Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe

Transkrypt

1 Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe P. F. Góra semestr letni 2005/06

2 Motywacja Metody wielokrokowe sa starsze i bardziej popularne od metod Rugego-Kutty. Sa też prostsze w tym sensie, że nie wymagaja (często żmudnych) obliczeń prawej strony (pochodnej) w niepotrzebnych punktach pośrednich korzystaja wyłacznie z wartości obliczonych w potrzebnych punktach, czyli w punktach, w których chcieliśmy uzyskać rozwiazanie. Jawne metody Adamsa wymagaja tylko jednego obliczenia prawej strony na krok. Wyróżnia się trzy podstawowe typy metod wielokrokowych: 1. Jawne metody Adamsa-Bashfortha, 2. Niejawne metody Adamsa-Moultona, 3. Niejawne metody BDF dla problemów sztywnych. 7a. Metody wielokrokowe 2

3 Metody Adamsa ogólne sformułowanie Rozważamy problem Cauchy ego dy = f(x, y), dx y(x) = y 0. (1) Rozwiazanie ma postać y(x n+1 ) = y n + x n+1 x n f(x, y(x)) dx. (2) 7a. Metody wielokrokowe 3

4 Klasyczne metody Adamsa polegaja na zastapieniu f(x, y(x)) w (2) przez wzór ekstrapolacyjny (Bashforth) lub interpolacyjny (Moulton) z węzłami interpolacji odległymi o krok całkowania, h, i scałkowaniu tego wzoru. Celem takiego postępowania, podobnie jak w metodach Rungego-Kutty, jest uwzględnienie zmienności pochodnej w obrębie kroku całkowania. Zauważmy, że wynik całkowania wielomianu interpolacyjnego nie zależy od wartości funkcji wartości f(x l, y l ) wchodza jako ustalone wartości interpolowanej funkcji w węzłach. k-krokowe metody Adamsa: Adams-Bashforth: y n+1 = y n + h Adams-Moulton: y n+1 = y n + h k j=1 k 1 j=0 β j f n+1 j + O(h k+1 ), (3) β j f n+1 j + O(h k+1 ). (4) 7a. Metody wielokrokowe 4

5 Przykład - wyprowadzenie trzykrokowej metody Adamsa-Bashfortha Funkcję podcałkowa w (2) przybliżam poprzez ekstrapolację wielomianowa z trzech ostatnio obliczonych punktów, odległych od siebie o h: + f(x, y(x)) f extr (x) = (x x n 1 )(x x n ) (x n 2 x n 1 )(x n 2 x n ) f n 2 (x x n 2 )(x x n ) (x n 1 x n 2 )(x n 1 x n ) f n 1 + (x x n 2 )(x x n 1 ) (x n x n 2 )(x n x n 1 ) f n = 1 2h 2(x x n + h)(x x n )f n 2 1 h 2(x x n + 2h)(x x n )f n h 2(x x n + 2h)(x x n + h)f n. (5) 7a. Metody wielokrokowe 5

6 Następnie x n+1 x n f(x, y(x)) dx 1 h 2f n 1 h 0 x n+1 x n f extr (x)dx = 1 2h 2f n 2 (z + 2h)z dz + 1 2h 2f n h 0 h 0 (z + h)z dz (z + 2h)(z + h) dz = 1 2h h3 f n 2 1 h h3 f n h h3 f n = h ( ) 23fn 16f 12 n 1 + 5f n 2. (6) Proszę to porównać z wyrażeniem (7c) poniżej. 7a. Metody wielokrokowe 6

7 Idea konstrukcji metod Adamsa: rysunek nie jest wierny, jako że pochodnej w punkcie x n+1 nie oblicza się za pomoca prostej interpolacji/ekstrapolacji metoda niejawna metoda jawna f n+1 impl f n+1 expl f(x n ) = y (x n ) f n f n-2 fn-1 x n-2 x n-1 x n x n+1 x 7a. Metody wielokrokowe 7

8 Metody Adamsa-Bashfortha (jawne) y n+1 = y n + hf n + O(h 2 ) (7a) y n+1 = y n + 2 h ( ) 3fn f n 1 + O(h 3 ) (7b) y n+1 = y n + 12 h ( ) 23fn 16f n 1 + 5f n 2 + O(h 4 ) (7c) y n+1 = y n + h 24 ( 55fn 59f n f n 2 9f n 3 ) + O(h 5 ) (7d) y n+1 = y n + h 720 ( 1901fn 2774f n f n f n f n 4 ) + O(h 6 ) (7e) y n+1 = y n + h 1440 ( 4277fn 7923f n f n f n f n 4 475f n 5 ) + O(h 7 ) (7f) 7a. Metody wielokrokowe 8

9 Metody Adamsa-Moultona (niejawne) y n+1 = y n + hf n+1 + O(h 2 ) (8a) y n+1 = y n + 2 h ( ) fn+1 + f n + O(h 3 ) (8b) y n+1 = y n + 12 h ( ) 5fn+1 + 8f n f n 1 + O(h 4 ) (8c) y n+1 = y n + h 24 y n+1 = y n h + O(h 6 ) ( ) 9fn f n 5f n 1 + f n 2 + O(h 5 ) (8d) ( ) 251fn f n 264f n f n 2 19f n 3 y n+1 = y n + h 1440 ( 475fn f n 798f n f n 2 173f n f n 4 ) + O(h 7 ) (8e) (8f) 7a. Metody wielokrokowe 9

10 Metody BDF, Backward Differentiation Formula (niejawne) Dla układów sztywnych, pochodna obliczana tylko w prawym krańcu przedziału. y n+1 = y n + hf n+1 + O(h 2 ) (9a) y n+1 = 1 ( ) 3 4yn y n hf n+1 + O(h 3 ) (9b) y n+1 = 11 1 ( ) 18yn 9y n 1 + 2y n hf n+1 + O(h 4 ) (9c) y n+1 = 1 25 y n+1 = ( ) 48yn 36y n y n 2 3y n hf n+1 + O(h ( 5 ) )(9d) 300yn 300y n y n 2 75y n y n hf n+1 + O(h6 ) (9e) y n+1 = ( 360yn 450y n y n 2 225y n y n 4 10y n 5 ) hf n+1 + O(h7 ) (9f) 7a. Metody wielokrokowe 10

11 Podane wyżej metody sa wszystkimi metodami wielokrokowymi o stałym kroku, opartymi o interpolację/ekstrapolację wielomianowa. Zgodność metod Adamsa jest oczywista. Zgodność metod BDF też, po prostych rachunkach, okazuje się być oczywista. Dla przykładu, dla drugiej z metod BDF otrzymujemy 3 y n+1 y n h y n y n 1 h = 2f n+1. (10) 7a. Metody wielokrokowe 11

12 Stabilność metod wielokrokowych Stabilność metod wielokrokowych bada się nieco inaczej niż stabilność metod jednokrokowych typu metod Rungego-Kutty. Dla przykładu pokażemy jak badać stabilność k-krokowej jawnej metody Adamsa-Bashfortha; stabilność niejawnych metod Adamsa-Moultona i BDF bada się zupełnie podobnie. Rozważmy równanie (3), w którym wszystkie y l zostały zaburzone: y l y l +ε l. Mamy y n+1 +ε n+1 = y n +ε n +h y n +ε n +h k j=1 k β j j=1 β j f ( x n+1 j, y n+1 j + ε n+1 j ) f n+1 j + f y ε n+1 j n+1 j.(11) 7a. Metody wielokrokowe 12

13 Wszystkie k jakobiany w równaniu (11) oblicza się w różnych punktach. Jeśli jednak krok h jest mały, możemy przyjać, że w przybliżeniu sa one sobie równe, podobnie jak to robiliśmy przy analizie stabilności metod Rungego-Kutty. (Założenie to nie jest spełnione w miejscach, w których funkcja zmienia się bardzo gwałtownie.) Wobec czego przechodzimy do reprezentacji, w której jakobian jest diagonalny zastępujemy jakobian f/ y jego wartościa własna λ, natomiast błędy ε l zastępujemy odpowiednia składowa ε l. Formalnie rzecz biorac, analizę taka trzeba powtórzyć dla wszystkich λ i odpowiadajacych im składowych błędów, okaże się jednak, że nie jest to konieczne. Z równania (11) otrzymujemy zatem ε n+1 = ε n + hλβ 1 ε n + hλβ 2 ε n hλβ k ε n+1 k. (12) 7a. Metody wielokrokowe 13

14 Macierz wzmocnienia Oznaczmy hλ = z. Równanie (12) możemy przepisać w postaci macierzowej czyli ε n+1 ε n ε n 1. ε n+2 k = 1+β 1 z β 2 z β 3 z... β k 1 z β k z ε n ε n 1 ε n 2. ε n+1 k (13a) ε n+1 = G ε n (13b) Zwracam uwagę, że ε n z równania (11) i ε n z równania (13b) to sa zupełnie różne wektory. Badanie stabilności metody (3) sprowadza się teraz do znalezienia wartości własnych macierzy wzmocnienia G. 7a. Metody wielokrokowe 14

15 Wartości własne macierzy wzmocnienia Oznaczmy W k = det(g gi). Rozwijajac względem ostatniej kolumny (patrz (13a)) otrzymujemy W k = gw k 1 + ( 1) k+1 β k z det 1 g g (14) Wyznacznik macierzy wypisanej jawnie w równaniu (14) wynosi 1. Postępowanie to łatwo iterować. Ostatecznie otrzymujemy następujace równanie charakterystyczne dla macierzy wzmocnienia (uwaga: zmienna jest g): 7a. Metody wielokrokowe 15

16 g k (1 + zβ 1 )g k 1 zβ 2 g k 2 zβ k 1 g zβ k = 0. (15) Metoda Adamsa-Bashfortha rzędu k jest stabilna jeśli wszystkie pierwiastki równania (15) leża wewnatrz okręgu jednostkowego. Ogół takich z, dla których pierwiastki (15) leża wewnatrz okręgu jednostkowego, nazywam obszarem stabilności metody. Zauważmy, że analizujac obszar stabilności, uwalniamy się niejako od równania różniczkowego, obecnego tu formalnie tylko poprzez wartości własne jakobianu, a skupiamy się na samej metodzie, podobnie jak to było dla metod Rungego-Kutty. Wyprowadzenie równań opisujacych stabilność niejawnych metod Adamsa- Moultona i BDF przebiega w sposób analogiczny. 7a. Metody wielokrokowe 16

17 Obszar stabilności metod Adamsa-Bashfortha maleje wraz ze wzrostem rzędu metody. Dwie pierwsze metody Adamsa-Moultona sa A-stabilne, obszary stabilności pozostałych maleja wraz ze wzrostem rzędu metody. Metody BDF sa stabilne poza pewnym obszarem ograniczonym, który rośnie wraz ze wzrostem rzędu metody. Żadna metoda wielokrokowa oparta o interpolację/ekstrapolację wielomianowa z k > 6 nie jest stabilna! Można konstruować stabilne metody wielokrokowe wyższych rzędów, ale dla nich nie obowiazuje już paradygmat ekstrapolowania pochodnej na podstawie zachowania w poprzednich węzłach nie sa to więc metody Adamsa. 7a. Metody wielokrokowe 17

18 Zaledy metod wielokrokowych Koncepcyjna prostota, łatwość zaimplementowania. Szybkość (zwłaszcza dla metod jawnych). Uzyskanie wysokiego rzędu jest obliczeniowo tanie. Popularność, bardzo duża ilość gotowych kodów. Wady metod wielokrokowych Wymagaja inicjalizacji. Maja kiepskie własności stabilności. Kłopotliwa zmiana kroku. 7a. Metody wielokrokowe 18

19 Metody predyktor-korektor (predictor-corrector) Jeśli problem nie jest sztywny, bardzo często pewna jawna metodę Adamsa- Bashfortha (7) stosuje się jednocześnie z niejawna metoda Adamsa-Moultona (8) o tym samym rzędzie. Za pomoca metody jawnej przewiduje się rozwiazanie, które potem poprawia się za pomoca metody niejawnej. Można to dalej powtarzać, poprawiajac poprawione. Uzyskana metoda jest oczywiście jawna unika się rozwiazywania układu równań algebraicznych, na ogół nieliniowych. Metody predyktor-korektor sa bardzo popularne w praktycznych zastosowaniach metody Adamsa występuja prawie wyłacznie w tym zestawieniu. Vide grabit nagrabljennoje. Ale ja ich nie lubię 7a. Metody wielokrokowe 19

20 Przykład: predyktor: ỹ n+1 = y n h ( ) 3f n f n 1, (16a) korektor: y n+1 = y n h ( ) f(x n+1, ỹ n+1 ) + f n, (16b) f n+1 = f(x n+1, y n+1 ). (16c) Niekiedy krok korektora powtarza się (iteruje) w celu uzyskania samouzgodnionego (self-consistent) rozwiazania nieliniowego równania algebraicznego. Na ogół jednak dokonuje się tylko jednego lub dwóch kroków korektora. 7a. Metody wielokrokowe 20