Wstęp do Modelu Standardowego

Transkrypt

1 Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory stanu przestrzeń Hilberta Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej /03/06

2 Elementy przestrzeni V Zakładamy, że stan układu (np. cząstki) możemy opisać używając elementów abstrakcyjnej liniowej przestrzeni wektorowej H W przypadku fizyki klasycznej, wektory zapisujemy jako: Wektory reprezentujące stany kwantowe zapiszemy korzystając z notacji Diraca jako: Wektory te nazywamy ket Nasza abstrakcyjna przestrzeń wektorowavpowinna spełniać poniższe warunki:. a, b V a + b = c V. a V α C α 3. a, b a V V a + b = b + a 4. a, b, c V a + b + c Ԧr, Ԧv, Ԧp, v, φ, σ, = ( a + b ) + c

3 Podstawowa reprezentacja ket-ów Dla obiektów należących do naszej zespolonej przestrzeni wektorowej możemy przyjąć następującą reprezentację: ψ = ψ ψ ψ n ψ n ψ ± φ = ψ ψ ψ n ψ n ± φ φ φ n φ n = ψ ± φ ψ ± φ ψ n ± φ n ψ n ± φ n α ψ = αψ αψ αψ n αψ n Najbardziej istotna różnica pomiędzy wektorami fizyki klasycznej a ket-ami jest użycie liczb zespolonych jako składowych ket-a 3

4 Bliżej fizyki Istnieje dokładnie jeden wektor zerowy : a V a + 0 = a Mnożenie przez skalar jest łączne: a V α, β C αβ a = α β a Mnożenie przez skalar jest liniowe: a, b V α C α( a + a V α, β C α + β b = α a + α b a = α a + β a Dla każdego wektora ket istnieje wektor przeciwny: a V! a a + a = 0 Powyższe własności przydadzą się nam również przy omawianiu elementów teorii grup, która stanowi podstawę matematyczną MS 4

5 Mnożenie wewnętrzne a.k.a. iloczyn skalarny Aby dopełnić notację Diraca potrzebujemy jeszcze obiektów bra (nie mylić z ang. bra stanik ) Wektory bra należą do tak zwanej przestrzeni dualnej V względem V Zapiszemy, przy użyciu naszej reprezentacji macierzowej: ψ = ψ ψ ψۦ = ψ ψ ψ n ψ n Iloczynem skalarnym nazwiemy odwzorowanie postaci: : V V a, b ۦ α = bۦ a C Przez analogię z wektorami klasycznymi k Ԧl = e 0 k + e 0 l + = k i l i = k i l i i φۦ ψ = φ φ φ n ψ ψ ψ n = φ i ψ i = φ i ψ i i konwencja sumacyjna 5

6 Mnożenie wewnętrzne a.k.a. iloczyn skalarny Wyznacz φۦ ψ oraz ψۦ φ dla: ψ = i7, φ = + i3 4 8 ψۦ φ = i7 + i3 4 8 = 0 + i34 φۦ ψ = i3 4 8 i7 = 0 i34 W ogólności iloczyn skalarny zdefiniowany na zespolonej przestrzeni wektorowej nie jest przemienny (abelowy) cecha niezwykła dla fizyki klasycznej! Ta różnica w amplitudach pozwoli na wprowadzenie do MS zjawiska łamania symetrii kombinowanej CP 6

7 Własności iloczynu skalarnego Iloczyn skalarny ma fundamentalne znaczenie dla mechaniki kwantowej amplituda prawd. to iloczyn skalarny Dla poniższych własności mamy zawsze: a, b, c V α, β C aۦ b = bۦ a. bۦ α a + β. c = αۦb a + βۦb c 3. bۦ c aۦ c + β βbۦ c = α + αaۦ 4. aۦ a 0 Dzięki ostatniej własności możliwe jest wyznaczenie długości wektorów z V oraz ich normalizacja a = aۦ a a = a a Np. dla wektora zdefiniowanego w naszym przykładzie (slajd 6): ψۦ ψ = i7 i7 = 3 6 ψ ൿ = 3 6 i7 7

8 Baza (powłoka) V Podobnie jak w przypadku klasycznych wektorów, możemy zdefiniować relację ortonormalności Zbiór wektorów φ, φ,, φ n nazywamy bazą przestrzeni V, jeżeli:. Zbiór ten jest zamknięty względem dodawania i mnożenia skalarnego. Rozpina przestrzeń V a V a = c φ + c φ + + c n φ n, c i C 3. Zbiór φ, φ,, φ n jest liniowo niezależny φ + a φ + + a n φ n = 0 a i = 0 a ൻu i u j ൿ = δ ij, u i = Np. poniższy zbiór nie może być bazą w V 3 a =, b = 0 0, c = 0 b c = a 8

9 Baza (powłoka) V Wymiar przestrzeni V zdefiniujemy jako liczbę wektorów bazowych dim V = dim φ, φ,, φ n Relacja zupełności (powrócimy jeszcze do tego ) i Rozwinięcie wektora ψ w bazie ψ = c ψ ψۦ = φ + c φ + + c n φ n c i = φۦ i ψ Współczynniki rozkładu wektora stanu wyznaczamy dokładnie tak samo jak w przypadku funkcji falowych por. ostatni wykład Procedura Grama-Schmidta orto-normalizacji dowolnej bazy v i, procedura odbywa się w dwóch krokach v i w i φ i w = v, w = v ൻw v w 3 = v 3 ൻw v 3 w 0 ൿ, w 0 ൿ wۦ v 3 w 0 ൿ, φ = φ = w ൻw w w ൻw w 9

10 Algebra bra-ket Dla każdego wektora ket stowarzyszony bra możemy uzyskać jako: α ψ = αψ αψ ψۦ αψۦ = α = Np. załóżmy, że mamy zdefiniowany ket znajdźmy jego bra ψ = i φ 3 φ + i φ 3 3 iۦφ φۦ 3 φۦ i φۦ 3 = φۦ 3 + i φۦ ψۦ = i Możemy również sformułować problem rozkładu wektora w bazie przy pomocy bra i ket ൻφ i φ j ൿ = δ ij ψ = i φ 3 φ + i φ 3 φ ψ = i φ φ 3 φ φ + i φ φ 3 φ ψ = 3 Ogólnie możemy zapisać: ψ = σ i c i φ i = σ i φ i ψ φ i 0

11 Algebra bra-ket Wreszcie to samo w reprezentacji macierzowej ψ = φ ψ φ ψ φ n ψ = c c c n Reprezentacja ket-u nie jest unikalna zależy od wyboru bazy Popatrzymy na przykład ćwieczenia!