PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

Transkrypt

1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia pierwotne. Punkt, prosta, płaszczyzna są to pojęcia pierwotne (których nie definiuje się). Aby sobie je wyobrazić musimy odwołać się do intuicji. Punkt. Punkt to figura, która nie ma wymiaru. Jest to najmniejszy, tzw. zerowymiarowy obiekt geometryczny. Punkty oznaczamy wielkimi literami np. lub, w przypadku gdy zachodzi konieczność oznaczenia większej ich liczby, Prosta. O prostej możemy powiedzieć tyle, że jest to nieograniczona linia bez początku i bez końca. Prosta ma własność, która odróżnia ją od innych linii. Otóż od jednego punktu do drugiego, może prowadzić nieskończenie wiele linii, ale tylko jedna jest linią prostą. Dwie różne proste mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny. Proste oznaczamy małymi literami np.... lub Proste równoległe, prostopadłe, pęk prostych. Jeśli proste na płaszczyźnie nie mają punktów wspólnych, to nazywamy je równoległymi. Dwie różne proste nazywamy prostopadłymi, jeżeli jedna z nich jest osią symetrii drugiej. Mając dowolny punkt na płaszczyźnie, możemy przez niego poprowadzić nieskończoną liczbę prostych; zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany punkt to właśnie pęk prostych. Punkt ten to wierzchołek pęku. Płaszczyzna. Płaszczyzna to jest powierzchnią nieograniczoną, zawierającą nieskończenie wiele punktów i rozdzielającą przestrzeń na dwie przystające części. Płaszczyzny nie definiujemy, możemy sobie np. ją wyobrazić jako nieograniczoną płaską taflę. Płaszczyzna jako obiekt w przestrzeni ma następującą własność: przez trzy punkty nie leżące na jednej prostej, daje się poprowadzić tylko jedną płaszczyznę. Mówiąc inaczej płaszczyznę wyznaczają 3 punkty (podobnie jak prostą 2 punkty). Figury płaskie. Płaszczyzna jest zbiorem punktów. Figura płaska to dowolny podzbiór punktów płaszczyzny. Figurą płaską jest zatem cokolwiek co składa się z punktów, czyli na przykład sam punkt, prosta, w końcu cała płaszczyzna. Znamy trójkąty, kwadraty, trapezy, koła, elipsy ale tylko kropelki w morzu możliwych figur płaskich. Figury wypukłe, ograniczone, nieograniczone. Figurę nazywamy wypukłą, jeśli zawiera się w niej każdy odcinek, którego końce należą do figury. Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnym kole. Figurę płaską, która nie zawiera się w żadnym kole nazywamy nieograniczoną. Brzeg i wnętrze figury. Punkt nazywamy punktem brzegowym figury, jeżeli w każdym kole o środku w punkcie znajdują się zarówno punkty danej figury, jak i punkty do niej nie należące. Punkt nazywamy punktem wewnętrznym figury, jeżeli istnieje koło o środku w punkcie zawarte całkowicie w tej figurze. Brzegiem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych tej figury. Wnętrzem figury nazywamy zbiór wszystkich jej punktów wewnętrznych. Figury przystające. Dwie figury są przystające, jeśli jedną z tych figur można nałożyć na drugą za pomocą obrotu, przesunięcia lub obydwu tych przekształceń. Odcinek i symetralna. Odcinkiem nazywamy figurę utworzoną z dwóch różnych punktów i (zwanych jego końcami) oraz wszystkich punktów leżących między nimi na prostej wyznaczonej przez te punkty. Z odcinkiem wiąże się pojęcie symetralnej (odcinka). Symetralna to zbiór punktów płaszczyzny równo odległych od końców odcinka. Symetralna to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Łamana. Łamana to figura geometryczna składającą się ze skończonej liczby odcinków, takich że żadne dwa kolejne odcinki nie leżą na jednej prostej. Koniec poprzedniego odcinka jest początkiem następnego. Jeśli początek pierwszego odcinka pokrywa się z końcem ostatniego, to łamaną nazywamy zamkniętą; w przeciwnym razie mówimy, że łamana jest otwarta. Odcinki łamanej to boki, a ich końce wierzchołkami.

2 Półprosta. Jeśli na prostej obierzemy dowolny punkt, to punkt ten podzieli tą prostą na dwie części. Każdą z tych części nazywać będziemy półprostą. Punkt nazywamy początkiem półprostej. Kąt i dwusieczna. Kąt to każda z dwóch części płaszczyzny ograniczonych dwiema półprostymi o wspólnym początku (wierzchołek kąta) wraz z tymi półprostymi (ramiona kąta). Kąty oznaczamy literami alfabetu greckiego:. Kąt w którym odcinek łączący dwa dowolne punkty na różnych ramionach kąta zawiera się wewnątrz kąta nazywamy kątem wypukłym. Kąt bez tej własności nazywamy kątem wklęsłym. Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli go na dwa przystające kąty. Dwusieczną leży na osi symetrii kąta, a każdy punkt dwusiecznej jest równo odległy od obu ramion. Wielokąt i przekątna. To obszar płaszczyzny ograniczony łamaną zamkniętą. Wielokąt o bokach nazywamy n-kątem. Wielokąt o najmniejszej liczbie boków to oczywiście trójkąt. Łamaną tworzącą wielokąt nazywamy brzegiem wielokąta. Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi jest nieograniczony i nazywamy go zewnętrznym. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łączy dwa niesąsiednie wierzchołki wielokąta. Wielokąty wypukłe i wklęsłe. Jeżeli wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są kątami wypukłymi ( ), to wielokąt ten nazywamy wypukłym. Jeżeli co najmniej jeden kąt wewnętrzny jest wklęsły, to wielokąt nazywamy wklęsłym. My będziemy zajmować się tylko wielokątami wypukłymi. Kąty wewnętrzne i zewnętrzne wielokąta. Kąty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamy kątami wewnętrznymi. Kąt zewnętrzny wielokąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta. Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wynosi Suma miar kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego jest równa. Okrąg, łuk, koło, cięciwa, średnica, sieczna, styczna. Okręgiem nazywamy zbiór punktów równo odległych od danego punktu, zwanego środkiem okręgu. Koło to część płaszczyzny ograniczona okręgiem, wraz z tym okręgiem. Łuk okręgu to jedna z dwóch części okręgu wyznaczona przez dwa punkty tego okręgu. Cięciwa okręgu (koła) to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu. Średnica okręgu (koła) to najdłuższa z jego cięciw, przechodząca przez środek okręgu (koła). Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu. Kąt środkowy i kąt wpisany (w okrąg). Kąt wpisany to taki kąt wypukły, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy tego okręgu. Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła, a ramiona są półprostymi zawierającymi promienie koła. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Wycinek i odcinek koła. Wycinek koła to jedna z dwóch części, na jakie dzielą koło dwa promienie. Odcinek koła to jedna z dwóch części na jakie koło dzieli cięciwa. Wielokąt wpisany i opisany na okręgu. Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki należą do okręgu, nazywamy wielokątem wpisanym w okrąg (okrąg ten nazywamy okręgiem opisanym na tym wielokącie). Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich boków wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem tego okręgu. Wielokąt, którego wszystkie boki są styczne do pewnego okręgu, nazywamy wielokątem opisanym na okręgu (okrąg ten nazywamy okręgiem wpisanym w wielokąt). W wielokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem tego okręgu.

3 Trójkąt. Trójkąt to wielokąt o 3 bokach. Każdy trójkąt jest wypukły. Wysokość trójkąta to najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem). Jest on zawsze prostopadły do tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, a ich przecięcie nazywa się ortocentrum. Środkowe to odcinki łączące wierzchołki ze środkami boków. Środkowe przecinają się w punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych w stosunku 1:2. Symetralne boków trójkąta to po prostu symetralne odcinków będących bokami. Symetralne przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Dwusieczne kątów trójkąta będziemy nazywać odcinki zawarte w dwusiecznych kątów, od wierzchołka do punktu przecięcia z przeciwległym bokiem. Dwusieczne kątów przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki: trójkąt dowolny: każdy bok ma inną długość trójkąt równoramienny: 2 boki równe trójkąt równoboczny: wszystkie boki równe. Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty: ostrokątny: wszystkie kąty są ostre rozwartokątny: jeden z kątów jest rozwarty prostokątny: jeden z kątów jest prosty. Podobieństwo trójkątów. Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. To samo można wyrazić językiem kątów: trójkąty są podobne jeśli mają wszystkie kąty równe (wystarczą dwa). Wreszcie, trójkąty są podobne gdy mają dwa boki proporcjonalne i równy kąt między nimi. Podstawowe twierdzenia geometrii płaskiej Twierdzenie Talesa. Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi (na rysunku są tylko dwie proste i, ale twierdzenie zachodzi dla dowolnej ich liczby), to długości odcinków wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta. Zachodzi również twierdzenie odwrotne (jeżeli odpowiednie odcinki są proporcjonalne, to proste i są równoległe). Mamy zatem:, a także. Proporcje te wynikają z podobieństw trójkątów i równości stosunków odpowiednich boków. Twierdzenie Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Zapisując w skrócie: Dowód. Zauważmy, że. { Dodając równania stronami otrzymujemy:

4 ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Wyznacz miary kątów między dwoma przecinającymi się prostymi, jeśli jeden jest razy większy od drugiego 2. Wyznacz miary kątów w trójkącie jeśli kąty pozostają w stosunku : 3 : Jeden z kątów trójkąta ma miarę 25 O a różnica miar pozostałych kątów wynosi 15 O. Wyznacz miary pozostałych dwóch kątów trójkąta 4. Jeden bok prostokąta ma długość drugi bok jest o krótszy od przekątnej Oblicz obwód prostokąta 5. W trójkącie równoramiennym podstawa wynosi a wysokość opuszczona na podstawę wynosi. Obliczyć wysokość trójkąta opuszczoną na jedno z ramion 6. Na okręgu o promieniu opisano trapez równoramienny o polu. Wyznacz boki tego trapezu. 7. Krótsza przekątna rombu ma długość i dzieli go na dwa trójkąty równoboczne Oblicz pole tego rombu. 8. Ile stopni ma kąt wpisany oparty na okręgu? 9. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego którego przyprostokątne mają długości 3 i Oblicz kąt wewnętrzny -kąta foremnego. 11. Oblicz stosunek promieni okręgu opisanego na kwadracie i okręgu wpisanego w kwadrat Jaki jest stosunek pól kół, których brzegami są powyższe okręgi? 12. W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie jest 4 razy mniejszy niż kąt przy wierzchołku Oblicz kąty tego trójkąta 13. Bok kwadratu zwiększono o 5% O ile % zwiększyło się pole? 14. Oblicz pole kwadratu, którego przekątna jest o 1 dłuższa od jego boku 15. Dany jest trójkąt o bokach 6, 8, 10 W trójkącie podobnym do niego najkrótszy bok ma długość 2 Oblicz pole tego trójkąta 16. Kąt 5 Oblicz kąt. 17. Oblicz pole zakreskowanego obszaru.

5 18. Oblicz stosunek promieni okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i wpisanym w trójkąt równoboczny Jaki jest stosunek pól kół, których brzegami są powyższe okręgi? 19. Oblicz wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym i podstawach wynoszących odpowiednio 12 i Oblicz pole trójkąta równobocznego a wpisanego w okrąg o promieniu b opisanego na okręgu o promieniu 21. Bok kwadratu a zwiększono o % b zmniejszono o % O ile % zmieni się pole w każdym przypadku? 22. Dany jest trapez równoramienny.,, Przedłużenia ramion i przecinają się w punkcie. Oblicz. 23. Zbadaj czy można zbudować trójkąt z odcinków o długości: a), 1, 0.42 b),,, c), 1, 24. Oblicz pole trójkąta 25. i jest oddalona od środka okręgu o Oblicz pole koła 26.. Oblicz. 27. Oblicz. 28. Oblicz. 29. Oblicz.