Szacowanie błędu lokalnego w metodach jednokrokowych. 1) W rachunkach numerycznych musimy znać oszacowanie błędu

Podobne dokumenty
DYNAMIKA KONSTRUKCJI

Δt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] u(t) f(t,u) f(t,u) u(t) [t+ Δt,u(t+Δt)]

t. sztywny problem w pojedynczym równaniu: u(t)=cos(t) dla dużych ż t rozwiązanie i ustalone

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

ψ przedstawia zależność

WYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione

Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona

C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO

VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI

Wykład 4 Metoda Klasyczna część III

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Regulatory. Zadania regulatorów. Regulator

u(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Silniki cieplne i rekurencje

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1

ciało w potencjale radialnym schemat Eulera orbity kontrola kroku czasowego

Wygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

KURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Prognozowanie i symulacje

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Ćwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.

Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu

Zarządzanie Projektami. Wykład 3 Techniki sieciowe (część 1)

Podstawy elektrotechniki

Rozruch silnika prądu stałego

Dyskretny proces Markowa

Część I. MECHANIKA. Wykład KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO. Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni.

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

( ) ( ) ( τ) ( t) = 0

4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM

Krzywe na płaszczyźnie.

Całkowanie numeryczne

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

Metoda różnic wstecznych: interpolujemy u wielomianem od chwili n-k aż do n-1

Układy zasilania tranzystorów. Punkt pracy tranzystora Tranzystor bipolarny. Punkt pracy tranzystora Tranzystor unipolarny

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

i j k Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, G.Harań, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski. Wrocław, 1 października 2015

Analiza rynku projekt

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 4

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz

pozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera

Układy sekwencyjne asynchroniczne Zadania projektowe

Podstawy elektrotechniki

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

Modelowanie i obliczenia techniczne. Równania różniczkowe Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Ocena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.

Pomiar współczynników sprężystości i lepkości skórki ogórka.

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )

Teoria sterowania 1 Temat ćwiczenia nr 7a: Synteza parametryczna układów regulacji.

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

licencjat Pytania teoretyczne:

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT I-21 LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2 Ćwiczenie nr 8. Generatory przebiegów elektrycznych

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 7/2007 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut

ROZDZIAŁ 8 WIELOSTABILNOŚĆ W NIELINIOWYM MODELU CYKLU KONIUNKTURALNEGO Z OCZEKIWANIAMI

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

I. KINEMATYKA I DYNAMIKA

POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

Metody Prognozowania

Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia

y i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta

Transkrypt:

Szacowanie błędu lokalnego w meodach jednokrokowych Po co? 1) W rachunkach numerycznych musimy znać oszacowanie błędu 2) Gdy oszacowanie jes w miarę dokładne: można poprawić wynik 3) Aby usawić krok czasowy ak, aby błąd był akcepowalny

Oszacowanie błędu lokalnego w meodach jednokrokowych W każdym kroku generujemy nowy błąd w rachunkach. Znamy jego rząd. dla RK: wsawialiśmy rozwiązanie dokładne do schemau i je rozwijaliśmy w szereg T. wybór b 1 =0, b 2 =1, c=1/2, a=1/2 dawał RK2 punku środkowego Rozwijając do jednego rzędu wyżej z D uzyskamy oszacowanie błędu lokalnego d n = u( n ) - u n [przy założeniu, że u( n-1 ) = u n-1 ] świeny wzór choć mało prakyczny

Oszacowanie błędu (lokalnego) w meodach jednokrokowych meodą rzędu p z chwili n-1 wykonujemy krok do n może zależeć od n-1 oraz u n-1, ale nie zależy od D folia wcześniej szacowanie błędu: 1) eksrapolacja Richardsona (sep doubling) 2) osadzanie (embedding)

eksrapolacja Richardsona dwa kroki D: dosaniemy lepsze oszacowanie u( n+1 ) n-1 n n+1 D D jeden krok 2D: dosaniemy gorsze oszacowanie u( n+1 ) n-1 n+1 2D szacujemy C n z porównania obydwu rozwiązań

eksrapolacja Richardsona błąd lokalny u( n )-u n =d n jes: wykonujemy krok nasępny od n do n+1 odchylenie wyniku numerycznego od dokładnego u( n+1 )-u n+1 = g d n +d n+1 1) zakładamy, że krok jes na yle mały, że sała błędu się nie zmienia C n C n+1 (lub, ze w jednym kroku zmienia się o O(D)] wedy błąd lokalny popełniony w chwili n+1 jes d n+1 d n. 2) gdy krok mały: współczynnik wzmocnienia błędu g 1 (błąd popełniony w kroku pierwszym nie jes isonie wzmacniany) Przy ym założeniu: błąd po drugim kroku suma błędów g d n +d n+1 2d n,

eksrapolacja Richardsona n-1 n n+1 D D o chwili n+1 dojdziemy z n-1 w pojedynczym kroku 2D n-1 n+1 2D dosaniemy gorsze oszacowanie u( n+1 ) chcemy poznać C n (o + znajomość p da nam oszacowanie błędu): odejmujemy niebieskie wzory ak aby wyeliminować rozwiązanie dokładne (nam niedosępne)

eksrapolacja Richardsona błąd wykonany po dwóch krokach D wynosi więc: pierwszy wniosek: jeśli znamy rząd meody p o porafimy go podnieść o jeden

eksrapolacja Richardsona podnosimy rząd dokładności meody algorym

Przykład: r. dokładne: eksrapolacja Richardsona Euler (p=1) błąd lokalny O(D 2 ) Euler po poprawce: błąd lokalny O(D 3 ) kreski: RK2 punku środkowego (p=2), b.lok. O(D 3 ) znając rząd dokładności możemy radykalnie poprawić dokładność meody przy nadaku (50 procen) numeryki

Euler eksrapolacja Richardsona RK2 RK2 z odcięym błędem

Oszacowanie błędu lokalnego w meodach jednokrokowych 1) eksrapolacja Richardsona (sep doubling) 2) osadzanie (embedding) cel: szacujemy błąd lokalny meody rzędu p przy pomocy lepszej meody, np. rzędu p+1 obydwie meody szacują rozwiązanie w ych samych chwilach czasowych co daje oszacowanie błędu gorszej meody nie nadaje się do poprawiania schemau p po cóż zreszą poprawiać gdy mamy p+1

celem szacowania błędu nie jes poprawa wyniku, (dla poprawy zawsze można D zmienić) lecz adapacja D : sały krok zawsze może okazać się zby wielki albo zby mały. JAKI KROK CZASOWY SYMULACJI USTAWIĆ gdy coś ciekawego zdarza się ylko czasem?

Auomayczna konrola kroku czasowego dla meod jednokrokowych Program może sam dobierać krok czasowy w zależności od ego co dzieje się w symulacji. Chcemy urzymać błąd na poziomie zbliżonym do parameru ol. nie większy aby zachować wymaganą dokładność, nie mniejszy aby nie racić czasu na rachunki zby dokładne Szacujemy błąd lokalny E (eksrapolacja Richardsona lub meody embedding) E=C[D] p+1 chcemy zmienić krok odpowiednio do naszych wymagań z D do D(nowy) ol=c[d(nowy)] p+1 D(nowy)=(ol/E) 1/(p+1) D D(nowy)=(S ol /E) 1/(p+1) D dla bezpieczeńswa S<1 wzór zwiększy zby mały krok i vice versa uwaga: błąd jes szacowany, zawsze waro dorzucić szywne ograniczenia na D

Auomayczna konrola kroku czasowego dla meod jednokrokowych do { symulacja usawiająca krok czasowy może wyglądać np. ak: u 0 = warunek począkowy 0 =0 n=1 jeśli E<ol { n:=n+d n:=n+1 (oznacza akcepację wyniku) } D:=(S ol /E) 1/(p+1) D } while ( <T)

V () V () V () Przykład: oscylaor harmoniczny używane oszacowanie błędu z RK2 Uwaga: uaj rozwiązania nie poprawiamy przez eksrapolacje olerancja błędu obcięcia ol=0.1 sar RK2 ol=1e-2 x 2 V 2 D x () x () ol=1e-3 x () algorym usawia minimalny krok czasowy gdy zmiany prędkości lub położenia są maksymalne

wyniki Konrada Rekiecia RK4 spirala się skręca zamias rozkręcać E() RK2 ol=.1 RK4 przy założonej olerancji RK4 wcale nie jes dokładniejsze od RK2

d... ylko pozwala sawiać dłuższe kroki

Problemy szywne

u(0)=0 prose równanie rakowane jawnym schemaem Eulera 5 4 3 u= 2 2 1 d=0.02 d=0.2 0 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

prosy problem nieco komplikujemy 1.00 a=10 0.80 0.60 niech a >> 0 0.40 0.20 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 szybkozmienna składowa składowa wolnozmienna

rozwiązanie a=0 krok d=0.02 jes bardzo drobny w porównaniu ze skalą zmienności składowej parabolicznej krzyżyki : 2 kółka : 2 + exp(-100)

10.00 rozwiązanie a=100 5.00 0.00 d=0.019 d=0.02 d=0.021 dokładne -5.00 krok d=0.02 okazuje się zby długi gdy włączyć składową szybkozmienną nawe am, gdy znika ona z rozwiązania -10.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

10.00 rozwiązanie a=100 5.00 0.00 d=0.019 d=0.02 d=0.021 dokładne część szybkozmienna -5.00 gaśnie szybko, ale w schemacie jawnym Eulera nakłada ograniczenie na krok czasowy : u =-au a=100 d<0.02, gdy szybkozmienna składowa zaniknie d jes bardzo mały w porównaniu do skali zmienności u() -10.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

regiony sabilności meod Eulera D Im (l) D Im (l) -2-1 1 1-1 D Re(l) -1 D Re(l) meoda Eulera jawna niejawna meoda Eulera w meodzie niejawnej problemu ze sabilnością bezwzględna nie ma...

niejawna meoda Eulera: zasosowanie do problemu szywnego 1.00 rozwiązania są sabilne i dokładne dla dużych nawe gdy d duże dla małych można wsawić mniejsze d, poem krok zwiększyć 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 dokładny d=0.02 d=0.04 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

Problemy szywne (dręwe) (siff, siffness) Problem jes prakyczny i ścisłej definicji, kóra byłaby użyeczna, nie ma. Jedna z możliwych: problem jes szywny, gdy sosując schema jawny musimy przyjąć krok czasowy bardzo mały w porównaniu ze skalą zmienności funkcji. RRZ jes problemem szywnym gdy: 1. Problem jes charakeryzowany bardzo różnymi skalami czasowymi 2. Sabilność bzwz nakłada silniejsze ograniczenia na krok czasowy niż dokładność. 3. Meody jawne się nie sprawdzają. 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 niech a >> 0 szybkozmienna składowa składowa wolnozmienna 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Problemy szywne (dręwe) (siff) problem najczęściej spoykany dla układ równań różniczkowych opisujących sprzężone procesy o bardzo różnych skalach czasowych Ogólna posać układu równań pierwszego rzędu fcja R R n R wekor R n Tylko niekiedy można podać rozwiązanie w zamknięej formie analiycznej. Można, np. dla jednorodnego problemu liniowego

problemy szywne gdzie dla niezdegenerowanych warości własnych c j liczone z warunku począkowego np. problem rozpadu promieniowórczego Izoop 2 o sałej rozpadu l 2 rozpada się promieniowórczo na inny izoop 1 o sałej rozpadu l 1 y 1 (0)=0 y 2 (0)=1 warości własne l 1, l 2 rozłożyć warunek począkowy na wekory własne

problemy szywne gdy duża rozpięość między minimalną a maksymalną warością własną l max /l min >>1: duże różnice skal czasowych wekor własny kóry odpowiada największej warości własnej wygaśnie najprędzej, ale (dla meod jawnych) pozosawi najsilniejsze ograniczenie dla kroku czasowego (np. Euler, RK2 d<2/ l max ) jeseśmy zmuszeni przyjąć maluki krok w porównaniu z przebiegiem rozwiązania (w przeciwnym wypadku eksplozja)

nasępny przykład: podobny do poprzedniego problem szywny z liniowego równania drugiego rzędu o bliskich współczynnikach u +1001u +1000u=0 warości / wekory własne: -1 / [-1,1] T -1000 / [1,-1000] T bardzo różne skale czasowe

problemy szywne szczególnie dokliwy przypadek: równanie niejednorodne (bez rozwiązania analiycznego) załóżmy, że warości własne A są ujemne Rozwiązanie będzie miało posać: san przejściowy (wszyskie zgasną) san usalony wolnozmienny Na czym polega problem? : Rozwiązując problem numerycznie meodą jawną (Euler, RK2) musimy przyjąć krok czasowy D < 2/ l_max aby uniknąć eksplozji rozwiązań nawe gdy wszyskie wyrazy z powyższej sumy w rozwiązaniu znikają

y 2 izoop maka wolno rozpadająca się na y 1 y 1 izoop szybko rozpadający się, niejednorodność: dodakowo pewna ilość jes w sałym empie doprowadzana z zewnąrz y 2 (0)=1 y 1 (0)=0 l 1 =1/10 l 2 =1/10 000 1.0 0.5 y2 y1 bardzo wolno się rozpada [aka i większa rozpięość lambd ypowa również dla reakcji chemicznych spoykana również dla układów elekrycznych] 1.0 0.5 y2 y1 przy zaniedbywalnej wielkości l 2 y 1 =0.5 spełnia pierwsze równanie 0.01 10 100 1000 10000 100000 0.00 10000 20000 30000

auomayczna konrola kroku czasowego dla jawnego RK2 z krokiem czasowym usawianym przez eksrapolację Richardsona y 1 0.8 0.6 0.4 y2 ol=0.001 zęby: zaakcepowane błędy y1 D 50 40 30 20 y1 l 1 =1/10 l 2 =1/10 000 y 0.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 40000 80000 120000 160000 1 y2 0 0 40000 80000 120000 160000 ol=0.00001 y1 50 40 30 20 10 10 0 0 4000 8000 12000 16000 0 0 4000 8000 12000 16000 y1 w obydwu przypadkach D ylko chwilowo przekracza kryyczną warość 2/(1/10)=20

RK4 2.78 / l 1

1.00 Zasosujmy meodę A-sabilną = wzór rapezów (p=2) 0.80 0.60 y 0.40 sały D=200 Wzór rapezów sały krok, bardzo dłuuugi nic złego się nie dzieje ze sabilnością w sanie usalonym 0.20 0.00 0 10000 20000 30000 40000 50000

1 10 100 1000 10000100000 Wzór rapezów i krok auomaycznie dobierany przez eksrapolację Richardsona 1.00 0.80 ol=0.01 kropki 1.00 -am gdzie 0.80 posawiony krok y 0.60 0.40 y 0.60 0.40 0.20 0.00 100000 10000 0 10000 20000 30000 40000 50000 0.20 0.00 10 100 1000 10000 rapem 10 kroków i załawione! zamias 10 4 kroków RK4 D 1000 100 10 Krok czasowy zmienność 4 rzędów wielkości.

rapezy (najdokładniejsza meoda A-sabilna spośród wielokrokowych) 1.00 0.80 z olerancją 0.00001 10000.00 1000.00 maksymalnie parę ysięcy D y 0.60 0.40 100.00 10.00 poziom jawnych RK 0.20 0.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00 100000.00 1.00 0.10 10.00 100.00 1000.00 10000.00 100000.00 meoda rapezów: jako A-sabilna radzi sobie nieźle z doborem kroku czasowego w problemach szywnych ale jes sosunkowo mało dokładna dokładniejsza A-sabilna pozwoliłaby sawiać jeszcze dłuższe kroki niesey = dokładniejszej A-sabilnej ej w klasie meod (liniowe wielokrokowe) nie ma dlaego : niejawne meody RK (jednokrokowe, nieliniowe)

rapezy z olerancją 0.00001 (najdokładniejsza meoda A-sabilna spośród wielokrokowych) 1.00 10000.00 0.80 1000.00 D 0.60 y 0.40 100.00 10.00 maksymalnie parę ysięcy 0.20 0.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00 100000.00 1.00 0.10 10.00 100.00 1000.00 10000.00 100000.00 1.00 0.80 100000.00 10000.00 D maksymalnie kilkadziesią ysięcy y 0.60 0.40 0.20 0.00 1.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00 100000.00 1000000.00 1000.00 100.00 10.00 1.00 0.10 1.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00 100000.00 1000000.00 niejawna dwusopniowa meoda RK (rzędu 4) z olerancją 0.00001 (A-sabilna)

-1 8 9 10 11 12 Mówimy, że RRZ jes problemem szywnym gdy: 1. Problem jes charakeryzowany różnymi skalami czasowymi. 2. Sabilność bzwz nakłada silniejsze ograniczenia na krok czasowy niż dokładność. 3. Meody jawne się nie sprawdzają. Nasępny przykład: szywny problem w pojedynczym równaniu: dla dużych rozwiązanie usalone 2 u()=cos() 1 0 cos() dwie bardzo różne skale czasowe 1) rozwiązania usalonego okres 2pi 2) skala czasowa łumienia odchylenia od sanu usalonego exp(-100 ) czasowa sała zaniku 0.01

0 1 2 z u(0)=2 rozwiązanie: sacjonarne u()=cos() Sały krok czasowy: 4 Euler d = 0.01 jawny schema Eulera rozpoznajemy ograniczenie: D < 2/ 100 0-4 d=0.019 d=0.02 d=0.021

niejawny schema Eulera krok sały 1.2 0.8 0.4 0.0-0.4 d=0.1 d=0.2 d=0.5-0.8 0 1 2 uaj: sarowane od warunku u(0)=1

u u u u akcepowane d 10 2 1 wyniki do uzyskania na laboraorium sar u(0)=2,olerancja 1e-2 niejawny, jawny, cos () akcepowane d 1 0.1 0.01 0.001 niejawny jawny ol1e-2 0 0.4 0.0001 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00-1 0.00 1.00 2.00 3.00 2 niejawny Euler olerancja 1e-3 niejawny, jawny, cos () akcepowane d 0.3 0.2 0.1 0 ol1e-3 1 0-1 0.00 1.00 2.00 3.00 akcepowane d 0.016 0.012 0.008 0.004 0 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 ol 1e-6 gdy wymagana b. duża dokładność niejawny sawia równie krókie kroki co jawny, obydwie meody ego samego rzędu dokładności 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

nasępny przykład: równanie swobodnego oscylaora van der Pola [hisorycznie = odkrycie deerminisycznego chaosu w lampach firmy Philips aperiodyczne oscylacje przy periodycznym wymuszeniu ] (l=0 = zwykły o. harmoniczny) u 4.00 2.00 0.00 l=1 jawny RK4 = zmienny krok czasowy punk u() policzony = krzyż po lewej: krzyże położone rozsądnie w porównaniu ze zmiennością rozwiązania 4.00 2.00 u 0.00 l=100-2.00-4.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00 po prawej: problem szywny gładkie rozwiązanie a krzyże się zlewają -2.00-4.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00

4.00 2.00 równanie: czasem szywne czasem nie u 0.00-2.00-4.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00 przydałoby się narzędzie do wykrywania szywności np. dla podjęcia decyzji: am gdzie szywność = schema niejawny am gdzie nie = schema jawny (ańszy)

Deekcja szywności dla problemu nieliniowego (dla liniowego = wysarczy rozwiązać problem własny macierzy układu równań) układ N równań (u,f-wekory) w chwili rozwiązanie u * () rozwiązanie chwilę później opisane przez odchylenie du() od u * u()= u * () + du() linearyzacja: zakładamy, że odchylenie małe, rozwijamy f(,u) względem u wokół f(,u * ): [Taylor dla wekora] macierz Jakobiego [N na N]

Aby rachunek się powiódł: D l i musi leżeć w regionie sabilności używanej meody dla wszyskich i. Jeśli duża rozpięość l : problem będzie szywny. problem zlinearyzowany +B B bez znaczenia dla sabilności rozwiązać problem własny A: dosaniemy warości własne l i :

Przykład: nieliniowy układ równań z warunkowo wysępującą szywnością jeśli druga składowa u urośnie macierz prawie diagonalna z szerokim zakresem warości własnych - szywność

Przykład deekcja szywności dla: oscylaora van der Pola warości własne:

niebieskie i czarne: części rzeczywise warości własnych 2.0 1.0 l=1 200.0 l=100 0.0 w -1.0 100.0 w 0.0-2.0-3.0 0.0 40.0 80.0 120.0 160.0 200.0 jawny RK +auoma d 0.80 0.60 d 0.40-100.0-200.0 0.25 0.0 40.0 80.0 120.0 160.0 200.0 0.20 0.15 0.10 d 0.05 0.20 0.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00 0.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00

2.0 l=1 jawny RK +auoma d l=100 w 1.0 0.0-1.0 w 200.0 100.0 0.0-2.0-100.0-3.0 0.0 40.0 80.0 120.0 160.0 200.0 0.80 0.60-200.0 0.25 0.0 40.0 80.0 120.0 160.0 200.0 0.20 0.15 0.10 d 0.40 0.20 0.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00 d 0.05 0.00 4.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00 4.00 u() 2.00 0.00 u() 2.00 0.00-2.00-2.00-4.00-4.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00 0.00 40.00 80.00 120.00 160.00 200.00