UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Transkrypt

1 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np. x lub y lub inną literę. Znalezienie rozwiązania układu równań polega na znalezieniu takiej pary liczb, które wstawione zamiast zmiennych sprawią, że w każdym równaniu lewa i prawa strona będą sobie równe. PRZYKŁAD 1.1. Sprawdź, czy para (5, 3) spełnia układ równań: 7x 2y = 29 4x + y = 23 Musimy do obu równań tworzących układ w miejsce x podstawić 5, a w miejsce y podstawić 3. pierwsze równanie: drugie równanie: = = = = = = 23 Ponieważ w obu równaniach lewa strona jest równa prawej, więc para liczb (5, 3) spełnia dany układ równań. PRZYKŁAD 1.2. Sprawdź, czy para (2, 3) spełnia układ równań: x + 2y = 7 2x W miejsce x podstawiamy 2, a w miejsce y podstawiamy 3. pierwsze równanie: = = 7 8 = 7 SPRZECZNOŚĆ! Lewa strona równania nie jest równa prawej, więc para liczb (2, 3) nie spełnia układu równań. (Nie spełnia pierwszego równania, więc nie spełnia całego układu).

2 METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ METODA PODSTAWIANIA Z dowolnego równania wyliczamy jedną ze zmiennych (x albo y) i to, co otrzymamy podstawiamy do drugiego równania. W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, którą wyliczamy. PRZYKŁAD 2.1. x y y = 4 z pierwszego równania wyliczmy x (niewiadomą y przenosimy na drugą stronę równania ze znakiem przeciwnym) pierwsze równanie przepisujemy, a do drugiego w miejsce x podstawiamy 10 y drugie równanie ma tylko niewiadomą y, więc pierwsze równanie przepisujemy, a drugie równanie rozwiązujemy y y = y = 6 : ( 2) x = 10 3 x = 7 Liczbę 3 wstawiamy teraz w miejsce y do równania pierwszego i wykonujemy obliczenia (obliczamy x) Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (7, 3) PRZYKŁAD 2.2. x 3 x y = 5 z pierwszego równania wyznaczamy x, drugie równanie przepisujemy x y = y y = y = 5 2y = 5 3 2y = 2 : 2 x = pierwsze równanie przepisujemy, a do drugiego w miejsce x podstawiamy 3 + 3y pierwsze równanie przepisujemy, a drugie równanie rozwiązujemy Do pierwszego równania w miejsce y wstawiamy liczbę 1 i wykonujemy obliczenia (obliczamy x)

3 x = x = 6 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (6, 1) PRZYKŁAD x + 2y = 11 2x + 9 3x + 2y = 11 3x + 2(19 2x) = 11 3x x = 11 7x + 38 = 11 7x = x = 49 : ( 7) x = 7 x = x = x = 7 y = 5 Najłatwiej z drugiego równania wyznaczyć y Do pierwszego równania w miejsce y podstawiamy 19 2x pierwsze równanie rozwiązujemy, a drugie równanie przepisujemy Do drugiego równania w miejsce x wstawiamy liczbę 7 i wykonujemy obliczenia (obliczamy y) Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (7, 5) PRZYKŁAD 2.4. x + 4y = 7 2x + 8 2x + 8 2(7 4y) y = 1 Z pierwszego równania wyznaczamy x Pierwsze równanie przepisujemy, a do drugiego równania w miejsce x podstawiamy 7 4y pierwsze równanie przepisujemy, a drugie równanie rozwiązujemy Sprzeczność! Układ równań nie ma rozwiązania.

4 METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Układ doprowadzamy do takiej postaci, aby przy tych samych niewiadomych (x albo y) w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki (czyli przeciwne liczby). PRZYKŁAD 3.1. x + 0 Współczynniki przy niewiadomej y są liczbami przeciwnymi: 1 i -1. Dodajemy równania stronami: dodajemy lewą stronę równania pierwszego i lewą stronę równania drugiego, oraz prawą stronę pierwszego i drugiego równania. x x + y + x x = 14 : 2 x = 7 x = 7 x + 0 x = x = x = 7 otrzymaliśmy równanie, redukujemy wyrazy podobne i rozwiązujemy dołączamy drugie równanie dowolnie wybrane z układu i tworzymy nowy układ równań, a następnie go rozwiązujemy: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (7, 3) PRZYKŁAD x 2y = 8 5x + y = 9 5x 2y = 8 + 5x + y = 9 Przy niewiadomej x są liczby przeciwne: - 5 i 5, więc dodajemy układ równań stronami. 5x + ( 2y) + ( 5x) + y = 8 + ( 9) 5x 2y 5x + y = 8 9 y = 1 : ( 1) Tworzymy nowy układ do równania: dopisujemy dowolne równanie z pierwszego układu: 5x 2y = 8 5x 2 1 = 8 5x 2 = 8 5x = 8 + 2

5 5x = 10 : 5 x = 2 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 1) PRZYKŁAD 3.3. x 2y = 7 Często zdarza się, że współczynniki przy tej samej niewiadomej nie są liczbami przeciwnymi. Czasem wystarczy obie strony jednego równania pomnożyć przez jakąś liczbę, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać liczby przeciwne: x 2y = 7 ( 5) + 5x + 10y = 35 5x + ( 3y) + ( 5x) + 10y = 21 + ( 35) 5x 3y 5x + 10y = y = 14 : 7 Tworzymy nowy układ i go rozwiązujemy: 5x 3 ( 2) = 21 5x + 6 = 21 5x = x = 15 : 5 x = 3 Przy niewiadomej x są liczby przeciwne: 5 i - 5, więc dodajemy układ równań stronami. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (3, -2) PRZYKŁAD x x 4y = 14 4x + 4y = x 4y = 14 obie strony pierwszego równania mnożymy przez 2, aby przy zmiennej x otrzymać liczby przeciwne 4 i -4 4x + 4y + 3x 4y = 28 + ( 14) 7x = x = 14 : 7 x = 2

6 Tworzymy nowy układ i go rozwiązujemy: x = 2 2x + 24 x = x = x = x = 2 20 : 2 x = 2 y = 5 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 5) PRZYKŁAD x x 3y = 5 5 9x + 15y = x 15y = 25 Doprowadzamy równania do takiej postaci, aby przy zmiennej np. y otrzymać liczby przeciwne 9x + 15y + 10x 15y = x = 76 : 19 x = 4 Tworzymy nowy układ i go rozwiązujemy: x = 4 3x + 57 x = x = x = x = 4 5y = 5 : 5 x = 4 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (4, 1) PRZYKŁAD x 3 2 8x + 6 8x 6y = 2 + 8x + 6 8x 6y 8x + 6y = = 0 Prawda! Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

7 Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zad.1. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania: 2x + y = 1 a). x = y + 7 2x 5y = 2 b). y 2x = 10 Zad.2. Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników: 2x + y = 4 a). 2x + 2y = 2 b). 3x + 2y = 1 2x 3