Rozwiązanie jednokierunkowego przepływu w przewodach prostoosiowych o dowolnym kształcie przekroju poprzecznego metodą elementów skończonych

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązanie jednokierunkowego przepływu w przewodach prostoosiowych o dowolnym kształcie przekroju poprzecznego metodą elementów skończonych"

Krystyna Bednarska
6 lat temu
Przeglądów:

Symulacja w Badanach Rozwoju Vol. 3, No. 1/2012 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Sławomr Adam SORKO Poltchnka Bałostocka, WBIŚ, ul.wjska 45E, 15-351 Bałystok E-mal: t.tlszwsk@pb.du.

1 Symulacja w Badanach Rozwoju Vol. 3, No. 1/2012 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Sławomr Adam SORKO Poltchnka Bałostocka, WBIŚ, ul.wjska 45E, Bałystok E-mal: t.tlszwsk@pb.du.pl, s.sorko@pb.du.pl Rozwązan jdnokrunkowgo przpływu w przwodach prostoosowych o dowolnym kształc przkroju poprzczngo mtodą lmntów skończonych 1 Wstęp W pracy przdstawono rozwązan jdnokrunkowgo lamnarngo przpływu w przwodach prostoosowych mtodą lmntów skończonych (MES) dla różnych kształtów przkroju poprzczngo przy zastosowanu płaskch satk. Mtoda lmntów skończonych ugruntowana tortyczn, najbardzj popularna, stosowana jst w wlu programach komrcyjnych. Klasyczny algorytm rozwązana przpływu w przwodach prostoosowych wymaga budowy pracochłonnych przstrznnych satk (rys.1). Wyprowadzony w publkacj algorytm pozwala zastąpć skomplkowaną satkę przstrznną wwnątrz przwodu satką płaską zlokalzowaną w przkroju przwodu (rys.2). Rys. 1. Przykładowa przstrznna satka stosowana w symulacj przpływu w przwodach prostoosowych składajaca sę z 512 prostopadłoścanów Fg. 1. Partton of th rctangl channl volum nto 512 paralllppd cll. 47

2 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Sławomr ADAM SORKO Rys. 2. Przykładowa płaska satka przkroju przwodu prostoosowgo składająca sę z 64 prostokątnych lmntów Fg. 2. On parttons of th cross-scton rctangl channl nto 64 rctangls. Przpływ jdnokrunkowy w przwodz prostolnowym opsany jst następującym równanm różnczkowym [1]: 2 2 cz cz p µ = (1) x y z gdz: c Z oznacza prędkość przpływu, p jst to cśnn, natomast µ jst współczynnkm lpkośc dynamcznj. Pol prędkośc przpływu jdnokrunkowgo c Z można podzlć na składową prędkośc przpływu nzakłócongo c oraz składową prędkośc przpływu wzbudzongo ścankam prostolnowgo kanału c w [2]: cz = c + cw (2) gdz: dp c = ( xq yq ) ; 4 + = µ dz (2a) Funkcja (2a) spłna równan (4). Wartość prędkośc na brzgu (L) matralnym nprzpuszczalnym równa jst zru, wobc czgo warunk brzgowy na ścanc (L) przyjmuj postać: c ( ) ; w q = c q L (3) Warunk brzgowy (3) rdukuj równan Possona (1) do równana Laplac a: 2 2 cw cw + = 0 (4) 2 2 x y 48

3 Rozwązan jdnokrunkowgo przpływu w przwodach prostoosowych o dowolnym kształc przkroju poprzczngo mtodą lmntów skończonych 2 Rozwązan zagadnna ustalongo jdnokrunkowgo lamnarngo przpływu w przwodach prostoosowych mtodą lmntów skończonych W rozwązanu zagadnna przpływu jdnokrunkowgo w przwodach prostolnowych mtodą lmntów skończonych przyjęto trójkątn lmnty podzału obszaru. Na rysunku 3 przdstawono przykładowy lmnt trójkątny, gdz: (Ω) jst obszarm lmntu, natomast (L) jst brzgm lmntu skończongo. Y 1 Ω L Rys. 3. Trójkątny lmnt skończony Fg. 3. Trangular fnt lmnt Oblczna wykonano za pomocą mtody Galrkna [3,4]: 2 c Φ dω = 0 ( ) Ω gdz Φ jst funkcją kształtu (funkcją ntrpolacyjną). Prędkość c jst aproksymowana w obręb lmntu skończongo szrgm: c = Φ c (6) gdz, c są to węzłow wartośc funkcj c, natomast Φ są to funkcj ntrpolacyjn. Prędkość c w lmnc trójkątnym przyblżono funkcją lnową: Φ % = a + b x + c y (7) Całkując równan (5) przz częśc uzyskamy równan: c c c Φ c Φ nx + ny Φ dl λ λ d 0 + Ω = x y (8) x x y y L Ω Po podstawnu zalżnośc (6) do równana (8), otrzymuj sę równan dla -tgo węzła: A c = F (9) gdz: A 3 2 X j j Φ Φ j = + dω x x y y (10) Φ j Φ j Ω (5) 49

4 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Sławomr ADAM SORKO c c F = nx + ny dω x y Ω (11) Koljnym krokm jst przjśc z układu lokalngo (9) do układu globalngo. Globalny układ równań w MES, można uzyskać poprzz sumowan układów równań otrzymanych dla poszczgólnych lmntów skończonych. 3 Wryfkacja rozwązana zagadnna ustalongo jdnokrunkowgo lamnarngo przpływu w przwodach prostoosowych mtodą lmntów skończonych przy zastosowanu dwuwymarowych satk W clu wykonana wryfkacj mtody MES przy zastosowanu płaskch satk w modlowanu przpływów jdnokrunkowych w przwodach prostoosowych porównano rzultaty oblczń numrycznych MES z znanym rozwązanm analtycznym dla przwodu lptyczngo. Oblczna wykonano dla satk składających sę z lmntów trójkątnych o trzch gęstoścach: 30 (rys. 4), 510 oraz 2046 (rys. 5) lmntów dla = 1. Rozwązan tortyczn pola prędkośc w przwodz prostolnowym o przkroju lpsy opsan jst następującym wzorm [1]: a b x y 1 dp (1 ) ; a + b a b µ dz ct = = 2 gdz: a=2, b=1 są to półos lpsy. (12) Rys. 4. Przykładowa satka przkroju przwodu lptyczngo składająca sę z 30 trójkątnych lmntów Fg.4. On parttons of th cross-scton llptcal channl nto 30 trangls 50

Przykładowa satka przkroju przwodu lptyczngo składająca sę z 2046 trójkątnych lmntów Fg.5.

punktach wyznaczono z zalżnośc: δ cmes = ct cmes *100%, ct (13) gdz: cmes oznacza prędkość wyznaczoną mtodą

5 Rozwązan jdnokrunkowgo przpływu w przwodach prostoosowych o dowolnym kształc przkroju poprzczngo mtodą lmntów skończonych Rys. 5. Przykładowa satka przkroju przwodu lptyczngo składająca sę z 2046 trójkątnych lmntów Fg.5. On parttons of th cross-scton llptcal channl nto 2046 trangls Błąd rozwązana MES dla prędkośc w wybranych punktach wyznaczono z zalżnośc: δ cmes = ct cmes *100%, ct (13) gdz: cmes oznacza prędkość wyznaczoną mtodą lmntów skończonych przy zastosowanu płaskch satk, natomast ct jst to prędkość wyznaczona z rozwązana tortyczngo (12). Na rysunku 6 wykrślono pol prędkośc w przwodz lptycznym wyznaczon mtodą MES przy zastosowanu satk płaskch. Rys. 6. Pol prędkośc w przwodz prostoosowym o przkroju lptycznym wyznaczon mtodą MES przz zastosowanu płaskch satk ( = 1 ) Fg.6. FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n llptcal channl ( = 1 ) 51

6 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Sławomr ADAM SORKO Tablaryczn zstawn porównana rozwązana numryczngo tortyczngo w wybranych punktach przkroju prędkośc znajduj sę tabl 1. Błąd mtody MES przy zastosowanu płaskch satk malj wraz z zagęszcznm satk. Mtoda numryczna MES charaktryzuj sę dużą dokładnoścą dla satk składającj sę już z 510 trójkątnych lmntów, gdz błąd n przkracza 0.45%. Tab. 1. Prędkość w przwodz lptycznym- błąd rozwązana MES przy zastosowanu dwuwymarowych satk Tab. 1. Vlocty n llptcal duct rror analyss appld n MES wth two-dmnsonal grd Lp Współrzdn obszaru Rozwązan Rozwązan Błąd mtody x y analtyczn MES 30l. MES 30l. - mm mm mm/s mm/s % 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , MES 510 l. 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , MES 2046 l. 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Przykłady oblcznow Ponżj przdstawono rzultaty oblczń numrycznych MES przy zastosowanu satk dwuwymarowych pól prędkośc w przwodach prostoosowych, dla których n są znan rozwązana analtyczn. Wszystk oblczna wykonano dla = 1. Na rysunkach 7-10 wykrślono pola prędkośc w przwodz o przkroju: trójkąta rozwartokątngo (rys.7), równolgłoboku (rys.8), trapzu równoramnngo (rys.9), oraz szścokąta (rys.10). Symulacj zostały przprowadzon na autorskm program oblcznowym FEM 1D DUCT FLOW. 52

Pol prędkośc w przwodz prostoosowym o przkroju trójkąta rozwartokątngo

FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n soscls trangl channl ( = 1)

Pol prędkośc w przwodz prostoosowym o przkroju równolgłoboku wyznaczon

FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n paralllogram channl ( = 1)

7 Rozwązan jdnokrunkowgo przpływu w przwodach prostoosowych o dowolnym kształc przkroju poprzczngo mtodą lmntów skończonych Rys. 7. Pol prędkośc w przwodz prostoosowym o przkroju trójkąta rozwartokątngo wyznaczon mtodą MES przz zastosowanu płaskch satk ( = 1) Fg.7. FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n soscls trangl channl ( = 1) Rys. 8. Pol prędkośc w przwodz prostoosowym o przkroju równolgłoboku wyznaczon mtodą MES przz zastosowanu płaskch satk ( = 1) Fg.8. FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n paralllogram channl ( = 1) Rys. 9. Pol prędkośc w przwodz prostoosowym o przkroju trapzu wyznaczon mtodą MES przz zastosowanu płaskch satk ( = 1) Fg.9. FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n trapzum channl ( = 1) 53

FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n hxagon channl ( = 1) 5 Podsumowan Wyprowadzona mtoda MES, którą oparto na budow dwuwymarowych satk w przkroju przwodu znaczn upraszcza klasyczny algorytm

8 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Sławomr ADAM SORKO Rys. 10. Pol prędkośc w przwodz prostoosowym o przkroju szścokąta wyznaczon mtodą MES przz zastosowanu płaskch satk ( = 1) Fg.10. FEM soluton wth two-dmnsonal grd - vlocty n hxagon channl ( = 1) 5 Podsumowan Wyprowadzona mtoda MES, którą oparto na budow dwuwymarowych satk w przkroju przwodu znaczn upraszcza klasyczny algorytm MES dla przpływu w przwodach prostoosowych, w których wymagana jst budowa pracochłonnych, przstrznnych satk. Elmnacja satk trójwymarowych znaczn przyśpsza budowę modlu skraca czas komputrowych oblczń. Zaprzntowany algorytm charaktryzuj sę dużą dokładnoścą równż dla nwlkch gęstośc satk. Główną zaltą przdstawonj numrycznj mtody w stosunku do mtody lmntów brzgowych jst brak błędu z względu na osoblwośc funkcj podcałkowych mtody MEB. Mtoda szczgóln moż być stosowana do dynamczn rozwjanych mtod symulacj w mkrokanałach, gdz przpływy są zgodn z mchanzmm makroprzpływów [5,6]. Ltratura 1. Batchlor G.K.: An ntroducton to flud dynamcs. Cambrdg Unvrsty Prss Tlszwsk T.J., Sorko S.A.: Zastosowan mtody lmntów brzgowych do wyznaczana jdnokrunkowgo przpływu w przwodach prostoosowych o dowolnym kształc przkroju poprzczngo, Acta Mchanca t Automatca, s , Vol.5, nr 3, Rddy J.N., Gartlng D.K.: Th Fnt Elmnt Mthod n Hat Transfr and Flud Dynamcs. CRC Prss Chung T.J.: Fnt Elmnt Analyss n Flud Dynamcs, Mc-Graw-Hll, Nw York

9 Rozwązan jdnokrunkowgo przpływu w przwodach prostoosowych o dowolnym kształc przkroju poprzczngo mtodą lmntów skończonych 5. Clata, G.P.; Cumo, M.; McPhal, S.; Zummo, G., Charactrzaton of flud dynamc bhavour and channl wall ffcts n mcrotub, Intrnatonal Journal of Hat and Flud Flow, Vol. 27, Issu 1, , Wbl, W.; Ehrhard, P., Exprmnts on th lamnar/turbulnt transton of lqud flows n rctangular mcrochannls, Hat Transfr Engnrng, Vol. 30, Issu 1-2, pp , 2009 Strszczn W pracy przdstawono rozwązan jdnokrunkowgo lamnarngo przpływu w przwodach prostoosowych mtodą lmntów skończonych (MES) dla różnych kształtów przkroju poprzczngo przy zastosowanu płaskch satk. W publkacj wykonano waldację wyprowadzonj mtody oraz przdstawono przykłady zastosowana algorytmu. W clu wykonana waldacj mtody oraz symulacj napsano autorsk program oblcznowy FEM 1D DUCT FLOW w języku Fortran. Słowa kluczow: mtoda lmntów skończonych, przpływy lamnarn, przwody prostoosow Implmntaton of th Fnt Elmnt Mthod for th soluton of undrctonal flow through straght pps Summary Th work contans th mplmntaton of th Fnt Elmnt Mthod for th soluton of undrctonal flow through straght pps usng a two-dmnsonal grd. Th algorthm was vrfd by numrcal tsts and compard wth analytcal soluton. A numrcal xampls ar prsntd. Th computr program FEM 1D DUCT FLOW was wrttn n Fortran programmng languags. Opracowan zralzowano w ramach pracy własnj nr W/WBIŚ/8/

Podobne dokumenty

Przykład 1 modelowania jednowymiarowego przepływu ciepła

Przykład 1 modelowania jednowymiarowego przepływu ciepła Przykład 1 modlowania jdnowymiarowgo przpływu cipła 1. Modl przpływu przz ścianę wilowarstwową Ściana składa się trzch warstw o różnych grubościach wykonana z różnych matriałów. Na jdnj z ścian zwnętrznych