STABILNOŚĆ ROZWIĄ ZAŃ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYCH ZAGADNIEŃ DYNAMIKI

Transkrypt

1 ZSZYY NAOW AADMII MARYNARI WOJNNJ RO LIV NR (9) 3 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs Akadma Marynark Wojnnj Wydzał Mchanczno-kryczny, Insyu udoy kspoaacj Okręó 8-3 Gdyna, u. J. Śmdocza 69 -ma: S.Dobrocnsk@am.gdyna.p; L.Fs@am.gdyna.p Jrzy Małachosk Wojskoa Akadma chnczna Wydzał Mchanczny, adra Mchank Informayk Sosoanj -98 Warszaa, u. S. askgo -ma: jrzy.maachosk@a.du.p SAILNOŚĆ ROZWIĄ ZAŃ SPRĘŻYSO-PLASYCZNYCH ZAGADNIŃ DYNAMII SRSZCZNI W aryku przdsaono ynk obczń numrycznych zagadnna rozchodzna sę fa naprężna na przykładz prosgo pręa zoropogo. Wynk numryczn zakrs sprężysym odnsono do rozązana anayczngo, skazując na popran dzałan agorymu. W zakrs pasycznym n ma rozązań anaycznych, zaproponoano ęc numryczn rozązan zagadnna. Zasosoano agorym obczana naprężna, kóry uzgędna maksyman arośc go paramru rozparyanym obszarz modyfkuj krok czasoy rakc obczń da urzymana sabnośc rozązana. Modyfkacj rakc obczń uga rónż macrz szynośc, ponaż czas rozparyango zjaska marał uga umocnnu. Cm pracy js zrócn uag na znaczn doboru kroku czasogo zapnającgo sabność rozązana podczas obczń, szczgón gdy marał przchodz z sanu sprężysgo pasyczny. Zaproponoany agorym przyspsza rozązan przy zachoanu sabnośc obczń porónanu z kasyczną modą racyjną. Słoa kuczo: MS, dynamka, faa sprężyso-pasyczna. 39

2 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk WSĘP Zagadnna dynamk charakryzują sę ym, ż poszczgónych punkach rozażango obszaru ysępuj docążn ub odcążn konsrukcj [5]. W pracy rozparuj sę dformacj sprężys oraz pasyczn całach zoropoych jdnorodnych. Zagadnna go ypu kompkuj znaczn fak, ż po przjścu fa upasycznającj marał uga zmocnnu. Dago przy poórnym przjścu fa propagują sę on c, napoykając różn granc sprężysośc poszczgónych punkach rozażango obszaru. Isona uaga ynkająca z rozażań nnjszj pracy doyczy faku, ż przypadku gdy mara ysąpą naprężna poyżj grancy sprężysośc, o część nrg racona js na odkszałcna pasyczn przy odcążnu nrga knyczna mus być pomnjszona o nrgę raconą [6]. Rozparzono prę (rys..) o sałym przkroju przyjęo, ż odkszałcna są na y mał, ż możmy sosoać zasadę płaskch przkrojó, pomjając pły przmszczń poprzcznych na przmszczna zdłużn. Rys.. Rozparyany schma udrzna masy m prę o długośc. Prę o śrdncy d, m, długośc m gęsośc ρ 785 kg/m 3 js na praym końcu urdzony, a na ym końcu znajduj sę masa skupona m 398,45 kg Prę ykonany js z sa GHMA (ęg, magnz, chrom, mobdn, bar). Charakrysykę sa okrśono na podsa próby jdnoosogo rozcągana (rys..). Aproksymując ę charakrysykę funkcją skjaną, dług ponższych zażnośc, orzymano bardzo dobrą zgodność funkcj aproksymującj funkcj aproksymoanj, okrśonj z ksprymnu. 4 Zszyy Nauko AMW

3 Sabność rozązań sprężyso-pasycznych zagadnń dynamk da da da da da Rys.. Przyjęa charakrysyka marałoa sa GHMA, gdz:,8 5 MPa moduł Younga,,5 5 MPa zmocnn, 6,96 MPa, 73,9 MPa,, 7,866-3 OPIS DYSRNY PRĘA Aby ocnć pły nnoj częśc charakrysyk, opsanj funkcją, rozparzymy rójęzłoy mn pręa o długośc. Przmszczna doongo punku mnu pręa zapszmy jako kombnację przmszczń jgo ), ( ), ( ) oraz funkcj kszału Φ ϕ ( x), ϕ ( x), ϕ ( )] ęzłó [ ] ( 3 u( x, ) Φ( x) ( ). [ 3 x (9) 3 4

4 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk Prędkość przyspszn yrażamy rónż za pomocą arośc ęzłoych u ( x, ) Φ ( x) ( ), u ( x, ) Φ ( x) ( ). nrgę knyczną mnu pręa arośc ęzłoych, orzymując k ρ A u dx zapsujmy za pomocą k Φ Φ A dx M ρ, gdz: M ρ A Φ Φ dx macrz bzładnośc mnu pręa; A po przkroju porzczngo pręa. Odkszałcna mnc yrażą sę zorm ( x, ) Φ, x. Jż do całkoana będzmy ykorzysyać modę Gaussa, o -ym punkc odkszałcn yraz sę jako ( x, ) Φ,x ( x ). Da pęcopunkoj procdury Gaussa orzymamy: [ 3 4 5] [ ϕ, x( x ) ϕ, x( x ) ϕ3, x( x )] Oznaczając Β [ ϕ x ) ϕ ( x ) ϕ ( x )]., x (, x 3, x odkszałcna punkach całkoana, zapszmy macrzoo. Odkszałcń poszukujmy da j-go przyrosu obcążna. Jż kojnym kroku obcążna przmszczn zrasa o arość, o całko przmszczna zapszmy jako daj j j-, j j- j-, przy czym. 4 Zszyy Nauko AMW

5 Sabność rozązań sprężyso-pasycznych zagadnń dynamk ORCJA MACIRZY SZYWNOŚCI W ZALŻNOŚCI OD OCIĄŻNIA Rozparzono nasępując przdzały uzgędnan przy okrśanu nrg łaścj:. Prę znajduj sę san sprężysym (rys. 3a), czy ( ). nrga łaśca akm przypadku ynos Φ ( ) Φ [ ( ) ]. Obczamy pochodną nrg łaścj zgędm przyrosu przmszczń ( ) Φ a nasępn całkujmy po objęośc pręa, orzymując gdz: Q A A ( ) dx Aσ dx A, Φ dx Q, js korm (macrz jdnokoumnoa); ( )dx js macrzą.. Prę znajduj sę san sprężysym <, naomas sku- > są odkszałcna pasyczn (rys. 3b). km przyrosu obcążna ( ) Odkszałcna pasyczn zapszmy jako ( ) p. Da go przypadku okrśamy nrgę łaścą Φ σ r σ r p p σ r σ r ( ) ( ) ; (9) 3 43

6 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk Φ σ r σ r σ r ( ) [( ) ]. Po kojnych przkszałcnach orzymujmy Φ Φ σ r [( ) ]. Rys. 3. Rozparyan przdzały uzgędnan przy okrśanu nrg łaścj 44 Zszyy Nauko AMW

7 Sabność rozązań sprężyso-pasycznych zagadnń dynamk (9) 3 45 Człon Φ n zaży od przyrosu przmszczń, sąd ( ) r σ Φ ub σ Φ r r. Wproadzamy oznaczna dx dx r r Q σ σ ; ( ) dx dx. 3. Prę znajduj sę san pasycznym ( ) > (rys. 3c). Na podsa rysunku 3c okrśamy nrgę łaścą ) ( σ Φ Φ obczamy pochodną ) ( σ Φ. Anaogczn jak poprzdnch punkach przyjmujmy ( ) ( )dx dx, Q σ. Wykorzysując rónana Lagrang a, orzymujmy nasępując rónan ruchu pręa: Q M.

8 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk 46 Zszyy Nauko AMW Całkoana róna ruchu dokonamy modą Nmarka z krokm czasoym. Znając da czasu arośc przmszczna, prędkośc oraz przyspszna, poszukujmy ych arośc da czasu dług zoró: ( ) ( ), ) ( 4 4. Jż przyjmmy, o rónan ruchu zapsz sę zorm Q M M ) ( F 4 4. W przypadku gdy prę znajduj sę san pasycznym, o arość zaży od rozązana, czy zagadnn js nno. Dago arośc przyrosu przmszczna danym kroku czasoym poszukać będzmy racyjn, ykorzysując modę Nona. Jż przyjmmy Q M M F 4 4, o d d d d F M 4, ponaż, o u d d. Zgodn z modą Nona, kojnym kroku racyjnym obczamy poprakę da przmszczna dług zoru F F δ, a nasępn obczamy δ. Opsując marał charakrysyką bnoą (rys. 3d), zorach na obczan macrzy szynośc kość /. Jż źmmy pod uagę

9 Sabność rozązań sprężyso-pasycznych zagadnń dynamk da sąsadując punky pręa, przy czym jdn z nch znajduj sę san sprężysym, a drug san pasycznym, o ysąp skokoa zmana yrazó macrzy szynośc odpoadających ym punkom []. zgędnając nnoą część charakrysyk, uzyskamy marę monoonczną zmanę yrazó macrzy szynośc. Oczyśc zmana zaży od przyrosu obcążna, gęsośc podzału rozażango obszaru na mny oraz kośc kroku czasogo. WYORZYSANI ALGORYM NA PRZYŁADZI PROPAGACJI FALI NAPRĘŻNIA W PRĘCI Rozparzono przypadk, gdy masa udrzająca js róna mas pręa. N możmy przyjąć, ż naprężna całym pręc są ak sam. Musmy ząć pod uagę propagację fronu fa naprężna zdłuż os pręa. W ym przypadku, jż masa udrzająca porusza sę z prędkoścą v, o da czasu przkroju pręa x posaną naprężna σ ρ a v o, gdz a js prędkoścą propagacj czoła ρ fa naprężna. Przyjmując prędkość masy udrzającj aką (v 6,67 m/s), aby da czasu naprężn σ σ, 4 σ, mamy pność, ż po odbcu od urdzna x naprężn σ σ (zrasają dukron) n przkroczy grancy sprężysośc. n x L Prę będz sę znajdoał san sprężysym rozązan anayczn [3] (rys. 4.) js nma dnyczn z rozązanm numrycznym (rys. 5.). W momnc, gdy σ przyjmuj arość zro, o czas k nasępuj odran masy udrzającj od pręa. Przyjmując prędkość v aką, aby da czasu naprężn σ σ, 8σ x, orzymamy rozązan przdsaon na rysunku 6. W końcoj częśc pręa ysąpą odkszałcna pasyczn (rys. 7.). (9) 3 47

10 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk a/ a/ Rys. 4. oryczny przbg przmszczna punkc środkoym udrzanj porzchn pręa masą m (x ) (a) naprężnaa punkach (x x ) (b) Źródło: ask S. nn, Drgana fa całach sałych, PAN, Warszaa 966. σ n /σ σ /σ / u/ /u max Rys. 5. Rozązan numryczn udrzna prę zakrs sprężysym masą przy założnach: σ, 4σ, / 4a 48 Zszyy Nauko AMW

11 Sabność rozązań sprężyso-pasycznych zagadnń dynamk σ /σ σ σ n /σ σ / u/umax sprężys z rys. 7. Rys. 6. Rozązan numryczn udrzna prę zakrs sprężysym masą przy założnach: σ, 8σ, / 4a / / x m Rys. 7. Odkszałcna pasyczn końcoj częśc pręa (9) 3 49

12 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk Na długośc,5 m szyność pręa zmna sę dług sosunku /, czy grancach, 6. Da bnoj charakrysyk marału ysąpłaby skokoa zmana szynośc poodująca zł uarunkoan macrzy szynośc pręa. zgędnając nnoą część charakrysyk przdza odkszałcń (, ) oraz odpodno gęsy podzał na mny, uzyskujmy monoonczną zmanę spółczynnkó macrzy szynośc. Jż przyjmmy prędkość v aką, aby da czasu naprężn σ, σ, orzymamy rozązan przdsaon na rysunku 8. σ x σ n /σ σ /σ / v/v max u/u max Rys. 8. Rozązan numryczn udrzna prę zakrs pasycznym masą przy założnach: σ, σ, / a W obu końcach pręa ysępują odkszałcna pasyczn (rys. 9.). nrga knyczna masy udrzającj ynos k, 5 mu vu, 5 Zszyy Nauko AMW

13 Sabność rozązań sprężyso-pasycznych zagadnń dynamk naomas nrgę knyczną pręa da czasu obczymy zorm k ρ A u ( x ) dx. Obczając nrgę jako pracę sł nęrznych na przmszcznach jd- noskoych, orzymamy A s σ dx. Zmanę nrg czas przdsaono na rysunku., gdz yraźn - dać spadk nrg całkoj koszm rałych odkszałcń pasycznych. p / x m Rys. 9. Odkszałcna pasyczn obu końcach pręa (9) 3 5

14 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk V/V ( k s )/ k s / k k / k / Rys.. Zmana nrg czas z doczną sraą nrg całkoj na odkszałcn pasyczn WNIOSI Obczna numryczn zakrs sprężysym są zgodn z obcznam anaycznym. W zakrs sprężyso-pasycznym pasycznym ykorzysano n sam agorym, a ynk obczń numrycznych ydają sę nucyjn popran. Do osacznj ryfkacj agorymu, zaróno ym, jak szyskch zagadnnach pasycznych, konczna js ryfkacja ksprymnana. Obczna ykonano na kompurach Cnrum Informayczngo rójmjskj Akadmckj Sc ompuroj. 5 Zszyy Nauko AMW

15 Sabność rozązań sprężyso-pasycznych zagadnń dynamk ILIOGRAFIA [] ah. J., Fn mn Procdurs, Prnc Ha, N Jrsy 996. [] Dobrocńsk S., Sabność rozązań zagadnń odpornośc udaroj konsrukcj, Akadma Marynark Wojnnj, Gdyna. [3] ask S. nn, Drgana fa całach sałych, PAN, Warszaa 966. [4] łososk P., Woźnca., Wchr D., Comparson of numrca modng and xprmns for h dynamc rspons of crcuar aso-vscopasc pas, uropan Journa of Mchancs,, 9, A/Sods. [5] Myrs M. A., Dynamc bhavour of maras, A Wy-Inrscnc Pubcaon, 994. [6] Por D., Mody obczno fzyk, PWN, Warszaa 977. SAILIY OF SOLIONS LASIC-PLASIC DYNAMIC ISSS ASRAC hs papr prsns h rsus of numrca av propagaon probms h h xamp of a smp soropc bar nson. Numrca rsus r compard o h asc anayca souon, ndcang h corrc agorhm opraon. hr ar no anayca souons n rms of pasc condons, so h numrca souon of hs probm s proposd. h arc gvs an agorhm for cacuang h srss ha ncuds accoun h maxmum vau of h paramr n hs quson and n h sam m modfs h m sp n h cacuaons for h saby of h souon. Modfcaons n h cacuaon of h sffnss marx ar causd by h phnomnon of mara srnghnng. h proposd agorhm dramacay accras h souon hn h saby of h compuaon aks pac comparng o cassca rav mhod. h am of hs sudy s o hghgh h mporanc of h scon of h m sp n cacuang h saby of souons, spcay hn h sa of asc mara gos no pasc. (9) 3 53

16 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs, Jrzy Małachosk h proposd agorhm accras h souon hn h saby of h compuaon aks pac and compard o cassca rav mhod. yords: fn mn mhod, dynamc, asc-pasc av. 54 Zszyy Nauko AMW