Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza matematyczna w zadaniach, Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi ałka jednej zmiennej i zastosowania Konwencja: pierwsze litery alfabetu są najczęściej parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi. Twierdzenie Jeśli f() ma funkcję pierwotną F () to b a f() d = F (b) F (a) = F b a Twierdzenie Jeśli f, g, to b a f()g () d = fg b a b a f ()g() d Twierdzenie Jeśli f, ϕ, ϕ, f ϕ są ciągłe na (a, b), a = ϕ(α), b = ϕ(β), to b a f() d = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt. zad. Policz 2 4 ( 2 2 + 3) d + y y 2 dy π/4 π/6 sec 2 t dt 5. 6. e 2 e e 2 d ln sin(ln ) d d zad. Policz całki niewłaściwe, jeśli są zbieżne /2 d 2 d 2 d ln 2 ln d
5. arctg ( + 2 ) 3/2 6. π/2 ln(sin ) d tylko spradzić zbieżność 7. sin 2 zad. Policz 5. 6. 2π ln 2 a ln 2 3 2 cos d e d d tylko sprawdzić zbiezność 2 a 2 2 d e d (2 2 ) 2 d arc sin + d Twierdzenie Pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi ciągłymi y () y 2 () i prosymi = a, = b, (a < b) wynosi b a y 2() y () d. Twierdzenie Jeżeli = (t), y = y(t), t [, T ] opisuje krzywą zamkniętą dodatnie zorientowana, to pole organiczonej przez nia figury wynosi T y(t) (t) dt = T (t)y (t) dt = T 2 (t)y (t) (t)y(t) dt. Twierdzenie Pole powierzchni wynika ograniczonego krzywą r = r(ϕ) i prostymi ϕ = α, ϕ = β wynosi β α r2 (ϕ) dϕ. 2 zad. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y = 2, + y = 2 y = 2, y = 2, = 2 a 2 + y2 b 2 = y 2 = 2 (a 2 2 ) zad. 5. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi parametrycznymi = a(t sin t), y = a( cos t), y = = 2t t 2, y = 2t 2 t 3 zad. 6. Oblicz pole figur ograniczonych krzywymi podanymi we współrządnych biegunowych r 2 = a 2 cos 2ϕ 2
r = a( + cos ϕ) r = 3 + 2 cos ϕ zad. 7. Policzyć n e 2 d dla n N oraz sin d. o z sin d? zad. 8. prowadzając równanie do postaci biegunowej, oblicz pola figur ograniczoncyh krzywymi 3 + y 3 = 3ay ( 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 y Twierdzenie Długość łuku l krzywej wynosi: jeżeli zadana jako y=y() l = b a + y 2 () d, jeśli = (t), y = y(t) to l = T 2 (t) + y 2 (t) dt; jeśli jako r = r(ϕ) to l = β α r 2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ. zad. 9. Oblicz długość krzywych(zadanych różnie) y = 3/2, 4 y = ln(cos ), a < π/2 = a(2 cos t cos 2t), y = a(2 sin t sin 2t) = c2 a cos3 t, y = c2 b sin3 t(c 2 = a 2 b 2 ) 5. r = aϕ 6. 2/3 + y 2/3 = a 2/3 Twierdznie. Objętość V jest równa b a () d gdzie = (), a b jest polem przekroju bryły płszczyzna prostopadłą do O. Twierdzenie Objętośc bryły powstałej przez obrót y = y() wokó osi O wynosi V = π b a y2 () d; o okół osi Oy 2π b a y() d. zad.. Oblicz objętośc bryły ograniczonej powierzchniami 2 a 2 + y2 b 2 =, z = c a, z = z 2 = b(a ), 2 + y 2 = a zad. Oblicz objętość brył ograniczonych powierzchniami postałymi przez obrót y = sin, y = ( π) (O,Oy) y = e, y =, ( < )(O, Oy) 2 y + y 2 = a 2 (O) y = e sin, ( < )(O) 5. ( 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( 2 y 2 ) (O, potem Oy) (wsk:zrobić biegunowo) 6. r = a( + cos ϕ)( ϕ 2π) wokół osi biegunowej Twierdzenie. Pole powierzchni figury powstałej w wyniku obrotu krzywej wokół O wynosi P = 2π B A y ds gdzie ds - różniczka długości krzywej. 3
zad. Oblicz pola powierzchni figut powstałych przez obrót krzywych tg, ( π/4)(o) 2/3 + y 2/3 = a 2/3 (O) = a cos 3 t, y = a sin 3 t wokół y= r 2 = a 2 cos 2ϕ wokół osi biegunowej; osi ϕ = π/2; osi ϕ = π/4 zad. Figurą ograniczoną parabolą ay = a 2 2 i O obrócono wokół O. Oblicz stosunek powierzchni powstałej bryły i sfery o tej samej objętości. zad. Połóżmy dla > ( 2 f() = e dt) t2 g() = Obliczyć pochodne funkcji f oraz g. Pokazać, że zachodzi równość e 2 (+t 2 ) + t 2 dt. dla >. f() + g() = π 4 zad. 5. Za pomocą funkcji Gamma/Beta obliczyć: 5. π/2 2 ln d + 3 d m e n d sin 6 cos 4 d 3 ( ) d zad. 6. Znajdź parametryzację krzywej przechodzącej powstałej z przecięcia f(, y) = 2 + 4y + y 2 oraz z = + 3y 2 + y 2 = 9 oraz z = + y (na dwa sposoby) z = 2 + y 2 oraz 2 4y z =. zad. 7. parametryzuj krzywą y 2 = 2 ( + 3) zad. 8. Znaleźć równanie płaszczyzny w postaci ogólnej przechodzącej przez punkty: A = (, 4, ), B = (3, 4, 2) i = ( 6, 3, 2). zad. 9. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = ( 2, 2, 2) i prostopadłej do wektora n = [ 7, 2, 3] 4
zad. 2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = ( 3, 4, 3) i prostopadłej do płaszczyzn: π : 3 y z + 3 = i π 2 : 6 + 5y + 2z + =. zad. 2 Obliczyć odległość punktu P = ( 5, 2, ) od płaszczyzny π : 3 + 5y + 2z + = zad. 2 Znaleźć równanie płaszczyzny w postaci ogólnej zawierającą prostą i prostopadłą do płaszczyzny π : 3z 2 =. = y 4 4 = z 2 7 zad. 2 Znajdź równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt A = ( 7, 2, 6) i prostopadłej do płaszczyzny π : 3 + 5y + 4z + 7 = zad. 2 Znaleźć punkt symetryczny do punktu P = (5, 2, 6) względem płaszczyzny o równaniu 3 7y =. zad. 25. W przestrzeni R 3 dana jest płaszczyzna Π. Wiadomo, że punkt a = (, 2, ) należy do Π oraz że kierunkiem Π jest lin{u, v}, gdzie u = (,, ), v = (, 2, 2). Zapisać Π w postaci normalnej oraz obliczyć odległość punktu b = (3, 2, ) od tej płaszczyzny. zad. 26. Dana jest płaszczyzna P = {(2 s+t, 3+4s, +s+t) ; s, t R} oraz punkt a = (, 2, ). Obliczyć odległość punktu a od płaszczyzny P. Wyznaczyć płaszczyznę równoległą do P i zawierającą punkt a. Wyznaczyć prostą prostopadłą do P, zawierającą punkt a. 5
2 Rachunek różniczkowy wielu zmiennych zad. Pokazać, że dla funkcji f(, y) = ale granica w (, ) nie istnieje. 2 y 2 2 y 2 +( y) 2 obie granice lim lim y f(, y) = lim y lim f(, y) = zad. Pokazać, że dla f(, y) = ( + y) sin(/) sin(/y) granice iterowane lim lim f(, y) oraz y lim lim f(, y) nie istnieją, ale lim (,y) (,) f(, y) istnieje. y zad. zy istnieje granica lim (,y) (,) zad. Obliczyć granice podwójne + y lim,y + 2 y + y 2 sin(y) lim,y a lim (,y) (,) (2 + y 2 ) 2 y 2 lim ln( + ey ) 2 + y 2 2 + y 2 5. lim,y + 4 + y 4 2y 2 +y 2? 6. 2 e (2 y) wzdłuż dowolnego promienia = t cos α, y = t sin α, przy t. zad. 5. Pokazać, że f(, y) = i f(, ) = jest ciągłe w ponkcie (, ) wzdłuż każdego promienia = t cos α, y = t sin α, t przechodząccego przez (, ) ale nie jest tam ciągła. 2 y 4 +y 2 Definicja Różniczka: df = f d + f y dy + f z dz. zad. 6. Zbadać rózniczkowalność f(, y) = ep 2 +y 2 gdy 2 + y 2 >, f(, ) =. zad. 7. Obliczyć pochodna cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji u = cos 2 y u = tg 2 y u = y u = ( y )z 5. u = arc cos( /y) zad. 8. Obliczyć rózniczki pierwszego i drugiego rzędu funkcji u = ln 2 + y 2 u = z 2 +y 2 6
u = e y zad. 9. Niech Au = u + yu y. Wyznaczyć Au i A 2 u jeżeli u = zad.. Pokazać, że u = 2a ( b)2 ep( πt 4a 2 t ) spełnia równanie u t = a 2 u. 2 +y 2 i u = ln 2 + y 2. zad. Znaleźć gradient funkcji u = r gdzie r = 2 + y 2 + z 2 w punkcie (, y, z ). zad. Rozwiązać równanie stosując podstawienie ξ = + y, η = y. zad. Rozwiązać równanie stosując podstawienie ξ =, η = y. zad. Rozwiązać równanie stosując podstawienie ξ =, η = 2 + y 2. u = u y u + y u y = u y u u y = zad. 5. Rozwiązać równanie 2 u 2 t = a2 2 u 2 stosując podstawienie ξ = at, η = + at. gdzie a >. zad. 6. Wyznaczyć ekstrema funkcji wielu zmiennych z = 2 + (y ) 2 z = 4 + y 4 2 2y y 2 z = e 2 y (5 2 + y) z = e 2+3y (8 2 6y + 3y 2 ) 5. z = sin + cos y + cos( y),, y [, π/2) 6. z = 2y + ln 2 + y 2 + 3arcctg y 7. u = + y2 4 + z2 y + 2 z 8. u = sin + sin y + sin z sin( + y + z) zad. 7. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w zbiorze z = 2y 3,, y [, ], + y [, ] z = 2 + y 2 2 + 6y, 2 + y 2 25 z = 2 y + y 2, + y 7
z = + y + z, 2 + y 2 z zad. 8. Obliczyć y i y określone nastepującymi równaniami 2 + 2y y 2 = a 2 ln 2 + y 2 = arctg y y 2 sin y = zad. 9. Obliczyć y dla =, y = jeżeli ( 2 + y 2 ) 2 = 3 2 y y 3 zad. 2. Obliczyc pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji z = z(, y) + y + z = e z z 3 3yz = a 3 zad. 2 Obliczyć dz, d 2 z jeżeli yz = + y + z z = ln z y + zad. 2 Obliczyć u i u y, jeżeli u = +z z, gdzie z jest okreslona równaniem zez = e ye y. zad. 2 Wyznaczyc ekstrema funkcji uwikłanych 2 + y 2 + z 2 2 + 2y 4z = 2 + y 2 + z 2 z yz + 2 + 2y + 2z 2 = ( 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 ( 2 + y 2 + z 2 ) zad. 2 Wyznaczyć ekstrema warunkowe fukcji z = cos 2 + cos 2 y, y = π 4 u = 2y + 2z, 2 + y 2 + z 2 = u = y 2 z 3, + 2y + 3z = a, (, y, z, a > ) u = sin sin y sin z, + y + z = π/2 5. u = yz, 2 + y 2 + z 2 =, + y + z = zad. 25. Na sferze jednostkowej znaleźć punkt taki, żę suma kwadratów odległości od n danych punktów będzie najmniejsza. zad. 26. W stożek wpisać prospopadłościan o największej objętości zad. 27. Funkcję 2 przyblizyć na przedziale (, 3) funkcja liniową a+b tak, aby sup (,3) 2 (a+b) było najmniejsze. KONIE MATERIALU DO PIERWZEGO KOLOKWIUM 8
3 ałki wielu zmiennych zad. Obliczyć całki 2π 3 + y dy d 2 y 2 dy d r 2 sin 2 ϕ dr dϕ zad. Wyznaczyć średnią wartośc funkcji f(, y) = sin 2 sin 2 y w kwadracie [, π] [, π] zad. Obliczyć całkę y 2 d dy gdzie Ω - obszar ograniczony parabolą y = 2p i prostą = p/2, p >. Ω Ω Ω y d dy, Ω-koło o promieniu a i środku w zerze y 2 d dy, gdzie Ω - obszar ograniczony O i łukiem = a(t sin t), y = a( cos t),, t [, 2π] zad. Przechodząc do współrządnych biegunowych, obliczyć całkę 2 + y 2 d dy 2 +y 2 9 π 2 2 +y 2 4π 2 sin 2 + y 2 d dy zad. 5. Obliczyć całki ( + y) d dy, Ω - zbiór ograniczony krzywą 2 + y 2 = + y Ω Ω y d dy, Ω - zbiór ograniczony krzywymi y =, + y = 5/2, y 2 y 2 d dy, zad. 6. Obliczyć pole przekroju powierzchni + y + z = płaszczyzną z = 2( + y). zad. 7. Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami z = + + y, z =, + y =, =, y = z = 2 + y 2, y = 2, y =, z = z = cos cos y, z =, + y π/2, y π/2 z = y, + y + z =, z = 5. z = y, 2 = y, 2 = 2y, y 2 =, y 2 = 2, z = 9
6. 2 a + y2 2 b + z2 2 c 2 =, ( 2 a + y2 2 b ) 2 = 2 2 a + y2 2 b 2 zad. 8. Obliczyć pole części sfery 2 + y 2 + z 2 = a 2, zawartej wewnątrz walca 2 a 2 + y2 b 2, gdzie b a. zad. 9. Oblicz pole części powierzchni z = 2 + y 2 zawartej wewnatrz walca 2 + y 2 = 2. zad.. Obliczyć pole powierzchni z = 2 (2 y 2 ) wycięte płaszczyznami y = ±, y = ± zad. Obliczyć pole powierzchni 2 + y 2 = 2az zawartej wewnatrz walca ( 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 y zad. Obliczyć pole powierzchni ( a + y b )2 = 2z c =, odciątej płaszczyznami =, y =, z = zad. Obliczyć pole powierzchni ograniczonej dwoma południkami i dwoma równoleżniakmi. zad. Obliczyc pole powierzchni = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = bϕ, r (, a), ϕ (, 2π). zad. 5. Obliczyć całki y 2 z 3 gdzie A ograniczony powierzchniami z = y, y =, =, = A A A A yz gdzie A jest ograniczony powierzchniami 2 + y 2 + z 2 =, =, y =, z = ( 2 + y 2 ) d dy dz gdzie A jest ograniczony powierzchniami 2 + y 2 = 2, z = 2 2 a 2 y2 b 2 z2 2 d dy dz gdzie A jest wnetrzem elipsoidy c2 zad. 6. Obliczyć objętość brył, ograniczoncyh powierzchniami z = 2 + y 2, z = 2 2 + 2y 2, y =, y = 2 z = 6 2 y 2, z = 2 + y 2 2 + y 2 + z 2 = 2az, 2 + y 2 z 2 2 + y 2 + z 2 = a 2, 2 + y 2 + z 2 = b 2, 2, +y 2 = z 2, z 5. /a 2/3 + y/b 2/3 + z/c 2/3 = 6. z = 2 + y 2, z = 2( 2 + y 2 ), y = a 2, a = 2a 2, = 2y 7. ( 2 + y 2 + z 2 ) 3 = a6 z 2 2 +y 2 a + y2 2 b 2 + z2 c 2 =
4 Formy różniczkowe zad. Obliczyć całkie krzywoliniowe nieskierowane ( + y) ds, -brzeg trójkąta (, ), (, ), (, ) 5. 6. y 2 ds - cykloida = a(t sin t), y = a( cos t) t (, 2π) 4/3 + y 4/3 ds, - asteroida 2/3 + y 2/3 = a 2/3. e 2 +y 2 ds, - brzeg obszaru ograniczonego przez r =, ϕ =, ϕ = π/4, ds, - częśc spirali r = ae kϕ zawartej wewnątrz koła r a. ( 2 + y 2 + z 2 ) ds - częśc linii śrubowej = a cos t, y = a sin t, z = bt zad. Obliczyć całkie krzywoliniowe skierowane ( 2 2y) d + (y 2 2y) dy, - prabola y = 2, (, ) AB ( + y) d + ( y) dy, -elipsa 2 a + y2 2 b 2 = z obiegien przeciwnym do wskazówek zegara ( + y) d + ( y) dy 2 + y 2, - okrąg 2 + y 2 = a 2 (przcienie do wsk zeg) 7 sin y d + sin dy, AB - odcinek między (, π), (π, ) zad. prawdzić, że wyrażenia podcałkowe są zupełne i obliczyć całki (2,3) (,2) (2,3) (,) (,) (,) dy + y d ( + y) d + ( y) dy dy y d ( y) 2 wzdłuż drogi nieprzecinającej y = (2,3, 4) (,,) d + y 2 dy z 3 dz zad. tosując wzór Greena policzyć y 2 dy 2 y d, - okrąg 2 + y 2 = a 2 ep( ( 2 + y 2 ))(cos(2y) d + sin(2y) dy), - okrąg 2 + y 2 = a 2
zad. 5. Obliczyć całki powierzchniowe ( 2 + y 2 ) d, -powierzchnia bryły 2 + y 2 z d, - powierzchnia czworościanu + y + z,, y, z ( + + y) 2 yz d, - część z = 2 + y 2 odcięta płaszczyną z = z 2 d, - częśc powierzchni stożka = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, ( r a, ϕ 2π), α (, π/2) - stała. 5. (y + yz + z) d po części powierzchni z = 2 + y 2 wyciętej powierzchnią 2 + y 2 = 2a. zad. 6. Obliczyć całkę zdy dz + dz d + yd dy gdzie jest częścią płaszczyzny z = wyciętą przez walec 2 + y 2 2 = gdzie jest z = 2 y 2 dla z y dy dz + zd dy zad. 7. Obliczyć strumień pola F = [y, 2, z] przez półsferę z = 2 2 y 2 zorientowaną na zewnątrz. 2