P(U 1 > max{u 2,..., U 1000 } U 1 = s)dp U1 (s).

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "P(U 1 > max{u 2,..., U 1000 } U 1 = s)dp U1 (s)."

Transkrypt

1 Kolokwium poszło gorzej, niż miałem nadzieję, a lepiej, niż się obawiałem. Maksymalny wynik to 74 punkty na 20), średnia to 55,6, zaś mediana to 50. Grupy były dość równe w jednej średnia to 54,5, w drugiej 56,7), choć rozkład w poszczególnych zadaniach był zupełnie inny przykładowo średni wynik z tw. Poissona był około dwa razy wyższy w grupie drugiej, a z funkcji charakterystycznej w grupie pierwszej). Pewnie po prostu mamy zbyt małą próbkę, by stosować twierdzenia graniczne. Zadanie. 5) Józek gra wraz z tysiącem kolegów w jedną liczbę. Gra w jedną liczbę polega na tym, że jeden z graczy jest rozdającym i rozdaje każdemu z pozostałych graczy niezależną losową liczbę z odcinka [0, ]. Zwycięzcą danej partii zostaje ten gracz, który wylosował największą liczbę. Józek i koledzy grają 00 gier, żeby każdy raz rozdawał. Udowodnij, ze prawdopodobieństwo, że Józek wygra przynajmniej 3 razy leży w przedziale [7, 5%, 8, 5%]). Zadanie odpowiada zadaniu 0 z drugiej grupy. Średnia z tego zadania oraz zadania 0 to 9,5 punkta na 5. Dowód. Niech X i to indykator zdarzenia, że Józek wygrał w i tej partii. Zdarzenia X i są niezależne, bo partie są niezależne. W partii, w której Józek rozdaje, nie może wygrać bo nie gra), niech pozostałe partie odpowiadają zmiennym X,..., X 000. Wpierw udowodnijmy, że PX i ) Pierwszy dowód to spostrzeżenie, że żaden z graczy nie jest wyróżniony poza rozdającym), a zatem prawdopodobieństwo wygrania któregokolwiek z nich poza rozdającym) w danej partii musi być równe. Ktoś wygra z prawdopodobieństwem, zatem PX i ) Drugi dowód to po prostu obliczenie. Ustalmy konkretną partię, niech U i oznacza liczbę wyrzuconą przez i tego gracza, gdzie Józkowi nadamy numer. Wtedy PX i ) PU > max{u 2,..., U 000 } R PU > max{u 2,..., U 000 } U s)dp U s). Zmienna U ma rozkład jednostajny na odcinku, czyli dp U s) ds na [0, ] i 0 wszędzie indziej to jest prawdopodobieństwo warunkowe, ale można też traktować to jako prawdopodobieństwo geometryczne na [0, ] 000 ). Zatem korzystając z niezależności U i mamy PX i ) 0 PU 2 < s,..., U 000 < s)ds 0 PU 2 < s)... PU 000 < s)ds 0 s 999 ds 000. Mając to będziemy stosować tw. Poissona. Interesuje nas takie zdarzenie, że Józek wygra przynajmniej 3 razy, czyli P 000 i X i 3). Oznaczmy S i, jest to schemat Bernoulliego z p 0.00 i n 000, czyli λ i na mocy tw. Poissona Teraz trzeba policzyć PS 000 3) PP 3) np PP 3) PP 0) PP ) PP 2) e 0 0! 2 e e! 2! 2.5e 0.08 na mocy przybliżenia e danego na kolokwium. Zatem PS 000 3) , czyli PS 3 3) Zadanie 0 było nieomalże identyczne, tylko liczyło się pierwsze dwa trafienia, zamiast pierwszych trzech, a n /p 00 zamiast 000.

2 Zadanie 2. 20) Rozważmy jednorodny łańcuch Markowa o macierzy przejścia ) Znajdź stany nieistotne, pochłaniające oraz wszystkie zamknięte zbiory stanów. Jeśli X 0 s 3 czyli stan odpowiadający trzeciej kolumnie i trzeciemu wierszowi), to znajdź prawdopodobieństwo, że X 00 s 3. To zadanie odpowiada zadaniu z drugiej grupy. Średnia tego zadania oraz zadania to 2,8 punkta na 20. Dowód. Dla uproszczenia notacji będę pisał i zamiast s i. Wpierw sprawdźmy, które stany są osiągalne z których. W jednym ruchu stan jest osiągalny tylko z 2, stan 2 z i 2, stan 3 z 3 i 5, stan 4 z 4 i stan 5 z 3. Widzimy więc od razu, że ze stanu 4 osiągalny jest tylko stan 4, zatem zbiór {4} jest zamknięty, zaś stan 4 pochłaniający. Dalej zbiór {3, 5} jest zamknięty bo z żadnego z tych stanów nie wychodzi się na zewnątrz), zaś 3 i 5 się komunikują tj. są osiągalne z siebie nawzajem), czyli {3, 5} stanowi nieprzywiedlny podłańcuch. Analogicznie {, 2} stanowi stan zamknięty i nieprzywiedlny podłańcuch. Zbiorami zamkniętymi są też oczywiście sumy zbiorów zamkniętych, czyli {, 2, 4}, {, 2, 3, 5}, {3, 4, 5} oraz {, 2, 3, 4, 5}. Nie ma stanów nieistotnych, bo każdy stan należy do pewnego nieprzywiedlnego podłańcucha a zatem komunikuje się ze wszystkimi stanami, które są z niego osiągalne). Jeśli X 0 3, to X n z prawdopodobieństwem należy do zamkniętego zbioru {3, 5} dla każdego n. W tym zbiorze stanów macierz przejścia to M ). Jej wielomian charakterystyczny to λ0.2 λ) 0.8 λ 2 0.2λ 0.8, którego pierwiastkiem jest bo zawsze jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, patrz zadanie 4, seria 3, to zdaje się było też na wykładzie), drugi pierwiastek dostajemy dzieląc wielomiany, λ 2 0.2λ 0.8)/λ ) λ + 0.8, czyli druga wartość własna to 0.8. Ostatnio poznałem też taką sztuczkę, że jeśli mamy dwie wartości własne, to ich iloczyn jest równy wyznacznikowi, zaś skoro jedna jest jedynką, to ta druga jest równa wyznacznikowi. Tu wyznacznik to 0.8, czyli wychodzi tak samo, ale chyba jeszcze trochę szybciej. Na mocy równań Chapmana Kołmogorowa mamy PX 00 3) 0 ) M 00 0 ), zatem trzeba któryś z wektorów ten po prawej lub ten po lewej) rozłożyć na wektory własne. Na ćwiczeniach rozkładaliśmy ten z lewej, więc teraz też tak zrobimy. Potrzebujemy wektorów własnych. Ten odpowiadający λ spełnia v vm, czyli v 0.2v +v 2, skąd 0.8v v 2, czyli przykładowo v 5, 4). Drugi wektor własny spełnia 0.8w 0.2w + w 2, czyli w w 2, czyli np. w, ). Wtedy, 0) v + 4 w, a zatem 9 9, 0)M 00 9 v + 4 ) 9 w M 00 9 v )00 w , , skąd PX 00 3) 0 ) M 00 0 )

3 W zadaniu pochłaniający był stan 2, stany i 5 były nieistotne, zaś zbiory {, 2, 5}, {, 2}, {2} i {3, 4} oraz ich sumy były zamknięte, wynikiem było po identycznym rozumowaniu PX 00 3) Zadanie 3. 5) Sformułuj Twierdzenie Prochorowa, wyjaśnij wszystkie użyte pojęcia. Średnia z tego zadania to 0,5 na 5. Dowód. Rodzina miar probabilistycznych jest słabo prezwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest jędrna. O rodzinie miar probabilistycznych mówimy, że jest słabo prezwarta, gdy z każdego ciągu jej elementów można wybrać podciąg słabo zbieżny do miary probabilistycznej. Ciąg miar µ n jest słabo zbieżny do miary µ, gdy fx)dµ n x) fx)dµx) dla każdej funkcji ograniczonej i ciągłej f. Jest to równoważne stwierdzeniu, że jeśli X n ma rozkład µ n, to X n zbiega według rozkładu do X o rozkładzie µ. Rodzina miar probabilistycznych jest jędrna gdy dla każdego ε > 0 istnieje zbiór zwarty K taki, że µk) ε dla każdej miary µ z rodziny. Tw. Prochorowa zachodzi na przestrzeni polskiej, ale akceptowałem też sformułowania na R i na R n. Zadanie 4. 25) Rozważmy następującą grę. Na początku mamy urnę z dwoma kulami, czarną i białą. W jednym ruchu losujemy z urny jedną kulę, a następnie wrzucamy ją tam spowrotem i dorzucamy jeszcze jedną kulę tego samego koloru, co kula właśnie wylosowana czyli jeśli w pewnym momencie mamy w urnie 3 kule czarne i 4 białe, to w następnym ruchu z prawdopodobieństwem 3/7 będziemy mieli 4 czarne i 4 białe, a z prawdopodobieństwem 4/7 3 czarne i 5 białych). W dowolnym momencie gry zamiast wykonywać kolejny ruch możemy się wycofać, przy czym jeśli w urnie jest k kul czarnych i n k kul białych, to naszą wygraną jest kn k) nn + ). Możemy rozegrać co najwyżej 8 ruchów tj. kiedy w urnie jest 0 kul, musimy wziąć taką wygraną, jaka akurat wypada). Udowodnij, że nie ma strategii lepszej niż wycofanie się od razu. To zadanie oraza odpowiadające mu zadanie 2) poszło zdecydowanie najgorzej, średnia 5,29 na 25. To źle. Jeśli widzimy, że optymalną strategią ma być wycofywanie się od razu, to znaczy, że gra jest niekorzystna, i w naszej głowie powinno pojawić się słowo nadmartyngał w zadaniu 2 zaś podmartyngał ). Dowód. Niech U n będzie wynikiem losowania n tej kuli, powiedzmy, że U n 0 dla kuli białej i dla kuli czarnej. Niech F n σu,..., U n ), niech X n będzie wygraną jeśli wycofamy się po n tym rzucie. Niech C n n i U i będzie liczbą kul czarnych w pierwszych n kulach. Wtedy X n C nn C n ) nn + ). Oczywiście X n jest mierzalne względem F n. Obliczmy EX n F n ) E C nn C n ) nn + ) F n ) nn + ) EC n + U n )n C n U n ) F n ) nn + ) EC n n C n ) + U n n 2C n ) Un F 2 n ) C n n C n ) + n 2C n )EU n F n ) EU 2 nn + ) n F n ) ).

4 Zmienna U n przyjmuje wyłącznie wartości 0 i, więc U 2 n U n. Teraz zastanówmy się, ile to jest EU n F n ). Wartość oczekiwana indykatora to prawdopodobieństwo, czyli mówimy o prawdopodobieństwie trafienia kuli czarnej. Wiemy, że to prawdopodobieństwo wynosi C n / n ), i to zdarzenie jest niezależne od F n, czyli EU n F n ) C n /n ). Wobec tego EX n F n ) nn + ) n )nn + ) n )nn + ) ) C n n C n ) + nc n 2Cn )/n 2 ) C n /n ) nn )C n n )C 2 n + nc n 2C 2 n C n ) ) n + )n )C n n + )Cn 2 n C n )C n n )n Czyli faktycznie X n, F n ) jest martyngałem. Wobec tego dla dowolnego ograniczonego momentu stopu τ mamy EX 2 EX τ EX 0, czyli strategie graj do końca, wychodź od razu oraz dowolna inna ograniczona strategia τ są równie dobre. Jeśli ktoś nie lubi warunkowych wartości oczekiwanych, to tu mamy dyskretną Ω, czyli można po prostu rozpatrzyć wszystkie możliwe wartości n i k, dla ustalonych n i k obliczyć wartość oczekiwaną EX n+ C n k) X n, i teraz albo powiedzieć, że to już jest martyngał formalnie korzystając z charakteryzacji warunkowej wartości oczekiwanej w wypadku dyskretnym), albo ręcznie dowodzić analog twierdzenia Dooba. Zadanie 2 różniło się ograniczeniem na moment stopu, które tu na nic nie wpływa, oraz tym, czy należało dowodzić, że najlepszą strategią jest granie do końca, czy wycofywanie się od razu czyli czy należało dowieść, że ten martyngał jest podmartyngałem, czy nadmartyngałem). Zadanie 5. 20) Niech X n będzie zmienną o rozkładzie jednostajnym na [ 3 n, 3 n ]. Czy ciąg X n spełnia warunek Lindeberga? To zadanie oraz sprzężone zadanie 9 też nie poszło najlepiej, choć lepiej 8,2 na 20). Martwi mnie to, bo o ile rozumiem, że martyngały mogą być trudne, a tamto zadanie było dodatkowo niebanalne, to nie rozumiem, co jest trudnego w warunku Lindeberga. Polecam zatem uważną lekturę poniższego dowodu. Dowód. Można wiedzieć, że zmienna jednostajnie rozłożona na odcinku [ a, a] ma średnią zero i wariancję a 2 /3, albo policzyć: EX k 3 k xdx 3 k 2 3 k 3 k 2 3 x2 k k 32k 3 2k ) 0, 3 k EXk 2 3 k x 2 dx 3 k 2 3 k 3 k 2 3 x3 k 3 3 k 2 3 k+ 33k + 3 3k ) 3 2k. Oczywiście VarX k EXk 2 EX k ) 2 3 2k. Teraz Sn 2 n k VarX k 3 n k0 9k 3 8 9n ). Teraz można być sprytnym i pamiętać zadanie 4 z serii 9 jeśli X n spełniałby warunek Lindeberga, to lim sup n k VarXn,k S n 0. Tu VarX n,k VarX k 3 9k o ile k n, czyli w szczególności VarX n,n 3 3 n, zaś S n 3 n, czyli nie mamy zbieżności do zera intuicyjnie ostatni składnik jest na tyle duży, że X n

5 poważnie zaburza próby poprzednich składników do znormalizowania się). Zatem nie możemy mieć warunku Lindeberga. Tego typu argument zastosowała tylko jedna osoba, więc przejdziemy jednak do dróg bardziej standardowych, czyli policzenia warunku Lindeberga wprost. L n r) n EX Sn 2 k EX k ) 2 Xk EX k >rs n k 8 n EX n ) k Xk >rs n 39 n ) EX2 n Xn >rsn. k Na razie oszacowaliśmy po prostu sumę rzeczy dodatnich przez ostatni wyraz. Teraz zauważmy S n 3 n, stąd Xn >rs n Xn >3 n r. Ustalmy np. r /3, wtedy L n r) 8 39 n ) EX2 n Xn >3 n. To teraz trzeba po prostu obliczyć tę wartość oczekiwaną. No i już. Mamy zatem EXn 2 Xn >3 n 3 n x 2 dx + 3 n x 2 dx 2 3 n 3 n 2 3 n 3 n 3 n 3 n x3 /3 3 n+ 33n 3 3n 3 ) n. 3 n L n /3) czyli L n /3) nie może zbiegać do zera n ) 8 9n > 0, Dowód w zadaniu 9 był izomorficzny modulo to, że średnia nie była zerem, więc trzeba było całkować od zera do powiedzmy 2 n /4 i od 3 2 n /4 do 2 n. Dodam jeszcze taką uwagę, o której wspominałem już na ćwiczeniach, że w wyrażeniu L n r) wyrażenie pod wartością oczekiwaną jest nieujemne, a także, że jeśli skasujemy indykator czyli weźmiemy r 0) to wyjdzie nam L n 0), bo po prostu jeszcze raz liczymy S n, wobec tego L n r) 0. Wobec tego jeśli komuś L n r) ucieka do lub lub 2 lub czegoś podobnego, to na pewno gdzieś popełnił błąd. Zadanie 6. 25) Niech f n t) e t2 t n. Udowodnij, że istnieje ciąg zmiennych losowych X n taki, że f n to funkcja charakterystyczna X n. Czy ciąg X n jest zbieżny wg rozkładu? Czy istnieje EX 2 n? Jeśli tak, oblicz EX 2 n. Z tego zadania oraz analogicznego zadania 7) średnia wyniosła, punkta. Też nienajlepiej, niestety. Dowód. Należy pamiętać kilka podstawowych funkcji charakterystycznych i umieć je rozpoznać, szczególnie te, które liczy się niebanalnie. Tu akurat mamy dwie takie φ g t) e t2 /2 dla g N 0, ) oraz φ C e t dla C o rozkładzie Cauchy ego. Przypomnijmy jeszcze, że φ ax t) φ X t), wobec tego φ 2g oraz φ e t2 C/n e t /n. Wobec tego jeśli weźmiemy Y N 0, ) i Z o rozkładzie Cauchy ego, niezależne, to dla X n 2Y + Z/n mamy φ Xn f n. Wobec tego, oczywiście, f n jest funkcją charakterystyczną.

6 Do zrobienia dalszych części zrobienie pierwszej nie było potrzebne. Druga to po prostu tw. Levy Cramera patrzymy na granicę f n t) przy n, to jest z ciągłości e x ) oczywiście e t2, ta funkcja jest ciągła w zerze, a zatem z tw. Levy Cramera jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X i X n zbiegają do X według rozkładu. Są dwa podejścia do trzeciej części. Pierwsze jest takie, że po prostu twierdzamy nieróżniczkowalność f n t) w zerze. A więc sprawdźmy lewostronna pochodna f n w zerze to e t2 +t/n 2t + /n)e t2 +t/n, co w t 0 wynosi /n. Analogicznie prawostronna pochodna to /n, są różne, a zatem f n jest w zerze nieróżniczkowalna, a zatem z tw. o momentach nie istnieje EX n, a zatem tym bardziej EX 2 n z nierówności Schwarza, albo z tw. o momentach skoro nie istnieje pierwsza pochodna, to druga tym bardziej). Drugie podejście wymaga zrobienia pierwszej części zadania, otóż EX 2 n E 2Y + Z/ n) 2 E2Y Y Z/n + Z 2 /n 2. Wiemy, że EY 2 istnieje i jest równe, czyli z tą częścią nie mamy problemu, zaś Z wiemy np. z RP ), że nie ma nawet wartości oczekiwanej. Trzeba tu jednak postępować dość delikatnie a priori mogłoby być tak, że ten Y wpływa akurat tak, że to coś stanie się całkowalne. Można jednak dowodzić, że nie ma nawet wartości oczekiwanej X n z tego wynika brak drugiego momentu, nier. Schwarza) a to jest proste, bo gdyby X n miał wartość oczekiwaną, i wiemy, że 2Y ma wartość oczekiwaną, to i X n 2Y Z musiałby mieć wartość oczekiwaną, a wiemy, że nie ma. W analogicznym zadaniu grupy drugiej mieliśmy f n t) e t2 + nt 2. Tu trzeba pamiętać, że +t 2 to funkcja charakterystyczna symetrycznej zmiennej wykładniczej, i robić pierwszą część analogicznie. W drugiej części nie ma zbieżności wg rozkładu bo funkcja charakterystyczna punktowo zbiega do zera dla t 0 i jest stale równa dla t 0, czyli funkcja graniczna jest nieciągła gdyby była zbieżność wg rozkładu, to funkcje charakterystyczne zbiegałyby do czegoś z definicji zbieżności wg rozkładu Ee itxn Ee itx, bo s e its jest funkcją ograniczoną ciągłą) no i funkcja graniczna oczywiście musiałaby, jako funkcja charakterystyczna być ciągła w zerze. W trzeciej części, podobnie jak tu, można było albo różniczkować dwa razy tam było to nieco mniej przyjemne, bo pochodna istniała), albo też policzyć EX 2 n znając EY 2 i EZ, oraz wiedząc, że obydwie te zmienne mają średnią zero.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej

Bardziej szczegółowo

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Seria 1. Zbieżność rozkładów

Seria 1. Zbieżność rozkładów Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne. Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady

Zmienne losowe i ich rozkłady Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Zadania z Procesów Stochastycznych 1

Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:

Bardziej szczegółowo

Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx

Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx 1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x

Bardziej szczegółowo

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w 02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =

Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n = Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań testowych. a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących n=1

Rozwiązania zadań testowych. a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących n=1 Egzamin licencjacki (rozwiązania zadań) - 1-3 czerwca 014 r. Rozwiązania zadań testowych 1. Dany jest taki szereg zbieżny a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących szeregów: a) (a n+1 +a

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:

Bardziej szczegółowo

Przykłady do zadania 3.1 :

Przykłady do zadania 3.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k = Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,

Bardziej szczegółowo

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..

Bardziej szczegółowo

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo