdzeie 7. Jeżeli fukcj f jest różiczkowl (, b), to długość łuku krzywej y = f(x) dl x b jest rów l = + f (x). () Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. f(x) = l cos x, x π 4 ;. x /3 + y /3 = /3, gdzie > (steroid). Wsk. Korzystmy z symetrii steroidy i liczymy długość łuku w I ćwirtce płszczyzy. Stosując wzór pochodą fukcji uwikłej sprwdzmy jpierw, że +(y ) = /3 x /3, co umożliwi obliczeie pierwistk. Odp. 6. Moż też obliczyć długość steroidy posługując się rówimi prmetryczymi: x = cos 3 t, y = si 3 t i wzorem podym iżej. Twierdzeie 8. Jeżeli fukcje x(t) i y(t) są różiczkowle (, β), to długość łuku krzywej określoej prmetryczie: x = x(t), y = y(t) dl t β, wyrż się wzorem: l = (x (t)) + (y (t)) dt. (3) Jeżeli we wzorze (3) podstwimy x = t, y = f(t), to otrzymmy wzór (). Ztem wzór () jest szczególym przypdkiem wzoru (3). Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. x = (t si t), y = ( cos t), t π (łuk cykloidy). Odp. 8..x = e t si t, y = e t cos t, t π W bieguowym ukłdzie współrzędych, dl krzywej ρ = ρ(ϕ), ϕ β: l = (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) dϕ. (4) Rówież te wzór jest szczególym przypdkiem wzoru (3), gdy x = ρ cos ϕ, y = ρ si ϕ (sprwdzić!). Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. ρ = si 3 ϕ 3, ϕ [, 3π];. ρ = si ϕ, >, ϕ [, π]. 7
. Objętość i pole powierzchi brył obrotowych W ukłdzie Oxy rozptrujemy krzywą o rówiu y = f(x), x b, i obrcmy ją dokoł osi Ox. Krzyw zkreśl wtedy powierzchię. Po zmkięciu tej powierzchi płszczyzmi x = i x = b otrzymujemy bryłę, której objętość wyosi: V = π f (x), pole powierzchi boczej S = π f(x) + (f (x)). W przypdku rówń prmetryczych x = x(t), y = y(t) dl t β, odpowiedie wzory to: V = π y (t) x (t) dt, S = π y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. Przykłdy.. Obliczyć objętość bryły powstłej przez obrót elipsy x + y b = dokoł osi odciętych. Odp. 4 3 πb.. Obliczyć objętość bryły powstłej z obrotu jedego łuku cykloidy x = (t si t), y = ( cos t), t π dokoł osi odciętych. π V = π y (x) = π π π y (t)x (t) dt = π 8 3 si 6 t dt = 5π 3. Obliczyć pole powierzchi powstłej przez obrót dokoł osi Ox krzywej y = si x, x π. Wsk.: zstosowć wzór: x + = l x + x + + x x + + C Odp. π[ + l( + )]. 4. Obliczyć pole powierzchi powstłej przez obrót steroidy x = cos 3 t, y = si 3 t, > dokoł osi Ox. Odp. 5 π. 8
Zstosowi fizycze. Drog Jeżeli pukt porusz się po prostej ze zmieą prędkością v = v(t), to drog przebyt w przedzile czsu [t, t ] wyosi s = t t v(t) dt. Przykłd. Prędkość puktu wyosi v =, 6t sek. Jką drogę przebędzie pukt w czsie T = sek począwszy od początku ruchu? Jk jest prędkość średi? Odp. Mmy s = m, 6t dt = m. Prędkość średi: v = = m sek. Przykłd. Pukt mterily porusz się po prostej pod dziłiem stłej siły F. Zjdź jego prędkość v = v(t) i przyspieszeie = (t). Rozwiązie. N mocy II zsdy dymiki = F m. Ztem gdzie v = v(t ). Nstępie t s(t) = s(t ) + t v(t) = v(t ) + t t F m du = v + F m (t t ), ( v + F m (t t ) ) du = s + v (t t ) + F m (t t ). W szczególości w pobliżu Ziemi, gdy F m pioowym (pomijmy opór powietrz): = g otrzymujemy wzór drogę przy rzucie Gdy t = wzór uprszcz się do s(t) = v (t t ) g (t t ). s(t) = v t g t. Nleży pmiętć, że cłk fukcji prędkości dje w wyiku drogę etto. N przykłd dl obiektu wyrzucoego w górę z prędkością v = 9, 6 m/s fukcj prędkości to v(t) = v gt = 9, 6 9, 8t. Ztem drog etto w czsie pierwszych 4. sekud to s = le drog cłkowit to s = 4 ( 9, 8t + 9, 6)dt + ( 9, 8t + 9, 6)dt = 4 [ 9, 8 t + 9, 6t ] 4 =, ( 9, 8t + 9, 6)dt = 9, 6 + 9, 6 = 39,. 9
. Prc Jeżeli zmie sił F = f(x) dził w kieruku osi Ox, to prc tej siły przedzile [x, x ] wyosi W = x x Przykłd. Jką prcę leży wykoć by rozciągąć sprężyę o 6 cm, jeżeli sił N rozciąg ją o cm? Odp. Zgodie z prwem Hooke F = kx dl pewej stłej k. Podstwijąc F = [N] i x =, [m] otrzymujemy k =. Ztem F = x orz W =,6 x =, 8 J. Przykłd. Jką prcę leży wykoć by wyieść kg obiekt z powierzchi Ziemi odległość D od środk Ziemi? Rozwiązie. N mocy prw grwitcji sił dziłjąc obiekt jest rów F = k r, gdzie k = GMm jest stłą (G to stł grwitcji, M ms Ziemi, m ms obiektu). Ztem W = D r k r dr = k D = k r r D + k, r gdzie r jest promieiem kuli ziemskiej. Moż wyliczyć, że k 3, 9867 5. Biorąc r = 6378 km otrzymmy liczbowo (w dżulch) W = k D + 6, 5 8. Gdy D rośie, to W też rośie, gdyż skłdik który odejmujemy mleje. Prc jedk ie przekroczy 6, 5 8 dżuli. 4. Cłki iewłściwe Jeżeli fukcj f(x) jest ciągł w (, b] i jest ieogriczo w otoczeiu puktu, to określmy cłkę iewłściwą pierwszego rodzju: f(x) = ε +ε Alogiczie określmy cłkę z iewłściwością w gricy górej: f(x) = ε b ε Jeżeli powyższe grice istieją i są skończoe, to cłki zywmy zbieżymi; w przeciwym przypdku (tj. gdy grice ie istieją lub są iewłściwe) cłki zywmy rozbieżymi. Przykłdy.. x = ;. x l x = l ;
(x ) (rozbież). Czsem wystrcz iformcj, czy cłk jest zbież, czy ie. Moż wtedy zstosowć kryterium porówwcze: Jeżeli f(x) g(x) w (, b) i cłk g(x) jest zbież, to f(x) też jest zbież. Cłkmi iewłściwymi drugiego rodzju zywmy cłki po przedzile ieogriczoym: Przykłdy.. e x = ;. 4. x +x = l ; si x jest rozbież. x +x+ f(x) = f(x) = f(x) = c b f(x), f(x), f(x) + b c