RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13

Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne (krzywe, powierzchnie, hiperpowierzchnie ip.) opisuje się przy pomocy funkcji różniczkowalnych, a ich własności geomeryczne bada się przy pomocy pochodnych zwyczajnych i cząskowych ych funkcji. W niniejszym wykładzie ograniczymy się do zagadnień związanych z geomerią krzywych na płaszczyźnie lub w przesrzeni rójwymiarowej. Inuicyjnie, przez krzywą rozumie się jednowymiarowy podzbiór pewnej przesrzeni (płaszczyzny, przesrzeni rójwymiarowej lub ich uogólneń). W fizyce, krzywa jes rajekorią ruchu punku maerialnego.

Geomeria różniczkowa Niech I Funkcję r R będzie dowolnym przedziałem. : I n R nazywamy funkcją wekorową jednej zmiennej. Uwaga Jeżeli n =, o Jeżeli n = 3, o Funkcja wekorowa r ( ) [ x( ), y( )], I, r ( ) [ x( ), y( ), z( )], I n r : I R jes klasy C k na zbiorze I 0 I jeżeli posiada ciągłe pochodne do rzędu k włącznie w każdym punkcie zbioru I 0. Twierdzenie Funkcja wekorowa jes klasy C k na zbiorze I 0 wedy i ylko wedy, gdy jej wszyskie współrzędne są klasy C k na zbiorze I 0. 3

Geomeria różniczkowa Krzywą w przesrzeni R n (n > 1) nazywamy dowolny ciągły obraz przedziału I (owarego lub domknięego właściwego lub nie). Funkcję, kórej obrazem jes krzywa nazywamy parameryzacją krzywej. Układ równań x x( ) y y( ) I z z( ) nazywamy równaniami paramerycznymi krzywej w R 3, jes paramerem. Tam gdzie nie prowadzi o do nieporozumień krzywa i jej opis parameryczny (parameryzacja) są zazwyczaj uożsamiane i określane wspólnym erminem krzywa. 4

Uwagi Parameryzacja krzywej nie jes określona w sposób jednoznaczny, np. równania x 1 y z definiują ę samą prosą. Geomeria różniczkowa R Równoważna noacja w zapisie funkcji wekorowych: r ( ) [ x( ), y( ), z( )], r ( ) x( ) i y( ) j z( ) k, x y z Warości funkcji wekorowej można inerpreować jako końce wekora zaczepionego w począku układu współrzędnych (wekora wodzącego). Zbiór ych końców bywa nazywany hodografem. Krzywą można więc uożsamiać z hodografem funkcji wekorowej. W kinemayce hodograf jes inerpreowany jako or poruszającego się punku. 1 I s 3 s s 3 3 I s R 5

Geomeria różniczkowa wekor wodzący 6

Geomeria różniczkowa Jeżeli przedział I wysępujący w definicji krzywej jes domknięy ([a, b], a < b), o krzywą nazywamy krzywą Jordana, a punky odpowiadające krańcom przedziału nazywamy odpowiednio począkiem i końcem krzywej. Łuk zwykły o krzywa Jordana bez punków wielokronych. Krzywa zamknięa o krzywa Jordana, kórej począek pokrywa się z końcem. 7

Geomeria różniczkowa Łukiem gładkim nazywamy łuk zwykły klasy C 1 aki, że Punk, w kórym r '( ) 0, dla In I. r '( ) 0 lub nie isnieje nazywamy punkem osobliwym krzywej. Krzywa kawałkami gładka (regularna) o krzywa, kóra daje się podzielić na skończona liczbę łuków gładkich. Punky złączenia ych łuków nazywamy wierzchołkami krzywej. 8

Krzywa na płaszczyźnie

Krzywą płaską nazywamy krzywą, kórej wszyskie punky należą do pewnej płaszczyzny. Oczywiście każda krzywa płaską jes szczególnym przypadkiem krzywej przesrzennej. Przy badaniu własności krzywych płaskich wykorzysuje się ich opis w przesrzeni dwuwymiarowej, kórą jes zawierająca je płaszczyzna. Prowadzi o do isonego uproszczenia wzorów obliczeniowych. Każda funkcja ciągła odwzorowująca przedział liczbowy I R w R definiuje pewną krzywą płaską, lecz oprócz poznanych wcześniej prosej i krzywych sożkowych isone znaczenie, z eoreycznego i prakycznego punku widzenia, ma jeszcze ok. kilkadziesią rodzajów krzywych. 10

Niech x x( ) y y( ) będzie parameryzacją krzywej płaskiej. I Jeżeli powyższy układ można przekszałcić do posaci y = f(x), lub x = g(y), przez eliminację (rugowanie) parameru, o aką posać przedsawienia krzywej nazywamy posacią jawną. Przykład Równanie parameryczne prosej x y można zapisać w posaci jawnej y x. 1 R 11

Jeżeli krzywą da się opisać za pomocą równania F(x, y) = 0 o posać ę nazywamy posacią uwikłaną. Przykład Równanie parameryczne okręgu jednoskowego x y cos sin [0, ) ma posać uwikłaną x y 1. 1

Niech P(x(), y()) i Q(x( 1 ), y( 1 )) oznaczają dwa różne punky krzywej. Prosą przechodząca przez punky P i Q nazywamy sieczną. Ką nachylenia siecznej do osi Ox oznaczamy 1. y syczna Q P sieczna 1 O x Jeżeli dla usalonej warości parameru isnieje skończona granica kąów nachylenia siecznych lim 1 o prosą o kącie nachylenia nazywamy syczną do krzywej w punkcie P. 1 13

Wekor kierunkowy sycznej nazywamy wekorem sycznym. Twierdzenie Wekor syczny łuku gładkiego w punkcie P(x(), y()) ma posać r '( ) [ x ( ), y ( )]. Zwro wekora sycznego jes zgodny z kierunkiem wzrosu parameru. Inerpreacja kinemayczna: wekor prędkości chwilowej punku maerialnego poruszającego się wzdłuż krzywej. Wersor syczny (uni anden vecor) w punkcie P(x(), y()) ma posać T ( ) r'( ) r'( ) 14

Prosą przechodzącą przez punk P, prosopadłą do sycznej w ym punkcie nazywamy prosą normalną do krzywej w punkcie P. Jej wekor kierunkowy nazywamy wekorem normalnym. Twierdzenie Wekor normalny łuku gładkiego w punkcie P(x(), y()) ma posać n( ) [ y ( ), x ( )], (lub n( ) [ y ( ), x ( )]) Wersor normalny (uni normal vecor) w punkcie P(x(), y()) ma posać. N( ) n( ) n( ) 15

Wekor syczny i normalny y wekor syczny P wekor normalny O x Zadanie Napisać równanie sycznej i normalnej do łuku gładkiego w zadanym punkcie. 16

Długość łuku krzywej regularnej r = r() dla [ 0, ] obliczamy z wzoru l( ) x ( ) y d 0 0 ( ) r ( ) d Parameryzację krzywej, w kórej przyros długości łuku jes równy przyrosowi parameru nazywamy parameryzacją łukową (nauralną). Paramer wyznaczający parameryzację łukową krzywej nazywamy paramerem łukowym (nauralnym) i oznaczamy lierą s. Twierdzenie Przy parameryzacji łukowej wekor syczny jes wersorem. (przy zmianie parameru s wekor syczny zmienia jedynie kierunek zachowując sałą długość!). Twierdzenie r (s) Każda krzywa regularna posiada parameryzację nauralną. 17

Przykład Funkcja r ( ) [ x0 vx, y0 vy], R jes parameryzacją łukową prosej wedy i ylko wedy, gdy wekor v = [v x, v y ] jes wersorem. Funkcja r ( ) [ a cos, asin ], a a [0, a) jes parameryzacją łukową okręgu o środku (0, 0) i promieniu a. Znalezienie parameryzacji łukowej krzywej jes na ogół zadaniem rudnym, ponieważ całki wyrażające długość krzywej są kłopoliwe do obliczenia. 18

Krzywizna krzywej regularnej Niech r = r(s) będzie parameryzacją nauralną krzywej regularnej klasy C, punky P i Q dwoma różnymi punkami krzywej, w ych punkach, s długością łuku krzywej pomiędzy punkami. kąem między sycznymi y P syczna Q syczna O x Jeżeli isnieje granica Q lim P Δ Δs o nazywamy ją krzywizną krzywej, w punkcie P. 19

Promieniem krzywizny nazywamy odwroność krzywizny R 1, 0 Okrąg jes syczny do krzywej w punkcie P, jeżeli ma z nią wspólną syczną w ym punkcie. Okręgiem krzywiznowym (oskulacyjnym, ściśle sycznym) krzywej w punkcie P nazywamy okrąg syczny do krzywej w ym punkcie, leżący po ej samej sronie co krzywa i mający promień równy promieniowi krzywizny. Środkiem krzywizny krzywej w punkcie P nazywamy środek okręgu krzywiznowego. 0

y syczna P wekor krzywizny S O x środek krzywizny okrąg krzywiznowy 1

Okrąg krzywiznowy

Okrąg krzywiznowy 3

Okręgi krzywiznowe krzywej o równaniu y = sin x, y = sin x, syczna normalna, okrąg oskulacyjny 4

Twierdzenie Jeżeli krzywa o równaniu [ x( ), y( )] o w punkcie (x,y) zachodzą wzory: Krzywizna: Promień krzywizny. r jes klasy C oraz x y x y 0 ( x x y x y 3 3 y ) R 1 x y r x y, Współrzędne środka krzywizny x y x xy y xy, y x x xy y xy ( x, x, x, y, y, y, są obliczane dla sosownej warości parameru ) 5

Zbiór środkow krzywizny krzywej nazywamy ewoluą (rozwinięą) ej krzywej. Jeżeli x s (), y s () są współrzędnymi środków krzywizny dla różnych warości parameru, o równania x y x y s s ( ) ( ) I są paramerycznymi równaniami ewoluy. Jeżeli krzywa C jes ewoluą krzywej K, o krzywą K nazywamy ewolweną (rozwijającą) krzywej C. 6

Przykład x y Wyznaczyć ewoluę elipsy 1 a b Równania parameryczne elipsy x a cos [0, ) y bsin Pochodne x asin x a cos y bcos y bsin Wsawiamy do wzorów na współrzędne środka okręgu krzywiznowego a sin b cos x a cos bcos ab(sin cos ) cos ( a ( a sin a c 3 cos, gdzie a Podobnie c y sin 3, b c b cos a )) b 7

Ewolua elipsy Ewoluą elipsy jes aseroida o równaniach paramerycznych x y c cos a c sin b lub w posaci uwikłanej 3 3 ( ax ) ( by) c 3 3 4 3 elipsa ewolua elipsy (aseroida) promień krzywizny okrąg oskulacyjny 8

Twierdzenie Jeśli środek krzywizny nie jes punkem osobliwym ewoluy, o jes on punkem syczności normalnej do krzywej z jej ewoluą. (Ewoluą krzywej K jes krzywą K 1, kórej syczne przecinają krzywą K pod kąem prosym.) elipsa normalna do elipsy ewolua elipsy (aseroida) 9

Ewolua elipsy 30

Ewolua aseroidy aseroida ewolua aseroidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny 31

Ewolua paraboli parabola ewolua paraboli promień krzywizny okrąg oskulacyjny 3

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ