WYKŁD 4 3 Przestrzei Odwzorowaia Rząd acierzy Twierdzeie Croecera- Capellego 3 Przestrzeń Przestrzeń wetorowa Baza przestrzei wetorowej 78 (Przestrzeń ) Niech ozacza zbiór wszystich ciągów -eleetowych o wyrazach ależących do, to jest zbiór uporządowaych -e liczb rzeczywistych Ciągi taie będziey zapisywali w oluach X x (to jest = ) i azywali wetorai (oluowyi) Wtedy j ij działaia z wetorai (dodawaie wetorów, ożeie przez liczbę (salar)) są zdefiiowae ta sao ja odpowiedie działaia z acierzai: x x2 X X 2 [ xi xi 2], X [ x i ] x x 2 Zbiór z ta zdefiiowayi działaiai azyway przestrzeią liiową lub wetorową (-wyiarową) Eleet X oże być utożsaiay z pute w przestrzei czyli z wetore o początu w zerze i ońcu w ty właśie pucie (jest to wetor wodzący tego putu) Przestrzeń azyway płaszczyzą (liczbową) +B79 (Defiicja) Przestrzeią wetorową ad ciałe F azyway zespół złożoy z dowolego zbioru, z ciała F i dwu działań: dodawaia (wewętrzego) oreśloego w zbiorze i ożeia przez liczbę ze zbioru F (zewętrzego) spełiających astępujące postulaty: 79) dodawaie wetorów jest działaie przeiey: x+y=y+x i łączy: ( x y) z x ( y z) dla dowolych x, y, z ; 792) istieje eleet zerowy 0: x0 x dla dowolego x; 793) dla ażdego eleetu x istieje eleet x przeciwy (odwroty): x ( x) 0; 794) ożeie przez liczbę jest rozdziele względe dodawaia w zbiorze : ( x y) x y ( F; x, y) i względe dodawaia w zbiorze F: ( )x x x (, F; x); 795) ( x) ( ) x (, F; x); 2
796) w F istieje eleet jedostowy tai, że x x, x Eleety azyway wtedy wetorai +B+C80 (Przyłady) 80) jest przestrzeią wetorową ad (tz ad sobą); 802) zbiór wetorów jao sierowaych odciów a płaszczyźie ze stadardowyi działaiai dodawaia i ożeia przez liczbę ad współrzędyi; 803) jest przestrzeią wetorową ad ; 804) zbiór wszystich acierzy o wyiaru ad ; 805) zbiór ciągów zbieżych; 806) zbiór C[0,] wszystich ciągłych fucji oreśloych w zbiorze [0,] itd 8 (Defiicja) Niech j j j ij ; x, x x dla j,2,, Wyrażeie x 2x2 x azyway obiacją liiową wetorów x, x2, x ze współczyiai, 2, Jeżeli 2 0, to obiacja jest trywiala, w przeciwy przypadu obiację azyway ietrywialą 82 (Defiicja) Wetory x, x2, x azyway liiowo zależyi, jeżeli istieje ich ietrywiala liiowa obiacja zerowa, to jest jeżeli istieją liczby, 2,, ie wszystie rówe 0, taie że x 2x2 x 0 () W przeciwy przypadu: x 2x2 x 0 2 0 wetory x, x2, x azyway liiowo iezależyi Zauważy, że wetory x, x2, x są liiowo iezależe wtedy i tylo wtedy gdy uład () rówań xi xi 0 ( i,2,, ) a tylo jedo rozwiązaie (zerowe) +B83 (Twierdzeie) Wetory x, x2, x są liiowo iezależe wtedy i tylo wtedy, gdy det xij 0, gdzie xj xi j dla j,2,, (to zaczy wyzaczi eleetai tórego są współrzede tych wetorów jest róży od zera) +B84 (Twierdzeie) Wetory x, x2, x są liiowo zależe wtedy i tylo wtedy, gdy co ajiej jede z ich oża wyrazić przez obiację liiową pozostałych wetorów
85 (Defiicja) Bazą przestrzei liiowej liiowo iezależych wetorów tej przestrzei będziey azywali zbiór +B86 (Defiicja) Bazą przestrzei liiowej azyway tai zbiór liiowo iezależych wetorów, że dowoly wetor tej przestrzei oża wyrazić przez obiację liiową wetorów bazy Przestrzeń wetorową posiadającą bazę sończoą azyway przestrzeią sończeie wyiarową Wtedy ilość eleetów bazy azyway wyiare przestrzei i ozaczay sybole di Przestrzeń ieposiadającą bazy sończoej azyway przestrzeią iesończeie wyiarową Wtedydi Dla przestrzei sończeie wyiarowej bazę tworzy zbiór wetorów złożoy z ajwięszej liczby liiowo iezależych wetorów tej przestrzei Wtedy bazą przestrzei liiowej będzie zbiór liiowo iezależych wetorów tej przestrzei +B+C87 (Ćwiczeie) Zbadać, tóre przestrzeie z +B+C80 są sończeie wyiarowe i zaleźć ich bazę +B88 (Defiicja) Niepusty podzbiór M przestrzei wetorowej ad ciałe F azyway podprzestrzeią przestrzei, jeżeli 88) x, ym x ym, 882) F; x M xm (dodawaie i ożeie przez liczbę ie wywodzi z M ) Zbiór M jest wtedy sa przestrzeią wetorową ad ciałe F 89 (Defiicja) Wetory e, e2,, e tworzą bazę stadardową (aoiczą), jeżeli acierz eij jest jedostowa, gdzie e j ei j dla j=,, +B90 (Twierdzeie) Każdy wetor przestrzei oża zapisać jao obiację liiową wetorów bazy Współczyii tej obiacji (to jest rozwiięcia wetora w tej bazie) dla daego wetora są wyzaczoe jedozaczie i azywa się współrzędyi tego wetora w tej bazie Niech wetory e, e2,, e i e', e' 2,, e' tworzą dwie róże bazy w Biorąc dowoly wetor x xe xe x' e' x' e' o współrzędych x, x2, x w starej bazie e, e2,, e i x ',, x ' w owej bazie
e',, e ' w przestrzei j=,,), otrzyujey: x x e x ' e' x ' e e ( e x ' ) e i i j j j ij i ij j i i j j i i j (w szczególości, e' e e e e dla j j j Z powyższego oraz z jedozaczości współrzędych (+B90) wyia, że x e x ' dla i=,, Wtedy i i j j j x x x x ' +B9 (Twierdzeie: ziaa bazy) Niech i x ' będą x ' wetorai współrzędych wetora x w odpowiedio (starej) bazie e, e2,, e i w (owej) bazie e ',, e ' w przestrzei Wtedy ożey zapisać relację iędzy staryi x, x2, x i owyi x', x' 2, x ' współrzędyi: x Ex', x' E x, (2) gdzie acierz ij E e azyway acierzą ziay bazy W (2) olua acierzy E jest oluą współrzędych j -go wetora e ' j owej bazy w starej bazie 92 (Defiicja) Baza v,, v przestrzei jest bazą własą acierzy, jeśli ażdy wetor bazy jest wetore własy acierzy Jeżeli baza własa istieje, acierz azyway acierzą prostej strutury +B93 (Twierdzeie) Niech będzie acierzą strutury prostej o wyiaru i v,, v jej bazą własą, S v,, v jest acierzą ziay bazy (baza własa jest ową bazą) Wtedy acierz 0 0 0 2 0 S S diag,, 0 0 jest acierzą diagoalą, gdzie,, są wartościai własyi acierzy 32 Odwzorowaie liiowe Jądro i obraz przeształceia liiowego 94 (Defiicja) Odwzorowaie f : azyway liiowy, jeśli spełia oo astępujące własości: 94) x, y : f ( x y) f ( x) f ( y) (addytywość); j -a
942) x, : f ( x) f ( x) (jedorodość) 95 (Przyład) Odwzorowaie f ( x) x, gdzie a i j, x, jest liiowe ( f : ) Oazuje się, że przyład 95 opisuje wszystie taie odwzorowaia liiowe ( ) +B96 (Twierdzeie) Każde odwzorowaie liiowe f : a postać f ( x) x dla pewej acierzy Dowód (B) Niech wetory e, e2, e i e', e' 2, e' tworzą bazę w i odpowiedio i f ( e ),, f ( e ), gdzie f ( ej) ei je' i (3) Wtedy i i f ( x) f ( x e x e ) x f ( e ) x e e' ( e x ) e' y e' y i Stąd ay i y i i j j j j j (3) j ij i ij j i j j i i j e x dla i,, czyli y x f () x, gdzie x y x, y x y Macierz f ( e ),, f ( e ) azyway reprezetacją acierzową odwzorowaia f : odpowiedio w bazach e, e2, e w i e', e' 2, e ' w B+C97 (Fat) Wszystie przestrzeie wetorowe jedego wyiaru ad jedy ciałe są izoorficze iędzy sobą i są izoorficze przestrzei F (przestrzeń ciągów x,, x eleetów ciała F ) 98 (Defiicja) Odwzorowaie liiowe : T M przestrzei wetorowych i M azyway przeształceie liiowy tych przestrzei (ietórzy autorzy uważają, że M) Wtedy jądre KerT przeształceia liiowego T
azyway zbiór wetorów przestrzei przechodzących w wetor zerowy przestrzei M Syboliczie KerT x: T( x) 0 igdy ie jest zbiore pusty, ay zawsze 0 KerT Obraze przeształceia liiowego T : M azyway zbiór wetorów przestrzei M, w tórych T przeprowadza wetory przestrzei Syboliczie I T ym : y T( x), x ie jest igdy zbiore pusty (wetor zerowy przestrzei M jest zawsze eleete tego zbioru) KerT IT I T 99 (Przyład) Niech T : M będzie przeształceie liiowy Wtedy istieje acierz [ a ij ] taa, że T() x x May zate: KerT Ker jest zbiore rozwiązań uładu jedorodego T jest zbiore wetorów b, dla tórych uład iejedorody x b a rozwiązaie x 0, a I I +B00 (Twierdzeie) Niech przeształceia liiowego T :, a S będzie acierzą ziay bazy w Wtedy acierz S S jest reprezetacją acierzową tego przeształceia w owej bazie Dowód May: x S x', y S y', y T( x) x Stąd wyia: y' S y S x S S x będzie reprezetacją acierzową ' B0 (Twierdzeie) Jądro przeształceia liiowego T : M jest podprzestrzeią przestrzei, a obraz T jest podprzestrzeią przestrzei M +B+C02 (Ćwiczeie) 02 Sprawdzić liiową zależość wetorów: a) abc,, ; b) b, c, d ; jeżeli a, b 2, c, d 3 ; 0 0 3 3 oraz zaleźć współrzęde wetora d w bazie abc,, Sprawdzić, czy wetor d jest obiacją liiową wetorów b i c 022 W jai sposób oża zbadać, czy podae wetory tworzą bazę przestrzei 023 Zaleźć wartości i wetory włase acierzy oraz reprezetację acierzową przeształceia liiowego y x w bazie własej 024 W jai sposób oża sprawdzić liiowość daego odwzorowaia i przedstawić w postaci acierzowej
x 025 Zbadać, czy zbiór y 3 : x y z będzie podprzestrzeią z przestrzei, zaleźć bazę 3 026 Niech ozacza zbiór wieloiaów stopia s, s, i f : P P : 2 p( x) a x a x a ( ) ( ) x a f p a x a x a Zaleźć reprezetację acierzową odwzorowaia f P 0 0 33 Rząd acierzy Twierdzeie Croecera-Capellego def Niech a ij a,, a będzie acierzą o wierszach i oluach ad zbiore (ciałe pozio C) liczb rzeczywistych Każda j-ta olua acierzy jest ciągie eleetów a,, a (ciała ) i oże być a j tratowaa jao eleet (wetor) przestrzei Wtedy ówiy, że oluy acierzy są liiowo zależe, jeżeli istieją ie wszystie rówe zeru liczby rzeczywiste,, taie, że ai 0 ai W przeciwy przypadu tz jeżeli ai 0 ai to 2 0, ówiy, że oluy są liiowo iezależe Podobie defiiujey liiową zależość, iezależość wierszy a,, i a i 03 (Defiicja) Rzęde (oluowy) acierzy azyway ajwięszą liczbę olu acierzy liiowo iezależych Na ozaczeie tej liczby używay sybolu ra lub rz Doładiej: rz p, jeżeli istieje wśród olu acierzy olu liiowo iezależych i jeżeli ażde p olu są liiowo zależe B+C04 (Twierdzeie) Niech Wtedy rząd oluowy acierzy jest rówy wyiarowi podprzestrzei przestrzei geerowaej przez oluy acierzy, to jest rz di{ a a : i ; i,, } ; wyiare przestrzei wetorowej azyway ajwięszą liczbę liiowo iezależych wetorów tej przestrzei B05 (Uwaga) Przestrzeń jest -wyiarowa, a acierz a olu Ty say wyiar przestrzei geerowaej przez oluy acierzy ie oże przeraczać ai liczby, ai liczby Zate rz i{, } j j p
+B06 (Uwaga) Macirzy przy dowolie ustaloych bazach e,, e e',, e ' przestrzei i odpowiada przeształceie liiowe T :, T( x) x Rzęde azyway wyiar przestrzei I Eleetai j-ej oluy acierzy są przy ty współrzęde względe bazy e ',, e ' wetora Masyala ilość liiowo iezależych wetorów T( e ),, T( e ) jest ty say rówa rzędowi acierzy Z drugiej stroy liczba ta jest rówa wyiarowi przestrzei Zate rzt rz di I i to iezależie od wyboru baz przestrzei IT i T rzt przeształceia liiowego T ( e ) +B07 (Twierdzeie: operacje eleetare a oluach) Rzędu oluowego acierzy ie zieia żada z trzech astępujących operacji: 07) przestawieie dwu dowolych olu, 072) poożeie przez liczbę różą od zera tórejolwie oluy, 073) dodaie do tórejś oluy iej oluy poożoej przez dowolą liczbę ciała Scheat dowodu Dla 07): wetory a,, ai,, a j,, a są liiowo iezależe (wetory a,, a j,, ai,, a są liiowo iezależe); dla 872): wetory a,, a są liiowo iezależe ( a i ai iai iai a 0 i i i 0) ( a ia i i ( ai ) iai i a 0 i i 0) wetory a,, ai, ai, ai,, a są liiowo iezależe( 0) ; dla 873): a,, a,, a,, a są liiowo iezależe a,, a,, a a a,, a są i j liiowo iezależe B j T i j i +B08 (Uwaga) W podoby sposób oża zdefiiować (oreślić) rząd wierszowy rzw acierzy jao ajwięszą liczbę wierszy liiowo iezależych, jeżeli będziey tratować ciągi eleetów ai,, a i ( i,, ) jao wetory (o współrzędych a,, a ) przestrzei Rzędu wierszowego i acierzy ie zieia żada z trzech astępujących operacji (azyway je operacjai eleetaryi a wierszach): 08) przestawieie dwu dowolych wierszy, 082) poożeie tóregoolwie wiersza przez dowoly eleet ciała róży od zera, 083) dodaie do tóregoolwie wiersza iego wiersza poożoego przez dowoly eleet ciała i i
09 (Defiicja) Rzęde acierzy azyway podwyzaczi (ior) tej acierzy ajwięszego stopia róży od zera i ozaczay jao rz ra lub +C0 (Twierdzeie: rząd acierzy) Rząd oluowy i rząd wierszowy acierzy są rówe iędzy sobą i są rówe rzędowi acierzy, to jest ra rz rz w (Uwaga: obliczeie rzędu) Operacje eleetare a wierszach oża powtarzać oraz łączyć ze sobą i z aalogiczyi operacjai a oluach dowolą ilość razy Otrzyae a tej drodze owe acierze ają zawsze te sa rząd, co acierz Moża wyazać (+B), że za poocą operacji I 0 eleetarych ażda acierz jest sprowadzala do postaci E r 0 0, gdzie ozacza acierz jedostową stopia r, a zera wsazują, że wszystie I r eleety tej acierzy są zerai, to jest eij 0 dla i j, gdzie E e ij Wtedy obliczeie rzędu acierzy ie sprawia już żadych trudości: ra ra E r B2 (Uwaga) Macierz ij a azyway rówoważą acierzy ij B b, jeżeli istieją acierze (wadratowe) ieosobliwe P i Q taie, że =PBQ Wtedy dwie acierze o wierszach i oluach są rówoważe wtedy i tylo wtedy gdy ich rzędy są rówe, w szczególości acierz E jest I 0 rówoważą acierzy : PQ E r 0 0 jeżeli r ra +B3 (Własości rzędu) Niech jest acierzą o wierszach i oluach 3 Rząd dowolej acierzy jest rówy rzędowi jej acierzy T T traspoowaej, to jest ra ra 32 Macierz wadratowa stopia jest ieosobliwa wtedy i tylo wtedy gdy jej rząd wyosi Rząd acierzy odwrotej rówież rówy jest 33 Dla dowolych dwu acierzy i B, dla tórych oreśloy jest iloczy B, zachodzi ierówość ra( B) i{ ra, rab} Jeżeli jest acierzą wadratową ieosobliwą, to ra( B) ra B, a jeżeli B jest acierzą wadratową ieosobliwą, to ra( B) ra
B+C4 (Własości rzędu) Niech jest acierzą o wierszach i oluach, a T : R R jest przeształceie liiowy: T ( x) x Wtedy 4) ra rz rzw rat diit i{, } ; 42) ra di KerT ; gdzie KerT Ker jest zbiore (jądro przeształceia jedorodego T jest zbiore (obraz przeształceia wetorów b x 0, a I I, dla tórych uład iejedorody x b T ) rozwiązań uładu T ) a rozwiązaie B+C5 (Uwaga) W sposób podoby 03, +B08, 09 oża oreślić rząd acierzy ad ciałe liczb zespoloych i w ogólości ad dowoly ciałe F Wracay teraz do uładów rówań liiowych: a x a x a x b, 2 2 a x a x a x b, 2 22 2 2 2 a x a x a x b 2 2 czyli w postaci acierzowej x b, (4) gdzie x b aij, x, b x b Macierz o wierszach i + oluach def [ b, ] a a b a a b powstającą z acierzy współczyiów uładu (4) przez dołączeie oluy wyrazów wolych azyway acierzą uzupełioą uładu (4) Stąd ay ryteriu rozwiązalości uładu (4) +B6 (Twierdzeie Kroeeera-Capellego) Uład rówań liiowych (4) a co ajiej jedo rozwiązaie wtedy i tylo wtedy, gdy rząd acierzy tego uładu rówy jest rzędowi acierzy uzupełioej, to zaczy
ra[, b] ra (5) Scheat dowodu Niech [ a a ], gdzie wetory ozaczają oleje oluy acierzy współczyiów W przyjętych ozaczeiach uład () jest rówoważy rówaiu x a xa b (6) Uład (6) posiada więc co ajiej jedo rozwiązaie wtedy i tylo wtedy, gdy wetor b daje się przedstawić, jao obiacja liiowa wetorów a,, a, a to właśie ozacza, że rzędy acierzy uładu i acierzy uzupełioej są rówe a,, a +B7 (Wiose) by uład rówań liiowych (4) dla dowolych wyrazów wolych posiadał co ajiej jedo rozwiązaie, potrzeba i wystarczy, by rząd acierzy uładu był rówy ilości rówań (wierszów): ra B8 (Uwaga) Warue (5) jest rówoważy waruowi +B58 eliiacji Gaussa ' br 0 w etodzie B+C9 (Uwaga) Twierdzeie Kroeeera-Capellego pozostaje prawdziwe dla uładów rówań liiowych ad dowoly ciałe F +B+C20 (Ćwiczeia) 20 Macierz azyway podobą do acierzy B jeżeli istieje ieosobliwa acierz wadratowa T taa, że T BT Macierze i B są podobe wtedy i tylo wtedy, gdy reprezetują jedo przeształceie liiowe przestrzei w różych bazach 202 Niech [ a ij ], gdzie i ra Sprawdzić T wtedy że acierz jest ieosobliwa 203 Sprawdzić liiowość odwzorowaia, tóre ożey opisać geoetryczie jao obrót o ąt doooła putu (0, 0) Zaleźć reprezetację acierzową tego odwzorowaia oraz reprezetację acierzową w bazie własej +B2 (Ćwiczeia) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 2 Obliczyć rząd acierzy 2 0 9 8 7 6 5 4 3 2 22 Dla jaich wartości paraetru p uład rówań
( p) x x2 x3 x4 a( a ) 2x 2x2 2x3 2x4 2 4 x (6 p) x2 4x3 4x4 4 6x 6x2 6x3 px4 6 a) a rozwiązaie, b) a tylo jedo rozwiązaie?