9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI W rozdzal 5 wyprowadzlśmy równan równowag saycznj dla cała analzowango modą lmnów skończonych. Równan o można równż znrprować jako równan ruchu cała zapsan w pwnj chwl przy pomnęcu s bzwładnośc. Prawa srona go równana moż bowm zalżć od czasu moż być usalona dla j chwl. Przmszczna układu zalżć będą wówczas akż od czasu. Dla wększośc przypadków w kórych zachodz porzba uwzględnna obcążń zmnnych w czas konczn js uwzględnn sł bzwładnośc w równanach równowag. Orzymujmy wówczas problm dynamczny. Ponżj sformułujmy problm dynamk cał sprężysych dyskryzowanych lmnam skończonym. Wykorzysując zasadę d'alambra w równanu równowag saycznj uwzględna sę sły bzwładnośc jako część sł masowych. Jżl przyspszna lmnów będą aproksymowan w n sam sposób co przmszczna lmnów wówczas wkor sł zwnęrznych możmy zmodyfkować do posac b R B N [ f ρ N d & dv ] (9.) gdz w wkorz sł masowych f n uwzględnono sł bzwładnośc. Wkor d js wkorm przyspszń punków węzłowych lmnu zaś ρ js gęsoścą masy lmnu. Równan równowag dynamcznj zapszmy zam w posac M d& + Kd R (9.) gdz R d są wkoram zalżnym od czasu. Macrz mas M ma posać: M ρ N N dv V (9.3) Macrz M w posac (9.3) nos nazwę macrzy konsysnnj (z macrzą szywnośc K ponważ dla obu macrzy przyjęo sam funkcj kszału). Zauważmy ż ak sformułowana macrz mas lmnu js w ogólnośc macrzą płną. W oblcznach konsrukcj nżynrskch sosuj sę częso uproszczoną posać macrzy mas zw. macrz nkonsysnną kórą orzymuj sę z modlu dynamczngo w posac mas skoncnrowanych w węzłach lmnów. Isonym uproszcznm go podjśca js fak ż orzymywan nkonsysnn macrz mas mają srukurę dagonalną co znakomc upraszcza rozwązan równana ruchu. Zakładając ż p js sał można konsysnną macrz mas dla lmnu blkowgo oblczyć korzysając z zalżnośc (9.3): L 54 3L L ρl 4L 3L 3L m ρ N Ndx (9.3 ) 4 sym. 56 L 4L Macrz nkonsysnną orzymać można przyjmując ż masa blk skupona js po połow w jj węzłach. Orzymujmy wdy: omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI L L / m ρ (9.3 ) sym. L / Powróćmy jdnak do równana ruchu. W konsrukcjach rzczywsych w czas drgań nasępuj rozpraszan (dysypacja) nrg. Zjawsko o uwzględna sę w równanu ruchu przz wprowadzn sł zalżnych od prędkośc ruchu zw. sł łumna. Uwzględnając sły ponown w wkorz sł masowych orzymujmy b R B N [ f ρ N d & κ N d & ] dv (9.4) gdz d oznacza wkor prędkośc węzłów lmnu a współczynnk K łumn. Równan równowag dynamcznj uwzględnając fk łumna zapszmy raz w posac: M d & + Cd & + Kd R (9.5) gdz C js macrzą łumna układu. Macrz ą można zapsać formaln w posac: C κ N V N dv. (9.6) Macrz łumna przyjmowana js zazwyczaj w posac zw. łumna proporcjonalngo: C α M + α (9.7) K gdz współczynnk α α są wyznaczan na podsaw udzału poszczgólnych posac drgań własnych. Zauważmy analogę równana (9.5) do znango nam z kursu mchank chncznj równana ruchu o jdnym sopnu swobody (mx ' + x + kx r). Jżl równan (9.5) ma opsywać okrślony problm brzgowo-począkowy o nalży j oczywśc rozparywać z warunkam począkowym: d ( ) d (9.8) Z mamayczngo punku wdzna macrzow równan (9.5) rprznuj układ n sprzężonych z sobą lnowych równań różnczkowych zwyczajnych rzędu druggo z sałym współczynnkam. Rozwązan go układu (zn. znalzn n funkcj-składowych wkora uogólnonych przmszczń układu) orzymać można sosując sandardow podjśc rozwązywana równań różnczkowych z sałym współczynnkam. Rozwązan o można sosunkowo ławo orzymać gdy lczba równań js mała zn. gdy mamy do czynna z nwlką lczbą sopn swobody. W zagadnnach nżynrskch wymary macrzy wysępujących w równanu (9.5) są jdnak duż (częso wększ od ). Dlago ż clow js sosowan akch mod rozwązana kór wykorzysywałyby pwn cchy ych macrzy (ch symrę pasmowość) pozwalając jdnoczśn na uproszczn rozwązana. Mody rozwązywana układu równań różnczkowych o posac (9.5) można podzlć na dw zasadncz grupy: mody całkowana bzpośrdngo modę suprpozycj modalnj. Jak pokażmy nżj ob mody są sob blsk a wybór jdnj z nch zalżć będz od ch numrycznj fkywnośc. omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 3 9. Zagadnna własn w dynamc konsrukcj Rozparzmy obcn problm zw. drgań własnych układu bz łumna opsany nasępującym układm równań: Załóżmy rozwązan układu równań (9.9) w posac: M d & + Kd (9.9) d( ) φ sn( ) (9.) gdz macrz Ф składa sę z n wkorów zwanych posacam drgań własnych a ω js częsoścą drgań własnych (w jdnoskach: rad/s). Podsawając powyższ do równana (9.9) orzymujmy: lub ( K ω M ) φ (9.) Kφ ω Mφ (9.) Równan (9.) lub (9.) dfnuj zw. uogólnony problm własny. Równan o ma n rozwązań rzczywsych w posac par: warość własna-wkor własny: (ω Ф ) (ω Ф )...(ω n Ф n ) gdz przz Ф oznaczono-y wkor własny j. -ą kolumnę macrzy Ф Omówmy raz podsawow własnośc warośc wkorów własnych wysępujących w równanu (9.) kór okazać sę mogą przydan przy ch poszukwanu.. Każda z warośc własnych każdy wkor własny spłna równan (9.) lub (9.): Kφ ω Mφ. (9.3) Równan o js spłnon równż przz wkor αф (α js sałą różną od zra) ponważ K( αφ ) ω M( αφ ) (9.4) Mówmy zam ż wkor własny js zdfnowany ylko przz jgo krunk w n-wymarowj przsrzn. Wymaga sę ponado by był spłnony warunk φ φ (9.5) M Warunk n ograncza długość wkora Ф. Zalżność (9.5) oznacza spłnn zw. warunku M- oronormalnośc wkorów własnych bowm zachodz φ Mφ δ (9.6) j j gdz δ j js symbolm Kronckra (przyjmuj warość gdy j równą zru w pozosałych przypadkach). Warunk (9.6) wynka bzpośrdno z orogonalnośc wkorów własnych sandardowgo problmu własngo. Zauważmy ż przmnażając lwosronn równan (9.3) przz wkor Ф j. orzymujmy φ Kφ ω ε Mφ ω δ (9.7) j j j Równan o obrazuj koljną własność wkorów własnych problmu (9.) a manowc ch K- orogonalność. omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 4. Ważną cchą warośc własnych problmu (9.) js o ż są on prwaskam równana charakrysyczngo p( ω ) d( K ω M ) (9.8) bowm jdnorodn równan (9.) ma nzrow rozwązan ylko wdy gdy d( K ω M ) (9.9) Jżl macrz (K ω M) rozłożymy na dolny górny rójką wdług rozkładu Cholskgo o d( K co prowadz do warunku.. zn. n ω M ) d( L L ) l (9.) n p( ω ) l (9.) 3. Warośc własn są rzczyws. Załóżmy ż Ф ω. są waroścam zspolonym a Ф oraz ω - są z nm sprzężon. Możmy zapsać Kφ ω Mφ (9.) przmnażając lwosronn przz Ф - mamy: φ Kε ω φ Mφ (9.3) Podsawając do (9.) rozwązan sprężon oblczając ranspozycję go równana orzymujmy: Nasępn przmnażając lwosronn przz Ф mamy: φ φ K ω φ M (9.4) Kφ ω φ Mφ (9.5) Ponważ lw srony równań (9.3) (9.5) są sob równ węc orzymujmy czyl: ( ω ω ) φ Mφ (9.6) ω ω (9.7) wobc czgo warośc własn ω - ω muszą być rzczyws. omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 5 9.. ransformacja uogólnongo problmu własngo do posac sandardowj Wększość problmów mchank kórych rozwązan sprowadza sę do rozwązana problmu własngo prowadz do sandardowgo problmu własngo lub moż być do ngo zrdukowana. W ym mjscu chcmy pokazać jak n procs można przprowadzć w przypadku równań dynamk. Zaznaczmy ż wymagan o n js ylko formaln al prowadz do sosowana znaczn fkywnjszych algorymów rozwązywana problmu nż ma o mjsc w przypadku rozwązywana uogólnongo problmu własngo. Innym słowy problm sandardowy rozwązuj sę ławj szybcj. Okazuj sę ponado ż własnośc warośc własnych wkorów własnych problmu sandardowgo zachowują swą ważność w problm uogólnonym co ma son znaczn z punku wdzna mchancznj nrpracj wynków. Borąc pod uwagę fkywność sosowanych chnk oblcznowych będzmy saral sę zachować ważną cchę macrzy wysępujących w równanu równowag ypu (9.) a manowc ch symrę. Dążyć będzmy do go by powsały problm własny był symryczny. Załóżmy ż macrz mas M js dodano okrślona. Nspłnn go założna wymaga przprowadzna saycznj kondnsacj ych sopn swobody kór odpowadają zrowym waroścom własnym (porównaj rozdz. 5). Równan K Ф ω MФ możmy przransformować do nnj posac przz dkompozycję macrzy M : M LL (9.8) gdz macrz L js dolnym rójkąm orzymanym w procs dkompozycj Cholskgo macrzy M. Podsawając powyższ do równana (9.) orzymujmy: Kφ ω LL φ (9.9) Przmnażając ob srony przz L - orzymujmy gdz dfnując wkor ~ φ L φ (9.3) ~ ~ K ~ φ ω φ (9.3) K ~ L KL (9.3) Zauważmy ż macrz K js macrzą symryczną. Jżl macrz M js źl uwarunkowana (co prowadzć moż do ndokładnj jj dkompozycj) wówczas możmy rozłożyć macrz szywnośc K na macrz rójkąn. Przpsując równan (9.) w posac orzymamy podobn jak wyżj Mφ Kφ (9.33) ω gdz Mφ φ ω (9.34) M ~ L ML (9.35) K L L (9.36) omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 6 ~ φ L φ (9.37) Zwróćmy uwagę na pwn cchy przdsawonych wyżj ransformacj. W przypadku gdy macrz M js dagonalna o macrz K ma ę samą szrokość półpasma co macrz K. Gdy macrz mas M n js dagonalna (czyl js konsysnna) macrz K js w ogólnośc macrzą płną co prowadz do dużgo nakładu pracy przy wykonywanu ransformacj. W drugm przypadku ławo zauważyć ż ponważ macrz K js zawsz pasmowa macrz M js zawsz macrzą płną ransformacja js nfkywna (wymagana js duża lczba opracj). Podkrślmy jszcz ż fkywność algorymu rozwązywana równana (9.) js bardzo sona w wszyskch nmal zagadnnach dynamk konsrukcj w każdj bowm modz całkowana równana (9.5) konczna js znajomość częsośc kołowych posac drgań analzowango układu. 9.3 Mody całkowana równań ruchu Powróćmy ponown do równana macrzowgo (9.5). Równan o jak już powdzlśmy js równanm różnczkowym druggo rzędu z sałym współczynnkam. Do rozwązana go równana można sosować sandardow podjśc jdnak z względu na pwn własnośc macrzy M C K w analz ruchu cała dyskryzowango lmnam skończonym sosuj sę zasadnczo dw grupy mod: mody całkowana bzpośrdngo modę suprpozycj modalnj. Ponżj omówmy ob grupy. 9.3. Mody całkowana bzpośrdngo W modach bzpośrdngo całkowana równan ruchu w posac (9.5) js całkowan krok po kroku. rmn "całkowan bzpośrdn" oznacza ż równan o n js przkszałcan do nnj posac (w odróżnnu od mody suprpozycj modalnj). Isoą mody całkowana bzpośrdngo js założn ż równan ruchu (9.5) ma być spłnon w wybranych chwlach a n w całym przdzal całkowana oraz założn o charakrz zmnnośc przmszczń prędkośc przyspszń pomędzy ym chwlam. Załóżmy zam ż w chwl są znan przmszczna d prędkośc d przyspszna d układu opsango równanm (9.5). Rozparywany przdzał czasowy () dzlmy na n równych przdzałów w kórych poszukujmy ych wlkośc czyl dla chwl... +.... Zbudujmy algorym kóry pozwol oblczyć poszukwan wlkośc w nasępnych krokach wykorzysując rozwązan z poprzdngo kroku. W n sposób orzymamy rozwązana w wszyskch rozparywanych chwlach z przdzału (). Opsan wyżj podjśc zlusrujmy jdną z mod całkowana bzpośrdngo a manowc zw. modą różnc cnralnych. Moda a nalży do jdnj z najbardzj fkywnych mod j grupy. W modz j zakłada sę zmnność w czas wkora przyspszń w posac a wkor prędkośc w posac d & ( d d d ) + + (9.38) d & ( d + d+ ) (9.39) Rozwązan równana (9.5) dla chwl + orzymamy rozparując san równowag dynamcznj w chwl : omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 7 M d & + Cd & + Kd R (9.4) Podsawając wyrażna na opraory różncow (9.38) (9.39) do (9.4) orzymujmy: lub ( d d d )M ( d d )C Kd + + + + + + R ( M C )d R + ( ( M K )d ( ( M C ) d (9.4) + (9.4) Z równana go oblczamy poszukwany san przmszczń w chwl + czyl d +. Zauważmy ż rozwązan d + js orzymywan na podsaw rozwązana w chwl. Modę ę zalcza sę zam do mod całkowana jawngo (xplc). Zauważmy równż ż w procs rozwązywana równana (9.4) n wymaga sę odwracana macrzy szywnośc K co js dużą zalą. Oblczn wkora d wymaga uprzdngo oblczna wkora przmszczń w chwlach poprzdnch -. Zachodz węc konczność opracowana pwnj procdury sarowj. Ponważ wkory d d d są znan dla chwl dlago korzysając z (9.38) (9.39) możmy wyznaczyć d w fkcyjnj chwl poprzdzającj począk ruchu - : d d d + & d (9.43) Ponżj podano dwusopnowy algorym całkowana równana ruchu modą różnc cnralnych. Oblczna wsępn. Oblczn macrzy K M C. Oblczn d d d 3. Okrśln oblczn sałych: a a a a a 3 a 4. Oblczn d - d - d +.5 d 5. Oblczn M ~ a M+a C 6. rangularyzacja macrzy M ~ : M ~ L D L Oblczna dla każdgo kroku. Oblczn wkora obcążna fkywngo R Rˆ R ( K a M )d ( a M a C ) d 3. Rozwązan równana (9.4) dla chwl + L D L d + R 3. Oblczn wkorów prędkośc przyspszń (o l js o wymagan) d&& a( d d + d+ ) d& a ( d + d ) + omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 8 W przypadku gdy macrz łumna js równa zru równan (9.4) upraszcza sę do posac: gdz Rˆ ( M )d Rˆ (9.44) R ( K M )d ( M )d (9.45) Gdy w równanu (9.44) macrz mas będz dagonalna wdy rozwązan orzymuj sę wykonując ylko przypsan wzorm (9 45) mnożna: ( ) d ( ) + Rˆ ( ) (9.46) m gdz d + () oraz R () oznaczają - składow wkorów d + () R () a m. -ą składową dagonalnj macrzy mas (założylśmy dodakowo ż m >). Zauważmy równż ż ponważ n rozwązujmy w ym przypadku układu równań lnowych n js ż wymagana znajomość globalnych macrzy szywnośc mas. Macrz mogą być okrślon ylko na pozom lmnów a ch udzał uwzględnany odpowdno przy budow wkora R. Z posac równana (9.46) powyższj uwag wynka ż moda różnc cnralnych w ym przypadku js bardzo fkywna. Wdać bowm ż do rozwązana (9.46) n js wymagana duża pamęć kompura (n mamy globalnych macrzy) a rozwązan uzyskuj sę wykonując ylko mnożna macrzy (a n ch rangularyzację). Podsawow korzyśc j mody osąga sę w przypadku gdy macrz mas js dagonalna łumn układu można pomnąć. Chocaż jak wspomnlśmy wczśnj dagonalna posać macrzy mas js ylko pwnym jj przyblżnm o jdnak na skuk bardzo prosj procdury całkowana równań ruchu w j posac opłaca sę dokonywać naw bardzo gęsgo podzału analzowango układu na lmny skończon by zrkompnsować przyblżoną jj posać. Ważną cchą mody różnc cnralnych js jj zalżność od kroku całkowana. Okazuj sę bowm ż krok n n moż być dowoln duży mus spłnać zalżność n kr (9.47) π gdz js najmnjszym okrsm drgań własnych układu. Czylnk ławo zauważy sln ogranczn j mody wynkając z pojawna sę warunku (9.47). Okazuj sę ż w clu okrślna najmnjszgo okrsu drgań nalży oblczyć najwększą częsość drgań własnych czyl rozwązać płny problm (9.). Mody całkowana kór wymagają spłnna warunku ypu (9.47) nazywają sę modam warunkowo sablnym. Oznacza o ż nspłnn go warunku moż powodować narasan (akumulację) błędów całkowana zaokrąglń w rakc rozwązywana równań ruchu. Wśród nnych mod całkowana bzpośrdngo równań ruchu kórych n będzmy uaj omawać nalży wymnć modę Houbola Wlsona Nwmarka. Mody nalżą do mod bzwarunkowo sablnych (pod warunkm przyjęca pwnych warośc współczynnków kór charakryzują każdą z nch). 9.3.. Moda suprpozycj modalnj Efkywność mod całkowana bzpośrdngo równań ruchu malj gdy lczba kroków js duża. Oznacza o ż clow js sosowan ych mod w przypadku analzy ruchu w sosunkowo krókm czas jgo rwana. Gdy czas n js dług o clow js przkszałcn równana (9.5) w nną posać dla kórj analza ruchu będz fkywnjsza. Podsumowując powyższ gdy lczba omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 9 sopn swobody układu js duża lczba kroków js równż duża o lpj js przkszałcć układ równań równowag do posac wymagającj mnjszgo nakładu pracy. Najczęścj przkszałcna akgo można dokonać wykorzysując rozwązana problmu drgań własnych M d& + Kd (9.48) Przypomnjmy ż rozwązanm równana macrzowgo (9.48) js n par (ω czyl macrz o posac: Ф.) Ω ω ω K ω n (9.49) Porównując wzory (9.5) (9.7) wdzmy ż spłnon są nasępując zalżnośc: φ Kφ Ω φ Mφ (9.5) Dokonajmy raz ransformacj równana (9.5) sosując podsawn d( Orzymamy wówczas równan ruchu w posac: a po lwosronnym przmnożnu przz Ф orzymamy: Borąc pod uwagę (9.5). mamy osaczn: ) φx( ) (9.5) M φ X& + CφX& + KφX R (9.5 ) φ MφX& + φ CφX& + φ KφX φ R (9.5 ) X& + φ CφX& + Ω X φ R (9.53) Równan (9.5) nalży jszcz uzupłnć warunkam począkowym: Md & φ Md&. (9.54) X φ X Z równana (9.53) wynka ż gdy pomnmy macrz łumna o orzymamy układ równań rozprzężony w posac j. n równań skalarnych X& + Ω X φ R (9.55) & x ( ) + ω x ( ) r ( ) (9.56) omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI gdz r ( ) R( ) (9.57) φ Warunk począkow ruchu orzymamy z (9.54): φ Md x & φ Md& (9.58) x Rozwązan równań (9.56) możmy uzyskać w sposób przdsawony w poprzdnm rozdzal j. wykorzysując jdną z mod całkowana bzpośrdngo lub wykorzysując zw. całkę Duhamla: x( ) r ( τ )snω( τ )dτ + α snω + β cosω ω (9.59) gdz sał α. β. wyznacza sę z warunków począkowych (9.58). Równan (9.59) rozwązuj sę zazwyczaj numryczn. Aby orzymać rozwązan naszgo problmu wyjścowgo nalży po rozwązanu n równań (9.56) powrócć do ransformacj (9.5). W n sposób orzymamy osaczn rozwązan w posac: n d( ) φ x( ) (9.6) Podsumowując w modz suprpozycj modalnj w przypadku braku sł łumna nalży najprw rozwązać uogólnony problm własny nasępn rozprzężony układ równań równowag a na konc dokonać suprpozycj każdgo z orzymanych rozwązań wdług zalżnośc (9.6). Dodajmy na konc ż w wlu przypadkach prakycznych możmy uwzględnć w (9.6) ylko klka prwszych wkorów <>. (posac drgań) co dalj znakomc upraszcza powyższy algorym. W przypadku analzy ruchu opsango płnym równanm (9.53) zn. z uwzględnnm łumna moda suprpozycj modalnj moż być nadal fkywna gdy założymy łumn proporcjonaln: φ Cφ ω ζ δ (9.6) j gdz ς. js współczynnkm łumna a δ. symbolm Kronckra. W n sposób założylśmy ż wkor własny (posać drgań) js równż C-orogonalny osaczn orzymujmy równan ruchu w posac: j & x ( ) + ω ζ δ + ω x ( ) r ( ) (9.6) j kór rozwązuj sę w podobny sposób jak dla przypadku bz łumna z ym ylko ż całka Duhamla ma raz nco nną posać uwzględnającą fk łumna ζ ω ( τ ) ζ ω x( ) r ( τ ) snω( τ )dτ + ( α snω + β cosω ) ω (9.63) gdz ω (9.64) ω ζ a sał α. β.. wyznacza sę z warunków począkowych (9.58). omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar

9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI Zadana. Wyprowadzć wzór na współczynnk macrzy mas M (9.3) wykorzysując sformułowan nrgyczn (nrgę knyczną).. Wyprowadzć wzór na macrz mas M dla pręa kraowncy płaskj: - macrz konsysnną - macrz nkonsysnną. 3. Rozwązać zagadnn drgań swobodnych układu o posac d&& 6 d + d && 4 d warunkach począkowych d d w przdzal czasowym [ ] gdz js najmnjszym okrsm drgań własnych (przyjąć /). Wykorzysać modę różnc cnralnych modę suprpozycj modalnj. Porównać wynk z rozwązanm dokładnym: / 3.5 / 3 5 / 3( cos ) d / 3 / 3 / 3 (+ cos 5 ) 4. Rozwązać za pomocą całk Duhamla równan ruchu układu o jdnym sopnu swobody w posac: & x&+ω x R sn p oraz x x& 5. Oblczyć macrz ransformacj Ф dla problmu drgań przdsawongo za pomocą macrzy w zadanu. Nasępn napsać rozprzężony układ równań (9.56). omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar