Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją nazwam pochodnmi cząstkowmi drugiego rzędu funkcji x f Wszstkich pochodnch drugiego rzędu funkcji x f jest 4 mianowicie f dx x dx prz czm np zapis f d x d x jest skrótem zapisu x Obliczanie pochodnch cząstkowch funkcji dwóch zmiennch sprowadza się więc prz ustaleniu jednej z nich do obliczania pochodnch funkcji jednej zmiennej Przkład 1 Wznacz wszstkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji danej wzorem: 1 f x x x + 9 Rozwiązanie Wznaczam najpierw pochodne pierwszego rzędu: f x x x x x x + 9 Następnie wznaczam pochodne drugiego rzędu: x f x x x x x x x x +
Przkład Wznacz wszstkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji danej wzorem: x x f Rozwiązanie Mam i dalej x 1 1 x x ln x 1) x 1 + x 1 ln x x 1 1+ ln x) x 1 ln x + x 1 x x 1 ln x + 1) x ln x ln x x ln x Pochodna kierunkowa funkcji Gradientem funkcji róŝniczkowalnej f x w punkcie ) określon wzorem: f x ) x ) x ) x nazwam wektor Prz uŝciu pojęcia gradientu pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P x ) w kierunku wektora v obliczam ze wzoru: v v v x ) f x ) o Przkład Wznaczć pochodną kierunkową funkcji f x x x v P 1) w kierunku wektora [ 4] Rozwiązanie ZauwaŜm Ŝe x 1) w punkcie
x 1) 4 oraz v + 4 5 5 Zatem v 1) f 1) o [ 4] [ 4] v 4 6 16 1 o 5 5 5 5 5 5 v [ 4] o Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennch Warunek konieczn istnienia ekstremum JeŜeli funkcja f x ma w punkcie ) pochodne cząstkowe f x x ) i x ) to: f x x ) i x ) x ekstremum lokalne oraz istnieją w tm punkcie Punkt w którm spełnion jest warunek konieczn nazwam punktem stacjonarnm Warunek wstarczając istnienia ekstremum JeŜeli funkcja f ma w pewnm otoczeniu punktu stacjonarnego ) i drugiego rzędu ciągłe oraz: x ) f x x ) W x ) > x x ) x ) to w punkcie ) Jeśli x ) x istnieje ekstremum lokalne prz czm: > to w punkcie ) Jeśli x ) < to w punkcie ) x istnieje imum lokalne x istnieje maksimum lokalne x pochodne pierwszego JeŜeli x ) W to w punkcie stacjonarnm ) < x nie ma ekstremum JeŜeli W x ) to twierdzenie nie rozstrzga o istnieniu ekstremum
Z powŝszch twierdzeń wnika następując schemat wznaczania ekstremów funkcji x f : 1 Obliczam pochodne cząstkowe rzędu pierwszego f x x ) i x ) oraz przrównujem je do zera znajdując w ten sposób punkt stacjonarne Znajdujem pochodne cząstkowe rzędu drugiego i tworzm wznacznik x Obliczam kolejno znak wznacznika x W W w punktach stacjonarnch a w przpadku gd jest on większ od zera badam takŝe znak pochodnej x ) < lub x ) w tch punktach Przkład 4 Wznaczć ekstrema lokalne funkcji f x x + 6x 1 Rozwiązanie Wznaczam dziedzinę funkcji: D R R Szukam najpierw - zgodnie ze schematem podanm wŝej - punktów stacjonarnch czli obliczm pochodne cząstkowe pierwszego rzędu a następnie przrównujem je do zera f ) 6x x x 6 x 1 i rozwiązujem układ równań: 6x 6 1 -- x 1 4 x 1 x 1 -- Stąd otrzmujem czter punkt stacjonarne: P 1 l) P l-) P -l) P 4 -l-) w którch spełnion jest warunek konieczn istnienia ekstremum czli 4 punkt w którch moŝe bć ekstremum Następnie obliczam pochodne cząstkowe drugiego rzędu i tworzm wznacznik x x 1x f x x x x x 6 W : 1x W x 6 Badam teraz kolejno znak wznacznika w punktach P 1 l) P l-) P -l) P 4 -l-) i na podstawie warunku wstarczającego wnioskujem o istnieniu ekstremum lokalnego 4
Badam punkt P 1 1) 1 W P 1 ) 144 > zatem istnieje ekstremum 1 xx f 1) > zatem w punkcie P 1 l) istnieje imum lokalne Badam punkt P l-) 1 W P ) 144 < zatem w tm punkcie nie istnieje ekstremum 1 Badam punkt P -l) 1 W P ) 144 < zatem w tm punkcie nie istnieje ekstremum 1 Badam punkt P 4 -l-) 1 W P 4 ) 144 > zatem istnieje ekstremum 1 xx f 1 ) -1 < zatem w punkcie P 4 -l-) istnieje maksimum lokalne Odpowiedź: Przedstawiona w zadaniu funkcja ma dwa ekstrema lokalne: imum lokalne w punkcie P 1 1) i maksimum lokalne w punkcie P 4 -l-) prz czm: f f1) + 8 6 4 - fmax f-1-) - -8 +6 +4 5
Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Wznacz f f gdzie funkcja x f dana jest wzorem: a) f x x + x x+ b) f x xe + c) f x x + d) f x ln 9 x ) e) x + ln + 1) f Zadanie Wznacz pochodną kierunkową funkcji x wektora v v 1 v ) jeŝeli: a) f x [ x + x] v [ 1 ] 1 ) P b) f x [ x + x ] v [ 1] 1 ) P c) f x [ x + + 1] v [ ] ) P f w punkcie P w kierunku Zadanie Wznaczć ekstrema funkcji x a) f x x + b) f x x + c) x x + x + + f d) f x x + x + e) f x 4x + x + f) f x x 6x + f gdzie: Odpowiedzi Zadanie 1 a) x 6
f + f + f x + x x x b) e + x) e 1+ x) e 1+ x) + xe x + 1) c) x 4 1 d) x x + 18 9 x ) 4x 9 x ) x 4x 9 x ) 18 9 x ) e) x 1 + 1) Zadanie a) 4 5 b) c) 5 5 Zadanie a) brak ekstremum b) ) f c) 1 ) f d) ) f e) brak ekstremum f) f 11 ) 1 1) f max 7