3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 91 Rozdział 8 Reprezetacje w przestrzei staów 8.1 Defiicja reprezetacji 8.1.1 tuicyje wprowadzeie Wektor jest abstrakcyjy pojęcie geoetryczy. Wykoaie kokretych obliczeń wyaga zadaia (wybraia) odpowiediego układu współrzędych, w który wektor utożsaiay z koluą liczb. Wybór układu współrzędych to, iyi słowy, wybór wektorów bazy jedostkowych wektorów osi układu. Współrzęde wektora to współczyiki jego rozkładu a wektory wybraej bazy. Podobie postępujey w echaice kwatowej, choć posługujey się ieco ią teriologią. Wybór reprezetacji to po prostu wybór bazy w przestrzei Hilberta przestrzei staów układu fizyczego. Wybierając bazę przedstawiay wektory przez ich "składowe", zaś operatory reprezetujey przez odpowiedio obliczoe eleety acierzowe. Wybór bazy reprezetacji jest w zasadzie dowoly, lecz tak jak wybór układu współrzędych w echaice klasyczej, jest a ogół podyktoway wygodą obliczeń. Jako bazę w pewej przestrzei Hilberta H wybierzey zbiór wektorów (ketów), { u α } = baza w przestrzei H, α. (8.1) Mówiy często, że dokoaliśy wyboru reprezetacji U. Jeżeli wybraa baza staowi zbiór wektorów własych pewej wielkości fizyczej obserwabli Û, to wybraej bazie reprezetacji, adajey azwę związaą z ową wielkością fizyczą. Na przykład, gdy baza { u α } odpowiada stao własy hailtoiau, to ówiy o reprezetacji eergetyczej, bowie wtedy Û = Ĥ jest hailtoiae, czyli operatore eergii. Zwracay tu uwagę a astępującą okoliczość. Wektory bazy są uerowae idekse α z pewego zbioru. Możey tu ieć do czyieia z trzea różyi przypadkai. Wyiar przestrzei Hilberta H jest skończoy (di H = N < ). Wówczas zbiór jest też skończoy i zawiera N eleetów, które oża pouerować od 1 do N. Wtedy δ(α β) = δ αβ jest zwykłą deltą Kroeckera. Wyiar przestrzei H jest ieskończoy (di H = ) lecz przeliczaly (ocy takiej, jak zbiór liczb aturalych N). Zbiór jest przeliczaly i pokrywa się z N, zaś δ(α β) = δ αβ jest adal deltą Kroeckera. Wyiar przestrzei Hilberta H jest ieskończoy, ieprzeliczaly (di H =, ocy cotiuu, jak zbiór liczb rzeczywistych R). Zbiór też jest ieprzeliczaly, a δ(α β) abiera sesu tzw. delty Diraca. S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 91
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 92 8.1.2 Relacje ortooralości i zupełości Wybraliśy reprezetację U, a więc bazę w przestrzei Hilberta. Zakładay, że jest to zbiór wektorów ortooralych, czyli taki, że wektory te spełiają waruek u α u β = δ(α β) (8.2) Z faktu, że zbiór { u α } jest bazą w H wyika, że dowoly ket (wektor) ψ H oża (i to w sposób jedozaczy) zapisać jako kobiację liiową wektorów bazy postaci ψ = dα f(α) u α = dα u α f(α), (8.3) gdzie współczyiki f(α) są liczbai (zależyi od paraetru α), a więc ie a zaczeia, czy apiszey je przed, czy za wektore. Rozkład taki azwać ożey rozkłade keta ψ w reprezetacji U. Do dyskusji tego rozkładu wróciy w dalszy ciągu wykładu. Ses całki w powyższy wzorze zależy od oawiaego wyżej charakteru zbioru ideksów. Poowie ay trzy ożliwe przypadki. α {zbiór skończoy}. Całka przechodzi w suę skończoą. Współczyiki zapisujey jako f(α) = f α, przy czy staowią oe ciąg skończoy. α {zbiór ieskończoy, przeliczaly}. Całka ozacza suę ieskończoą (szereg), a współczyiki f(α) = f α są ciągie ieskończoy. α { zbiór ieskończoy, cotiuu}. Całka pozostaje całką. Współczyiki f(α) są pewą fukcją ideksu α. (W zasadzie ic ie stoi a przeszkodzie, aby ozaczać je rówież za poocą sybolu f α ). Wprowadziliśy w te sposób ogólą otację, którą w razie potrzeby ożey dopasować do kokretego przypadku, odpowiadającego jedej z trzech oówioych ożliwości. W dalszy ciągu aszych rozważań ie będziey za każdy raze, ta gdzie ie jest to koiecze, oawiać tych trzech ożliwości. Dalszą dyskusję prowadziy w otacji właściwej dla trzeciego przypadku. Adaptacja zapisu dla dwóch pozostałych, w świetle powyższych uwag, ie powia staowić żadego probleu. Oczywiście z relacji ortooralości (8.2) zastosowaej do rozkładu (8.3) wyika u β ψ = dα u β u α f(α) = dα δ(α β) f(α) = f(β). (8.4) Wielkości u β ψ, gdzie ideks β przebiega odpowiedi zbiór wartości, często bywają azywae fukcjai falowyi w reprezetacji U (do sprecyzowaia i oówieia tej azwy wróciy dalej). Dalsze rozuowaie ilustruje astępujący ciąg rówości. Korzystay z (8.3) i (8.4) ψ = dα u α f(α) = dα u α u α ψ = [ dα u α u α ] ψ. (8.5) Relacja (8.5) usi być słusza dla dowolego keta ψ H, więc piszey dα u α u α = dα ˆP α = ˆ1, (8.6) gdzie ˆ1 jest operatore jedostkowy (operatore idetyczości) a rozważaej przestrzei Hilberta H. Relację (8.6) azyway relacją zupełości bazy w H, lub rozkłade operatora jedostkowego (w skrócie jedyki) w reprezetacji U. Operator idetyczości a przestrzei H został więc rozłożoy a operatory rzutowe ˆP α = u α u α, z których każdy rzutuje a kieruek wyzaczoy przez kolejy wektor wybraej bazy. S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 92
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 93 Wyprowadziliśy tutaj relację zupełości zakładając jedozaczość rozkładu wektora w pewej bazie. Zachodzi też stwierdzeie odwrote. Jeżeli pewie zbiór wektorów spełia relację zupełości (8.6), to zbiór te staowi bazę ortooralą w badaej przestrzei. Skoro zaś jest bazą, to rozkład typu (8.5) jest jedozaczy. 8.2 Reprezetacje ketów, bra oraz operatorów 8.2.1 Reprezetacje ketów i bra Aalizujey teraz wektor (ket) ψ H, w której wybraa została baza ortoorala { u α }, czy też iyi słowy, reprezetacja U. Na podstawie relacji (8.3), która jest przedstawieie wektora ψ jako kobiacji liiowej wektorów bazy, ożey wektor te utożsaić (w reprezetacji U) ze "słupkie" koluą ψ. u α ψ. =. f(α)., (8.7) w który każdy z eleetów jest liczbą obliczoą z (8.4). Gdy ideks α przebiega zbiór skończoy, to kolua (8.7) a tyle eleetów, ile wyosi wyiar przestrzei H. Jeżeli zaś zbiór ideksów jest ieprzeliczaly, to powyższą koluę oża utożsaić z pewą zwykłą fukcją paraetru (zieej) α. Relacja (8.7) ściśle łączy się z rozkłade (8.5), tj. ψ = dα u α u α ψ, który oża też iterpretować jako działaie operatora idetyczości, określoego w (8.6) a ket ψ. Wielkości u α ψ są współczyikai rozkładu (składowyi) wektora stau w wybraej bazie reprezetacji. Zupełie aalogiczie ożey złożyć bra i operator jedostkowy, a więc utworzyć owe bra φ ˆ1 H, które działając a wektor ψ usi dawać to sao co po prostu φ. Wobec tego usi być φ = φ ˆ1 = dα φ u α u α. (8.8) terpretując powyższy wzór jako rozkład bra a "składowe", widziy, że φ u α = u α φ. A więc ay tu do czyieia ze sprzężeiai zespoloyi współczyików (składowych) keta φ heritowsko sprzężoego z baday bra. Otrzyay związek jest przejawe atyliiowej relacji iędzy ketai i bra. Staowi o rozkład bra φ w reprezetacji U. Jeżeli teraz b(α) = u α ϕ będą współczyikai rozkładu (w reprezetacji U), takii jak w (8.3), dla wektora (keta) ϕ, wówczas ze względu a atyliiowość, odpowiedie bra będzie ieć w przestrzei H rozkład ϕ = dβ b (β) u β (8.9) 8.2.2 Reprezetacja iloczyu skalarego Przechodziy do dyskusji iloczyu skalarego dwóch wektorów. Z rozkładów (8.9) i (8.3) otrzyujey ( ) ( ) ϕ ψ = dβ b (β) u β dα f(α) u α = dα dβ b (β) f(α) u β u α, (8.10) S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 93
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 94 bo liczby b (β) i f(α) są przeiee z ketai i bra. dalej z ortooralości bazy (8.2) ϕ ψ = dα dβ b (β) f(α) δ(β α) = dα b (α) f(α). (8.11) Z określeia (8.4) współczyików b (β) oraz f(α) wyika ϕ ψ = dα ϕ u α u α ψ ( ) = ϕ dα u α u α ψ = ϕ ˆ1 ψ = ϕ ψ. (8.12) Otrzyaliśy w zasadzie tożsaość, która iewiele wosi, lecz sprawdza wewętrzą spójość foralizu. Foruła (8.26) pozwala jedak a dokoaie ważego kroku iterpretacyjego. Poieważ "składowe" keta f(α) = u α ψ uporządkowaliśy w koluę, widziy, że dla zachowaia reguł obliczaia iloczyu skalarego według zasad ożeia acierzy, ależy wziąć "składowe" bra w postaci wiersza ϕ (..., ϕ u α,... ) = (..., b (α),... ), (8.13) czyli więc bra φ w reprezetacji U jest przedstawioe za poocą acierzy jedowierszowej. A zate w sesie acierzowy ket ψ i bra ψ, reprezetowae odpowiedio przez koluę i wiersz, są heritowsko sprzężoyi acierzai (lub ich uogólieiai a ieskończeie wiele wyiarów). 8.2.3 Uwagi o orowaiu Probabilistycza iterpretacja echaiki kwatowej wyaga, aby sta ψ H był uoroway. Ze wzoru (8.39) zastosowaego dla ϕ = ψ otrzyujey ψ 2 = ψ ψ = dα f (α) f(α) = dα f(α) 2. (8.14) Żądaie uorowaia stau ψ sprowadza się więc do orowaia współczyików rozkładu tego stau w bazie { u α }. Oczywiście, w przypadku bazy dyskretej, całka w (8.14) przechodzi w suę po dyskrety ideksie. 8.2.4 Reprezetacja ψ =  ψ W poprzedich paragrafach oówiliśy sposób przyporządkowaia ketowi ψ jego "składowych" f(α) = u α ψ. Rozważy teraz astępującą sytuację. May rozkłady dwóch staów w reprezetacji U: ψ = dα f(α) u α, gdzie f(α) = u α ψ (8.15a) ψ = dβ f(β) u β, gdzie f(β) = uβ ψ (8.15b) Przyjiey, że oba rozważae stay (wektory) są powiązae relacją ψ =  ψ, (8.16) gdzie  jest pewy operatore liiowy. Powstaje więc pytaie: jak związek (8.16) poiędzy wektorai przekłada się a relację poiędzy współczyikai f(α) i f(β) rozwiięć w reprezetacji U? S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 94
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 95 Nie jest trudo odpowiedzieć a postawioe pytaie. Z defiicji współczyików f(α) przekształcoego keta, a także z (8.16) ay f(α) = u α ψ = u α  ψ. (8.17) W powyższy wzorze, poiędzy operator  a ket ψ, wstawiay rozkład jedyki (relację zupełości) (8.6). W te sposób otrzyujey ( ) f(α) = u α  ˆ1 ψ = u α  dβ u β u β ψ = dβ u α  u β u β ψ = dβ A αβ f(β), (8.18) gdzie wprowadziliśy tzw. eleety acierzowe operatora jako  w reprezetacji U, zdefiiowae A αβ = u α  u β (8.19) Jeśli więc uiey skostruować eleety acierzowe, to wzór (8.18) staowi odpowiedź a postawioe powyżej pytaie. Zai oówiy eleety acierzowe u α  u β zauważy, że współczyiki f(β) i f(α) przedstawiają wektory ψ i ψ w reprezetacji U jako koluy (8.7). Przyglądając się relacji (8.18) widziy, że aby zachować zgodość ze stadardową otacją acierzową kolua przedstawiająca przekształcoy wektor usi powstać przez przeożeie acierzy reprezetującej operator w daej bazie i koluy "składowych" wektora wyjściowego. Dlatego też wielkości, zwae eleetai acierzowyi, rzeczywiście iterpretujey jako acierz kwadratową, w której ideks α ueruje wiersze, zaś ideks β koluy. Macierz taka oże być skończoa lub ie, co zależy od wyiaru przestrzei H. Taka iterpretacja wyjaśia także azwę adaą obiekto wprowadzoy w rówaiu (8.19). Wybierając kokretą bazę w przestrzei Hilberta ajczęściej kierujey się łatwością obliczeń. Załóży więc, że baza { u α } jest tak wybraa, że uiey wyliczyć iezbęde a eleety acierzowe operatora Â. yi słowy, przyjujey, że uiey zbudować acierz (8.19) przedstawiającą asz operator w reprezetacji U. Aby efektywie wykorzystywać relację (8.18) poiędzy współczyikai rozkładu dwóch wektorów powiązaych przez operator Â, warto oówić iektóre własości eleetów acierzowych operatora w reprezetacji U. 8.2.5 Reprezetacja iloczyu operatorów Zobaczyy teraz, jak wprowadzoe eleety acierzowe dotyczą iloczyu operatorów. Wychodząc więc wprost z defiicji (8.19) i korzystając po drodze z rozkładu jedyki (8.6) w reprezetacji U, otrzyujey ( ˆB) = u α  ˆB u β = u α  ˆ1 ˆB u β αβ ( ) = u α  dγ u γ u γ ˆB u β = dγ u α  u γ u γ ˆB u β = dγ A αγ B γβ (8.20) Wprowadzoy sposób określaia eleetu acierzowego iloczyu operatorów w wybraej bazie jest więc kosystety z etodai obliczaia iloczyu acierzy. Potwierdza to słuszość azwy eleety acierzowe. Tak więc acierz iloczyu operatorów jest iloczye odpowiedich acierzy. S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 95
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 96 Zauważy, że wyprowadzeie relacji (8.20) oglibyśy przeprowadzić w dowolej iej reprezetacji (bazie). Reguła obliczaia eleetu acierzowego iloczyu operatorów ie zależy więc od wyboru reprezetacji. Praktycze obliczeia wykoujey jedak zawsze wybierając jakąś kokretą reprezetację. Jest to sytuacja podoba do tej, w której prawa fizyki klasyczej forułujey za poocą wektorów, wielkości geoetryczych, iezależych od wyboru układu współrzędych. Faktycze obliczeia prowadziy jedak w odpowiedio dobray układzie odiesieia. 8.2.6 Eleety acierzowe operatora sprzężoego Rozważy operator  heritowsko sprzężoy do operatora Â. Pytay jakie są jego eleety acierzowe w reprezetacji U? Eleet acierzowy tego operatora jest postaci ( ) αβ = u α  u β = u β  u α = A βα, (8.21) gdzie, w drugiej rówości wykorzystaliśy, zaą już relację ϕ  ψ = ψ  ϕ poiędzy eleetai acierzowyi operatora sprzężoego i wyjściowego. Widziy więc, że acierz operatora sprzężoego tworzyy z acierzy operatora iesprzężoego poprzez traspozycję i zwykłe sprzężeie zespoloe. Jeżeli atoiast operator  jest heritowski, wówczas z (8.21) wyika ( ) (Â) = = A αβ, a zate αβ αβ A αβ = A βα,  =  heritowski. (8.22) Macierz operatora heritowskiego jest więc heritowska, co chyba ie jest wioskie ieoczekiway. Odotujy jeszcze, że diagoale eleety acierzowe operatora heritowskiego są rzeczywiste A αα = A αα R,  =  heritowski, (8.23) co jest ogólą własością acierzy heritowskich. Podkreśly poowie, że rozważaia powyższe, dotyczące operatorów i ich sprzężeń są iezależe od wyboru reprezetacji (bazy w przestrzei H), to zaczy przebiegają w te sa sposób w każdej reprezetacji. 8.2.7 Wyrażeie dla ϕ  ψ Posługujey się cały czas tyi sayi sposobai. Rozważając eleet acierzowy, a więc liczbę ϕ  ψ korzystay dwukrotie z rozkładu jedyki (8.6) i ay ϕ  ψ = ϕ ˆ1  ˆ1 ψ ( ) ( ) = ϕ dα u α u α  dβ u β u β ψ = dα dβ ϕ u α u α  u β u β ψ = dα dβ b (α) A αβ f(β). (8.24) Poieważ współczyiki b (α) = ϕ u α tworzą wiersz, zaś f(β) = u β ψ koluę, więc widziy poowie, że uzyskae wyrażeia adal są w pełi zgode z techikai rachuku acierzowego. S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 96
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 97 8.3 Operatory rzutowe i rozkład spektraly obserwabli Niech A będzie pewą wielkością fizyczą, której odpowiada obserwabla Â, tj. operator heritowski, którego wektory włase tworzą w przestrzei H bazę ortooralą. Piszey więc  f (i) = a f (i), i = 1, 2, 3..., g. (8.25) Liczby a R są wartościai własyi  g -krotie zdegeerowayi, z czego zdaje sprawę ideks (i). Stay włase f (i) tworzą bazę więc spełiają relacje f (i) f (j) = δ δ ij, g f (i) (i) f = ˆ1. (8.26) Dowoly wektor ψ H oża rozłożyć w bazie ψ = g C (i) f (i), gdzie C(i) = f (i) ψ. (8.27) Powyższe relacje są aalogai foruł (8.2), (8.6) i (8.3). Dla ustaloego stay f (i) rozpiają podprzestrzeie H podprzestrzeie włase o wyiarze di H = g, odpowiadające wartości własej a. Możey wówczas tworzyć kobiacje liiowe ψ = g C (i) f (i) H, (8.28) i zaiast rozkładu (8.27) pisać ψ = ψ. (8.29) Co więcej, dowoly ψ H jest stae własy obserwabli Â, to jest  ψ =  g C (i) f (i) = a ψ. (8.30) Dowód tej rówości przeprowadza się zupełie tak sao jak w przypadku rówaia (3.49). 8.3.1 Projektory jedowyiarowe Operatory rzutowaia a kieruek wyzaczoy przez wektor f (i) P (i) = f (i) f (i), (8.31) ają astępujące własości. Są idepotete (patrz (7.25)), tj., ( P (i)) 2 = P (i). (8.32) Oczywista (z defiicji (8.31)) jest heritowskość ( P (i)) = P (i). (8.33) S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 97
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 98 Projektory P (i) są ortogoale, w ty sesie, że P (i) P(j) = δ δ ij P (i). (8.34) Uzasadieie tej relacji wyika z defiicji i z )(8.26) P (i) P (j) = f (i) f (i) = δ δ ij f (i) f (j) f (i) f (j) = δ δ ij f (i) f (j) = δ δ ij P (i). (8.35) Obecość delt Kroeckera zapewia zerowaie się prawej stroy dla i i j, poza deltai oża jedak położyć = i i = j, stąd druga liia powyższej foruły. Zauważy dodatkowo, że z (8.35) wyika także idepotetość operatorów rzutowych. Stosując w rozkładzie jedyki (8.26) ozaczeia (8.31) ay g P (i) = ˆ1. (8.36) 8.3.2 Projektory wielowyiarowe Niech P ozacza operator rzutowaia a g N -wyiarową podprzestrzeń H. Zate P = g P (i) Własości takich projektorów są takie sae. depotetość ( P ) 2 = P. Heritowskość P = P. Ortogoalość P P = δ P. Zupełość P = ˆ1. (8.37) Dowody tych własości w eleetary sposób wyikają z własości projektorów jedowyiarowych P (i) i faktu, że P jest ich suą. 8.3.3 Rozkład spektraly obserwabli Wróćy do dyskusji obserwabli Â. Oczywiście ożey apisać  = ˆ1  ˆ1 = = g g g j=1 f (i) f (i) (i) f  f (i)  f (j) g j=1 f (j) f (j) f (j). (8.38) Stay f (j) są wektorai własyi obserwabli Â, więc z ich ortogoalości f (i)  f (j) Wobec tego otrzyujey = a f (i) f (j) = a δ δ ij. (8.39)  = = g g g f (i) a δ δ ij f (j) = j=1 a P (i) = g a f (i) f (i) a P. (8.40) S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 98
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 99 Taki rozkład operatora  a operatory rzutowe (w reprezetacji geerowaej przez te operator), z wagai dayi przez odpowiedie wartości włase azyway rozkłade spektraly operator Â. Z rozkładu spektralego wyikają istote wioski. Zachodzą relacje koutacyje [ Â, P (i) ] = [ Â, P ] = 0, (8.41) bowie w rozkładzie spektraly  wszystkie ie projektory są ortogoale do występujących w koutatorach, a te koutują sae ze sobą. Dla dowolego ψ H sta P (i) ψ jest stae własy obserwabli  odpowiadający wartości własej a. stotie, z rozkładu spektralego ay  P (i) ψ = k g k j=1 a k P (j) k P(i) ψ = k g k j=1 a k δ k δ ji P (i) ψ = a P (i) ψ. (8.42) Aalogiczie, P ψ jest stae własy obserwabli  z wartością własą a  P ψ = a P ψ. (8.43) Dowód przebiega idetyczie jak w poprzedi pukcie.  dla układu fizycz- Wartość oczekiwaa wielkości fizyczej A, której odpowiada operator ego zajdującego się w staie ψ wyosi A = ψ  ψ = = g g a ψ P (i) ψ a ψ f (i) f (i) ψ = a g f (i) ψ 2, (8.44) gdzie skorzystaliśy z rozkładu spektralego obserwabli Â. Suę g f (i) ψ 2, (zgodie z postulatai echaiki kwatowej) iterpretujey jako prawdopodobieństwo tego, że w wyiku poiaru wielkości fizyczej A otrzyay wartość własą a. Wyik te oczywiście odpowiada prawdopodobieństwu (3.64), a w przypadku bez degeeracji (gdy i 1) przechodzi w (3.57). Sua wszystkich prawdopodobieństw usi dawać jedykę, więc usi być g f (i) ψ 2 = 1. (8.45) Waruek te to ic iego iż żądaie uorowaia stau ψ. Po raz kolejy widziy więc, że orowaie wektora ψ jest rzeczywiście potrzebe. 8.4 Nowa teriologia Podsuujey wyżej wyprowadzoe pojęcia i zależości poiędzy ii. Cele aszy jest adaie opisaeu foralizowi teriologii typowej dla echaiki kwatowej. S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 99
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 100 8.4.1 Fukcje falowe w reprezetacji U Niech { u α } będzie pewą bazą w przestrzei Hilberta H przestrzei staów ψ. Przyjujey, że α staowią zbiór ocy cotiuu, a więc ay tu całki i delty Diraca. Przejście do przypadku, w który zbiór jest dyskrety ie powio astręczać żadych trudości, całki przejdą w suy, a delty Diraca w delty Kroeckera. Wprowadzoą bazę azwiey reprezetacją U w daej przestrzei. Oczywiście wektory bazy uszą spełiać waruki: ortooralości (8.2) i zupełości (tzw. rozkład jedyki w reprezetacji U) (8.6). Dowoly sta, wektor ψ H ożey zapisać w bazie (reprezetacji U) w/g (8.3), przy czy współczyiki rozkładu są iloczyai skalaryi u α ψ. Oówiy teraz dokładie teriologię, której już użyliśy, i którą będziey się posługiwać w dalszy ciągu wykładu. Dowoly sta ψ H oża rozłożyć w bazie ψ = dα u α f(α). (8.46) Liczbową fukcję f(α) paraetru α azwiey f(α) = u α ψ fukcją falową stau ψ w reprezetacji U. (8.47) Fukcja falowa f(α) (w reprezetacji U) powia być uorowaa, to jest dα f(α) 2 = dα u α ψ u α ψ = dα ψ u α u α ψ = ψ ψ = 1, (8.48) gdzie przedostati krok wyika z zupełości wektorów bazy. Dzięki teu ożey utrzyać iterpretacją probabilistyczą f(α) = u α ψ jako aplitudy (gęstości dla rozkładów ciągłych) prawdopodobieństwa tego, że układ fizyczy opisay stae ψ w wyiku poiaru zalezioy zostaie w staie u α. Reprezetacja U jest dowola, zate żądaie uorowaia fukcji falowej dotyczy każdej reprezetacji i zapewia, że iterpretacja probabilistycza jest iezależa od wyboru reprezetacji. Wybór reprezetacji określa atoiast o jaki (czego) prawdopodobieństwie ówiy. 8.4.2 Operatory w reprezetacji U Niech teraz f(α) i f(α) będą odpowiedio fukcjai falowyi staów ψ i ψ =  ψ w reprezetacji U, tak jak to ieliśy w (8.15). Na ocy relacji (8.18) ożey powiązać f(α) fukcję falową stau ψ w reprezetacji U, z odpowiedią fukcją falową f(α) stau wyjściowego ψ reprezetacji U f(α) = u α ψ = u α  ψ = dβ u α  u β f(β) = dβ A (u) αβ f(β) (8.49) gdzie A (u) αβ = u α  u β jest eleete acierzowy operatora  w reprezetacji U, co ty raze jawie zazaczyliśy za poocą górego ideksu. Jak już wspoialiśy, prawą stroę relacji (8.49) odczytujey jako iloczy acierzy A (u) αβ i wektora koluowego f(α) (por. (8.7)). S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 100
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 101 Zazwyczaj, gdy operator  działa a dowoly sta ψ usiy posługiwać się zapise taki jak w (8.49), tj. używać acierzy i ich eleetów acierzowych. Na ogół trudo jest zaleźć taką postać operatora Â(u) (α) (w reprezetacji U), aby óc apisać relację postaci  (u) (α)f(α) = f(α), to jest jedą forułę pozwalającą za poocą iezbyt skoplikowaych operacji ateatyczych obliczyć fukcją falową f(α) a podstawie zajoości fukcji falowej f(α). yi słowy, rzadko udaje się skostruować operator  (u) tak, aby ógł o działać bezpośredio a fukcje falowe f(α) w daej reprezetacji. Czasai jedak taka "sztuczka" się udaje, Przykłady takich sytuacji oówiy w dalszych paragrafach. Poieważ ie jest łatwo zaleźć ogóle wyrażeia dla iezbędych eleetów acierzowych dlatego wygodie jest przyjąć astępującą kowecję otacyją.  (u) f(α) = Â(u) u α ψ (8.50a) u α  ψ (8.50b) dβ u α  u β f(β) (8.50c) gdzie Â(u) to tak zway operator  w reprezetacji U. Operator te działa a fukcję falową f(α) = u α ψ (w tejże reprezetacji), w sesie określoy przez eleet acierzowy w drugiej liii. Trzecia liia defiiuje ses eleetu acierzowego. Podkreśly tutaj, że relacje (8.50) defiiujące pojęcie operatora w reprezetacji U ają charakter dystrybucyjy (wyrażeia całkowe jak w (8.50c)), co ie ułatwia praktyczych obliczeń. W kokretych sytuacjach tak staray się wybrać reprezetacje (czyli bazy) w przestrzei staów, aby ożliwie uprościć obliczeia. Przede wszystki chodzi o efektywe obliczaie eleetów acierzowych operatorów, a astępie całek (8.50c). 8.4.3 Uwagi dodatkowe Niekiedy zdarza się, że w odpowiedio dobraej reprezetacji eleet acierzowy operatora oża przedstawić w postaci A (u) αβ = δ(α β) Â(u) (β) (8.51) gdzie Â(u) (β) jest wtedy operatore  w reprezetacji U działający bezpośredio a fukcje falowe brae w tejże reprezetacji. Dystrybucyja (całkowa) relacja (8.49) daje wówczas f(α) = dβ A (u) αβ f(β) = dβ δ(α β)â(u) (β) f(β) = Â(u) (α) f(α), (8.52) W takiej sytuacji trudość, o której ówiliśy przed wprowadzeie kowecji otacyjej (8.50) zostaje oiięta. Obliczeie f(α) a podstawie f(α) staje się ożliwe, o ile tylko potrafiy skostruować operator Â(u) (α) w reprezetacji U. Zwróćy uwagę, że w operatorze Â(u) (α) wyrażoy w reprezetacji U a ogół występuje ziea paraetr α charakteryzujący wybraą reprezetację. Łącząc wyrażeie (8.51) z trzeci człoe relacji (8.49) lub z (8.50c), ożey apisać u α  ψ = dβ δ(α β) Â(u) (β) f(β) = Â(u) (α) f(α) = Â(u) (α) u α ψ. (8.53) S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 101
3.10.2004 8. Reprezetacje w przestrzei staów 102 Tak więc, w pewych wypadkach ożliwe jest zapisaie działaia operatora  w wybraej reprezetacji w postaci zwartej, bez odwoływaia się do zapisu dystrybucyjego całkowego, jak w ostati człoie (8.49), lub w (8.50c). Jeśli więc potrafiy wyzaczyć operator Â(u) (α) w reprezetacji U (w sesie relacji (8.51)), to ożey eleet acierzowy w (8.53) wyrazić poprzez bezpośredie działaie Â(u) (α) a fukcję falową stau ψ w daej reprezetacji. Zalezieie jawej postaci  (u) (α) operatora  w reprezetacji U często ie jest sprawą ai prostą, ai łatwą. Wyaga to ajpierw obliczeia eleetu acierzowego A αβ = u α  u β, a astępie dokoaia odpowiedich aipulacji tak, aby otrzyać wzór typu (8.51). * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANKA KWANTOWA 102