CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze"

Mariusz Kowalski
7 lat temu
Przeglądów:

1 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze

2 Kwadratury nterpolacyjne

3 Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę podprzedzałów, wyróżnając na os zbór punktów: a b 0 n Punkty, = 0,,..., n tworzą satkę o stałym kroku (z reguły): h const 3

4 Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne 4

5 Kwadratury nterpolacyjne Z własnośc całk oznaczonej wynka, że: nb n 0 f ( )d f ( )d a 0 Oznaczene: f ( )d 5

6 Istota metody kwadratur nterpolacyjnych Kwadratury nterpolacyjne Przyblżene funkcj podcałkowej f() w przedzale [, + ] lub przedzale odpowedno poszerzonym wzorem nterpolacyjnym f ( )d W ( )d W() weloman nterpolacyjny 6

7 Kwadratury nterpolacyjne Wyprowadzene wzorów przyblżających wartość całk w przedzale [a, b] Weloman nterpolacyjny I. wzór Newtona qq ( ) W ( ) y qy y..., q! h 7

8 Metoda prostokątów

9 Metoda prostokątów Nech: W ( ) y, [, ] Oznacza to: f() w przedzale [, + ] jest przyblżona welomanem nterpolacyjnym ogranczonym do perwszego składnka f() na odcnku [, + ] zastępujemy lną pozomą 9

10 Metoda prostokątów f ( )d y d Wprowadzamy podstawene: q, d q d, q 0, q h h Otrzymujemy: y d h y dq hy 0 0

11 Metoda prostokątów b n n a f ( )d h y 0 0 Wzór prostokątów: b a n f ( )d h y 0

12 Metoda prostokątów Wzór prostokątów z nedomarem: b a n f ( )d h y 0 Wzór prostokątów z nadmarem (wyprowadzany z II. wzoru Newtona): b a f ( )d h y n

13 Metoda prostokątów Metoda prostokątów z nedomarem Metoda prostokątów z nadmarem 3

14 Przykład Metoda prostokątów Oblczyć wartość całk, korzystając ze wzoru prostokątów: 5 d 49 3 b a f ( )d f ( ) a b 5 4

15 Metoda prostokątów Ilość podprzedzałów: Krok całkowana: n 4 ba 5 h n 4 a h h 3 3h 3 4 4h 4 5 b y y y y y 0 f ( 0) 3 f ( ) 6 f 3 f 3 4 f 4 ( ) 3 ( ) 4 8 ( ) 5 7 5

16 Metoda prostokątów Wzór prostokątów z nedomarem: n 3 h y0 y y y3 0 0 h y h y ( ) (3 6 8) 38 Wzór prostokątów z nadmarem: n 4 h y y y3 y4 h y h y ( ) (6 8 7) 6 6

17 Metoda trapezów

18 Metoda trapezów Nech: W ( ) y qy, [, ] Oznacza to: f() w przedzale [, + ] jest przyblżona welomanem nterpolacyjnym ogranczonym do dwóch perwszych składnków 8

19 Metoda trapezów f ( )d ( y q y )d Wykorzystujemy podstawena jak przy metodze prostokątów: ( y qy )d q h y y 0 9

20 0 Metoda trapezów 0 0 ( )d b n n a y y f h Wzór trapezów: 0 ( )d b n n a y y f h y

21 Metoda trapezów Metoda trapezów

22 Przykład Metoda trapezów Oblczyć wartość całk z poprzednego przykładu, korzystając ze wzoru trapezów: 5 d 49 3 Przedzał całkowana podzelony, jak w poprzednm zadanu: n 4 Punkty wartośc funkcj w tych punktach y są dentyczne jak w poprzednm przykładze

23 Metoda trapezów y y y y h y h y n 3 0 n 0 4 y y 0 4 h y y y

24 Wzór Smpsona

25 Nech: qq ( ) W y q y y! ( ), [, ] Wzór Smpsona Oznacza to: f() w przedzale [, + ] jest przyblżona welomanem nterpolacyjnym ogranczonym do trzech perwszych składnków 5

26 Wzór Smpsona Przedzał [a, b] dzel sę na parzystą lość podprzedzałów. Pole pojedynczego trapezu krzywolnowego: q( q ) h 0 y0 q y0 y0 d y0 4y y! 3 0 6

27 Wzór Smpsona Wzór Smpsona: b a h f ( )d y 4y y 4 y... y 4y y n n n 7

28 Przykład Wzór Smpsona Oblczyć wartość całk z poprzednch przykładów, korzystając ze wzoru Smpsona: 5 d 49 3 b a h f ( )d y0 4y y 4 y3... yn 4yn yn 3 h y 0 4 y y 4 y y

29 Kwadratury Gaussa

30 Kwadratury Gaussa Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Perwszy krok: Sprowadzene całk b a f ( )d do postac znormalzowanej: F( )d 30

31 Kwadratury Gaussa Normalzacja Podstawena: b a b a b a d d a, b 3

32 Kwadratury Gaussa Czyl: b a b a b a b a f ( )d f d F( )d ( ) b a b a b F f a 3

33 Kwadratury Gaussa Przykład Całkę sprowadzć do postac znormalzowanej: 5 ( )d b a b a d b a d d 5 d d 33

34 Kwadratury Gaussa 5 ( )d 3 d 8 4 d F ( )

35 Kwadratury Gaussa Znormalzowaną funkcję podcałkową F() w przedzale [, ] przyblża sę welomanem stopna n F( ) a a a... a n 0 n Następne oblczamy wartość przyblżoną całk oznaczonej: F( )d F( ) w n odcęte tzw. punktów Gaussa, [, ] w n współczynnk nazywane wagam lość punktów Gaussa 35

36 Kwadratury Gaussa n w Wag odcęte punktów Gaussa dla różnych wartośc n 36

37 Przykład Kwadratury Gaussa Oblczyć wartość całk oznaczonej z poprzednch przykładów kwadraturam Gaussa dla n =. Funkcja podcałkowa po normalzacj: F ( )

38 Kwadratury Gaussa n F( ) w F( ) w F( ) w F( ) w 8 4 w 8 4 w 8( ) 4( ) 8( ) 4( )

39 Przykład Wyprowadzć kwadraturę Gaussa dla przypadku n =. Kwadratury Gaussa F() a a a a Powyższą funkcję całkujemy w przedzale [, ]: 3 F( )d a0 a a a 3 d a a a a a0 a 39

40 Kwadratury Gaussa F( )d F( ) w F( ) w 3 3 a a a a w a a a a w a a w w a w w a

41 Kwadratury Gaussa Porównujemy współczynnk przy a 0, a, a, a 3 ze wzorów ww w w w w 3 3 w w w w skąd: 4

Podobne dokumenty

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana: