= 0,05 m - wychylenie początkowe = 0 m/s - prędkość początkowa

ZADANIE 1 Skomplikowana aparatura pomiarowa, która ma polecieć w kosmos ;) ma masę 1000 kg i spoczywa na czterech jednakowych sprężynach ułożonych obok siebie (równolegle). Sztywność sprężyn sprawdzono w ziemskim laboratorium w Houston pod wpływem ciężaru własnego tego ciała sprężyny uginają się cm. Skomplikowaną aparaturę pomiarową wsadzono następnie do satelity, który został wyniesiony na orbitę za pomocą rakiety Ariane. Będąc już w stanie nieważkości (brak siły ciężkości) urządzenie zostało wychylone z położenia równowagi o 5cm. Wyznacz częstość, częstotliwość oraz okres drgań własnych oraz wyznacz i rozwiąż równanie ruchu (drgań swobodnych) tego układu, gdy jedynym czynnikiem wymuszającym drgania jest wychylenie z położenia równowagi. ks ks m ks ks Aby wyznaczyć częstość drgań własnych oraz równanie ruchu, trzeba określić sztywność układu. Zgodnie z prawem Hooke'a, sztywność k zdefiniowana jest jako współczynnik proporcjonalności między działającą siłą a spowodowanym przez nią wydłużeniem F =k x k = F x = const. [k ] = N m W analizie dynamicznej i tak posługujemy się zastępczą sztywnością całego układu, więc informacja o tym, że podparcie składa się z czterech sprężyn połączonych równolegle jest nam zbędna. Działająca siła: Przemieszczenie: Sztywność zastępcza: F = mg 10000 N x = 0,0 m k = F / x = 500000 N/ m Gdyby z innych względów sztywność pojedynczej sprężyny była nam potrzebna obliczylibyśmy ją w następujący sposób: Sztywność zastępcza: Sztywność pojedynczej sprężyny: k = 4 k s k s = k /4 = 15000 N/m Charakterystyki dynamiczne układu Częstość drgań własnych: Częstotliwość drgań własnych: Okres drgań własnych: ω = k /m,36 rad/s ν = ω 3,58 Hz π T = 1 ν 0,8 s Równanie ruchu i jego rozwiązanie w równaniu ruchu po prawej stronie mamy 0, ponieważ ciało jest już na orbicie i nie działa na niego siła grawitacji. Równanie: m ẍ + k x = 0 1000 ẍ+500000 x = 0 z warunkami początkowymi: x (t=0) = x 0 = 0,05 m - wychylenie początkowe ẋ(t=0) = v 0 = 0 m/s - prędkość początkowa Rozwiązanie ogólne: x = A sin(ωt)+b cos(ωt) 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 1

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych: x = A sin(ωt) + B cos(ωt) x(0) = B B = 0,05 ẋ = A ωcos(ωt) B ωsin (ωt) ẋ(0) = A A=0 Rozwiązanie szczególne: x = 0,05 sin(,36 t) 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL

ZADANIE Na sprężynie o sztywności 000 N/m zamocowany jest ciężarek o masie 1 kg, który może wykonywać drgania poziome. Do ciężarka przyłożono siłę harmonicznie zmienną o amplitudzie 100 N i częstotliwości 7 Hz. Jakie będzie maksymalne wychylenie ciężarka? Jak zmieni się częstość drgań własnych i maksymalne wychylenie ciężarka, jeśli uwzględnimy tłumienie? Przyjmij logarytmiczny dekrement tłumienia równy Δ = 0,1. Maksymalne wychylenie wyznaczymy korzystając z pojęcia współczynnika dynamicznego η. Współczynnik ten określa ile razy większe jest maksymalne wychylenie w czasie ustalonych drgań wymuszonych siłą harmoniczną od statycznego wychylenia pod obciążeniem maksymalną wartością siły wymuszającej: η = x max x st = ( λ ) +4 γ λ Wychylenie statyczne: x st = P 0 k = 100 000 = 0,05 m Częstość drgań własnych układu: = k m = 000 1 44,7 rad /s DRGANIA NIETŁUMIONE W przypadku drgań nietłumionych przyjmujemy γ = 0. We wzorze na współczynnik dynamiczny musimy podstawić częstość wymuszenia w rad/s, zatem: λ = π 7 Hz 43,98 rad/s Współczynnik dynamiczny: η = (ω 0 λ ) +4 γ ω 0 λ 44,7 (44,7 43,98 ) 30,46 Maksymalne wychylenie: x max = ηx st 30,46 0,05 = 1,53 m UWAGA: Częstość wymuszenia jest bardzo bliska częstości drgań własnych, zachodzi zatem zjawisko rezonansu stąd uzyskana wartość współczynnika dynamicznego jest bardzo duża. DRGANIA TŁUMIONE Na początku wyznaczymy bezwymiarowy współczynnik tłumienia (ułamek tłumienia krytycznego): Δ = π γ γ = Δ 1 γ Δ +4π 0,0159 Częstość drgań własnych tłumionych podkrytycznie (tj. dla których logarytmiczny dekrement tłumienia) wyraża się wzorem: γ < 1 - tylko dla takich drgań definiuje się ω 1 = 1 γ 44,7 1 0,0159 44,71 rad /s 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 3

Współczynnik dynamiczny: η = (ω 0 λ ) +4 γ ω 0 λ 44,7 (44,7 43,98 ) + 40,0159 44,7 43,98,06 Maksymalne wychylenie: x max = ηx st,06 0,05 = 1,103m 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 4

ZADANIE 3 Znajdująca się w Chicago Willis Tower (znana wcześniej jako Sears Tower) to wieżowiec o wysokości (do ostatniego stropu) 41,7m jest obecnie (015r.) 13 najwyższym budynkiem świata. Jego sumaryczna masa, to ok. 00000 ton. W największym uproszczeniu, budynek ten może zostać zamodelowany jako masa skupiona na sprężystym wsporniku. Obciążenie wiatrem redukuje się do wypadkowej przyłożonej do masy skupionej i opisane jest funkcją: gdzie: P 0 = 90000 kn λ = 0, Hz P (t) = P 0 sin (λ t) x(t) q(z,t) P(t) m Pomijając tłumienie oraz zakładając, że przy maksymalnych podmuchach wiatru budynek wychyla się od pionu o 15cm, wyznacz sztywność budynku oraz jego częstotliwość drgań własnych. Sztywność budynku znajdziemy dzieląc wartość przyłożonej siły przez odpowiadające jej przemieszczenie. Przyjmijmy więc, że dla maksymalnej działającej siły przemieszczenie przyjmuje graniczną wartość dopuszczalną. Wiemy, że dla układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja: x(t) = m(ω 0 λ ) sin(λt) P Największe wychylenie jest równe: x max = 0 m(ω 0 λ ) Pamiętając, że Stąd: P 0 = k /m, z porównania tej wielkości z wartością dopuszczalną, otrzymujemy: P 0 m(ω 0 λ ) = x = 0,15 m k = P 0 max +λ m x max k = P 0 + λ m = 90000000 + 1,57 00000000 = 916009800 N /m x max 0,15 = k m,14 rad/s ν 0 = 0,341 Hz π 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 5

ZADANIE 4 Człowiek o masie 80 kg zeskakuje z wysokości 45cm na trampolinę o długości 1,5 m i prostokątnym przekroju poprzecznym o wymiarach b x h = 50cm x 6cm. Trampolina wykonana jest z materiału o module Younga E=10 GPa. Pomijając ciężar trampoliny oraz tłumienie, wyznacz jakie będzie maksymalne ugięcie trampoliny oraz maksymalny moment w jej utwierdzeniu? UWAGA: Sztywność trampoliny wyraża się wzorem poprzecznego to I = bh3 1 k = 3 EI L 3, zaś moment bezwładności jej przekroju Masa drgająca: m = 80 kg Moment bezwładności przekroju: Sztywność trampoliny na zginanie: I = bh3 1 = 0,5 0,063 = 900 10 8 m 4 1 k = 3 EI L 3 Częstość drgań własnych: = k m = 80000 80 = 3 10 109 900 10 8 1,5 3 = 80000 N /m Musimy teraz ułożyć równanie ruchu i określić jego warunki początkowe: Równanie ruchu: m ẍ+k x = m g = 31,6 rad/s Początkowe wychylenie jest równe 0. Prędkość początkową, jaką lądujący człowiek nadaje całemu układowi wyznaczymy z zasady zachowania pędu. Najpierw jednak musimy wyznaczyć prędkość człowieka lądującego na trampolinie możemy to zrobić np. z zasady zachowania energii: Energia potencjalna w najwyższym punkcie skoku: E p = m c g h Energia kinetyczna w chwili lądowania: E k = m c v c Prędkość przy lądowaniu: E p = E k v = g h = 3 m/s Rozwiązanie równania ruchu: CORJ: x OG = A 1 sin( t) + A cos( t) CSRN: Z metody przewidywania: x SZ = A 3 A 3 = mg k = 0,01 m CORN: x = x OG + x SZ = A 1 sin ( t)+ A cos( t )+ A 3 Stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: Początkowe wychylenie: x(0) = A + A 3 = 0 A = A 3 = 0,01 m Początkowa prędkość: ẋ (0) = A 1 = v 0 A 1 = v 0 0,095 m 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 6

Rozwiązanie: Amplituda drgań: Maksymalne wychylenie: x(t) = 0,095 sin( 31,6t ) 0,01 cos(31,6 t)+0,01 A = A 1 + A = 0,096 m x max = A+ A 3 = 0,106 m Maksymalna siła w zamocowaniu: Maksymalny moment utwierdzenia: F max = k x max = 8480 N M max = F max L = 170 N 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 7

ZADANIE 5 Drewniany klocek w kształcie sześcianu o boku 0cm zanurzono w wodzie na głębokość 14cm a następnie puszczono. Klocek wykonany jest z drewna o gęstości 500 kg/m 3. Pomijając opór wody, wyznacz maksymalne i minimalne zanurzenie klocka oraz częstotliwość jego drgań. Jak zmienią się te wielkości, jeśli w momencie puszczenia klocka nadamy mu prędkość 0,3 m/s w dół? Przyjmij gęstość wody równą 1000 kg/m 3. Całkowita masa drgająca: m = ρ d a 3 = 500 0, 3 = 4 kg Sztywność układu określana jest przez wypór wody. Wiemy, że siła wyporu jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez zanurzone ciało. Jeśli zanurzymy nasz klocek na głębokość x, to wyprze on wodę o objętości V = a x, której ciężar jest równy F = g ρ H O a x. Widzimy zatem, że siła działająca na klocek jest proporcjonalna do zanurzenia. Współczynnik proporcjonalności jest sztywnością układu: Sztywność układu: Częstość drgań własnych: = k m = 400 4 Częstotliwość drgań własnych: ν 0 = 1,59 Hz π k = g ρ H O a = 10 1000 0, = 400 N/ m = 10 rad/s Aby wyznaczyć maksymalne i minimalne zanurzenie musimy rozwiązać równanie ruchu: Rozwiązanie równania ruchu: m ẍ + k x = m g CORJ: x OG = A 1 sin( t) + A cos( t) CSRN: Z metody przewidywania: x SZ = A 3 A 3 = mg k CORN: x = x OG + x SZ = A 1 sin ( t)+ A cos( t )+ A 3 = 0,1 m Stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: wychylenie początkowe: x(0) = A + A 3 = x 0 A = x 0 A 3 = 0,14 0,1=0,04 m prędkość początkowa: ẋ(0) = A 1 = v 0 A 1 = v 0 = 0 10 = 0 m Amplituda drgań: Minimalne zanurzenie: Maksymalne zanurzenie A = A 1 + A = 0,04 m x max = A 3 + A = 0,14 m x max = A 3 A = 0,06 m Zauważmy, że położeniem równowagi jest zanurzenie x = 0,1 m. Jest to zanurzenie wynikające z działania siły ciężkości i jest to po prostu sytuacja równowagi ciężaru klocka i siły wyporu: Ciężar klocka: mg = 40 N Siła wyporu: F = g x a ρ H O = 40 N 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 8

Jeśli w chwili początkowej nadamy klockowi dodatkowo prędkość początkową to częstość drgań własnych układu się nie zmieni zależy ona jedynie od jego parametrów (sztywność i masa) nie zaś od warunków początkowych. Minimalne i maksymalne zanurzenie będą zaś następujące: Stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: wychylenie początkowe: x(0) = A + A 3 = x 0 A = x 0 A 3 = 0,14 0,1=0,04 m prędkość początkowa: ẋ(0) = A 1 = v 0 A 1 = v 0 = 0,3 10 = 0,03 m Amplituda drgań: Minimalne zanurzenie: Maksymalne zanurzenie A = A 1 + A = 0,05 m x max = A 3 + A = 0,15 m x max = A 3 A = 0,05 m Jak widzimy, położenie równowagi się nie zmienia. Oczywiście, gdyby w toku naszej analizy okazało się, że minimalne zanurzenie jest ujemne lub maksymalne jest większe niż 0cm, wtedy uzyskane wyniki byłyby błędne, ponieważ w takich sytuacjach zmienia się układ sił działających na ciało. 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 9

ZADANIE 6 Ciężarek o masie 5 kg, przymocowany do sprężyny o sztywności 180 N/m może wykonywać drgania poziome. Jaka będzie amplituda drgań swobodnych, jeśli w chwili początkowej ciężarek wychylony jest o 10 cm od położenia równowagi i nadano mu prędkość 3 m/s w kierunku oddalającym go od położenia równowagi? Częstość drgań własnych: ω = k m = 180 5 Rozwiązanie równania ruchu dla drgań swobodnych: przemieszczenie: prędkość: = 6 rad /s x = A 1 sin (ωt) + A cos(ωt) ẋ = A 1 ωcos(ωt ) A ωsin (ωt) Stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: przemieszczenie początkowe: x(0) = A = x 0 = 0,1 m prędkość początkowa: ẋ(0) = A 1 ω = v 0 A 1 = v 0 ω = 3 6 = 0,5 m Amplituda drgań: A = A 1 + A 0,51 m 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 10

ZADANIE 7 Na podkonstrukcji stalowej o schemacie belki wolnopodpartej o rozpiętości 4m, w połowie jej rozpiętości umieszczono silnik o masie całkowitej 150 kg pracujący z prędkością 3000 obr./min. Masa wirująca na ramieniu 5cm stanowi 5% masy całkowitej silnika. Masa całkowita silnika: Masa wirująca: Prędkość obrotowa: Promień masy wirującej: Sztywność podkonstrukcji: m = 150 kg m w = 6,5kg n = 3000 obr./ min R = 5 cm 48 EI k = L 3 Sumaryczny moment bezwładności profili: I = 3880 cm 4 Moduł Younga stali: E = 10 GPa EI m Należy oszacować: ugięcie statyczne podkonstrukcji częstość drgań własnych układu L/ L/ amplitudę drgań ustalonych, wymuszonych pracą silnika. Ugięcie statyczne Sztywność podkonstrukcji: Obciążenie statyczne: Ugięcie statyczne: k = 48 00 109 3880 10 8 6111000 N /m 4 3 P st = mg 1500 N A st = P st k 0,0005 m Częstość drgań własnych Częstość drgań własnych: Częstotliwość drgań własnych: ω = k /m 69,91 rad/s ν = ω 11,13 Hz π Amplituda ustalonych drgań wymuszonych Częstość wymuszenia: λ = n π 60s = 314,16 rad s 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 11

Siła wymuszająca drgania, przenoszona na układ, to reakcja na osi wału utrzymującego wirującą masę. Reakcja ta jest oczywiście równa sile dośrodkowej, utrzymującej kołowy tor ruchu masy wirującej i jest równa: R mw P 0 = m wv R λ mw v R v Prędkość liniową v wyznaczamy z założenia, że masa wiruje ze stałą prędkością kątową v = λ R P 0 = m w R λ λ. Stąd: Siła wymuszająca: Amplituda siły wymuszającej: P (t) = P 0 sin(λt) P 0 = m w R λ = 6,5 0,05 (314,16) 30845 N Amplituda drgań wymuszonych A max = Amplituda drgań wymuszonych to ok. 5,4 mm. P 0 m(ω λ ) 30845 150 [(69,91) (314,16) ] = 0,0063 m UWAGA: Częstość drgań własnych jest mniejsza od częstości wymuszenia w trakcie rozruchu, gdy prędkość obrotowa masy wirującej przyrasta, układ pracuje przez krótki czas pod obciążeniem rezonansowym. Zjawisko to nazywamy rezonansem przejściowym wymaga ono osobnej analizy i zabezpieczenia układu przed uszkodzeniem. 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 1

ZADANIE 8 Maszyna o całkowitej masie 40 kg spoczywa na polimerowej podkładce o grubości h=10cm i wymiarach 1 x 1m. Moduł Younga materiału podkładki to 10 kpa. Silnik maszyny pracuje z prędkością 600 obr./min masa niewyważona to kg na mimośrodzie 10cm. Wyznacz amplitudę drgań ustalonych w dwóch przypadkach: przy pominięciu tłumienia oraz zakładając współczynnik tłumienia równy c = 800 Ns/m. Sztywność podkładki: k= EA/h. Jaka jest krytyczna wartość współczynnika tłumienia? Całkowita masa drgająca: Sztywność układu: m = 40 kg k= EA h = 10 103 1 0,1 Częstość drgań własnych: = k m = 100000 40 Częstość wymuszenia: Amplituda wymuszenia: = 100000 N/m = 50rad /s λ = n π 60 = 600 π 6,83 rad/s 60 P 0 = m w r λ = 0,1 6,83 790 N Wychylenie statyczne: x st = P 0 k = 790 100000 = 0,0079 m 1) BRAK TŁUMIENIA Współczynnik dynamiczny: η = (ω 0 λ ) +4 γ ω 0 λ = ω 0 λ = 1,77 Amplituda drgań ustalonych: x max = ηx st = 0,0136 m ) TŁUMIENIE Współczynnik tłumienia: Krytyczny współczynnik tłumienia: Ułamek tłumienia krytycznego: c = 800 Ns / m c kr = k m = 100000 40 = 4000 Ns/ m γ = c c kr = 800 4000 = 0, Współczynnik dynamiczny: η = Amplituda drgań ustalonych: ( λ ) +4 γ λ = 1,30 x max = ηx st = 0,0103 m 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 13

ZADANIE 9 Na środku pomieszczenia stoi maszyna pralnicza. Pomieszczenie pralni oparte jest na planie prostokąta o wymiarach L x B = 6,4 x 4 m. Podłogę w tym pomieszczeniu stanowi płyta żelbetowa grubości 0 cm, utwierdzona na krawędziach. Celem redukcji drgań przekazywanych na płytę, pod pralką ustawiono płytę ze styropianu XPS o wymiarach 1,5m x 1,5m. Pralka o łącznej masie (wraz z wsadem) 350 kg w czasie odwirowywania pracuje w stanie ustalonym z prędkością 1000 obr./min. Masa niewyważona to 30 kg wsadu wirująca na ramieniu 10cm. Jaka będzie częstość drgań własnych układu jeśli podkładka styropianowa ma cm grubości? Jaka będzie amplituda drgań w momencie wirowania? Jaka musiałaby być grubość płyty styropianowej aby pralka w momencie wirowania wpadła w rezonans? Sztywność giętna płyty żelbetowej: k 1 = E ct 3 0,17 B Moduł Younga betonu: E c = 3 GPa Współczynnik Poissona betonu: ν c = 0, Sztywność podłużna płyty styropianowej: Moduł Younga styropianu: k = E s A h s E c = 10 kpa Logarytmiczny dekrement tłumienia podkładki styropianowej: Δ = 0,1 Częstość wymuszenia: Amplituda wymuszenia: λ = n π 105 rad /s 60s P 0 = m w r λ = 33075 N Częstość drgań własnych Sztywność płyty: k 1 = E ct 3 Sztywność podkładki: 0,17 B = 3 109 0, 3 0,17 4 = 94117647 N/m k = E A s = 10 103 (1,5) = 115000 N/m h s 0,0 Ponieważ płyta styropianowa leży na płycie, jest to zatem szeregowe połączenie sprężyn. Sztywność zastępcza jest równa: Ułamek tłumienia krytycznego : γ = 1 k = 1 k 1 + 1 k k = k 1 k k 1 +k 111171 N/m Δ Δ +4π 0,0159 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 14

Częstość drgań własnych nietłumionych: Częstość drgań własnych tłumionych: = k 56,43 rad/s m ω 1 = 1 γ 56,36 rad/s Amplituda w czasie wirowania Ugięcie statyczne: x st = P 0 k = 33075 111171 = 0,03 m Współczynnik dynamiczny: η = (ω 0 λ ) +4 γ ω 0 λ 0,40 Amplituda drgań: x max = ηx st = 0,01 m Praca pralki w stanie rezonansu Współczynnik dynamiczny przyjmuje maksymalną wartość, gdy częstość drgań własnych jest bliska częstości wymuszenia dokładnie, gdy 1 γ = λ. Stąd: k m = m λ k = λ 1 γ 1 γ k 1 k = λ m λ m k k k 1 +k 1 γ = 1 (k 1 λ m) 1 γ Ostatecznie: h s = E A(k s 1 λ m) 1 γ = 10 103 (1,5) (94117647 105 350) 1 0,0159 0,0055m λ m k 1 105 350 94117647 Pralka będzie w czasie wirowania wpadnie w rezonans, jeśli podkładka będzie miała 5,5 mm grubości. 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 15

ZADANIE 10 18 maja 1940, ok. godz. 1:35 w Imperial Valley w południowej Kalifornii, tuż przy granicy USA z Meksykiem doszło do silnego trzęsienia ziemi. Jego przebieg został zarejestrowany poniżej znajduje się akcelerogram tego wymuszenia: 0,4 0,3 0, a [m/s] 0,1 0-0,1-0, -0,3 0 10 0 30 40 50 60 t [s] Analiza widmowa tego wymuszenia wskazuje, że największy udział w tym przebiegu ma harmoniczna o częstości 0,5 rad/s. A [m s] 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 Widmo amplitudowe wymuszenia 0 0 4 6 8 10 1 w [rad/s] Sprawdź jaka będzie amplituda drgań wymuszonych drganiami podłoża opisanymi funkcją u(t) = U sin(λ t) gdzie U = cm λ = 0,5 rad/s na garaż o wymiarach B x L = 3 x 5 m w formie ramy żelbetowej opartej na czterech słupkach stalowych o wysokości H = 4m. Wypełniające ściany ceramiczne nie pełnią funkcji nośnej a jedynie zapewniają logarytmiczny dekrement tłumienia na poziomie 0,3. Masę drgającą stanowi żelbetowy strop grubości 0cm. Sztywność giętną słupa określa wzór: 1 EI k s = H 3 Moment bezwładności przekroju słupka: I = 14 cm 4 Moduł Younga żelbetu: E = 00 GPa Gęstość żelbetu ρ=500 kg/m 3 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 16

Na początku wyznaczymy równanie ruchu. Drgania spowodowane są ruchem podłoża opisanym funkcją u(t). Na masę drgającą działa siła bezwładności zaś siły związane ze sztywnością i tłumieniem nie zależą od samych przemieszczeń układu, ale od jego przemieszczeń względem ruchomego podłoża... mx x(t).. c(x-u) k(x-u) u(t) Porównanie układu sił daje nam: m ẍ + c( ẋ u) + k( x u) = 0 Po przekształceniach: m ẍ + c ẋ + k x = c u+k u Ruch podłoża może być interpretowany jako siła wymuszająca: P (t) = U [c λcos(λt )+k sin(λt)] 181,1 sin (0,5 t) + 7,8 cos(0,5t ) Masa drgająca: m = B L t ρ = 3 5 0, 500 = 7500 kg Sztywność słupa: k s = 1 EI H 3 = 1 00 109 14 10 8 4 3 = 764 N/ m Sztywność układu: k = 4 k s = 109056 N/s Częstość drgań własnych nietłumionych: = 3,813 rad /s Logarytmiczny dekrement tłumienia: Δ = 0,3 Ułamek tłumienia krytycznego: γ = Δ Δ +4π = 0,0477 Współczynnik tłumienia: c = γ k m = 78 Ns /m Częstość drgań własnych tłumionych: ω 1 = 1 γ = 3,809 rad/s Drgania ustalone układu opisywać będzie całka szczególna równania niejednorodnego, którą znajdziemy metodą przewidywania. Ponieważ człon niejednorodny jest w postaci funkcji trygonometrycznej o okresie λ,stąd postulujemy, że rozwiązanie również będzie w tej postaci: przemieszczenie: prędkość: przyspieszenie: x = A 1 sin (λt ) + A cos(λt) ẋ = A 1 λcos(λ t) λ A sin(λt) ẍ = A 1 λ sin(λt) A λ cos(λt) Po podstawieniu do równania ruchu, otrzymujemy: sin(λt)(k A 1 c A λ m A 1 λ )+cos(λt )(k A +c A 1 λ m A λ ) = cu λcos(λt )+k U sin (λt ) 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 17

Lewa strona równać się będzie prawej, gdy współczynniki przy odpowiednich funkcjach będą sobie równe: { (k mλ ) A 1 c λ A = k U c λ A 1 +(k m λ ) A = cu λ U [k (k m c )λ ] A 1 = 0,003 m (k mλ ) +c λ c m λ 3 U A = (k m λ ) +c λ 4,45 10 6 m { Zarówno w przypadku wahań pozornej siły wymuszającej jak i drgań układu składowa cosinusowa jest pomijalnie mała w porównaniu ze składową sinusową. Możemy więc porównać amplitudę drgań układu z amplitudą wymuszenia (przemieszczenia) zakładając, że przesunięcie w fazie z uwagi na składową cosinusową jest bliskie zeru. Amplituda drgań układu: Amplituda drgań gruntu: A 1 = 0,3 mm U = 0,0 mm Siły wewnętrzne jakie pojawiają się w konstrukcji związane są przede wszystkim z jego sztywnością i są proporcjonalne do względnego przemieszczenia masy drgającej względem gruntu. Porównując amplitudy obydwu drgań i zakładając zgodność faz, maksymalną różnicę przemieszczeń można oszacować, jako równą: A max 0,3 mm Takie przemieszczenie skutkuje powstaniem momentu utwierdzenia w zamocowaniu każdego ze słupków: M = 6 EI L A max = 3,84 Nm Tymczasem maksymalny moment przenoszony na słupki jest równy: M max = W z f yd = 8,5 10 6 00 10 6 = 5700 Nm 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 18

ZADANIE 11 Punkt materialny o masie m może poruszać się po płaszczyźnie jak na rysunku. Znajduje się on w polu sił grawitacyjnych. Wyznacz trajektorię tego punktu wiedząc, że w chwili początkowej znajduje się on w punkcie (4,-,5) i ma zerową prędkość. 5 z x Równanie powierzchni w postaci odcinkowej: f : + y 1 + z 5 = 1 Równanie powierzchni w postaci kanonicznej: f : 5 x + 10 y + z 10 = 0 x 1 y Siła reakcji więzów, utrzymująca punkt na płaszczyźnie, jest zawsze skierowana prostopadle do tej płaszczyzny. Wektor sił jest zatem proporcjonalny do gradientu funkcji opisującej tę płaszczyznę: Wektor sił reakcji więzów: Wektor sił ciężkości Całkowita siła: Równania ruchu wyznaczamy z II zasady dynamiki Newtona: R = α grad f = α[ f x, f y, f z ] = [5α,10α,α] G = [0,0, mg] F = R+G { d m ẍ = 5α dt (m ṙ) = F m ÿ = 10 α m z = α mg Nieznaną wartość parametru α wyznaczymy dwukrotnie różniczkując równanie powierzchni względem czasu i wyrażając uzyskane przyspieszenia przez odpowiednie siły zależne od α : d f dt : 5 ẋ + 10 ẏ + ż = 0 d f mg : 5 ẍ + 10 ÿ + z = 0 5 α+100α+4 α mg = 0 α = d t 19 Uzyskaną zależność podstawiamy do równań ruchu, które następnie całkujemy: 10 g {ẍ = 19 ÿ = 0 g 19 z = 4 g g = 15 19 19 g 10 {ẋ = 19 g t+a 1 ẏ = 0 19 g t+b 1 ż = 15 19 gt +C 1 Stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: r(t=0) = [4,,5] A = 4, B =, C = 5 ṙ(t=0) = [0,0,0] A 1 = 0, B 1 = 0, C 1 = 0 5 {x = 19 g t +A 1 t+a y = 10 19 g t +B 1 t+b z = 15 58 g t +C 1 t+c 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 19

Ostatecznie: {x = 5 19 g t +4 y = 10 19 g t z = 15 58 g t +5 ZADANIE 1 Punkt o masie m znajduje się w polu sił grawitacyjnych. W chwili początkowej znajduje się na wysokości H 1 i porusza się w dół z prędkością v 1. Korzystając z zasady zachowania energii wyznacz prędkość punktu w chwili, w której punkt osiąga wysokość H < H 1. Energia całkowita w chwili początkowej: E = m g H 1 + m v 1 Energia całkowita w chwili końcowej: E = m g H + m v Z zasady zachowania energii: m g H 1 + m v 1 = m g H + m v g H 1 + v 1 = g H + v v = v 1 + g( H 1 H ) 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 0

ZADANIE 13 Punkt o masie m porusza się pod wpływem grawitacyjnego pola sił po krzywej danej równaniem: a) y=4 x 3 +5 b) y= x 3 3 x 36 x Znajdź położenia równowagi dla tego punktu oraz określ ich charakter. a) Współrzędna uogólniona: q = x Energia potencjalna: E P = mgy = mg(4 q 3 +5) Minimum energii potencjalnej: d E p d q = mg (1q ) = 0 q 0 = 0 Charakter punktu równowagi: d E p d q q 0 = mg(4q) q 0 = 0 równowaga obojętna b) Współrzędna uogólniona: q = x Energia potencjalna: E P = mgy = mg(q 3 3q 36 q) Minimum energii potencjalnej: d E p d q = 6 mg (q q 6) = 0 q 0 = q 0 = 3 Charakter punktów równowagi: d E p d q q= d E p d q q=3 = 6mg (q 1) q= = 30 mg < 0 równowaga chwiejna = 6mg (q 1) q =3 = 30 mg > 0 równowaga stabilna 016 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3.0 PL 1