zyka dla Infoatyk Stosowanej Jacek Golak Seest zowy 8/9 Wykład n 5
Na popzedn wykładze ozważalśy ważne defncje oaz pawa zachowana, najpew dla pojedynczego punktu atealnego, pote dla układu punktów atealnych pęd p v const p d p const d v a pawo zachowana pędu
oent pędu L d L p v d p v v d p O oent sły p Defncje oentu pędu oentu sły zależą od wybou początku układu współzędnych! L const zasada zachowana oentu pędu
paca W d O v t v t d oc dw P d dw d d v
sła zachowawcza óżne sfoułowana O Paca ne zależy od dog, a tylko od punktu początkowego końcowego W kontu zaknety d d d 3 d Paca po dowolny kontuze zaknęty wynos zeo...
3 Rotacja sły wynos zeo ot opeato nabla xˆ x x yˆ y y zˆ z z zaps otacj we współzędnych katezjańskch
gad : 4 Sła jest potencjalna.,, z y x z y x We współzędnych katezjańskch d d d W Zwązek ędzy pacą sły zachowawczej a enegą potencjalną Wdać jasno nezależność od dog.
3 G G Pzykłady: Sła wynkająca z newtonowskego pawa powszechnego cążena. Neuchoa asa, znajdująca sę w początku układu współzędnych dzała na asę Sła wynkająca z jednoodnego zeskego pola gawtacyjnego pzy powezchn Ze. ˆ z g z g z Sła, jaką dzała na asę neważka spężyna o zanedbywalnej długośc, któej dug konec zaczepono w początku układu współzędnych k k
const E E E E E E E E E E E W pot kn tot pot kn pot kn pot pot kn kn zasada zachowana eneg
N oddzałujących punktów atealnych. Podzał na sły zewnętzne sły wewnętzne Całkowty pęd układu P p zew d P zew P const pawo zachowana pędu dla układu punktów atealnych
asa całkowta układu: Śodek asy układu: Pędkość śodka asy układu: Pęd całkowty układu: II zasada dynak dla śodka asy układu: R c dr d v d R P d R zew zew tot p
Całkowty oent pędu układu: ' R O d v d R d v v v R ' ' ' ' ' ' v P R p L zew wew j j j zew L d jeśl wewnętzne sły są centalne const L zew zasada zachowana całkowtego oentu pędu układu
Enega knetyczna układu punktów atealnych. E kn v v ' enega knetyczna śodka asy enega knetyczna uchu względe śodka asy Zasada zachowana eneg echancznej układu. Sua eneg potencjalnych knetycznych wszystkch cząstek układu pozostaje stała w czase, jeśl sły zewnętzne wewnętzne są zachowawcze. Jeśl dzała sła nezachowawcza, to zana eneg całkowtej układu jest ówna pacy tej sły.
ówąc o układze N punktów atealnych wpowadzlśy poste defncje asy całkowtej układu: oaz śodka asy układu: c Często jednak wygodne jest zastąpć odel zbou punktowych as pzez cągły ozkład asy. Wtedy powyższe defncje należy zapsać w postac całek: d ds S dl objętoścowy ozkład asy powezchnowy ozkład asy lnowy ozkład asy
Śodek asy lczyy też pzy poocy odpowednch całek objętoścowej, powezchnowej lnowej: c c c c d z z d y y d x x d S c S c S c S c ds z z ds y y ds x x ds dl z z dl y y dl x x dl c c c c objętoścowy ozkład asy powezchnowy ozkład asy lnowy ozkład asy
Poleca notebook, w któych lczone są śodk asy dla pzykładowych cągłych ozkładów as http://uses.uj.edu.pl/~golak/8-9/sodek_asy_kzywych.nb http://uses.uj.edu.pl/~golak/8-9/sodek_asy_fguy_plaskej.nb http://uses.uj.edu.pl/~golak/8-9/sodek_asy_byly_pzestzennej..nb http://uses.uj.edu.pl/~golak/8-9/sodek_asy_byly_pzestzennej..nb
ówlśy o układach punktów atealnych. Tak sę składa, że specjalną olę w dynace gają dwa pzypadk dwa oddzałujące punkty atealne Pokażey, że ten pzypadek da sę spowadzć do pzypadku jednego punktu atealnego, na któy dzała sła zewnętzna była sztywna, czyl tak układ nepzelczalne welu punktów atealnych, któych wzajene odległośc są stałe Tu koneczne będze wpowadzene dodatkowych welkośc chaakteyzujących ozkład pzestzenny asy oent bezwładnośc
Poble dwóch oddzałujących punktów atealnych zolowanych od eszty wszechśwata R R d d d d d,, III zasada dynak Newtona
,, t t R R t R R R d ównane jak dla cząstk o ase, na któą ne dzała żadna sła Rozwązane to uch jednostajny postolnowy! d d d
asa zedukowana wekto położena względnego d ównane jak dla cząstk o ase μ, na któą dzała sła! Poble dwóch oddzałujących punktów atealnych spowadzlśy do pobleu jednej cząstk!
Zaast ozwązywać ozwązujey znaczne postsze ównana d d,, d R, d. Jest to ogólnejszy fakt: poble znalezena wektoów położena N oddzałujących cząstek zolowanych od eszty wszechśwata spowadza sę do znalezena N- wektoów opsujących względne położene N cząstek.
Jeśl znajdzey ozwązane dla wektoa t, wtedy z układu ównań dostajey,, R., R R
' R O ' Z tych wyażeń łatwo dostajey wektoy położena względe śodka asy:. ', ' R R
Pzykład: dwe asy połączone neważką spężyną na gładk stole d R, d k k k O
Najważnejszy pzykład pobleu dwóch cał: zagadnene Keplea poble dwóch punktów atealnych zolowanych od eszty wszechśwata oddzałujących zgodne z pawe powszechnego cążena d R, d G 3 O. O.
Źódło: Wkpeda Chcey udowodnć tzy pawa Keplea, dotyczące uchu planet wokół Słońca. Uwaga: pawa te ozpatują z osobna układ dwóch cał, Słońce + planeta; ne taktują Układu Słonecznego jako całośc. W szczególnośc ne uwzględnają oddzaływań gawtacyjnych ędzy planeta. W końcu XI weku Tycho Bahe 546-6 zgoadzł obszene pewne dane obsewacyjne dotyczące położeń planet. Pacował wele lat w obsewatou na wyspe Hven koło Kopenhag. Na początku XII weku jego poocnk uczeń, Johannes Keple 57 63 opacował dane obsewacyjne Tychona Bahe sfoułował pawa dotyczące uchu planet dookoła Słońca.
Pawa Keplea Słońce. Planety pouszają sę dookoła Słońca po elpsach, a Słońce znajduje sę w jedny z ognsk elpsy. A =A. Poeń wodzący od Słońca do planety zatacza w tych saych odcnkach czasu te sae pola powezchn. T a 3 T... 3 a const 3. Stosunek kwadatu okesu obegu planety dookoła Słońca do tzecej potęg dłuższej półos elpsy jest ówny dla wszystkch obt planetanych.
Własnośc elpsy b a a a P ' Dla każdego punktu elpsy sua odległośc od obu ognsk, + = a = const Elpsa posada dwe półose, dużą ałą, oaz dwa ognska. W układze begunowy ównane elpsy a postać: pzy czy, k k a cos a a b. to tzw. ośód elpsy. I jest wększy, ty badzej elpsa óżn sę od okęgu. Dla = ay okąg. Obty planet w naszy Układze Słoneczny ają badzo newelke ośody. Tylko dla ekuego >.
Pytane poocncze do II pawa Keplea: Ile wynos pole powezchn S ozpętej na dwóch wektoach? pole tójkąta B S A h S A h A B sn A B
W tak aze eleent powezchn ds/ ożna polczyć tak: O d d S d d S d d v p d S p L const Udowodnlśy ogólnejsze twedzene, że tzw. pędkość polowa jest stała dla uchu pod wpływe sły centalnej! Ne tylko dla uchu po elpse. oent pędu jest stały wektoe dla sły centalnej
Jake nne welkośc są zachowane w zagadnenu Keplea opócz wektoa oentu pędu? Sła jest zachowawcza, węc zachowana us być całkowta enega echanczna: E const G p G d E E E pot kn tot Okazuje sę, że w pzypadku sły gawtacyjnej stneje tzeca nezależna welkość, któa jest stała w czase. Jest to wekto Laplace a-runge go-lenza, czyl wekto LRL: p L k p L G A k
akt, że wekto LRL jest stały w czase wygodne jest pokazać w układze begunowy. Pzyponjy, że w ty układze zachodz ˆ, d v d a d ˆ d d ˆ d d d ˆ d a G 3 d ˆ y O a ˆ v x Sła jest centalna, węc pzyspeszene a tylko składową adalną ˆ
const z L d d d p L z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, d L d d d a k d d a składowa adalna dla II zasady dynak Newtona: sła a tylko składową adalną składowa tanswesalna dla II zasady dynak Newtona: bak składowej tanswesalne sły jest ównoważny teu, że wekto oentu pędu a stałą watość
const A d d z d d k z d k d d d p d L k p dl k d v da ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Jeśl wekto LRL jest stały w czase, to jego pochodna po czase jest ówna zeo!, G k p L k A
Wekto LRL jest stały leży w płaszczyźne wyznaczonej pzez wektoy położena pędkośc. Kwadat jego długośc też us być stały wynos: A L E... k A const Tzeba ozpatzeć dwa główne pzypadk: L = L Pzypadek oznacza uch, w któy wekto pędu jest ównoległy do wektoa położena, czyl uch odbywa sę cały czas wzdłuż jednej ln O A v ˆ lub const O A v
W pzypadku, gdy oent pędu jest óżny od zea, ożey wypowadzć ównane tou we współzędnych begunowych: k L p L k p L k A cos cos cos cos h h k L A A ównane kzywej stożkowej we współzędnych begunowych, czyl kzywej, któa jest częścą wspólną powezchn bocznej stożka płaszczyzny A v O
Kzywe stożkowe wg stony http://www.zobaczycateatyke.kk.pl/pzyklady/kukula/ndex.htl
Wyóżna sę następujące kzywe stożkowe, zależne od kąta, jak twozy płaszczyzna pzecnająca z osą stożka jego twozącą: elpsa - gdy kąt poędzy płaszczyzną pzecnającą a osą stożka jest wększy od kąta ędzy twozącą a osą stożka, okąg - szczególny pzypadek dla elpsy; powstaje, gdy wsponany kąt jest posty, czyl płaszczyzna tnąca jest postopadła do os stożka, paabola - jeżel kąt poędzy płaszczyzną tnącą a osą stożka jest ówny kątow poędzy osą stożka a jego twozącą, czyl twoząca jest ównoległa do płaszczyzny tnącej, hpebola - Jeżel kąt poędzy płaszczyzną tnącą a osą stożka jest nejszy od kąta poędzy osą stożka a jego twozącą; powstaje ówneż, gdy płaszczyzna tnąca jest ównoległa do os stożka, ale ne obejuje tej os. http://www.zobaczycateatyke.kk.pl/pzyklady/kukula/ndex.htl auto: Daan Kukuła II ok - I UJ
ożlwe są óżne pzypadk óżne kzywe! Rodzaj kzywej stożkowej opsującej to cząstk zależy od eneg całkowtej E oaz długośc wektoa oentu pędu L > k L h k E L h cos k G a E < ϵ < ay ównane elpsy dowód I pawa Keplea! Punkty atealne są ze sobą zwązane sła gawtacyjny twozą układ zwązany. Szczególny pzypadke elpsy jest okąg, gdy E jest najnejszą ożlwą enegą całkowtą pzy ustalonej watośc L : L k E k E L
h h cos L k k G b E = ϵ = Teaz ay paabolę! Punkty atealne ne są ze sobą twale zwązane sła gawtacyjny ne twozą układu zwązanego ogą sę oddalć od sebe na dowolne dużą odległość. Pzy oddalanu sę as na neskończoną odległość enega knetyczna aleje do zea.
h h cos L k L E k k G c E > ϵ > Teaz ay hpebolę! Punkty atealne ne są ze sobą twale zwązane sła gawtacyjny ne twozą układu zwązanego ogą sę oddalć od sebe na dowolne dużą odległość. Nawet po oddalenu sę as na neskończoną odległość enega knetyczna uchu względnego byłaby wększa od zea.
Wóćy do pzypadku elpsy, by udowodnć III pawo Keplea k L a a c a b a c E k a h a h h h,, cos ax n ax n obazek z Wkped
Aby oblczyć okes T obegu planety dookoła Słońca, tzeba podzelć pole elpsy pzez watość pędkośc polowej: T pole _ elpsy d pole a b L a 3 k a 3 G a 3 G pzyblżene słuszne, gdy >>! T a 3 4 G pawa stona ne zależy od asy dlatego jest taka saa dla każdej planety!
Uwag:. Wypowadzlśy tzy pawa Keplea, opeając sę na zasadach dynak Newtona ozpatując układ Słońce+planeta, a ne cały Układ Słoneczny ze Słońce weloa planeta. Pozwala na to badzo duża asa Słońca w poównanu z asa planet!. Ne ozwązalśy ównana uchu; w szczególnośc ne podalśy zależnośc wektoa położena względnego od czasu. 3. Rachunk ne powtazają ozuowana Newtona, ale wykozystują stnene tzech welkośc stałych w czase uchu tzw. całek uchu: eneg całkowtej, wektoa oentu pędu oaz wektoa LRL Newton ne znał w ogóle pojęca eneg usał sobe adzć naczej! 4. Tak napawdę to wey, jak wygląda tajektoa opsywana pzez zany wektoa wzajenego położena. A jak wyglądają tajektoe punktów atealnych?
asy Słońca I planet w jednostkach asy Ze Słońce 33946 około x 3 kg ekuy.553 Wenus.85 Zea as.7 Jowsz 38 Satun 95. Uan 4.5 Neptun 7. Źódło: Wkpeda
wektoy położena poszczególnych punków atealnych względe śodka asy R R ' ' R R R R wektoy położena poszczególnych punktów atealnych wyażone pzez położene śodka asy R oaz położene względne Z doby pzyblżene Słońce znajduje sę w śodku asy układu Słońce+planeta, a wekto położena względnego jest zaaze wektoe położena planety względe śodka asy!
Ne zawsze tak us być, bo stneją układy dwóch zblżonych as! ' ' C Zakładay, że śodek asy C sę ne pousza. Wtedy oba punkty atealne pouszają sę po elpsach. asa znajduje sę w ognsku dla elpsy opsywanej pzez wekto. Śodek asy jest ognske dla obu obt opsywanych pzez.
Śedne odległośc od Słońca w AU, okes obegu wokół Słońca w dnach oaz ośód obty elptycznej a T ϵ T /a 3 ----------------------------------------------------------------------------- ekuy.39 88.56 3548 Wenus.7 4.7.68 357 Zea 365.3.67 33444 as.5 687.934 34395 Jowsz 5. 4333.3.48 33545 Satun 9.5 756..553 3493 Uan 9.6 377.5.478 346 Neptun 3.7 63.4.79 3339 Źódło: http://www.sola.po.opole.pl/
Poleca ateały poocncze do zagadnena Keplea z ojej stony: http://uses.uj.edu.pl/~golak/8-9/keple.pdf http://uses.uj.edu.pl/~golak/8-9/zagadnene_keplea.nb
Sła gawtacyjna ne jest jedyną słą centalną, dla któej zależność od odległośc a postać /. Podobny chaakte a sła kulobowska opsująca oddzaływane ędzy dwoa ładunka punktowy. Dla tego pzypadku ożlwe jest ne tylko pzycągane, ale odpychane. W pzypadku odpychających sę elektostatyczne cząstek, kluczową olę odgywa zwązek ędzy kąte ozposzena a paaete zdezena. Jego zozuene leży u podstaw odkyca pzez Ruthefoda jąda atoowego, w któy skupony jest w badzo ałej objętośc cały ładunek dodatn obecny w atoe pawe cała asa atou., v Z tan k k Z Z e v Z Z e E Z χ -kąt ozposzena ρ paaet zdezena Z Z to lczby atoowe cząstek 8 o!
Odkyce jąda atoowego S Enest Ruthefod 87 937 Nagoda Nobla 98 W oku 9 Ruthefod zastanawał sę nad dzwny wynka dośwadczena Gegea asdena z ozpaszane cząstek α na fol ze złota. Wększość cząstek ozpaszała sę pod ały kąta, ale na 8 ozpaszała sę pod kąte blsk 8 stopn. Ruthefod: To było tak, jakby pętnastocalowy pocsk, wystzelony w kawałek bbułk, odbł sę od nej tafł w stzelającego.
Wynk ekspeyentu był zupełne neoczekwany Według wcześnejszego odelu atou autostwa Thosona tzw. casto z odzynka cząstk pownny bez pobleu pzeleceć pzez ato. Wynk ekspeyentu dowódł, że w atoe stneje dodatno naładowane jądo, skupające pawe całą asę atou.