ciało w potencjale radialnym schemat Eulera orbity kontrola kroku czasowego

Transkrypt

1 Wykład pokazuj acy, że wybór stałego nie zawsze jest dobrym pomysłem. Jak napisać program, który będzie sam sobie dobierał krok czasowy na podstawie narzuconej przez nas tolerancji dokładności

2 orbita komety Halleya masa Słońca M = kg; Słońce w poczatku układu odniesienia, nieruchome; G = m 3 /kg/s 2, jednostka astronomiczna m Physics Education 38 (23) 429 dx dy dv x dv y = v x (1) = v y (2) = G M r 3 x (3) = G M r 3 y (4) (5)

3 Jawny Euler dla ciała w centralnym dx = v x (6) dy = v y (7) dv x = G M r x 3 (8) dv y = G M r y 3 (9) parametry Ziemi do startu: odległość Ziemi od Słońca w peryhelium: jedn. at. wtedy prędkość Ziemi 3.29 km/s. x n+1 = x n + (v x ) n t (1) y n+1 = y n + (v y ) n t (11) (v x ) n+1 = (v x ) n G M x n t (12) rn 3 (v y ) n+1 = (v y ) n G M y n t (13) rn 3

4 Orbita Ziemi y [jedn.astro.] krok t = 15 minut "fort.1" "slonce" y [jedn.astro.] "fort.1" u 3: t [rok] x [jedn.astro.]

5 Orbita Ziemi y [jedn.astro.] krok t =dzień "fort.1" "slonce" y [jedn.astro.] "fort.1" u 3: t [rok] x [jedn.astro.]

6 Orbita Ziemi y [jedn.astro.] krok t =tydzień "fort.1" "slonce" Ogólnie orbita Ziemi nie jest kłopotliwa do policzenia x [jedn.astro.]

7 Kometa Halleya M. Follows, Physics Education 38 (23) 429 preedkość w peryhelium: 54.6 km/s, a aphelium około 8 m/s czas obiegu około 75 lat

8 Kometa Halleya "3min.dat" "1h.dat" "15min.dat" "slonce" y [jedn.astro.] "1.dat" "1.dat" "1.dat" "1.dat" x [jedn.astro.] "3min.dat" u 3:2 "1h.dat" u 3:2 "15min.dat" u 3: x [jedn.astro.] wniosek: nawet 15 minut to zbyt długo na krok czasowy przy obiegu około 8 lat problemem jest peryhelium. wielkie siły i wielkie prędkości rozwijane przez kometę w pobliżu Słońca można zmienić metodę na bardziej dokładna (my znamy m. trapezów), ale tam również o obliczeniach numerycznych decydować będzie krok potrzebny do aphelium... t [rok]

9 Kontrola błędu w rozwiazaniu równania różnicowego dx = f (t, x) rozwiazanie dokładne x(t k ) rozwiazanie u różnicowego x k x(t k ) = x k + O( t) n+1, gdzie n rzad zbieżności metody. np. dla n = 1, dla trapezów n = 2 szereg Taylora x(t + t) = x(t) + f (t, x) t + t2 2 f (t, x) +..., ogólnie x(t k ) = x k + C t ( t) n+1 + O( t) n+2 wyliczyc C t to poznać wiodac a część błędu jak to zrobić?

10 Kontrola błędu w rozwiazaniu równania różnicowego dx = f (t, x) rachunek z krokiem t x k+1 = x k + W ( t), W ( t) - przepis metody x(t k+1 ) = x k+1 + C t ( t) n+1 + O( t) n+2 który przepis dokładniejszy (?) (minimalne - Euler - n = 1) rachunek z krokiem t/2: 2 kroki aby dojść do chwili t + t x k+1/2 = x k + W ( t/2) x k+1 = x k+1/2 + W ( t/2) w każdym kroku t/2 popełniamy bład C t ( t/2) n+1 x(t k+1 ) = x k+1 + 2Ct ( t 2 ) n+1 + O( t) n+2 C t ( t) n+1 2C t ( t/2) n+1 = x k+1 x k+1 C t ( t) n+1 (1 1 2 n ) = x k+1 x k+1 x(t k+1 ) = x k+1 + x k+1 x k+1 2 n 1 oszacowanie błędu: ɛ x k+1 x k+1 2 n 1 + O( t) n+2 zabieg szacowania błędu i lepszego rozwi azania przez obserwację zachowania metody zależnie od : ekstrapolacja Richardsona

11 Kontrola błędu w rozwiazaniu równania różnicowego zakładamy tolerancję błędu tol rachunek z krokiem t x k+1 = x k + W ( t), W ( t) - przepis metody x(t k+1 ) = x k+1 + C t ( t) n+1 + O( t) n+2 x k+1/2 = x k + W ( t/2) x k+1 = x k+1/2 + W ( t/2) ( x(t k+1 ) = x k+1 + t ) n+1 2Ct 2 + O( t) n+2 oszacowanie błędu: ɛ x k+1 x k+1 2 n 1 jeśli ɛ tol akceptujemy krok, przyjmujemy wyliczone wartości x k+1 i idziemy dalej t := t + t niezależnie od wartości ɛ zmieniamy krok czasowy tak, aby bład popełniany w pojedynczym kroku był bliski torelancji jest ɛ = C t ( t) n+1 chcemy tol = C t ( t(nowy)) n+1 ( t(nowy) = t tol ) 1 n+1 ɛ bezpieczniej: t(nowy) = c t ( tol ɛ ) 1 n+1, np. c =.9

12 problem ruchu w grawitacyjnym x n+1 = xn + (vx )n t (14) y n+1 = yn + (vy )n t (15) (vx ) n+1 = (vx )n G M r n 3 xn t (16) (vy ) n+1 = (vy )n G M r n 3 yn t (17) rachunek prowadzony z dwoma krokami czasowymi błędy szacowane dla położeń x/y ɛ x k+1 x k+1 2 n, maksymalny bład 1 porównywany z tolerancja krok akceptowany gdy bład mniejszy od tol zmiana t(nowy) =.9 t ( tol ɛ dla n = 1 ) 1 n+1

13 n=1 (Euler) iter= 151 continue c 2 kroki /2 vsx=vox vsy=voy sx=xo sy=yo vsx=vox vsy=voy sx=xo sy=yo call wykonajkrok(/2,dx,vox,voy,xo,yo) call wykonajkrok(/2,dx,vox,voy,xo,yo) c 1 krok call wykonajkrok(,dx,vsx,vsy,sx,sy) c porownujemy ex=(xo-sx)/(2**n-1) ey=(yo-sy)/(2**n-1) blond=abs(ex) if(abs(ey).gt.blond) blond=abs(ey) if(blond.lt.tol) then t=t+ iter=iter+1 write(18,13) xo/au,yo/au,t/rok,/36/24 else vox=vsx voy=vsy xo=sx yo=sy endif =*.9*(tol/blond)**(1./(n+1.)) if(t.lt.czas)goto 151

14 problem ruchu w grawitacyjnym y [jedn.astro.] "1.dat" "1.dat" "1.dat" "1.dat" x,y[j.at.] 5 1 x y t[lata] 5 1 x y -37 [dni] x [jedn.astro.] x,y[j.at.] [dni] y [jedn.astro.] "1.dat" "1.dat" "1.dat" "1.dat" t[lata] 5 1 x y x [jedn.astro.] po prawej od góry tol błędu: 1 m, 1 m, 1 m przy tolerancji błędu 1m krok czasowy t = 5.5 minuty w peryhelium do 5.5h w aphelium x,y[j.at.] t[lata] [dni]

15 trapezów dla układu równań x n+1 = x n + t 2 (v n+1 + v n) v n+1 = v n + t 2 układ równań nieliniowych: ( ) 1 dv m dx x n+1 αv n+1 1 dv m dx xn αvn F 1 (x n+1, v n+1 ) = x n+1 x n t 2 v n+1 t 2 vn F 2 (x n+1, v n+1 ) = v n+1 v n t 2 ( F1 F 1 ) ( x n+1 v n+1 F 2 F 2 x n+1 v n+1 x µ n+1,vµ n+1 ) 1 t 2 t d 2 V 2m dx 2 x µ 1 + t 2 α n+1 x µ n+1,vµ n+1 ( ( 1 dv m dx x n+1 αv n+1 x µ+1 n+1 x µ n+1 v µ+1 n+1 v µ n+1 ( ) ) x µ+1 n+1 x µ n+1 v µ+1 n+1 v µ n+1 ( ) t 2 1 dv m dx xn αvn ( ) F1 (x µ = n+1, v µ n+1 ) F 2 (x µ n+1, v µ n+1 ) ) (18) ( ) F1 (x µ = n+1, v µ n+1 ) F 2 (x µ n+1, v µ n+1 ) (19)

16 trapezów dla komety x n+1 = x n + t 2 ((vx ) n+1 + (v x ) n) (v x ) n+1 = (v x ) n + t 2 ((ax ) n+1 + (a x ) n) y n+1 = y n + t 2 ((vy ) n+1 + (v y ) n) (v y ) n+1 = (v y ) n + t 2 ((ay ) n+1 + (a y ) n) układ równań nieliniowych: a x = GM (x 2 +y 2 ) 3/2 x a y = GM (x 2 +y 2 ) 3/2 y F 1 (x n+1, y n+1, (v x ) n+1, (v y ) n+1 ) = x n+1 x n t 2 (vx ) n+1 t 2 (vx )n F 2 (x n+1, y n+1, (v x ) n+1, (v y ) n+1 ) = y n+1 y n t 2 (vy ) n+1 t 2 (vy )n F 3 (x n+1, y n+1, (v x ) n+1, (v y ) n+1 ) = (v x ) n+1 (v x ) n t 2 (ax ) n+1 t 2 (ax )n F 4 (x n+1, y n+1, (v x ) n+1, (v y ) n+1 ) = (v y ) n+1 (v y ) n t 2 (ay ) n+1 t 2 (ay )n F 1 x n+1 F 1 y n+1 F 1 (vx ) n+1 F 1 (vy ) n+1 F 2 x n+1 F 2 y n+1 F 2 (vx ) n+1 F 2 (vy ) n+1 F 3 x n+1 F 3 y n+1 F 3 (vx ) n+1 F 3 (vy ) n+1 F 4 x n+1 F 4 y n+1 F 4 (vx ) n+1 F 4 (vy ) n+1 µ x µ+1 n+1 x µ n+1 y µ+1 n+1 y µ n+1 (v x ) µ+1 n+1 (vx )µ n+1 (v y ) µ+1 n+1 (vy )µ n+1 = ( F1 F 2 F 3 F 4 ) (2) µ

17 x n+1 = x n + t 2 ((vx ) n+1 + (v x ) n) (v x ) n+1 = (v x ) n + t 2 ((ax ) n+1 + (a x ) n) y n+1 = y n + t 2 ((vy ) n+1 + (v y ) n) (v y ) n+1 = (v y ) n + t 2 ((ay ) n+1 + (a y ) n) t 2 t 2 1 t 2 1 t x (ax ) x (ay ) t 2 t 2 y (ax ) 1 2 y (ay ) 1 a x = GM (x 2 +y 2 ) 3/2 x a y = GM (x 2 +y 2 ) 3/2 y µ x µ+1 n+1 x µ n+1 y µ+1 n+1 y µ n+1 (v x ) µ+1 n+1 (vx )µ n+1 (v y ) µ+1 n+1 (vy )µ n+1 = ( F1 F 2 F 3 F 4 (21) )

18 wyniki metody trapezów ze stałym metoda trapezów metoda y [jedn.astro.] "3min.dat" "4h.dat" "1d.dat" "3min.dat" "1h.dat" "15min.dat" "slonce" x [jedn.astro.] x [jedn.astro.] y [jedn.astro.] "3min.dat" u 3:2 "4h.dat" u 3:2 "1d.dat" u 3: "3min.dat" u 3:2 "1h.dat" u 3:2 "15min.dat" u 3: t [rok] t [rok]

19 wyniki metody trapezów z doborem metoda trapezów od góry tol 1m, 1m metoda od góry 1m, 1m x,y[j.at.] x y t[lata] [dni] x,y[j.at.] x y [dni] t[lata] przy tej samej tolerancji (1m) trapezów stawia znacznie dłuższe kroki ( 1) rachunek wzoru trapezów przy tej samej tolerencji jest jakościowo lepszy w ch - błędy się akumuluja (ten sam znak błędu w każdym kroku).

20 RK4 metoda trapezów: niejawna drugiego rzędu dokładności metody Rungego Kutty (poczatek XXw): metody jawne wysokiej dokładności du = f

21 RK4 dla autonomicznego układu równań dx dy dv x dv y du = f(u), u = (u 1, u 2, u 3, u 4 ) T, f = (f 1, f 2, f 3, f 4 ) T = v x (t) (22) = v y (t) (23) = G M x = ax (24) r 3 = G M y = ay (25) r 3 liczymy k 1 = f(u n 1 ) następnie kolejno k 2 = f(u n 1 + t 2 k 1) k 3 = f(u n 1 + t 2 k 2) k 4 = f(u n 1 + tk 3 ) u n = u n 1 + t 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) u 1 x (26) u 2 y (27) u 3 v x (28) u 4 v y (29) f 1 v x (3) f 2 v y (31) f 3 a x (32) f 4 a y (33)

22 subroutine wykonajkrok(,dx,vox,voy,xo,yo) implicit double precision(a-h,o-z) dimension xk(4,4),uk(4,4),u(4) uk(1,1)=xo uk(1,2)=yo uk(1,3)=vox uk(1,4)=voy xk(1,1)=uk(1,3) xk(1,2)=uk(1,4) xk(1,3)=ax(uk(1,1),uk(1,2)) xk(1,4)=ay(uk(1,1),uk(1,2)) xk(2,1)=uk(1,3)+xk(1,3)*/2 xk(2,2)=uk(1,4)+xk(1,4)*/2 xk(2,3)=ax(uk(1,1)+/2*xk(1,1),uk(1,2)+/2*xk(1,2)) xk(2,4)=ay(uk(1,1)+/2*xk(1,1),uk(1,2)+/2*xk(1,2)) xk(3,1)=uk(1,3)+xk(2,3)*/2 xk(3,2)=uk(1,4)+xk(2,4)*/2 xk(3,3)=ax(uk(1,1)+/2*xk(2,1),uk(1,2)+/2*xk(2,2)) xk(3,4)=ay(uk(1,1)+/2*xk(2,1),uk(1,2)+/2*xk(2,2)) xk(4,1)=uk(1,3)+xk(3,3)* xk(4,2)=uk(1,4)+xk(3,4)* xk(4,3)=ax(uk(1,1)+*xk(3,1),uk(1,2)+*xk(3,2)) xk(4,4)=ay(uk(1,1)+*xk(3,1),uk(1,2)+*xk(3,2)) do 1 i=1,4 u(i)=uk(1,i)+/6*(xk(1,i)+xk(4,i)+2*xk(2,i)+2*xk(3,i)) 1 continue xo=u(1) yo=u(2) vox=u(3) voy=u(4) end

23 wyniki metody RK4 ze stałym metoda trapezów metoda RK4 y [jedn.astro.] "3min.dat" "4h.dat" "1d.dat" "1d.dat" "2d.dat" "tydzien.dat" x [jedn.astro.] x [jedn.astro.] y [jedn.astro.] 5 "3min.dat" u 3:2 "4h.dat" u 3:2 "1d.dat" u 3: t [rok] t [rok] "1d.dat" u 3:2 "2d.dat" u 3:2 "tydzien.dat" u 3:2-37

24 wyniki metody trapezów z doborem metoda trapezów od góry tol 1m, 1m metoda RK4 od góry 1m, 1m x,y[j.at.] x y t[lata] [dni] x,y[j.at.] x y [dni] t[lata]

25 krok czasowy w RK4 i metodzie [dni] RK4 tol 1m RK4 tol 1km Euler tol 1m Euler tol 1km r[au]

26 rekomendacja: jeśli problem nie jest sztywny, wybierajmy metodę RK4 jeśli problem wykazuje sztywność - wybierajmy metodę trapezów