Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12 1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów x n, x w przestrzeni metrycznej E δ xn δ x wtedy i tylko wtedy gdy x n x. 2. Wykaż, że 1 n n k=1 δ k/n λ, gdzie λ jest miar a Lebesgue a na [0, 1]. 3. Udowodnij, że jeśli X n c gdzie c jest sta l a to X n c wed lug prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe X n, X przyjmuj a tylko wartości ca lkowite. Wykaż, że X n X wtedy i tylko wtedy gdy P (X n = k) P (X = k) dla wszystkich liczb ca lkowitych k. 5. Udowodnij, że N (a n, σ 2 n) N (a, σ 2 ) wtedy i tylko wtedy gdy a n a, σ 2 n σ 2. 6. Niech g Xn, g X bȩd a gȩstościami rzeczywistych zmiennych losowych. Wykaż, że jeśli g Xn (t) g X (t) dla p.w. t to X n X. 7. Udowodnij, że jeśli X n X, p > 0 oraz sup n E X n p < to E X p <, ale niekoniecznie E X n p E X p. Jest to jednak prawd a gdy dla pewnego ε > 0, sup n E X n p+ε <. 8. Niech x (0, 1) bȩdzie liczb a niewymiern a. Wykaż,że 1 n n δ {kxmod1} λ, k=1 gdzie λ jest miar a Lebesgue a na [0, 1]. Co siȩ dzieje, gdy x jest wymierne? 9. a) Wykazać, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X n X wtedy i tylko wtedu gdy istniej a zmienne losowe X n X n i X X takie, że Xn jest zbieżny do X wed lug prawdopodobieństwa. b) Udowodnij powyższe stwierdzenie gdy X n, X maj a wartości w dowolnej przestrzeni metrycznej (E, ρ). 10. Udowodnij, że jeśli dla wszystkich n, X n jest niezależne od Y n, X niezależne od Y oraz X n X i Y n Y to (X n, Y n ) (X, Y ). 11. Wykaż, że d(µ, ν) = inf{ε : t F µ (t ε) ε < F ν (t) < F µ (t + ε) + ε} definiuje metrykȩ na wszystkich rozk ladach probabilstycznych na R zgodn a ze s lab a zbieżności a (tzn. µ n µ d(µ n, µ) 0). 12. Zmienne losowe X n s a niezależne. Wykaż, że n=1 X n jest zbieżny wed lug rozk ladu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny wed lug prawdopodobieństwa. 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 13 1. Wykaż, że jeśli X n X oraz dystrybuanta F X jest ci ag la to F Xn zbiega jednostajnie do F X. 2. Niech X n bȩdzie pierwsz a wspó lrzȩdn a rozk ladu jednostajnego na kuli jednostkowej w R n. Udowodnij, że nx n N (0, 1). 3. Wykaż, że rodzina zmiennych N (a α, σ 2 α) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup α a α <, sup α σ 2 α <. 4. Udowodnij, że twierdzenie Prochorowa zachodzi na przestrzeni polskiej tzn. metrycznej, zupe lnej, ośrodkowej. 5. Oblicz funkcje charakterystyczne podstawowych rozk ladów tzn. a) geometrycznego z parametrem p b) Poissona z parametrem λ c) dwumianowego z parametrami n, p d) jednostajnego na przedziale [a, b] e) normalnego N (a, σ 2 ) f) eksponencjalnego z parametrem λ g) Cauchy ego z parametrem h. 6. Które z nastȩpuj acych funkcji s a funkcjami charakterystycznymi: cos t, cos 2 t, 1 4 (1 + eit ) 2, 1+cos t 1 2, 2 e? it 7. Udowodnij, że jeśli ϕ X (0) istnieje to EX2 < 8. Wykaż, że dla zmiennych X przyjmuj acych tylko wartości ca lkowite zachodzi P (X = k) = 1 π e ikt ϕ X (t)dt. 2π π 9. Udowodnij, że jeśli X ma rozk lad ci ag ly z gȩstości a g to ϕ X (t) dla t. 2

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 14 1. Funkcja ϕ jest funkcj a charakterystyczn a pewnej zmiennej losowej. Czy funkcje a)ϕ 2, b) Reϕ, c) ϕ 2, d) ϕ musz a być funkcjami charakterystycznymi? 2. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy gdy ϕ X (t) R dla wszystkich t. 3. Udowodnij, że splot rozk ladów Cauchy ego ma rozk lad Cauchy ego? 4. Udowodnij, że jeśli ε 1, ε 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P (ε i = ±1) = 1/2 to zmienna n=1 2 n ε n ma rozk lad jednostajny na [ 1, 1]. 5. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że ϕ X+Y = ϕ X ϕ Y oraz zmienne X, Y s a zależne. 6. a) Udowodnij, że ϕ(x) = (1 x )I ( 1,1) (x) jest funkcj a charakterystyczn a b) Udowodnij, że jeśli ϕ : R R jest parzysta, wypuk la i malej aca na [0, ), kawa lkami liniowa oraz ϕ(0) = 1 to ϕ jest funkcj a charakterystyczn a. c)udowodnij, że jeśli ϕ : R R jest parzysta, wypuk la i malej aca na [0, ) oraz ϕ(0) = 1 to ϕ jest funkcj a charakterystyczn a. 7. Wykaż, że funkcja e t α a) jest funkcj a charakterystyczn a dla 0 < α 1 b) nie jest funkcj a charakterystyczn a dla α > 2 c) jest funkcj a charakterystyczn a dla 1 < α 2. 8. Zmienna X ma funkcjȩ charakterystyczn a ϕ X (t) = e t α dla pewnego α (0, 2]. Co można powiedzieć o rozk ladzie zmiennej ax + by, gdzie a, b R, a Y jest niezależn a kopi a X. 3

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 15 1. Udowodnij, że uk lad trójk atny X n,k = X k n, k = 1,..., n, gdzie X 1, X 2,... s a niezależnym zmiennymi losowymi o wspólnym rozk ladzie spe lnia warunek Lindeberga. 2. Rzucamy 1000 razy kostk a. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek bȩdzie miȩdzy 3400 a 3600. 3. Niech X 1, X 2,... bȩd a niezależnym zmiennymi losowymi takimi, że P (X n = ±1) = 1 2 (1 1 n 2 ), P (X n = ±n) = 1 2n 2. Udowodnuj, że V (X n ) 2 oraz X 1 + X 2 +... + X n n N (0, 1) wed lug rozk ladu. 4. Wykaż, że warunek Lyapunowa δ>0 lim E X n,k EX n,k 2+δ = 0 n k k n implikuje warunek Lindeberga (zak ladamy, że s 2 n σ 2 ). 5. Zmienne X λ maj a rozk lad Poissona z parametrem λ. Wykaż, że 6. Udowodnij, że X λ λ λ N (0, 1) wed lug rozk ladu gdy λ. lim n k n e n k! = 1 2. k n 7. Zmienne X 1, X 2,... s a niezależne oraz P (X i = a) = P (X i = 1/a) = 1/2 dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Z n = (X 1 X 2 X n ) 1/ n s a zbieżne wed lug rozk ladu i znajdź rozk lad graniczny. 8. Dana jest zmienna losowa X taka, że EX 2 < oraz X 1 2 (Y + Z), gdzie Y, Z s a niezależnymi kopiami X. pewnego σ 0. Wykaż, że X N (0, σ 2 ) dla 4

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 16 1. Podaj przyk lad zależnych zmiennych losowych X, Y o rozk ladzie N (0, 1) takich, że Cov(X, Y ) = 0. 2. Udowodnij, że zmienna X N (a, B) ma gȩstośś wtedy i tylko wtedy gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona detc (C(x a),x a) g X (x) = e 2, gdzie C = B 1. (2π) d/2 3. Za lóżmy, że zmienne X n = (X n,1, X n,2,..., X n,n ) maj a rozk lad jednostajny na kuli B(0, n) o środku w 0 i promieniu n. Wykaż, że dla każdego k, zmienne (X n,1, X n,2,..., X n,k ) zbiegaj a wed lug rozk ladu do N (0, Id k ). 4. Niech X 1, X 2,... bȩdzie ci agiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie takim, że EX i = 0, EX 2 i = 1 oraz S n (t) = 1 n ı [nt] X i dla t 0, n = 1, 2,.... Udowodnij, że dla dowolnych 0 t 1 < t 2 <... < t k ci ag wektorów losowych (S n (t 1 ), S n (t 2 ),..., S n (t k )) jest zbieżny wed lug rozk ladu. Jak wygl ada rozk lad graniczny? 5

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 17 1. Zmienne τ i σ s a momentami zatrzymania. Wykaż, że τ σ, τ σ, τ +σ s a momentami zatrzymania. Czy τ 1, τ +1 też s a momentami zatrzymania (przyj ać T = N)? 2. Zmienne losowe (X n ) s a adaptowalne wzglȩdem filtracji (F n ) n=0. Udowodnij, że nastȩpuj ace zmienne losowe s a momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B a) τ 1 = inf{n : X n B} - pierwsza wizyta w zbiorze B b) τ k = inf{n > τ k 1 : X n B}, k = 2, 3,... - k-ta wizyta w zbiorze B. 3. Wykaż, że jeśli τ, σ s a momentami zatrzymania (T = N) to a) jeśli τ t to F τ = F t b) jeśli τ < σ to F τ F σ c) A F τ wtedy i tylko wtedy gdy A F oraz A {τ = t} F t dla wszystkich t. 4. Zmienne τ i σ s a momentami zatrzymania wzglȩdem filtracji (F n ) n=0. Udowodnij, że {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} F τ F σ oraz F τ F σ = F τ σ. 5. Niech X 1, X 2,... bȩd a niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X i = ±1) = 1/2, S n = X 1 + X 2 +... + X n oraz τ = inf{n : S n = 1}. Wykaż, że Eτ =. 6. Zmienne X 1, X 2,... s a niezależne oraz E X i < dla wszystkich i. Udowodnij, że M n = X 1 X 2 X n jest martynga lem wzglȩdem F n = σ(x 1,..., X n ) wtedy i tylko wtedy gdy EX i = 1 dla wszystkich i lub X 1 = 0 p.n.p. 7. Niech S n = X 1 +X 2 +...+X n oraz F n = σ(x 1,..., X n ), gdzie X 1, X 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie takim, że EXi 2 <. Znajdź liczby a n, b n dla których Sn 2 + a n S n + b n jest martynga lem wzglȩdem F n. 8. Zmienne X 1, X 2,... s a niezależne o wspólnym rozk ladzie N (0, 1), S n = X 1 + X 2 +... + X n oraz F n = σ(x 1,..., X n ). Dla λ > 0 znajdź liczby a n takie, że (e λsn an, F n ) jest martynga lem. 6

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 18 1. Niech (X n, F n ) bȩdzie adaptowalnym ci agiem ca lkowalnym. Udowodnij, że jest on martynga lem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatryzmania τ, EX τ = EX 0. 2. Niech (X n, F n ) bȩdzie adaptowalnym ci agiem ca lkowalnym. Udowodnij, że X n = Y n + Z n, gdzie Y n jest martynga lem, a Z n ci agiem prognozowalnym. Wykaż, że X n jest nadmartynga lem wtedy i tylko wtedy gdy Z n jest niemalej acy. 3. Egzaminator przygotowa l na egzamin 20 zestawów pytań. Każdy z 15 zdaj acych studentów losuje 1 zestaw, który później nie jest już używany. Student S zna odpowiedź na dok ladnie 10 z 20 zestawów. Od wychodz acych z egzaminu dowiaduje siȩ jakie pytania s a już wylosowane. Jaka jest optymalna strategia (wybór momentu wejścia na egzamin) maksymalizuj aca szanse zdania egzaminu przez S? 4. X 1, X 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozk ladzie takim, że EX 2 i <. Udowodnij, że E(S τ τex 1 ) 2 = EτV (X 1 ). 5. X 1, X 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś t liczb a rzeczywist a tak a, że ϕ Xn (t) 0 dla n = 1, 2,.... Udowodnij, że e itsn j n ϕ X j (t), gdzie S n = X 1 + X 2 +... + X n jest martynga lem wzglȩdem filtracji generowanej przez (X n ). Wywnioskuj st ad, że n=1 X n zbiega wed lug rozk ladu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.n.p. 6. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze or la i reszkȩ monet a niesymetryczn a. 7. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinȩ któregoś z graczy w grze or la i reszkȩ a) monet a symetryczn a b) monetȩ niesymetryczn a. 8. Gracz A dysponuje nieskończonym kapita lem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie 1 z l. przez A w grze or la i reszkȩ a) monet a symetryczn a b) monetȩ niesymetryczn a. 9. Podaj przyk lad martynga lu X n takiego, że X n 0 p.n.p. oraz E X n. 10. Niech (X n, F n ) 0 n= bȩdzie martynga lem (z tzw. czasem odwróconym). Udowodnij, że granica X = lim n X n istnieje. Co można powiedzieć o X? 7

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 19 1. Podaj przyk lad martynga lu takiego, że sup n E X n <, który nie jest zbieżny w L 1. 2. Udowodnij, że dla podmartynga lu (X n, F n ) n=0 t>0 P ( max 1 k n X k > t) 3 max 1 k n E X k t oraz w przypadku X n 0 lub X n 0 dla wszystkich n, sta l a 3 można zamienić na 1. 3. Wyprowadź z poprzedniego zadania nierówność Ko lmogorowa k P ( max X i > t) 1 1 k n t 2 i=1 n EXi 2 i=1 dla niezależnych zmiennych losowych X i takich, że EX i = 0. 4. Udowodnij, że istnieje sta la C < taka, że dla dowolnego martynga lu (X n, F n ) n=0 zachodzi E sup n X n C(1 + sup E X n ln + X n ). n 5. Udowodnij, że jeśli zmienne losowe X n s a zbieżne w L p, p 1 to X n p jest jednostajnie ca lkowalny (zatem X n X w L p wtedy i tylko wtedy gdy X n X wed lug prawdopodobieństwa oraz X n p jest jednostajnie ca lkowalny). 6. Wykaż, że jeśli X t i Y t s a jednostajnie ca lkowalne to dla dowolnych a, b R, ax t + by t jest jednostajnie ca lkowalny. 7. Znajdź jednostajnie ca lkowalny ci ag X n taki, że E sup n X n =. ϕ(x) 8. Niech ϕ : R + R + spe lnia warunek lim x x =. Wykaż, że jeśli sup t Eϕ( X t ) < to (X t ) jest jednostajnie ca lkowalny. 9. Dany jest ci ag zmiennych losowych X 1, X 2,... o jednakowym rozk ladzie taki, że E X i <, niech S n = X 1 +... + X n, F n = σ(s n, S n+1,... ). a) Udowodnij, że ( Sn n, F n) jest martynga lem z czasem odwróconym. b) Wywnioskuj st a silne prawo wielkich liczb Ko lmogorowa Sn n EX i p.w. i w L 1. 8

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 20 1. Dany jest zbiór przeliczalny E i funkcje borelowskie ϕ n : E R R, n = 1, 2,... (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E s a mierzalne). Zmienne losowe X 0 o wartościach w E i U 1, U 2,... o wartościach rzeczywistych s a niezależne. Udowodnij, że ci ag (X n ) n=0 zdefiniowany rekurencyjnie wzorem X n+1 = ϕ n (X n, U n ) jest lańcuchem Markowa. 2. Dwa lańcuchy Markowa (X n ), (Y n ) z macierz a przejścia P s a niezależne. Udowodnij, że Z n = (X n, Y n ) też jest lańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia. 3. Zmienne ε 0, ε 1,... s a niezależne oraz P (ε i = ±1) = 1/2. Czy ci agi X n = ε n ε n+1, Y n = ε n + ε n+1 s a lańcuchami Markowa? 4. (X n ) jest lańcuchem Markowa o wartościach w E. Czy dla dowolnej funkcji f : E E, (f(x n )) musi być lańcuchem Markowa? 5. Zmienne X 0, X 1,... s a niezależne oraz P (X i = 1) = 1 P (X i = 1) = p (0, 1), S n = X 1 + X 2 +... + X n, M n = max(s 1, S 2,..., S n ). Które z ci agów S n, M n, M n S n s a lańcuchami Markowa? Znajdź odpowiednie macierze przejścia. 6. Udowodnij, że lańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma w laściwych podzbiorów zamkniȩtych. 7. Wykaż, że skończony lańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracaj acy. 8. Rozpatrzmy b l adzenie w Z k z macierz a przejścia p x,y = 1 2k gdy k i=1 x i y i = 1 oraz p x,y = 0 dla pozosta lych x, y. Dla jakich k jest to b l adzenie powracalne? 9. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to n=0 p x,y(n) < dla wszystkich x, w szczególności lim n p x,y (n) = 0. 10. Udowodnij, że lańcuch Markowa jest powracaj acy wtedy i tylko wtedy gdy F x,y = 1 dla wszystkich x, y. 11. Dane s a dwa niezależne b l azenia symetryczne X n, Y n na prostej (lub ogólniej w Z k ). Czy P ( n 1 X n = Y n ) = 1 tzn. czy z prawdopodobieństwem 1 b l adzenia siȩ kiedyś przetn a? 12. Prawopodobieństwo, że bakteria ma n potomków wynosi p n dla n = 0, 1,.... Zak ladaj ac, że bakterie w ntym pokoleniu rozmnażaj a siȩ równocześnie i niezależnie udowodnij, że populacja bakterii (licz aca w chwili 0, N > 0 bakterii) nigdy nie wyginie z prawdopodobieństwem dodatnim wtedy i tylko wtedy gdy k=0 kp k > 1. 9

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 21 1. Niech (X n ) bȩdzie nieprzywiedlnym okresowym lańcuchem Markowa na E z macierz a przejścia P i okresem d > 1. Udowodnij, że istnieje rozk lad E = S 1 S 2... S d taki, że zbiory S i spe lniaj a warunki: a) p xy > 0 x S i, y S i+1 dla pewnego i = 1, 2,..., d (przyjmujemy S d+1 = S 1 ). b) na każdym S i macierz (p xy (d)) x,y Si definiuje nieprzywiedlny, nieokresowy lańcuch Markowa. 2. W dwu urnach znajduje siȩ l acznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulȩ i przenosimy j a do innej urny. Znajdź rozk lad stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie. 3. Ci ag niezależnych zmiennych losowych Y 1, Y 2,... ma wspólny rozk lad taki, że P (Y i = 1) = 1 P (Y i = 1) = p. Definiujemy rekurencyjnie ci ag X n wzorami X 0 = 1, X n+1 = max(x n, 1) + Y n. Wykaż, że ci ag ten jest lańcuchem Markowa. Znajdź rozk lad stacjonarny o ile istnieje. 4. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym lańcuchu Markowa każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy z prawdopodobieństwem 1. 5. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. jest piekarzem? 6. Udowodnij twierdzenie o istnieniu rozk ladu stacjonarnego dla lańcuchów z przeliczaln a przestrzeni a stanów bez używania twierdzenia Brouwera. 10

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 22 1. Udowodnij, że dla lańcuchów Markowa ze skończon a przestrzeni a stanów E i dowolnego niepustego podzbioru F E uk lady równań p F (x) = 1 dla x F p F (x) = y E p xyp F (y) dla x / F p F (x) = 0 jeśli n y F p xy (n) = 0 m F (x) = 0 dla x F m F (x) = 1 + y E p xym F (y) dla x / F m F (x) = jeśli p F (x) < 1 maj a dok ladnie jedno rozwi azanie 2. Po wierzcho lkach sześcianu porusza siȩ w sposób losowy mucha - w każdym kroku z prawdopodobieństwem 1/3 przenosi siȩ do jednego z s asiednich wierzcho lków. Oblicz prawdopodobieństwo, że mucha powróci do punktu wyjścia nie odwiedzaj ac wcześniej przeciwleg lego wierzcho lka oraz średni a liczbȩ kroków jakie zajmie jej powrót do punktu wyjścia W zadaniach 3 6 W = (W t ) t [0, ) jest procesem Wienera 3. Udowodnij, że nastȩpuj ace procesy też s a procesami Wienera a) X t = W t (odbicie) b) Y t = c 1/2 X ct, c > 0 (przeskalowanie czasu) c) Z t = tx 1/t dla t > 0 oraz Z 0 = 0 (inwersja czasu) d) U t = X T +t X T, T 0 e) V t = X t dla t T, V t = 2X T X t dla t > T, gdzie T 0. 4. Udowodnij, że W t i W 2 t t s a martynga lami wzglȩdem filtracji F t = σ(w s : s t), t 0. 5. Udowodnij, że lim t W t t = 0 p.n.p. 6. Niech π n = {t (n) 0, t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) 0 < t (n) 1 <... < t (n) k n = b bȩdzie ci agiem podzia lów odcinka [a, b] oraz π n = max k t (n) k t (n) k 1 oznacza średnicȩ π n. Udowodnij, że S n = k n k=1 W t (n) k W (n) t 2 b a, n w L 2 (Ω, F, P ), k 1 jeśli π n 0 oraz S n b a p.n.p., jeśli n π n <. 7. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera maj a nieskończone wahanie na każdym przedziale. 11