t. sztywny problem w pojedynczym równaniu: u(t)=cos(t) dla dużych ż t rozwiązanie i ustalone
|
|
- Nadzieja Lipińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Problem opisany RRZ jest sztywny gdy: jest charakteryzowany yróżnymi skalami czasowymi. 2. Stabilność bezwzględna nakłada silniejsze ograniczenia na krok czasowy niż dokładność. 3. Metody jawne się nie sprawdzają. sztywny problem w pojedynczym równaniu: dla dużych ż t rozwiązanie i ustalone u(t)=cos(t) cos(t) dwie bardzo różne skale czasowe 1) rozwiązania ustalonego okres 2pi 2) skala czasowa tłumienia odchylenia od stanu ustalonego exp( 100 t) czasowa stała zaniku t
2 z u(0)=2 rozwiązanie: ustalone u(t)=cos(t) Euler dt = 0.01 ł k k jawny schemat Eulera 4 Stały krok czasowy: rozpoznajemy ograniczenie: Δt < 2/ dt=0.019 dt= dt= t
3 niejawny schemat Eulera krok stały dt=0.1 dt=0.2 dt= tutaj: startowane od warunku u(0)=1
4 wyniki do uzyskania na laboratorium start u(0)=2 2,tolerancja 1e-2 niejawny, jawny, cos (t) akc ceptowane dt akceptowane dt niejawny jawny tol1e-2 u t t 2 niejawny Euler tolerancja 1e-3 niejawny, jawny, cos (t) akceptowan ne dt u tol1e-3 u t ak kceptowane dt u t tol 1e-6 gdy wymagana b. duża dokładność schemat niejawny stawia równie krótkie kroki co jawny, obydwie metody tego samego rzędu dokładności t t
5 następny przykład: równanie swobodnego oscylatora van der Pola [historycznie = odkrycie deterministycznego chaosu w lampach firmy Philips aperiodyczne oscylacje przy periodycznym wymuszeniu ] (λ=0 = zwykły o. harmoniczny) jawny RK4 = zmienny krok czasowy u λ=1 punkt u(t) policzony = krzyż po lewej: krzyże położone rozsądnie w porównaniu ze zmiennością rozwiązania 2.00 u 0.00 λ= t po prawej: problem sztywny gładkie rozwiązanie a krzyże się zlewają t
6 Równanie oscylatora van der Pola : czasem sztywne czasem nie 0.00 u przydałoby się narzędzie do wykrywania sztywności np. dla podjęcia decyzji: t tam gdzie sztywność = schemat niejawny tam gdzie nie = schemat jawny (tańszy)
7 Detekcja sztywności dla problemu nieliniowego (dla liniowego = wystarczy rozwiązać jednorodny problem własny) układ N równań (u,f-wektory) w chwili t rozwiązanie u * (t) rozwiązanie chwilę później opisane przez odchylenie du(t) od u * u(t)= u * (t) + du(t) linearyzacja: zakładamy, że odchylenie małe, rozwijamy f(t,u) względem u wokół f(t,u * ): [Taylor dla wektora] macierz Jakobiego [N na N]
8 u(t)= u * (t) + du(t) po wyeliminowaniu i i problem zlinearyzowany w chwili t * : A=J(t * ) -przybliżone zachowanie rozwiązania w okolicach t,u * (t) rozwiązać problem własny A: dostaniemy wartości własne λ i : Aby rachunek się powiódł: Δt λ i musi leżeć w regionie y ę p i g stabilności używanej metody dla wszystkich i. Jeśli duża rozpiętość λ : problem będzie sztywny.
9 Przykład: nieliniowy układ równań z warunkowo występującą sztywnością jeśli druga składowa u urośnie macierz prawie diagonalna z szerokim zakresem wartości własnych sztywność
10 Przykład detekcja sztywności dla: oscylatora van der Pola wartości własne:
11 niebieskie i czarne: części rzeczywistewartościwłasnychwartości własnych λ= λ= w w t dt0.40 jawny RK +automat dt t dt t t
12 2.0 λ=1 jawny RK +automat dt λ=100 w w t t 0.10 dt dt u(t) t u(t) t t
13 Metody RK cd. 1) bezwzględnastabilność metod RK 2) konstrukcja niejawnych metod RK (metoda kolokacji) 3) metody niejawne: klasyfikacja a tabele Padé współczynników wzmocnienia 4) rozwiązywanie równań predyktora dla metod niejawnych ij
14 Metody RK własności tabel Butchera 1)do regionów stabilności jawnych RK 2) do metod niejawnych RK ogólna w wersji ogólnej (niejawnej = sumowanie do s) dla metod jawnych
15 Metoda musi być dokładna dla rozwiązania stałego: w przeciwnym wypadku powstanie błąd lokalny O(Δt) (metoda nie będzie zbieżna zerowy rząd zbieżności ) jeśli f=0 to u n =u n 1 to mamy zawsze podobnie, jeśli rząd zbieżności 1 (jak Euler) lub więcej = wynik dokładny dla funkcji liniowej f=1 np RK4
16 rozwiązania pośrednie = mniej dokładne niż wynik końcowy, ale: zażądajmy ż dj aby rozwiązania i pośrednie ś U i (dla chwili t n 1 +c i Δt) ) były rzędu zbieżności pierwszego (nie gorsze niż Euler). Mają działać dokładnie dla f=1 i rozwiązania u=d+t, co daje: u(t+dt)=u(t)+dt dla RK4: /2 1/ /2 0 1/ /6 1/3 1/3 1/6
17 metoda RK rzędu dokładności p jeśli działać będzie dokładnie dla wielomianów stopnia p z rozwiązaniem: wstawić dla l12 l=1,2,...,p /2 1/ /2 0 1/ /6 1/3 1/3 1/6 l=1 poznajemy Zastosowanie do tabeli Butchera RK4: ½= 1/6 *0 +1/3*1/2+1/3*1/2+1/6*1=3/6 1/3= 1/3 * ¼ +1/3 * ¼+1/6=2/6 / ¼=1/3*1/8+1/3*1/8+1/6=1/12+1/6=3/12 dla l=5 prawa strona= warunki tego typu są konieczne, ale nie wystarczają do wyznaczenia całej tabeli B. można podać więcej rozważając inne równania i wykorzystując założony rząd dokładności metody.
18 można podać więcej warunków rozważając inne równania i wykorzystując założony rząd dokładności metody p. Rozwinięcia w szereg Taylora metody i rozwiązania konkretnego równania mają zgadzać się do wyrazu z Δt p włącznie. u = u (1) w notacji wektorowej (2) z oznaczeniami: z (2) eliminujemy U wstawiamy do (1)
19 u = u dokładne rozwiązanie u(t)= exp(t) u n = exp(δt)u ) n 1 dokładne: RK: zrównując wyrazy tego samego rzędu w Δt dla metody RK rzędu ę dokładności p czyli dla k=1,2,..,p
20 dla k=1,2,..,p k=1 k=2 wcześniej dowiedzieliśmy się, że ora z dla l=2 da wzór po lewej (zał. że pośrednie min rzędu 2) nowe niezależne warunki dostaniemy dla k>2
21 stabilność bezwzględna jawnych metod RK u = λu z oznaczeniem z=λδt dostaniemy wg wcześniejszej analizy metoda RK rzędu p dokładnie odtwarza p pierwszych wyrazów r.t rozwiązania dokładnego dla k=1,2,..,p
22 stabilność bezwzględna jawnych metod RK u = λu z oznaczeniem z=λδt dostaniemy wg wcześniejszej analizy metoda RK rzędu ę p dokładnie odtwarza p pierwszych wyrazów r.t rozwiązania dokładnego dla k=1,2,..,p
23 stabilność bezwzględna jawnych metod RK u = λu z oznaczeniem z=λδt dostaniemy wg wcześniejszej analizy metoda RK rzędu ę p dokładnie odtwarza p pierwszych wyrazów r.t rozwiązania dokładnego dla k=1,2,..,p macierz A dla jawnych dolna trójkątna bez diagonali dla m s dl t ż ć d dlatego: możemy urwać drugą sumę współczynnik wzmocnienia dla jawnych RK jest wielomianem
24 rząd dokładności liczba stopni (odsłon) metody zamiast Liczba kroków a rząd zbieżności jawnych metod RK: rząd p minimalna liczba odsłon s czyli dla p 4 druga suma znika, mamy dokładnie: stąd współczynnik wzmocnienia dla RK1,RK2,RK3 i RK4 rozwiązanie dokładne u=exp(λt) RK dokładności p dokładnie odtwarza pierwsze p wyrazów rozwinięcia Taylora p p p y ę y rozwiązania dokładnego
25 Stabilność bezwzględna RK ponadto: dla p 4 mamy dla stabilności bezwzględnej: wniosek: region stabilności bezwzględnej jawnych metod RK o rzędzie dokładności nie większym niż 4 jestniezależny odwyborua a,b,c bc!! w szczególności dwie poznane metody rzędu drugiego: mają ten sam region stabilności
26 rejony bezwzględnej stabilności jawnych metod RK w s odsłonach dla danego s rejony identyczne dla wszystkich wariantów dt Im(λ) RK2 Euler dt Re(λ) rysunek skopiowany z Quarteroni: Numerical Mathematics zakres stabilności rośnie z rzędem dokładności zobaczymy, że przeciwnie niż dla liniowych formuł wielokrokowych! RK3/RK4 obejmują również fragment Re(λ)>0 dla rzeczywistego λ region stabilności: dtλ RK1 ( 2,0) RK2 ( 2,0) RK3 ( 2.51,0) RK4 ( 2.78,0)
27 przypomnienie: RK / λ 1 RK3/RK4 obejmują również fragment Re(λ)>0 dla rzeczywistego λ region stabilności: dtλ RK1 ( 2,0) RK2 ( 2,0) RK3 ( 2.51,0) RK4 ( 2.78,0)
28 Region stabilności jawnych metod RK jest ograniczony funkcja pod modułem jest wielomianem (skończone rozwinięcie w szereg Taylora) każdy wielomian ucieka do nieskończoności gdy z daleko od początku układu wsp. (niezależnie od kierunku na płaszczyźnie Gaussa) dla szerszych regionów bezwzględnej stabilności: niejawne metody RK dla niejawnych RK druga suma może ustablizować rozbieżność pierwszej dla dużego z
29 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie [jawny RK w jednej odsłonie= jawny schemat Eulera] aby wyznaczyć współczynniki b 1 =b, c 1 =c, a 11 =a rozwijamy metodę RK w Taylora względem t n 1 i u(t n 1 ) i porównujemy z rozwiązaniem dokładnym liczone w t n 1, u(t n 1 ) celujemy w błąd lokalny O(Δt 3 ) wstawić wyżej
30 liczone w t n 1, u(t n 1 ) wstawić wyżej
31 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (będzie stopnia 2) do porównania z rozwinięciem dokładnego rozwiązania (poprzedni wykłady) b=1 c=a=1/2
32 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (będzie stopnia 2) do porównania z rozwinięciem dokładnego rozwiązania (3 wykłady wstecz) b=1 c=a=1/2 zamiast Taylora mogliśmy użyć warunków koniecznych: s
33 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (stopnia 2) b=1 c=a=1/2 2) korektor wykonać krok wg reguły punktu środowego z U 1 policzonym niejawnym Eulerem niejawna metoda punktu środkowego 1) predyktor predyktor = niejawny Euler do połowy kroku czasowego (rozwiązać trzeba jak pokazywaliśmy)
34 porównanie metod RK drugiego rzędu = jawnej i niejawnej jawna metoda punktu środkowego g RK2 (dwustopniowa znaczy f wzywane w 2 chwilach czasowych): predyktor = jawny Euler korektor = punkt środkowy ½ 1/ niejawna metoda punktu środkowego NJRK (jednostopniowa f tylko w jednej chwili) 1/2 1/2 1 2) wykonać krok wg reguły punktu środowego z U 1 1) predyktor = niejawny Euler do połowy kroku czasowego
35 region bezwzględnej stabilności niejawnej metody punktu środkowego u =λu, z=λδt R() 0 Re(z) 0 (gdy rozwiniemy w Taylora 1+z+z 2 /2+z 3 /4 [zamiast 6] wsp. wmocnienia=funkcja wymierna jest A-stabilna, ale metodę 2 rzędu dokładności już mieliśmy (trapezów)
36 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (metoda rzędu dokładności 2) tabela Butchera 1/2 1/2 1 maksymalny rząd metody RK w s odsłonach wynosi 2s najdokładniejsza niejawna metoda Rungego Kutty w 2 odsłonach rząd dokładności 4 jak jawne RK4 dla najdokładniejszych niejawnych RK nie używamy chwili t n-1, ani chwili t n tylko c danych przez mapowanie zer wielomianów Legendre a do przedziału [0,1] (patrz dalej)
37 Metody kolokacji dla zwyczajnego równania różniczkowego u =f zajmiemy się pojedynczym krokiem czasowym t n 1 do t n u dofitowany wielomian dokładna u poszukiwany wielomian, który spełnia warunek początkowy i nachylenie (f) w 2 chwilach t poszukujemy wielomianu, który interpoluje a) wartość funkcji w chwili początkowej b) równanie różniczkowe w 2 dyskretnych punktach wartość tego wielomianu w chwili t n wyprodukuje przepis na u n
38 Metody kolokacji dla zwyczajnego równania różniczkowego u =f najpierwprzykład przykład, potem uogólnienie: zajmiemy się pojedynczym krokiem czasowym t n 1 do t n u wielomian, który interpoluje a) wartość funkcji w chwili początkowej b) równanie różniczkowe w 2 dyskretnych punktach jego wartość w chwili t n produkuje u n 3 warunki potrzebna parabola poszukiwany wielomian, który spełnia warunek początkowy i nachylenie (f) w 2 chwilach t w(t n )=u n
39 Metody kolokacji dla zwyczajnego równania różniczkowego u =f najpierwprzykład przykład, potem uogólnienie: zajmiemy się pojedynczym krokiem czasowym t n 1 do t n u wielomian, który interpoluje a) wartość funkcji w chwili początkowej b) równanie różniczkowe w 2 dyskretnych punktach jego wartość w chwili t n produkuje u n 3 warunki potrzebna parabola poszukiwany wielomian, który spełnia warunek początkowy i nachylenie (f) w 2 chwilach t w(t n )=u n wzór trapezów (dlatego rzędu 2: dokładny d dla paraboli!)
40 Niejawne metody Rungego Kutty można uzyskać na drodze kolokacji (zakładamy c szukamy a i b) poszukujemy przybliżonego rozwiązania problemu początkowego w postaci wielomianu stopnia s do wykonania kroku: w(tn) zobaczymy jak generować metody RK: wejście = chwile pośrednie ś [c] wyjście = wagi a i b
41 Niejawne metody Rungego Kutty można uzyskać na drodze kolokacji (zakładamy c szukamy a i b) u) poszukujemy przybliżonego rozwiązania problemu początkowego w postaci wielomianu stopnia s do wykonania kroku: w(tn) do wyznaczenia (s+1) współczynników wielomianu: ma spełniać warunek początkowy i ó i óż i k i12 s i równanie różniczkowe w i=1,2,...s wybranych punktach w przedziale [t n 1,t n ] wybór definiowany przez c i [0,1]
42 Interpolujemy pochodną w wielomianem interpolacyjnym Lagrange a w chwilach czasowych t n 1 +c j Δt z gdzie wielomian węzłowy Lagrange a
43 scałkowana pochodna + warunek początkowy daje na końcu przedziału: jak RK pod warunkiem, że włożyliśmy c dostaliśmy b jeszcze a do wyznaczenia
44 pochodna scałkowana do τ + warunek początkowy daje wstawić do: jak w RK pod warunkiem że
45 po przesunięciu t o t n 1 : po podstawieniu τ =t /Δt wyrażenia, na a i b są niezależne od kroku czasowego: podobnie: Mamy przepis na uzyskiwanie a i b z c wybór punktów kolokacji : t n 1 +c i Δt = tak aby uzyskać maksymalny rząd dokładności albo np L stabilność tabela Butchera dla najdokładniejszej niejawnej RK (2 odsłony, rząd 4): A oraz b w tabeli Butchera wynikają z wyboru punktów kolokacji c
46 c1 c2 b1 b2 b 1 b 2 a 11 itd. współczynniki w tabeli Butchera dla niejawnych RK można uzależnić od punktów kolokacji a 12
47 z teorii kwadratur Gaussa maksymalny dokładność [do całkowania wielomianów stopnia 2s 1 ] uzyskujemy ywybierając punkty kolokacji (Gaussa) w s zerach wielomianów Legendre a. 2 punkty: Gauss scałkuje dokładnie w (t) gdy ta będzie wielomianem stopnia 3, stąd 4 ty rząd metody RK 2 punkty Gaussa: dokładnie scałkujemy do wielomianu trzeciego stopnia dla 2 punktów wybranych hjk jak popadło dokładnie d tlk tylko do pierwszego stopnia P 2 w przedziale [ 1,1] ma zera w ± sqrt(3) / 3 Przedział [ 1,1] w [0,1] mapowany wg. t := (x+1)/2 co daje punkty kolokacji niejawnej metody RK maksymalnej dokładności mamy przepis na generacje tablic Butchera z zer wielomianów Legendre a
u(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy
u(t) t Dt RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy u(t+dt)=u(t)+f(t,u(t),dt) klasyczna formuła RK4: u(t) k 1 u k 2 k 3 k 4 4 wywołania f na krok, błąd lokalny O(Dt 5 ) gdy f tylko funkcja czasu
Bardziej szczegółowoΔt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] u(t) f(t,u) f(t,u) u(t) [t+ Δt,u(t+Δt)]
jawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] u(t) f(t,u) [t,u(t)] )]dokładne d u(t) () f(t,u) [t+ Δt,u(t+Δt)] [t+ Δt,u(t+Δt)] Δt)] Δt t Δt t u(t) [t,u(t)] dokładne
Bardziej szczegółowopozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera
pozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera jawna metoda Eulera niejawna metoda Eulera jawna metoda Eulera (funkcjonuje jak podstawienie) funkcjonuje
Bardziej szczegółowoMetoda różnic wstecznych: interpolujemy u wielomianem od chwili n-k aż do n-1
Metoda różnic wstecznych: interpolujemy u wielomianem od chwili n-k aż do n-1 następnie żądamy, aby jego pochodna w chwili n spełniała równania różniczkowe (kolokacja) z tego warunku wyliczamy z niego
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
Bardziej szczegółoworegion bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK R(z) 1 może być nieograniczony niejawna 1 stopniowa
region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK u =λu u=λu, z=λδt dla metod niejawnych: ij nie można ż obciąć bićrozwinięcia i i Taylora, bo A pełnał współczynnik wzmocnienia nie jest wielomianem,
Bardziej szczegółowoużyteczne, gdy problem nie wymaga zmiany dt ważne: schematy do rozwiązywania równań cząstkowych mają często wielokrokowy charakter
Liniowe metody wielokrokowe dla równań zwyczajnych starsze niż RKo50lat użyteczne, gdy problem nie wymaga zmiany dt ważne: schematy do rozwiązywania równań cząstkowych mają często wielokrokowy charakter
Bardziej szczegółoworównania funkcyjne opisujące relacje spełniane przez pochodne nieznanej (poszukiwanej) funkcji
Równania różniczkowe: równania funkcyjne opisujące relacje spełniane przez pochodne nieznanej (poszukiwanej) funkcji cząstkowe: funkcja więcej niż jednej zmienna, np.: czas i położenie np. wychylenie u(x,t)
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018 Tomasz Chwiej 22 stycznia 2019 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowonumeryczne rozwiązywanie równań całkowych r i
numeryczne rozwiązywanie równań całkowych r i Γ Ω metoda elementów brzegowych: punktem wyjściowym było rozwiązanie równania całkowego na brzegu obszaru całkowania równanie: wygenerowane z równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład
Inżynierskie metody numeryczne II Konsultacje: wtorek 8-9:30 Wykład Metody numeryczne dla równań hiperbolicznych Równanie przewodnictwa cieplnego. Prawo Fouriera i Newtona. Rozwiązania problemów 1D metodą
Bardziej szczegółowoużyteczne, gdy rachunek nie wymaga zmiany kroku całkowania a wykonanie każdego kroku jest kosztowne
Liniowe metody wielokrokowe starsze niż RK o 50 lat użyteczne, gdy rachunek nie wymaga zmiany kroku całkowania a wykonanie każdego kroku jest kosztowne (wysoka dokładność, d przy małej ł jliczbie wezwań
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Motywacja Metody wielokrokowe sa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych
Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 9 maja 2015 M. Jenczmyk XXX Sesja KNM Metody numeryczne R.R.Z. 1 / 18 Omawiany problem dotyczyć będzie numerycznego
Bardziej szczegółowoy i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta
b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta przedział (a,b) dzielimy na siatkę, powiedzmy o stałym kroku: punkty siatki: u A y i w metodzie strzałów używamy
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr
Bardziej szczegółowo4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego
4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMetody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoInterpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
Bardziej szczegółowoautomatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne Zajmiemy się teraz problemem numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci: z warunkeim początkowym. Zauważmy że przykładowe równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Metoda diagramowa Ręczne wyprowadzanie równan wiaż acych współczynniki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoMetoda różnic skończonych dla
Metoda różnic skończonych dla cząstkowych równań różniczkowych na laboratorium rozwiązywać będziemy typowe równania: dyfuzji (również przewodnictwo cieplne) paraboliczne równanie Poissona (np. pole elektrostatyczne,
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoLaboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Skrypt do ćwiczeń
PJWSTK/KMKT-07082006 Laboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Katedra Metod Komputerowych Techniki Polsko Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych I. KINETYKA Kinetyka zajmuje się ruchem ciał
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION
Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoMetoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku
Metoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku Cel: Dla zadanej tolerancji e wybrać minimalną liczbę węzłów, wystarczającą do utrzymania globalnego błedu w ramach tolerancji. Błąd globalny trudny
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoS Y L A B U S P R Z E D M I O T U
"Z A T W I E R D Z A M Prof. dr hab. inż. Radosław TRĘBIŃSKI dm Dziekan Wydziału Mechatroniki i Lotnictwa Warszawa, dnia... S Y L A B U S P R Z E D M I O T U NAZWA PRZEDMIOTU: NUMERYCZNE METODY OBLICZENIOWE
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoinżynierskie metody numeryczne D10/325,
inżynierskie metody numeryczne D10/325, bszafran@agh.edu.pl http://galaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/imn11 cel przedmiotu: przygotowanie do pracy w zakresie numerycznego modelowania zjawisk i urządzeń stosowanego
Bardziej szczegółowoPrawa fizyki: zapisywane w postaci równań różniczkowych (Newtona, Maxwella, dyfuzji, falowe, Poissona, Laplace a, Naviera-Stokesa, Schroedingera)
Numeryczne techniki rozwiązywania równań fizyki I D10/325, bszafran@agh.edu.pl Wykłady będą dostępne z: http://galaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/ Konsultacje: poniedziałek 8-9:30 cel przedmiotu: przygotowanie
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych
Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012/13 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1
Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania
Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań i układów równań
Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoinżynierskie metody numeryczne D10/325, Konsultacje 8:00 9:30
inżynierskie metody numeryczne D10/325, bszafran@agh.edu.pl http://galaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/ Konsultacje 8:00 9:30 cel przedmiotu: przygotowanie do pracy w zakresie numerycznego modelowania zjawisk
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Mathcada 1
Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoZ-ETI-1040 Metody numeryczne Numerical Methods
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-ETI-1040 Metody numeryczne Numerical Methods Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:
Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz (semestr letni 018) Zagadnienia do opanowania przed zajęciami, pomocnicze zadania rachunkowe
Bardziej szczegółowoZakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoLaboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Metod Numerycznych Laboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne 1 Zadania 1. Obliczyć numerycznie
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowo