PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE

Transkrypt

1 JAN KOOŃSKI POBLEM ODWOTNY DLA ÓWNANIA PAABOLICZNEGO W PZESTZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAOWEJ THE INVESE PAABOLIC POBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE S r e s z c z e n e A b s r a c W arykule skonsruowano jawne rozwązane odwronego problemu parabolcznego () (3) w neskończene wymarowej przesrzen karezjańskej. Słowa kluczowe: odwrony problem parabolczny, przesrzeń neskończene wymarowa, warunek począkowy, warunek konrolny In hs arcle we consruc an explc soluon o he nverse nal-value parabolc problem () (3) n he nfne dmensonal Caresan space. Keywords: nverse parabolc problem, nfne dmensonal space, nal condon, conrol condon Dr Jan Korońsk, Insyu Maemayk, Wydzał Fzyk, Maemayk Informayk Sosowanej, Polechnka Krakowska.

2 78. Wsęp Klasyczne w zagadnenach grancznych dla równań róŝnczkowych cząskowych, mając dane warunk granczne prawą sronę równana róŝnczkowego rozwaŝanego w określonym obszarze, szukamy funkcj, kóra spełna rozwaŝane równane warunk granczne. MoŜna jednak zapyać np. o o, jaka ma być prawa srona równana róŝnczkowego, aby w pewnym punkce rozwaŝanego obszaru rozwązane równana róŝnczkowego przyjmowało z góry określoną warość (zw. warunek konrolny albo warunek serowana). W akej syuacj prawa srona równana róŝnczkowego jes bądź neznana, bądź eŝ necałkowce zadana. Mówmy wedy o zw. zagadnenach odwronych dla równań róŝnczkowych. Zagadnena odwrone dla róŝnych ypów równań cząskowych moŝna sklasyfkować w zaleŝnośc od ego, jake funkcje (oprócz rozwązana równana) będą wyznaczane, a jake są zadane w rozwaŝanym zagadnenu. MoŜna wyróŝnć nasępujące ypy zagadneń odwronych:. Zagadnena, w kórych wyznaczone są funkcje wysępujące w równanu róŝnczkowym. 2. Brzegowe zagadnena odwrone, w kórych poszukwana jes funkcja lub funkcje wysępujące w warunkach brzegowych. 3. Geomeryczne zagadnena odwrone, w kórych poszukwane są pewne geomeryczne charakerysyk powerzchn będącej brzegem pewnego obszaru lub opsu obszaru ogranczonego ą powerzchną. 4. Zagadnena rerospekywne (z warunkem końcowym). Wysępować mogą równeŝ zagadnena meszanych ypów. Wśród zagadneń ypu. moŝna wyróŝnć ake, w kórych poszukwana jes funkcja źródła (prawa srona równana). 2. Sformułowane zagadnena odwronego dla równana parabolcznego w przesrzen neskończene wymarowej W nnejszym arykule rozwaŝamy nasępujący problem: Skonsruować parę funkcj ( u, f ) danych jawnym wzoram spełnających równane róŝnczkowe ypu parabolcznego w przesrzen neskończene wymarowej (kóre zosało wprowadzone do leraury przedmou w 24 r. w []) warunek począkowy ypu Cauchy ego oraz pewen warunek konrolny. Dokładnej mówąc, problem odwrony dla równana parabolcznego w przesrzen neskończene wymarowej (, T ) polega na wyznaczenu pary funkcj ( u( x, ), f ( )), gdze x, (, T ), spełnających nasępujące równane w obszarze 2 x = + = = 2 [ D D ] u( x, ) [ f ( x, ) f ( ) g ( x, )], D = {(x, ) : x (, ), =, 2,..., (, T ), T< }, a funkcja u spełna ponado nasępujący warunek począkowy x = ( x, x,...) ()

3 = nasępujący zw. warunek konrolny Punk =,2, 2 79 u( x,) = h ( x ), x (, ), =, 2,... (2) 2 u( x, ) = h( ), x = ( x, x,...), =, 2,... (3) x = ( x, x,...) jes dowolnym, ale usalonym punkem. Funkcje f, g, h, oraz h są zadane odpowedno regularne. 3. ozwązane zagadnena Cauchy ego dla równana parabolcznego w przesrzen neskończene wymarowej ozwaŝamy nasępujące klasy regularnoścowe funkcj: Oznaczmy przez (Π) klasę wszyskch funkcj h :, akch Ŝe neskończony loczyn h ( y ), y (, ), =, 2,... jes zbeŝny. = Oznaczmy przez C( ) B( ) klasę wszyskch funkcj h : cągłych ogranczonych na. Oznaczmy przez (K) klasę wszyskch funkcj f : D, D = (, ) (, T ), akch Ŝe:., f C ( D ), =, 2, 3,... j y j y 2. D f (, s ) = D f (, s ) =, s (, T ), j =,, 2, =, 2, = j Dy f ( y, ) jes zbeŝny dla y (, ), j =,, 2,... D f ( y, ) jes zbeŝny dla y (, ), j =,, 2,... = 5. comp.supp f (, ) (, T ), =, 2, 3, Z prac [] [2] wynka, Ŝe o le h ( Π ), =, 2, jednocześne h C( ) B( ) oraz jeśl f ( K), =, 2,, o rozwązane nasępującego problemu począkowego Cauchy ego dla równana parabolcznego w przesrzen (, T ), kóry polega na wyznaczenu funkcj u spełnającej równane w obszarze 2 x = ξ = = x x x2 ( D D ) u( x, ) ( x, ), = (,,...) (4) D = {(x, ) : x (, ), =, 2,..., (, T ), T < }

4 8 spełnającej nasępujący warunek począkowy sneje ma posać u ( x, ) = h ( x ), x (, ), =, 2,... (5) = gdze u( x, ) = h ( y ) U ( x, ; y,) dy + ξ ( y, s) U ( x, ; y, s) dy ds, = = (6) x = ( x, x,...), (, T ), = = U ( x, ; y, s) ( s) exp( B(, s)( x y ) ), B(, s) ( 4( s)). 4. ównane całkowe na neznany składnk prawej srony równana róŝnczkowego Z równań (3) (6) orzymujemy nasępujące równane całkowe = = h ( y ) U ( x, ; y,) dy + ξ ( y, s) U ( x, ; y,) dy ds = h( ) (7) dla dowolnego (, T ). Podsawając w (7) ξ ( y, s) = [ f ( y, s) f ( s) + g ( y, s)] = orzymujemy nasępujące równane całkowe ypu Volerry perwszego rodzaju na funkcję f = = h ( y ) U ( x, ; y,) dy + [ f ( y, s) f ( s) + g ( y, s)] U ( x, ; y, s) dy ds = h( ), kóre moŝna zapsać nasępująco ( ) (, ;,) (, ) ( ) (, ;, ) = = h y U x y dy + f y s f s U x y s dy ds + = + g ( y, s) U ( x, ; y, s) dy ds = h( ), (, T ). (8)

5 5. ozwązane równana całkowego werdzene o snenu o posac rozwązana zagadnena odwronego () (3) Twerdzene. JeŜel h (Π), =, 2,... jednocześne gdy h C( ) B( ) oraz jeśl f ( K), =, 2,..., jeśl ponado < C < f < C2, gdze C, C 2 są pewnym sałym, o wówczas para funkcj ( u, f ) określonych wzoram (6) (22) jes rozwązanem problemu odwronego () (3). Dowód. Wobec rozwaŝań zawarych w rozdz. 3, gdze podano efekywnym wzorem rozwązane zagadnena Cauchy ego w przesrzen neskończene wymarowej dla rozwaŝanego w arykule równana róŝnczkowego wobec rozwaŝań z rozdz. 4, gdze wypsano równane całkowe (8) na neznany składnk prawej srony równana róŝnczkowego, dla dowodu sformułowanego werdzena o rozwązanu zagadnena odwronego () (3) wysarczy pokazać, Ŝe równane całkowe (8) ma jedyne rozwązane cągłe w przedzale [, T]. PowyŜsze równane (8) sprowadzamy do równana całkowego ypu Volerry drugego rodzaju, kóre nasępne rozwązujemy efekywne w znany sposób. Zapszemy równane całkowe (8) w nasępującej posac gdze oraz 8 N(, s) f ( s) ds = K( ), (9) = = K( ) = h( ) h ( y ) U ( x, ; y,) dy g ( y, s) U ( x, ; y, s) dy ds gdze z kole = 2 N(, s) = [ f ( y, s) U ( x, ; y, s) dy = ( s) C( x,, s), 2 = = C( x,, s) [ f ( y, s)exp( ( x y ) )(4( s)) ] dy. Z (9) orzymujemy równane całkowe w nasępującej posac 2 ( s) C( x,, s) f ( s) ds = K( ). () Sosując w równanu () ransformację Abela ([3], Vol. I, s. 6), orzymujemy równowaŝne równane całkowe w posac s = ( s) [ ( s s ) C( x, s, s ) f ( s ) ds ] ds ( s) K( ) ds ()

6 82 gdze Zamenając w () porządek całkowana, orzymujemy równowaŝne równane całkowe s 2 2 [ ( s) ( s s ) C( x, s, s ) ds] f ( s ) ds = F( ), (2) Całkując (3) przez częśc, orzymujemy 2 F( ) = ( s) K( ) ds. (3) s = s F( ) = ( s) K( s) + 2 ( s) D K( s) ds = 2 ( s) Ds K( s) ds s ponewaŝ z załoŝena K () =. Sosując eraz zamanę zmennych = = + ( ), s s s u ds = ( s ) du, u (,) orzymujemy równowaŝne równane całkowe do równana (2) gdze gdze 2 2 [ u ( u) C( x, s + ( s ) u, s ) du] f ( s ) ds = F( ). (4) MoŜemy równane (4) zapsać w posac K(, s ) f ( s ) ds = F( ), (5) 2 2 = + K(, s ) u ( u) C( x, s ( s ) u, s ) du. (6) óŝnczkując sronam równość (5), orzymujemy Z równana (7) orzymujemy M ( ) = D F( ), (7) K(, ) f ( ) + D K(, s ) f ( s ) ds = D F( ). f ( ) = M ( ) + E(, s ) f ( s ) ds, (8) E(, s ) = ( K(, )) D K(, s ), K(, ).

7 ównane (8) moŝemy zapsać w nasępującej posac 83 f ( ) = M ( ) + E(, s) f ( s) ds. (9) ozwaŝmy równane całkowe ypu Volerry drugego rodzaju z paramerem λ w nasępującej posac f (, λ ) = M ( ) + λ E(, s) f ( s) ds. (2) Na podsawe [3], Vol. 2, s. 4 wadomo, Ŝe sneje jedyne cągłe na przedzale [, T ] rozwązane równana całkowego (2) ma ono posać gdze f (, λ ) = M ( ) + λ (, s, λ) M ( s) ds, (2) gdze (, s, λ ) = N (, s), = N (, s) = E(, s), N (, s) = N (, s ) N ( s, s) ds, =, 2, 3,... Funkcja określona wzorem (2) dla λ = przyjmuje posać f (,) = f ( ) = M ( ) + (, s,) M ( s) ds, (22) (, s,) = N (, s), = N (, s) = E(, s), N (, s) = N (, s ) N ( s, s) ds, =, 2, 3,... funkcja a jes jedynym cągłym w przedzale [, T ] rozwązanem równana całkowego (9). Zaem dowód werdzena o snenu o posac rozwązana rozwaŝanego zagadnena odwronego () (3) jes zakończony.

8 84 L e r a u r a [] K o r ońsk J., Parabolc problem n he space, Commenaones Mahemacae XLIV (), 24, [2] K o r o ń s k J., Nonhomogeneous parabolc problem n he space, Fasccul Mahemac 38, 27, [3] P o g o r z e l s k W., ównana całkowe ch zasosowana, Vol. Vol. 2, PWN, Warszawa 958.