Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Podobne dokumenty
Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

+ ln = + ln n + 1 ln(n)

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Ciągi liczbowe wykład 3

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

IV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

INDUKCJA MATEMATYCZNA

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

3. Funkcje elementarne

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

1 Układy równań liniowych

2. Nieskończone ciągi liczbowe

Analiza matematyczna dla informatyków

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Analiza matematyczna dla informatyków

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zajęcia nr. 2 notatki

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

7. Różniczkowanie. x x. f (x 0 ) = df(x). dx x=x0 Pierwsze oznaczenie pochodzi od Lagrange a, a drugie od Leibniza.

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

I. Podzielność liczb całkowitych

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

Funkcja wykładnicza i logarytm

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2

Analiza Matematyczna I.1

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

Podróże po Imperium Liczb

Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

Analiza Matematyczna I.1

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

Transkrypt:

Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby są wymiere: (a) 3 (b) 2 + 7 Zadaie 3. Dla jaich aturalych zachodzą ierówości: (a) ( + 2) 2 < 3 (b) 5 3 + 4 (c) ( + ) 3 < 4 2 (d) 5 < 3 + 4? Zadaie 4. Niech! = 2. Współczyi dwumiaowy ( ) dla 0 defiiujemy a jede z trzech sposobów:. ( ) =!! ( )! 2. ( ) to liczba sposobów, a jaie moża wybrać elemetów (bez powtórzeń) ze zbioru -elemetowego 3. ( ) to współczyi stojący przy x w rozwiięciu ( + x) a potęgi x, tz.: ( ) ( + x) = x =0

Czasem dla wygody przyjmujemy ( ) = 0 dla > lub < 0. Udowodij, że wszystie trzy defiicje są rówoważe oraz tożsamość: ( ) ( ) = Zadaie 5. Udowodij a trzy sposoby (orzystając z defiicji -3 z zadaia 4) tożsamość: dla 0, 0. ( ) + = ( ) + ( ) Zadaie 6. Udowodij a dwa sposoby (iterpretacja ombiatorycza oraz defiicja z ( + x) ) tożsamości: (a) (b) (c) (d) 2 0 ( 0 ( ) + 0 ) ( ) 2 + 0 ( ) 0 + 2 ( ( ) ( ) + + + ) ( ) = 2 ( ) ( ) + + 2 + 2 = 3 ( ) 2 ( ) 2 + + + ( ) 2 = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) + + ( ) + ( ) = 0 Spróbuj rówież udowodić wybrae tożsamości iducyjie. Zadaie 7. Udowodij dla aturalych r, m 0 wzór: ( )( ) r m m = ( )( ) r r m Zadaie 8. Na ile sposobów moża umieścić ieodróżialych ul w m przegródach? Zadaie 9. Udowodij ierówości: /2! ( + ) 2 (wsazówa: dla jaich, wyrażeie ( + ) jest ajwięsze?) 2

Zadaie 0. Udowodij dla dowolego 2 liczb zespoloych z,..., z C: Zadaie. Udowodij, że: dla 2. Zadaie 2. Niech a = ( + a ciąg b malejący. z + z 2 + + z z + z 2 + + z + 2 2 + + ( > 2 ) + ) oraz b = ( + ) +. Udowodij, że ciąg a jest rosący, Zadaie 3. Udowodimy przez iducję, że w dowolym zbiorze oi wszystie oie mają te sam olor. Baza iducji, czyli przypade =, jest oczywisty. Załóżmy, że stwierdzeie jest udowodioe dla pewego. W celu dowodu dla + podzielmy zbiór + oi a zbiory {,..., } oraz {2,..., + }. Każdy z tych zbiorów ma moc, więc a mocy założeia iducyjego wszystie oie w jego obrębie mają te sam olor. Wyia stąd, iż wszystie oie w zbiorze {, 2,..., + } mają te sam olor. Czy to rozumowaie jest poprawe, a jeśli ie, to w tórym miejscu twi błąd? Zadaie 4 (*). Dla jaich α R ciąg ({α}) 0 jest gęsty a odciu [0, ]? (przypomiam, że {x} ozacza część ułamową liczby x) 2 Nierówości Zadaie 5. Udowodij, że dla ieujemych a i, b i, i =,..., mamy: { } a mi a { } + + a a max =,..., b b + + b =,..., b Zadaie 6. Udowodij, że jeśli liczby rzeczywiste a i >, i =,..., mają te sam za, to zachodzi ierówość: ( + a ) ( + a 2 ) ( + a ) + a + + a Czy założeia o tym, że a i > i że liczby mają te sam za, są iezbęde? Zadaie 7. Dla x > i Z udowodij ierówość Beroulliego: oraz że dla < x < i N zachodzi: ( + x) + x ( + x) 3 x

Zadaie 8. Udowodij ierówość Schwartza: Kiedy zachodzi w iej rówość? a b + + a b (a 2 + + a 2 ) /2 (b 2 + + b 2 ) /2 Zadaie 9. Niech a,..., a > 0. Udowodij ierówość między średią arytmetyczą i geometryczą: a + + a a a z rówością wtedy tylo wtedy, gdy a = a 2 = = a, orzystając z astępujących obserwacji: (a) Udowodij, że aby poazać ierówość, wystarczy udowodić astępującą tezę: jeśli ieujeme liczby x,..., x spełiają x x =, to x + + x z rówością wtedy i tylo wtedy, gdy x = = x =. (b) Udowodij, że jeśli x > i x 2 <, to x + x 2 > x x 2 +. (c) Udowodij iducyjie ierówość z putu (a). Zadaie 20. Udowodij dla ieujemych a i ciąg ierówości: i= a 2 i i= a i a i i= i= a i Zadaie 2. Dla aturalych liczb q p i ieujemych x,..., x udowodij ierówość: p x p + + x p q x q + + x q (wsazówa: sprowadź do przypadu, gdy i= x q i = ) Zadaie 22. Jaa jest ajlepsza możliwa stała C > 0, by zachodziła ierówość: p x p + + x p C q x q + + x q dla q p? Zadaie 23 (*). Niech 0 < x < x 2 < < x i iech p i 0 spełiają warue i= p i =. Udowodij ierówość: ( p i x i )( p i x i ) (x + x ) 2 4x x i= i= 4

3 Ciągi Zadaie 24. Ciąg Fiboacciego f zaday jest rówaiem reurecyjym: f 0 = 0, f = Udowodij wzór a ogólą postać ciągu: f = f + f 2, 2 f = φ φ 5 gdzie φ = + 5 2, φ = 5 2 są pierwiastami rówaia x 2 = x +. Zadaie 25. Udowodij tożsamości: (a) f + f 3 + + f 2 = f 2 (b) f 2 = f 2 + f 2, (c) f m f + f m+ f = ( ) f m, m 0 Zadaie 26. Zajdź ogólą postać wzoru a ciąg reurecyjy zaday rówaiami: a 0 = a, a = b a = c a + d a 2, 2 Zadaie 27 (*). Nieporządiem rozmiaru azwiemy taą permutację π : {, 2,..., } {, 2,..., }, że π(i) i dla ażdego i. Niech D ozacza ilość ieporządów rozmiaru. Podaj wzór a ilość ieporządów rozmiaru (wsazówa: apisz i rozwiąż rówaie reurecyje a D ). 4 Kresy i graice Zadaie 28. Zajdź resy zbiorów i sprawdź, czy są oe osiągae: A = {x + y x, y, R, x + y = 3} B = {x x 2 < 2} C = { 2 + N} ( D = { 3) N} 5

Zadaie 29. Zajdź resy zbiorów: m A = { m, 0, m, Z} 2m 2 + 2 2 m B = { m, 0, m, N} m 2 + 2 + 4 m C = { > 0} D = { + > 0,, N} Zadaie 30. Zbiór X R azwiemy domiętym, jeśli dla ażdego ciągu x o wyrazach ależących do X taiego, że x = x dla pewego x R, mamy x X. Które z poiższych zbiorów są domięte? (a) X = [0, ) (b) X = [0, ] (c) X = Z (d) X = Q (e) X = { + m m, N} (f) X = { 2, N} Zadaie 3. Udowodij, że odcia [0, ] ie da się przedstawić jao rozłączą sumę dwóch domiętych zbiorów. (wsazówa: gdyby [0, ] = A B dla domiętych A, B, rozpatrz resy dole i góre zbiorów A, B) Zadaie 32. Oblicz graice: (a) c dla c > 0 (b) (c) 3 3+ 2 3 +9 (d) +7 4 2 +2 Zadaie 33. Niech f 0 = 0, f = oraz f = f + f 2 dla 2. Oblicz graicę f + f. Zadaie 34. Zbadaj zbieżość ciągu oreśloego reurecyjie przez a 0 = a, a + = + a, gdzie a 0. Zadaie 35. Udowodij, że ciąg H = = jest rozbieży. 6

Zadaie 36. Udowodij, że ciąg a = ( ) + jest rosący, a ciąg b = ( ) + + malejący. Wywiosuj, że ciągi te są zbieże do tej samej graicy (ozaczaej e). (wsazówa: zastosuj ierówość średich do liczb a = = a = +, a + = ) Zadaie 37. Niech f : [0, ] [0, ] będzie fucją iemalejącą. Niech a 0 [0, ]. Ciąg a oreślamy rówaiem reurecyjym a + = f(a ) dla 0. Udowodij, że ciąg a jset zbieży. Zadaie 38. Dla c > 0 zbadaj zbieżość ciągu oreśloego przez a 0 = 0, a = c, a + = a + c przez astępujące roi:. Udowodij, że ciąg a jest mootoiczy. 2. Udowodij, że ciąg a jest ograiczoy z góry 3. Wywiosuj z poprzedich putów, że ciąg a jest zbieży, i oblicz jego graicę. Zadaie 39. Niech a będzie ciągiem zbieżym. Czy wyia stąd, że dla dowolej bijecji σ : N N ciąg a σ() rówież jest zbieży? Zadaie 40. Zbadaj zbieżość ciągu oreśloego przez a 0 = a, a + = 2a ( a ),. Zadaie 4. Niech a 0 = a, b 0 = b oraz dla a + = a+b, b 2 + = a b. Udowodij, że ciągi te zbiegają do tej samej graicy. ( Zadaie 42. Korzystając z defiicji e x = + x udowodij ierówość log( + x) x dla x >. Zadaie 43. Udowodij dla x > ierówość: (wsazówa: poprzedie zadaie) Zadaie 44. Niech: log( + x) > a = b = = = x + x log log Udowodij, że a i b są zbieże do tej samej graicy. Zadaie 45. Oblicz graice: (a) + + + 2 log 7 ) oraz ierówości Beroulliego

(b) = 2 + (wsazówa: oszacuj miaowii z góry i z dołu) Zadaie 46. Udowodij dla 2 ierówość: + 2 oraz ierówość: + 2 + + 2 Zadaie 47. Przypuśćmy, że ciąg a spełia: a +2 a + λ a + a dla pewego λ (0, ). Udowodij, że ciąg te jest zbieży. Czy założeie λ (0, ) jest oiecze? Zadaie 48. Oblicz graicę: ( ) Zadaie 49. Niech a > będzie ciągiem zbieżym do zera i iech p N. Udowodij wprost z defiicji graicy (bez odwoływaia się do ciągłości fucji pierwiaste itp.), że: Zadaie 50. Uzasadij rówość: p + a = log! = log + a gdzie a = 0. (wsazówa: jedo z zadań domowych było o czymś podobym) Zadaie 5. Niech a > 0 będzie ciągiem zbieżym do zera i iech p 2. Oblicz graicę: p + a a (sposób : połóż x = p + a ) (sposób 2: p + a = e p log(+a) + zae już oszacowaia z dołu a e x i log( + x)) Zadaie 52. Oblicz: ( e ) = (wsazówa: oszacuj ( e ) + ε dla odpowiedio dobraego ε, pamiętajac, że e < ( + ) +) 8

Zadaie 53. Poaż, że: ( ( + 2 + 3 3 + + ) log (wsazówa: jedo z poprzedich zadań i ierówości Zadaie 54. Korzystając z tw. Stolza oblicz graice: (a) (b) x x+ + 2 + +, N + = 5 Szeregi, fucje trygoometrycze ( + )) = 2 2 log x x). W zadaiach dotyczących fucji trygoometryczych pomoce mogą być oszacowaia 2 π x si x x dla x (0, π 2 ) oraz cos x 2 x2. Zadaie 55. Rozstrzygij zbieżość poiższych szeregów: (a) = log (b) = 3/2 0 (c) = x dla x <, 0 (d) =! (e) = e! (f) = 2 e! (g) = e 2! (h) = ( e ) (i) = log ( ) + α dla α R (j) = ( ) Zadaie 56. Udowodij, że jeśli szeregi = a 2, = b 2 są zbieże, to szereg = a b jest zbieży bezwzględie. Zadaie 57. Udowodij, że jeśli szereg = a 2 jest zbieży, to szereg a = bezwzględie. Czy zachodzi impliacja przeciwa? jest zbieży Zadaie 58. Udowodij, że jeśli a > 0 i szereg = a jest rozbieży, to rówież szereg = a +a jest rozbieży. (wsazówa: rozpatrz przypadi a 0 i a 0) Zadaie 59. Niech a > 0. Udowodij, że ze zbieżości szeregu = a wyia zbieżość szeregu = a a +, ale ie a odwrót. Udowodij, że impliacja przeciwa zachodzi, jeśli ciąg a jest malejący. Zadaie 60. Czy w ryterium zagęszczeiowym a zbieżość szeregu = a założeie, że a jest malejący, jest oiecze? Zadaie 6. Zbadaj zbieżość szeregów: 9

(a) = si (c) = cos (b) ( ) 2 = si (d) ( ) = cos Zadaie 62. Niech a > 0. Poaż, że ze zbieżości szeregu = 2 a 4 wyia zbieżość = 2 a. (Wsazówa: rozbij zbiór idesów a te, dla tórych a > 0/3, i pozostałe, i szacuj obie sumy oddzielie) Zadaie 63. Udowodij dla dowolego ciągu liczb zespoloych z C taiego, że z 0: e z = z Zadaie 64. Rozstrzygij zbieżość i zbieżość bezwzględą poiższych szeregów: (a) ( ) a = + dla a R (b) = ( ) si a dla a R (c) = ( ) α dla α R (d) = ( ) ( ) Zadaie 65. Czy ze zbieżości szeregu = a wyia zbieżość = a 2 lub a odwrót? Zadaie 66. (Uogólieie ryterium d Alemberta) Niech a, b > 0. Przypuśćmy, że zachodzi a + a b + b. Wyaż, że jeśli szereg = b jest zbieży, to rówież szereg = a jest zbieży. Wyorzystaj to ryterium do podputów e) i f) zadaia 55. (wsazówa: poaż, że ciąg c = a b jest malejący, a więc ograiczoy) 6 Graice i ciągłość Zadaie 67. Oblicz graice fucji lub wyaż, że graica ie istieje: (a) x 0 x cos x x (b) b x 0 a x, gdzie a, b > 0 ( ) x (c) x + x (d) x 0+ x si x log cos x (e) x 0 tg x 2 (wsazówa: oblicz 2 log cos x x 0 ) x 2 (f) x (e x ) x (g) x 0 (log x) x Zadaie 68. Niech f : ( a, a)\{0} R. (a) Czy warui x 0 f(x) = g i x 0 f(si x) = g są rówoważe? (b) Czy warui x 0 f(x) = g i x 0 f( x ) = g są rówoważe? Zadaie 69. Zajdź wszystie puty ciągłości fucji f oreśloej jao f(x) = 0 dla x / Q oraz f(x) = si x dla x Q. 0

Zadaie 70. Niech f : [0, ] R będzie fucją ciągłą. Udowodij, że fucja g : [0, ] R zadaa przez: g(x) = sup{f(t) t [0, x]} jest ciągła. Zadaie 7. Poaż, że fucja mootoicza ma co ajwyżej przeliczalie wiele putów ieciągłości. Zadaie 72. Niech f : [0, ] R. Czy z tego, że f spełia własość Darboux, wyia, że f jest ciągła? Zadaie 73. (a) Poaż, że fucja ciągła f : [0, ] [0, ] zawsze ma put stały, tj. tai x [0, ], że f(x) = x. (b) Niech f, g : [a, b] R będa ciągłe oraz f(a) < g(a), f(b) > g(b). Poaż, że istieje tai x (a, b), że f(x) = g(x). Zadaie 74. Udowodij, że dla dowolego iezerowego wielomiau rówaie P (x) = e x ma zawsze co ajmiej jedo rozwiązaie. Zadaie 75. Podaj przyład ciągłej fucji f : R R, tóra przyjmuje ażdą swoją wartość doładie trzy razy. Czy istieje taa fucja, tóra przyjmuje ażdą swoją wartość doładie dwa razy? Zadaie 76. Poaż, że jeśli fucja f : R R jest ciągła i oresowa (tj. istieje taie T, że dla ażdego x mamy f(x) = f(x + T )), to f osiąga swoje resy. Zadaie 77. Zajdź wszystie puty ciągłości fucji zadaej wzorem: f(x) = x 2x 2 3x + Zadaie 78. Niech f, g : R R będą ciągłe. Poaż, że fucja h(x) = mi{f(x), g(x)} rówież jest ciągła. Zadaie 79. Udowodij, że wszystie fucje ciągłe f : R R spełiające rówaie: są postaci f(x) = ax. f(x + y) = f(x) + f(y) Zadaie 80. Niech f : R R będzie fucją ciągłą. Rozstrzygij, tóre z poiższych zdań są prawdziwe: (a) Dla dowolego zbioru otwartego A R zbiór f(a) jest otwarty. (b) Dla dowolego zbioru domiętego A R zbiór f(a) jest domięty.

(c) Dla dowolego zbioru ograiczoego A R zbiór f(a) jest ograiczoy. (d) Dla dowolego zbioru zwartego A R zbiór f(a) jest zwarty. Zadaie 8. Niech P będzie wielomiaem stopia d. Zbadaj istieie graicy: P ( x ) x P (x) Co się staie, gdy zamiast wielomiau P będzie fucja wyładicza exp? Zadaie 82. Poaż, że dla dowolego domiętego zbioru A R istieje fucja ciągła f : R R taa, że A = {x f(x) = 0}. Zadaie 83. Czy iloczy dwóch fucji jedostajie ciągłych musi być jedostajie ciągły? 2