Zestaw 1cR. Dane: t = 6 s czas spadania ciała, g = 10 m/s 2 przyspieszenie ziemskie. Szukane: H wysokość, z której rzucono ciało poziomo, Rozwiązanie

Transkrypt

1 Zestaw 1cR Zadanie 1 Sterowiec wisi nieruchomo na wysokości H nad punktem A położonym bezpośrednio pod nim na poziomej powierzchni lotniska. Ze sterowca wyrzucono poziomo ciało, nadając mu prędkość początkową V 0. Ciało upadło na powierzchnię lotniska po czasie t = 6,0 s w odległości 2H od punktu A. Wyznaczyć V 0, H oraz prędkość V k ciała tuż przed uderzeniem o płytę lotniska. Opory ruchu zaniedbać. Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s 2 oraz 2 1,4. t = 6 s czas spadania ciała, g = 10 m/s 2 przyspieszenie ziemskie. H wysokość, z której rzucono ciało poziomo, V 0 prędkość początkowa ciała, V k prędkość końcowa ciała. Rzut poziomy ciała w polu grawitacyjnym jest złożeniem ruchu jednostajnego w kierunku poziomym (ze stałą prędkością V 0 ) oraz ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (bez prędkości początkowej na ten kierunek) z przyspieszeniem równym g Szukana wysokość H = gt 2 /2 = 10 m/s 2 36 s 2 /2 = 180 m, Prędkość początkową wyznaczymy z zależności słusznej dla ruchu jednostajnego w kierunku poziomym V 0 t = 2H, z której otrzymujemy V 0 = 2H/t = m/(6 s) = 60 m/s, Wektor prędkości ciała V k = (V x, V y ), gdzie V x = V 0 i V y = g t. Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) jest więc (co do wartości) równa długości wektora V k, która wynosi V k = (gt) 2 + (V 0 ) 2 = 2 (60) 2 (m/s) 2 = 2 60 m/s 84 m/s.

2 Zadanie 2 M = 1500 kg masa samochodu, µ s = 0,6 współczynnik tarcia na suchej jezdni, µ s /2 = 0,3 współczynnik tarcia na mokrej jezdni, V 0 = 36 km/h = 10 m/s prędkość początkowa samochodu na suchej jezdni, 2V 0 = 72 km/h = 20 m/s prędkość początkowa samochodu na mokrej jezdni. T s siła tarcia, s s droga hamowania samochodu na suchej jezdni, n = s m /s s stosunek dróg hamowania samochodu na mokrej i suchej jezdni. Po uruchomieniu hamulców samochód porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym pod działaniem siły tarcia T s = µmg, T s = 0, kg 10 m/s 2 = 9000 N, Wynikające stąd opóźnienie samochodu jest równe a s = T s /m = µ s g, a s = 0,6 10 m/s 2 = 6 m/s 2. Prędkość hamującego samochodu maleje z czasem zgodnie z zależnością V s (t) = V 0 a s t, co pozwala wyznaczyć czas hamowania t s t s = V 0 /a s = (10 m/s)/(6 m/s 2 ) = (5/3) s = s. Droga przejechana przez samochód podczas hamowania s s = V 0 t s a s t 2 s/2 = (V 0 ) 2 /a s (V 0 ) 2 /(2a s ) = = (V 0 ) 2 /(2a s ) = (V 0 ) 2 /(2µ s g) = (25/3) m = m, gdzie a s jest opóźnieniem hamującego samochodu. Jeśli prędkość samochodu wzrośnie dwukrotnie, a współczynnik tarcia dwukrotnie zmaleje, to droga s m wyniesie s m = (2V 0 ) 2 /(2µ s g/2) = 8s s = 8 (25/3) m = (200/3) m = m. Edited by Foxit PDF Editor 2 Współczynnik tarcia opon samochodu o masie M = 1500 kg na suchej jezdni wynosi µ s = 0,6. Wyznaczyć siłę tarcia działającą na samochód podczas hamowania. Jaką drogę s s przebędzie samochód do chwili zatrzymania się, jeśli jego prędkość początkowa wynosiła V 0 = 36 km/h? Ile razy wzrośnie droga hamowania s m tego samochodu na mokrej nawierzchni, jeśli jego prędkość początkowa wzrośnie dwukrotnie, natomiast współczynnik tarcia dwukrotnie zmaleje? Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s 2. Zatem n = s m /s s = 8, co oznacza, że przy dwukrotnym wzroście prędkości i pogorszeniu warunków pogodowych pojazd przejedzie drogę ośmiokrotnie dłuższą. Warto o tym pamiętać, zwłaszcza w młodym wieku i w kontekście ponad sześciu tysięcy osób ginących każdego roku na polskich drogach.

3 3 Zadanie 3 (A) Jednorodna kula o promieniu R = 0,2 m pływa zanurzona do połowy swojej objętości w wodzie o gęstości ϱ w = 10 3 kg/m 3. Obliczyć gęstość materiału ϱ k kuli i wartość siły wyporu F w, z jaką woda działa na pływającą kulę. (B) Kula, o której mowa w części (A), pływa po powierzchni cieczy o gęstości ϱ c = 1,2ϱ w. Jaka część objętości kuli znajduje się nad powierzchnią cieczy? Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10m/s 2 oraz 4π/ 3 4,2. R = 0,2 m promień kuli, ϱ w = 10 3 kg/m 3 gęstość wody, g = 10 m/s 2 przyspieszenie ziemskie, ϱ c = 1,2ϱ c = 1, kg/m 3 gęstość cieczy, 4π/3 4,2. ϱ k szukana gęstość materiału kuli, F w siła wyporu, x = V nad /V stosunek objętości V nad ciała znajdującej się nad powierzchnią cieczy ciała o objętości V pływającego w cieczy o gęstości ϱ c. Siła wyporu F w, z jaką woda działa na kulę zanurzoną w niej do połowy swojej objętości V, zgodnie z prawem Archimedesa, jest równa F w = V gϱ w /2. Z warunku równowagi (kula pływa po powierzchni wody) F w = m k g = V gϱ k, gdzie m k masa kuli, otrzymujemy V gϱ k = V gϱ w /2. Zatem szukana gęstość ϱ k = ϱ w /2 = 500 kg/m 3. Siła wyporu F w jest równa ciężarowi kuli (jest ona w równowadze statycznej) F w = m k g = V gϱ k = (4/3)π (0,2) 3 m 3 10 m/s kg/m N. Po umieszczeniu kuli w cieczy o gęstości ϱ c warunek pływania ma postać V gϱ k = V gϱ w /2 = 1,2ϱ w gv pod, gdzie V pod jest objętością kuli znajdującą się pod powierzchnią cieczy. Zatem V pod /V = (1/2)/1,2 = 5/12 i szukany iloraz V nad /V = 1 (V pod /V ) = 1 5/12 = 7/12.

4 4 Zadanie 4 Parę wodną o masie m p = 5 kg i temperaturze t p = 100 C skroplono w wodzie o temperaturze t w = 60 C i masie m w = 100 kg. Temperatura końcowa wody po całkowitym skropleniu pary ustaliła się na t k = 90 C. Wyznaczyć ciepło skraplania L p pary wiedząc, że ciepło właściwe wody c w J/(kg C), a skraplanie pary zachodzi w temperaturze 100 C. m w = 100 kg masa wody, c w J/(kg C) ciepło właściwe wody, t w = 60 C temperatura początkowa wody, m p = 5 kg masa pary wodnej, t p = 100 C temperatura początkowa pary wodnej, t k = 90 C temperatura końcowa układu. L p ciepło skraplania pary wodnej. Podczas skraplania pary wodnej wydziela się ciepło Q p = m p L p i powstaje woda o masie m p i temperaturze 100 C. Woda ta ochładza się do temperatury t k = 90 C, czemu towarzyszy wydzielenie się ciepła w ilości Q ch = m p c w (t p t k ). Wydzielone ciepła Q p i Q ch są oddawane wodzie, która ogrzewając się pobiera ciepło w ilości Q w = m w c w (t k t w ). Równanie bilansu cieplnego ma postać Q w = Q p + Q ch, z którego otrzymujemy w jawnej postaci m w c w (t k t w ) = m p L p + m p c w (t p t k ). Po prostych przekształcenia wyprowadzamy ostateczną formułę na ciepło skraplania L p = c w [m w (t k t w ) m p (t p t k )] /m p = 2, J/kg.

5 5 Zadanie 5 W sześcioramiennym żyrandolu świeci się sześć żarówek, każda o mocy P = 60 W. Spadek napięcia U na oporze żyrandola jest równy 240 V. Wyznaczyć: (A) Natężenie prądu I płynącego przez każdą z żarówek. (B) Natężenie prądu I c płynącego w przewodniku doprowadzającym prąd do żyrandola. (C) Opór elektryczny żarówki. (D) Opór elektryczny żyrandola. (E) Czas t, w którym świecący żyrandol zużywa energię E = 10 kwh. Wskazówka: Żarówki są połączone równolegle. n = 6 liczba żarówek w żyrandolu, P = 60 W moc żarówki, U = 240 V spadek napięcia na całkowitym oporze żyrandola. Rodzaj połączenia żarówek w żyrandolu, I natężenie prądu płynącego przez każdą z żarówek, R opór elektryczny żarówki, I c natężenie prądu w przewodniku doprowadzającym prąd do żyrandola, R c zastepczy opór elektryczny żyrandola, t czas, w którym świecący żyrandol zużywa energię E = 10 kwh. Żarówki w żyrandolu są połączone równolegle. Najłatwiej to zrozumieć zauważając, że przepalenie się włókna jednej żarówki nie powoduje zgaśnięcia pozostałych (inaczej jest w zestawach oświetlających bożonarodzeniowe choinki). Prąd płynący w żarówce wyznaczamy z zależności I = P/U = 60 W/240 V = 0,25 A. Opór żarówki obliczamy z prawa Ohma R = U/I = 240 V/0,25 A = 960 Ω. Opór żyrandola wynosi R c = R/n = 960 Ω/6 = 160 Ω. Całkowity prąd I c płynący w przewodniku doprowadzającym prąd do żyrandola obliczamy korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa I c = ni = 1,5 A. Czas t, w którym świecący żyrandol zużywa energię E = 10 kwh spełnia związek Zatem np t = E. t = E/(nP ) = W 3600 s/(360 W) = 10 5 s.

6 6 Zadanie 6 Graniczna długość fali dla zjawisk a foto elektrycznego zachodzącego na powierzchni molibdenu wynosi λ gr = 290 nm (1 nm = 10 9 m). (A) Wyznaczyć pracę wyjścia W m elektronów z powierzchni molibdenu. (B) Obliczyć maksymalną energię kinetyczną E (max) k i maksymalną prędkość v max elektronów wybitych z powierzchni molibdenu przez światło o długości fali λ = 100 nm. Prędkość światła wynosi c = m/s, stała Plancka h J s, masa elektronu m e kg. W obliczeniach przyjąć, że 2,8 1,7. λ gr = 290 nm graniczna długość fali dla zjawiska fotoelektrycznego zachodzącego na powierzchni molibdenu 1 nm = 10 9 m, λ = 100 nm = 10 7 m długości fali światła padającego, c = m/s prędkość światła w próżni, h J s stała Plancka, m e kg masa elektronu. W m praca wyjścia elektronów z powierzchni molibdenu, E (max) k maksymalna energia kinetyczna elektronów wybitych z powierzchni molibdenu, v max maksymalna prędkość elektronów. Wyznaczymy najpierw pracę wyjścia W m = hν gr = hc/λ gr = [ J s m/s ] /( m) = = 7, J, gdzie uwzględniono związek λ gr ν gr = c. Maksymalna energia kinetyczna E (max) k elektronów wybitych z powierzchni molibdenu spełnia równanie zjawiska fotoelektrycznego E (max) k = E f W m, gdzie E f = hc/λ jest energią padającego fotonu. Zatem E (max) k = hc/λ W m = [ J s m/s ] /( m) 7, J 1, J. Maksymalna prędkość wybitych elektronów v max = /m e = 2E (max) k 2, m/s 1, m/s. [2 1, J] /(10 30 kg) =