Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium"

Jarosław Makowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboraorum Ćw. Zasosowane bbloecznych funkcj MATLABa do numerycznego rozwązywana równań różnczkowych. Wprowadzene Układy równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu Modelowane symulacja układów dynamcznych sanow bardzo sony elemen projekowana różnego rodzaju układów sosowanych w echnce. Przykładem może być projekowane układów regulacj serowana auomaycznego czy analza sanów przejścowych w obwodach elekrycznych. Podsawowym sposobem opsu maemaycznego układów dynamcznych są równana różnczkowe. Analyczne rozwązywane równań różnczkowych wysępujących w welu problemach echncznych, zwłaszcza w przypadku układów nelnowych, jes częso bardzo rudne. Dlaego w prakyce sęga sę po meody numeryczne ch rozwązana. Zadane rozwązana układu równań różnczkowych polega na wyznaczenu funkcj x() = [x () x () x m ()] T, kóre w przedzale [, +T] spełnają równane: d F, x, x, xm F, x, x, xm d () Fm, x, x, x m m d oraz warunk począkowe x( ) = x = [x ( ) x ( ) x m ( )] T = [x, x, x m, ] T. Powyższe równana można przedsawć w zapse macerzowym nasępująco,, d F x x x () Odnośne do funkcj F(, x) przyjmuje sę założene, że jes ona cągła w przedzale [, +T] oraz spełna warunek Lpschza. Wedy sneje ylko jedna funkcja x(), spełnająca w ym przedzale podane równane warunk począkowe. W przypadku równań opsujących układu dynamczne zmenna nezależna jes odpowednkem czasu, zaś funkcje x () x () x m () reprezenują zmenne w czase welkośc np. napęca, prądy, welkość regulowana, uchyb regulacj. Równana różnczkowe wyższych rzędów (j. z wyrazam, w kórych wysępują pochodne wyższych rzędów) można sprowadzć do posac normalnej. Równane różnczkowe rzędu N można zapsać w posac ogólnej ( N) () ( N) x F, x, x, x,, x, () przy warunkach począkowych x( ) =x,, x ( ) =x,,, x (N-) ( ) =x N,. Wprowadzając wekor sanu wekor warunków począkowych o posac

2 x x x, x x x, x, x x. (4) N x N x xn, Równane różnczkowe () można wedy zapsać nasępująco x x x x. (5) N x,,,, N f x x x Układ równań różnczkowych (5) wraz warunkam począkowym można zapsać w posac x F, x, x x. (6) Przykładowo równane -go rzędu a x a x a x a x u, (7) można zapsać jako układ równań różnczkowych x x x x u x a a a a a a x a. (8) Meody numerycznego rozwązywana równań różnczkowych wykorzysują dyskreyzację rozwązana, j. uzyskuje sę przyblżone x() rozwązane dla dyskrenych chwl czasowych +, +,, gdze krok całkowana, w przedzale całkowana [, +T]. Równane różnczkowe zasępowane jes w akm przypadku równanem różncowym sąd ego ypu meody rozwązana nazywane są meodam różncowym. Meody różncowe służące do numerycznego rozwązywana równań różnczkowych dzel sę na meody jednokrokowe (lnowe nelnowe) oraz welokrokowe (lnowe nelnowe). W przypadku meod jednokrokowych przyblżone rozwązane w chwl czasowej +n wyznaczane jes na podsawe rozwązana z poprzednego kroku czasowego +(n ). Rozwązane przyblżone w danej chwl czasowej w meodach welokrokowych wyznaczane jes na podsawe kombnacj rozwązań z klku poprzednch kroków. Układy równań różnczkowych zwyczajnych w MATLABe MATLAB oferuje wele funkcj służących do numerycznego rozwązywana układów równań różnczkowych. Są one elemenam pakeu ODE Sue (ang. ODE Ordnary Dfferenal Equaon równane różnczkowe normalne). W ab. przedsawono zesawene wybranych funkcj wraz z ch charakerysyką. Funkcja ode45 ode ode Tab.. Wybrane funkcje do rozwązywana równań różnczkowych zwyczajnych Ops Zmodyfkowana meody jednokrokowa Rungego-Kuy rzędu 4 5; daje prawdłowe wynk dla szerokej grupy równań Zmodyfkowana meody jednokrokowa Rungego-Kuy rzędu ; daje prawdłowe wynk dla szerokej grupy równań Welokrokowa meoda Adamsa-Bashforha-Moulona, bardzo efekywna w przypadku zadań

3 ode5 ode5s z gładkm rozwązanam Algorym rozwązywana równań różnczkowych w posac nejawnej Meoda welokrokowa NDF z możlwoścą modyfkacj rzędu odes Zmodyfkowana meoda jednokrokowa Rosenbrocka rzędu ; zasosowane w rozwązywanu układów zw. szywnych Funkcje (solvery) do rozwązywana układów równań różnczkowych można wywołać nasępująco: [ou, xou] = odexyz(odefun, [ f], x, opons) lub sol = solver(odefun, [ f], x, opons) gdze: ou wekor zawerający dyskrene warośc zmennej nezależnej (czasu), dla kórych wyznaczono rozwązane, xou macerz zawerające w poszczególnych kolumnach rozwązana dla zmennych x(), x (), odexyz nazwa funkcj realzującej dany algorym rozwązywana równań różnczkowych (por. ab. ), odefun nazwa lub uchwy do przygoowanego przez użykownka m-plku zawerającym ops układu równań różnczkowych -go rzędu, [ f] przedzał całkowana - odpowedno począkowa końcowa warość zmennej nezależnej (czasu), x wekor warośc począkowych układu równań, opons srukura zawerająca warośc paramerów całkowana układu równań różnczkowych, sol srukura przechowująca wynk oblczeń całkowana równań różnczkowych. Dobór odpowednego algorymu jego paramerów wpływa w dużym sopnu na dokładność szybkość oblczeń. Paramery algorymu można określać za pomocą wywołana opons = odese( pole_, warość_, pole_, warość_, ) Poszczególne pola odpowadają paramerom algorymu. Wybrane paramery przedsawono w ab.. Tab.. Wybrane paramery algorymów rozwązywana równań różnczkowych zwyczajnych Nazwa parameru RelTol AbsTol MaxSep InalSep Ops Oszacowane błędu względnego Oszacowane maksymalnego błędu bezwzględnego Maksymalna długość kroku całkowana Warość począkowa kroku całkowana Przykład Należy wyznaczyć przebeg czasowy prądu oraz napęca na kondensaorze w szeregowym obwodze RLC pokazanym na rys.. Domyślne paramery obwodu mają nasępujące warośc: R =, L = 8 mh, C = 8 F. San neusalony w obwodze powsaje po załączenu źródła napęca snusodalnego o warośc chwlowej e() = E sn(+), gdze E= V, f=5 Hz, =6 o. R L C e u c Rys.. Schema obwodu RLC

4 Równana różnczkowe określone na podsawe praw Krchhoffa opsujące obwód mają posać d e R L uc, (9) d du C c. () d Równana należy przekszałcć ak, aby uzyskać posać równań (), a węc d ( e R uc ). () d L du c. () d C Należy zwrócć uwagę, że znajomość () u c () pozwala na oblczene napęć na pozosałych elemenach obwodu. Napęce na rezysorze u R = R, () cewce ndukcyjnej u L = e R u c. (4) Przykładowe oblczena prezenację ch wynków na wykresach realzuje funkcja obwodrlc.. Ćwczene laboraoryjne Uruchomć przeanalzować dzałane funkcj obwodrlc. Uzupełnć program ak, aby oblczane wyśwelone na wykresach były warośc napęć u R u L w funkcj czasu.. Zadana laboraoryjne. Dla obwodu na rys. układ równań różnczkowych ułożony na podsawe praw Krchhoffa ma posać e u du u u C R d R u u du C R d d u L R d, (5) lub po uporządkowanu w zapse macerzowym RC RC du d R C u RC du d u e RC RC C, (6) e d d R x x L L B A Napsać program oblczający wyśwelający na wykrese przebeg prądu (), (), (). Warośc prądy ne są zmennym sanu można je oblczyć na podsawe prawa Ohma 4

5 e u, R u u (7) R Paramery obwodu: E = V, = 4 rad/s, R =,5 k, R =,5 k, R =, k, C = F, C = F, L = mh. Przedzał całkowana =,5 s. Oblczena wykonać dla różnych warośc kroku całkowana, np. =.,.5,. s porównać uzyskane wynk. R R R e u C C u L Rys.. Schema obwodu elekrycznego do zad.. Dynamka pewnego sysemu jes opsana za pomocą układu równań różnczkowych d x x d x x x d x x x. (8) Przyjąć: =, =, = ; przedzał całkowana [, ]; warunk począkowe x = [ 8 6 8]. Napsać program znajdujący numeryczne rozwązane ego układu równań wyśwelający wykres x () = f(x ()). 5

Podobne dokumenty

PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE

PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE JAN KOOŃSKI POBLEM ODWOTNY DLA ÓWNANIA PAABOLICZNEGO W PZESTZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAOWEJ THE INVESE PAABOLIC POBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE S r e s z c z e n e A b s r a c W arykule skonsruowano