8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 1 / 35

1 Wstęp 2 Wykresy funkcji dwóch zmiennych 3 Definicje analogiczne do jednowymiarowych 4 Pochodne cząstkowe 5 Różniczka funkcji wielu zmiennych 6 Podstawowe zastosowania ekonomiczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 2 / 35

Motywacja Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 3 / 35

Motywacja Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika. Oczywiście, sytuacje, w których jakieś zjawisko zależy tylko od jednej rzeczy zdarzają się w rzeczywistości bardzo rzadko. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 3 / 35

Motywacja Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika. Oczywiście, sytuacje, w których jakieś zjawisko zależy tylko od jednej rzeczy zdarzają się w rzeczywistości bardzo rzadko. Już na początku roku, przy okazji omawiania relacji, rozważaliśmy funkcje użyteczności zależne od dwu zmiennych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 3 / 35

Motywacja Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika. Oczywiście, sytuacje, w których jakieś zjawisko zależy tylko od jednej rzeczy zdarzają się w rzeczywistości bardzo rzadko. Już na początku roku, przy okazji omawiania relacji, rozważaliśmy funkcje użyteczności zależne od dwu zmiennych. Tutaj rozwiniemy analizę podejścia tego typu. Najczęściej będziemy omawiać przykłady funkcji 2 i 3 zmiennych (ze względów czysto praktycznych - czasu prowadzenia obliczeń), ale łatwo będzie te rozważania przenieść na przypadek dowolnej, skończonej liczby wymiarów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 3 / 35

Podstawowe oznaczenia Rozważamy przestrzeń R n, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 4 / 35

Podstawowe oznaczenia Rozważamy przestrzeń R n, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 4 / 35

Podstawowe oznaczenia Rozważamy przestrzeń R n, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. Rozważamy funkcję f : R n D f R. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 4 / 35

Podstawowe oznaczenia Rozważamy przestrzeń R n, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. Rozważamy funkcję f : R n D f R. Oczywiście, jak w przypadku jednej zmiennej, by zdefiniować porządnie taką funkcję musimy podać nie tylko jej wzór, ale też jej dziedzinę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 4 / 35

Podstawowe oznaczenia Rozważamy przestrzeń R n, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. Rozważamy funkcję f : R n D f R. Oczywiście, jak w przypadku jednej zmiennej, by zdefiniować porządnie taką funkcję musimy podać nie tylko jej wzór, ale też jej dziedzinę. Jeśli dziedzina nie jest podana, naturalną dziedzinę funkcji wyznaczamy tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej (zwracając uwagę na ułamki, pierwiastki, funkcje logarytmiczne itp., a następnie rozwiązując odpowiednie nierówności). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 4 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Oczywiście, D f jest podzbiorem R 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Oczywiście, D f nierówności: jest podzbiorem R 3. Musimy rozwiązać dwie Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Oczywiście, D f nierówności: jest podzbiorem R 3. Musimy rozwiązać dwie xy > 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Oczywiście, D f nierówności: jest podzbiorem R 3. Musimy rozwiązać dwie xy > 0, z 2 1 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Oczywiście, D f nierówności: jest podzbiorem R 3. Musimy rozwiązać dwie xy > 0, z 2 1 0. Otrzymujemy stąd: (x > 0 y > 0 lub x < 0 y < 0) i Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Oczywiście, D f nierówności: jest podzbiorem R 3. Musimy rozwiązać dwie xy > 0, z 2 1 0. Otrzymujemy stąd: (x > 0 y > 0 lub x < 0 y < 0) i z R \ ( 1, 1). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x, y, z) = ln xy + z 2 1. Oczywiście, D f nierówności: jest podzbiorem R 3. Musimy rozwiązać dwie xy > 0, z 2 1 0. Otrzymujemy stąd: (x > 0 y > 0 lub x < 0 y < 0) i z R \ ( 1, 1). Możemy zapisać: D f = [((0, ) (0, )) ((, 0) (, 0))] (R \ ( 1, 1)). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 5 / 35

Wykresy funkcji wielu zmiennych Rysowanie wykresów funkcji wielu zmiennych jest znacznie trudniejsze niż jednej zmiennej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 6 / 35

Wykresy funkcji wielu zmiennych Rysowanie wykresów funkcji wielu zmiennych jest znacznie trudniejsze niż jednej zmiennej. Skupmy się na przypadku funkcji dwóch zmiennych (czyli o dziedzinie będącej podzbiorem R 2 ) - bo przy większej ich liczbie jest tylko gorzej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 6 / 35

Wykresy funkcji wielu zmiennych Rysowanie wykresów funkcji wielu zmiennych jest znacznie trudniejsze niż jednej zmiennej. Skupmy się na przypadku funkcji dwóch zmiennych (czyli o dziedzinie będącej podzbiorem R 2 ) - bo przy większej ich liczbie jest tylko gorzej. Rozważmy wykres funkcji f (x, y) = 1 4 (x 2 + y 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 6 / 35

Wykresy funkcji dwóch zmiennych Próby narysowania tego samego wykresu pod innym kątem nie są o wiele łatwiejsze i czytelniejsze. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 7 / 35

Wykresy funkcji dwóch zmiennych Podobnie jest z jeszcze prostszą funkcją f (x, y) = x y. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 8 / 35

Wykresy funkcji dwóch zmiennych W przypadku funkcji dwu zmiennych, uratować nas może idea znana z kartografii - by narysować przestrzenną strukturę na płaskiej mapie, najczęściej rysuje się poziomice funkcji, czyli krzywe łączące punkty, w których funkcja przyjmuje tę samą wartość. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 9 / 35

Wykresy funkcji dwóch zmiennych W przypadku funkcji dwu zmiennych, uratować nas może idea znana z kartografii - by narysować przestrzenną strukturę na płaskiej mapie, najczęściej rysuje się poziomice funkcji, czyli krzywe łączące punkty, w których funkcja przyjmuje tę samą wartość. Czasem zaznaczamy wartości funkcji w tych punktach, a czasem tylko strzałki wskazujące, w którą stronę funkcja rośnie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 9 / 35

Wykresy funkcji dwóch zmiennych W przypadku funkcji dwu zmiennych, uratować nas może idea znana z kartografii - by narysować przestrzenną strukturę na płaskiej mapie, najczęściej rysuje się poziomice funkcji, czyli krzywe łączące punkty, w których funkcja przyjmuje tę samą wartość. Czasem zaznaczamy wartości funkcji w tych punktach, a czasem tylko strzałki wskazujące, w którą stronę funkcja rośnie. Na przykład dla f (x, y) = 1 4 (x 2 + y 2 ) taki poziomicowy wykres może wyglądać tak: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 9 / 35

Wykresy funkcji dwóch zmiennych Warto zauważyć, że podpisywanie poziomic (przynajmniej strzałkami) jest istotne, gdyż wykresu funkcji f, która w (0, 0) ma minimum ( dolinkę ) nie można dzięki temu pomylić np. z funkcją g(x) = x 2 y 2, która w (0, 0) ma maksimum ( szczyt ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 10 / 35

Wykresy funkcji dwóch zmiennych Podobnie można narysować wykres funkcji f (x, y) = x y. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 11 / 35

Otoczenie Wiele pojęć opartych na idei otoczenia (np. granice, ciągłość) przenosi się łatwo z przypadku funkcji jednej zmiennej na funkcje wielu zmiennych. Trzeba tylko uogólnić pojęcie otoczenia punktu - zamiast odcinka wokół danego punktu jest nim teraz koło, trójwymiarowa kula, czy też w ogólności kula n-wymiarowa o środku Otoczenie Otoczeniem punktu a = (a 1,..., a n ) R n o promieniu δ > 0 nazywamy zbiór U δ (a) = {x = (x 1,..., x n ) : x a < δ}. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 12 / 35

Granica funkcji wielu zmiennych Granica Granicą funkcji f : R n R w punkcie a = (a 1,..., a n ) nazywamy taką liczbę g, że: Zapisujemy lim x a f (x) = g. ɛ>0 δ>0 x Uδ (a) : f (x) g < ɛ. Analogicznie definiujemy granice równe ±. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 13 / 35

Ciągłość funkcji wielu zmiennych Ciągłość Funkcja f : R n R określona w otoczeniu punktu a jest ciągła w tym punkcie, jeśli lim x a f (x) = f (a). Funkcja f : R n R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Podobnie jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, wszystkie funkcje powstałe przez podstawowe działania na funkcjach elementarnych są ciągłe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 14 / 35

Idea Dla funkcji wielu zmiennych istnieje formalne pojęcie pochodnej i różniczkowalności, jednak nie jest ono nam potrzebne dla podstawowych zastosowań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 15 / 35

Idea Dla funkcji wielu zmiennych istnieje formalne pojęcie pochodnej i różniczkowalności, jednak nie jest ono nam potrzebne dla podstawowych zastosowań. Dlatego skupimy swą uwagę na tym, co jest nam naprawdę potrzebne: definicji pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 15 / 35

Idea Dla funkcji wielu zmiennych istnieje formalne pojęcie pochodnej i różniczkowalności, jednak nie jest ono nam potrzebne dla podstawowych zastosowań. Dlatego skupimy swą uwagę na tym, co jest nam naprawdę potrzebne: definicji pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. Ideą tej definicji jest sprowadzenie badania pochodnej funkcji n zmiennych do pochodnej funkcji jednej zmiennej z n 1 parametrami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 15 / 35

Pochodna cząstkowa Pochodna cząstkowa Niech f : R n D f R będzie funkcją zmiennych (x 1,..., x n ) i a = (a 1,..., a n ) D f. Wtedy pochodną cząstkową f względem zmiennej x k (potocznie: po x k ) w punkcie a nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): lim h 0 f (a 1, a 2,..., a k + h,..., a n ) f (a). h Oznaczamy ją przez f x k (a) lub f x k (a). Zazwyczaj będę używać tej pierwszej notacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 16 / 35

Pochodna cząstkowa Pochodna cząstkowa Niech f : R n D f R będzie funkcją zmiennych (x 1,..., x n ) i a = (a 1,..., a n ) D f. Wtedy pochodną cząstkową f względem zmiennej x k (potocznie: po x k ) w punkcie a nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): lim h 0 f (a 1, a 2,..., a k + h,..., a n ) f (a). h Oznaczamy ją przez f x k (a) lub f x k (a). Zazwyczaj będę używać tej pierwszej notacji. Pochodne cząstkowe obliczamy zatem tak jak pochodne funkcji jednej zmiennej, przy czym wszystkie zmienne poza tą, względem której pochodną cząstkową liczymy, traktujemy jako parametry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 16 / 35

Różniczkowalność Różniczkowalność Niech f : R n D f R będzie funkcją zmiennych (x 1,..., x n ) i a = (a 1,..., a n ) D f. f jest różniczkowalna w punkcie a, jeśli posiada pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych w tym punkcie. f jest różniczkowalna jeśli posiada pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych w każdym punkcie swojej dziedziny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 17 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. f y(x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. f y(x, y, z) = x 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. f y(x, y, z) = x 2 + 2y Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. f z (x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. f z (x, y, z) = 3z 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 18 / 35

Druga pochodna cząstkowa Podobnie jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, możemy zdefiniować pochodne wyższych rzędów. Na tym wykładzie nie będziemy się zajmować pochodnymi cząstkowymi rzędu wyższego niż 2, więc tylko takie pochodne zdefiniujemy: Druga pochodna cząstkowa Niech f : R n D f R będzie funkcją zmiennych (x 1,..., x n ) i a = (a 1,..., a n ) D f. Wtedy drugą pochodną cząstkową f względem zmiennych x k, x j (potocznie: po x k, x j ) w punkcie a nazywamy f x k x j (a) = [(f x k ) x j ](a). W innym zapisie (dla uproszczenia 2 f x k x k (a) zapisujemy 2 f (a)). xk 2 2 f x k x j (a) = [ f x k x j ](a) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 19 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Zatem f xx(x, y, z) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 20 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Zatem f xx(x, y, z) = 2y. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 20 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Zatem f xx(x, y, z) = 2y. f xy(x, y, z) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 20 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Zatem f xx(x, y, z) = 2y. f xy(x, y, z) = 2x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 20 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Zatem f xx(x, y, z) = 2y. f xy(x, y, z) = 2x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 20 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Zatem f xx(x, y, z) = 2y. f xy(x, y, z) = 2x 2. f xz(x, y, z) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 20 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f x(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2y + 3. Zatem f xx(x, y, z) = 2y. f xy(x, y, z) = 2x 2. f xz(x, y, z) = 4z. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 20 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Zatem f yx(x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Zatem f yx(x, y, z) = 2x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Zatem f yx(x, y, z) = 2x 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Zatem f yx(x, y, z) = 2x 2. f yy(x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Zatem f yx(x, y, z) = 2x 2. f yy(x, y, z) = 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Zatem f yx(x, y, z) = 2x 2. f yy(x, y, z) = 2. f yz(x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f y(x, y, z) = x 2 + 2y 2x. Zatem f yx(x, y, z) = 2x 2. f yy(x, y, z) = 2. f yz(x, y, z) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 21 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Zatem f zx(x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 22 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Zatem f zx(x, y, z) = 4z. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 22 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Zatem f zx(x, y, z) = 4z. f zy(x, y, z) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 22 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Zatem f zx(x, y, z) = 4z. f zy(x, y, z) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 22 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Zatem f zx(x, y, z) = 4z. f zy(x, y, z) = 0. f zz(x, y, z) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 22 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Zatem f zx(x, y, z) = 4z. f zy(x, y, z) = 0. f zz(x, y, z) = 6z rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 22 / 35

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych Przykład Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Wiemy, że f z (x, y, z) = 3z 2 4xz. Zatem f zx(x, y, z) = 4z. f zy(x, y, z) = 0. f zz(x, y, z) = 6z 4x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 22 / 35

Hesjan Drugie pochodne funkcji często zapisuje się w postaci macierzy, tzw. hesjanu (macierzy Hessego). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 23 / 35

Hesjan Drugie pochodne funkcji często zapisuje się w postaci macierzy, tzw. hesjanu (macierzy Hessego). Hesjan Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : R n R w punkcie a R n nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący: H f (a) = f x 1 x 1 (a) f x 1 x 2 (a)... f x 1 x n (a) f x 2 x 1 (a) f x 2 x 2 (a)... f x 2 x n (a)............ f x nx 1 (a) f x nx 2 (a)... f x nx n (a) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 23 / 35

Hesjan Drugie pochodne funkcji często zapisuje się w postaci macierzy, tzw. hesjanu (macierzy Hessego). Hesjan Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : R n R w punkcie a R n nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący: H f (a) = f x 1 x 1 (a) f x 1 x 2 (a)... f x 1 x n (a) f x 2 x 1 (a) f x 2 x 2 (a)... f x 2 x n (a)............ f x nx 1 (a) f x nx 2 (a)... f x nx n (a) Jak widać, hesjan jest zawsze macierzą kwadratową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 23 / 35

Hesjan - przykład Przykład Wyznaczyć hesjan funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 24 / 35

Hesjan - przykład Przykład Wyznaczyć hesjan funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Na podstawie wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy: H f (x, y, z) = 2y 2x 2 4z 2x 2 2 0 4z 0 6z 4x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 24 / 35

Hesjan - przykład Przykład Wyznaczyć hesjan funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Na podstawie wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy: H f (x, y, z) = 2y 2x 2 4z 2x 2 2 0 4z 0 6z 4x Warto zauważyć, że dla każdego punktu (x, y, z) hesjan funkcji f jest macierzą symetryczną. Czy jest to prawdą dla dowolnej funkcji f? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 24 / 35

Hesjan - przykład Przykład Wyznaczyć hesjan funkcji f (x, y, z) = z 3 2xz 2 + x 2 y + y 2 2xy + 3x 1. Na podstawie wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy: H f (x, y, z) = 2y 2x 2 4z 2x 2 2 0 4z 0 6z 4x Warto zauważyć, że dla każdego punktu (x, y, z) hesjan funkcji f jest macierzą symetryczną. Czy jest to prawdą dla dowolnej funkcji f? Okazuje się, że w zastosowaniach ekonomicznych można niemal zapewnić, że tak jest. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 24 / 35

Równość pochodnych mieszanych Równość pochodnych mieszanych Niech f : R n D f R będzie funkcją zmiennych (x 1,..., x n ) i a = (a 1,..., a n ) D f. Jeśli f ma w punkcie a pochodne cząstkowe drugiego rzędu i są one ciągłe to wówczas kolejność różniczkowania nie ma znaczenia, czyli pochodne mieszane drugiego rzędu są równe tj.: j,k {1,2,...,n} f x k x j (a) = f x j x k (a). Innymi słowy, przy tych założeniach hesjan f jest macierzą symetryczną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 25 / 35

Pierwsze zastosowanie - różniczka Jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy zdefiniować pojęcie różniczki i użyć go do obliczenia przybliżonej wartości funkcji w okolicy punktu, w którym jej wartość znamy. Różniczka funkcji wielu zmiennych Jeśli funkcja f : R n R w punkcie a = (a 1,..., a n ) posiada pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, to jej różniczką w pobliżu punktu a nazywamy nazywamy funkcję df a : R n R, która przyrostowi argumentu Δa = (Δa 1,..., Δa n ) przypisuje wartość df a (Δa) = f x 1 (a) Δa 1 + f x 2 (a) Δa 2 +... + f x n (a) Δa n. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 26 / 35

Pierwsze zastosowanie - różniczka Zastosowanie różniczki też jest bardzo podobne jak w przypadku funkcji jednej zmiennej. Różniczka a wartości przybliżone Jeśli funkcja f w punkcie a = (a 1,..., a n ) posiada pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, to dla niewielkich przyrostów Δa = (Δa 1,..., Δa n ) możemy oszacować: f (a + Δa) f (a) + df a (Δa). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 27 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = x y ln x, f x(3, 2) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = x y ln x, f x(3, 2) = 6, f y(3, 2) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = x y ln x, Otrzymujemy: (2, 99) 2,02 = f (a + Δa) f x(3, 2) = 6, f y(3, 2) = 9 ln 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = x y ln x, Otrzymujemy: (2, 99) 2,02 = f (a + Δa) 9 + f x(3, 2) = 6, f y(3, 2) = 9 ln 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = x y ln x, Otrzymujemy: f x(3, 2) = 6, f y(3, 2) = 9 ln 3. (2, 99) 2,02 = f (a + Δa) 9 + 6 ( 0, 01) + Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = x y ln x, Otrzymujemy: f x(3, 2) = 6, f y(3, 2) = 9 ln 3. (2, 99) 2,02 = f (a + Δa) 9 + 6 ( 0, 01) + 9 ln 3 0, 02 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Różniczka - przykład Przykład Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99) 2,02. Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x, y) = x y i punktu a = (3, 2) oraz Δa = ( 0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć: f x(x, y) = yx y 1, f y(x, y) = x y ln x, Otrzymujemy: f x(3, 2) = 6, f y(3, 2) = 9 ln 3. (2, 99) 2,02 = f (a + Δa) 9 + 6 ( 0, 01) + 9 ln 3 0, 02 9, 13775. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 28 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych Jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy analizować za pomocą pochodnych wartości krańcowe i elastyczności wielkości ekonomicznych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 29 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych Jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy analizować za pomocą pochodnych wartości krańcowe i elastyczności wielkości ekonomicznych. Załóżmy, że funkcja n zmiennych f, posiadająca pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, reprezentuje reakcję jakiejś wielkości ekonomicznej na zmiany wartości czynników x 1,..., x n i a = (a 1,..., a n ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 29 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych Jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy analizować za pomocą pochodnych wartości krańcowe i elastyczności wielkości ekonomicznych. Załóżmy, że funkcja n zmiennych f, posiadająca pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, reprezentuje reakcję jakiejś wielkości ekonomicznej na zmiany wartości czynników x 1,..., x n i a = (a 1,..., a n ). Wtedy f x i (a) jest wartością krańcową tej wielkości (np. popytem krańcowym, podażą krańcową, produktywnością krańcową, dochodem krańcowym, kosztem krańcowym itp.) ze względu na zmianę wielkości x i. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 29 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych Jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy analizować za pomocą pochodnych wartości krańcowe i elastyczności wielkości ekonomicznych. Załóżmy, że funkcja n zmiennych f, posiadająca pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, reprezentuje reakcję jakiejś wielkości ekonomicznej na zmiany wartości czynników x 1,..., x n i a = (a 1,..., a n ). Wtedy f x i (a) jest wartością krańcową tej wielkości (np. popytem krańcowym, podażą krańcową, produktywnością krańcową, dochodem krańcowym, kosztem krańcowym itp.) ze względu na zmianę wielkości x i. Wielkość ta mówi, o ile (w przybliżeniu) wzrośnie (lub zmaleje, jeśli znak wyniku jest ujemny) dana wielkość (f (x)) gdy i-ta współrzędna wektora czynników wzrośnie o jednostkę z ustalonego poziomu wszystkich czynników a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 29 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych Jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy analizować za pomocą pochodnych wartości krańcowe i elastyczności wielkości ekonomicznych. Załóżmy, że funkcja n zmiennych f, posiadająca pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, reprezentuje reakcję jakiejś wielkości ekonomicznej na zmiany wartości czynników x 1,..., x n i a = (a 1,..., a n ). Wtedy f x i (a) jest wartością krańcową tej wielkości (np. popytem krańcowym, podażą krańcową, produktywnością krańcową, dochodem krańcowym, kosztem krańcowym itp.) ze względu na zmianę wielkości x i. Wielkość ta mówi, o ile (w przybliżeniu) wzrośnie (lub zmaleje, jeśli znak wyniku jest ujemny) dana wielkość (f (x)) gdy i-ta współrzędna wektora czynników wzrośnie o jednostkę z ustalonego poziomu wszystkich czynników a. W porównaniu z zadaniami na ten temat z funkcji jednej zmiennej, w interpretacji wyniku zawsze musimy dopisać ze względu na jaki czynnik obliczamy krańcowość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 29 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych - przykład Zadanie (egzamin, I termin, 2015) Popyt na piwo Q zależy od jego ceny x, ale także ceny wina y i wyraża się wzorem: Q(x, y) = 5 + xy 2. Dla układu cen: x 2 +y (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) obliczyć wartość popytu krańcowego na piwo ze względu na cenę piwa i wartość popytu krańcowego na piwo ze względu na cenę wina. Podać interpretację ekonomiczną wyników. Obliczamy: Q x(x, y) = y 2 (x 2 + y) 2x 2 y 2 (x 2 + y) 2, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 30 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych - przykład Zadanie (egzamin, I termin, 2015) Popyt na piwo Q zależy od jego ceny x, ale także ceny wina y i wyraża się wzorem: Q(x, y) = 5 + xy 2. Dla układu cen: x 2 +y (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) obliczyć wartość popytu krańcowego na piwo ze względu na cenę piwa i wartość popytu krańcowego na piwo ze względu na cenę wina. Podać interpretację ekonomiczną wyników. Obliczamy: Q x(x, y) = y 2 (x 2 + y) 2x 2 y 2 (x 2 + y) 2, Q y(x, y) = 2xy(x 2 + y) xy 2 (x 2 + y) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 30 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych - przykład Q x(x, y) = y 2 (x 2 + y) 2x 2 y 2 (x 2 + y) 2, Q y(x, y) = 2xy(x 2 + y) xy 2 (x 2 + y) 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 31 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych - przykład Stąd: Q x(x, y) = y 2 (x 2 + y) 2x 2 y 2 (x 2 + y) 2, Q y(x, y) = 2xy(x 2 + y) xy 2 (x 2 + y) 2. Q x(2, 3) = 9 49, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 31 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych - przykład Stąd: Q x(x, y) = y 2 (x 2 + y) 2x 2 y 2 (x 2 + y) 2, Q y(x, y) = 2xy(x 2 + y) xy 2 (x 2 + y) 2. Q x(2, 3) = 9 49, Q y(2, 3) = 66 49. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 31 / 35

Wartości krańcowe funkcji wielu zmiennych - przykład Stąd: Q x(x, y) = y 2 (x 2 + y) 2x 2 y 2 (x 2 + y) 2, Q y(x, y) = 2xy(x 2 + y) xy 2 (x 2 + y) 2. Q x(2, 3) = 9 49, Q y(2, 3) = 66 49. Interpretacja: Jeśli cena piwa z poziomu x 0 = 2 zostanie podniesiona o jednostkę, przy niezmienionej cenie wina y 0 = 3, to popyt na piwo zmniejszy się o około 9 jednostki. Jeśli cena wina z poziomu y 49 0 = 3 zostanie podniesiona o jednostkę, przy niezmienionej cenie piwa x 0 = 2, to popyt na piwo zwiększy się o około 66 jednostki. 49 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 31 / 35

Elastyczność funkcji wielu zmiennych Również elastyczność ze względu na i-tą zmienną definiujemy podobnie, jak w przypadku jednej zmiennej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 32 / 35

Elastyczność funkcji wielu zmiennych Również elastyczność ze względu na i-tą zmienną definiujemy podobnie, jak w przypadku jednej zmiennej. Elastyczność Stosunek wartości krańcowej f x i (a) do wartości średniej f (a) a i tej funkcji w tym punkcie nazywa się elastycznością funkcji f w punkcie a ze względu na zmienną x i. Wzorem zapisujemy: E xi f (a) = a i f (a) f x i (a). Interpretuje się ją jako przybliżoną wartość stosunku względnego (czyli wyrażonego w procentach) przyrostu wartości funkcji f do względnego przyrostu wartości argumentu x i w pobliżu punktu a. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 32 / 35

Elastyczność - interpretacja Innymi słowy, wielkość ta mówi, o ile procent (w przybliżeniu) wzrośnie (lub zmaleje, jeśli znak wyniku jest ujemny) dana wielkość (f ) gdy x i wzrośnie o 1% z ustalonego poziomu wszystkich czynników a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 33 / 35

Elastyczność - interpretacja Innymi słowy, wielkość ta mówi, o ile procent (w przybliżeniu) wzrośnie (lub zmaleje, jeśli znak wyniku jest ujemny) dana wielkość (f ) gdy x i wzrośnie o 1% z ustalonego poziomu wszystkich czynników a. W porównaniu z zadaniami na ten temat z funkcji jednej zmiennej, w interpretacji wyniku zawsze musimy dopisać ze względu na jaki czynnik obliczamy elastyczność. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 33 / 35

Elastyczność - przykład Zadanie (egzamin, I termin, 2015) Popyt na piwo Q zależy od jego ceny x, ale także ceny wina y i wyraża się wzorem: Q(x, y) = 5 + xy 2. Dla układu cen: x 2 +y (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) obliczyć elastyczność popytu na piwo ze względu na cenę wina i podać interpretację ekonomiczną wyniku. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 34 / 35

Elastyczność - przykład Zadanie (egzamin, I termin, 2015) Popyt na piwo Q zależy od jego ceny x, ale także ceny wina y i wyraża się wzorem: Q(x, y) = 5 + xy 2. Dla układu cen: x 2 +y (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) obliczyć elastyczność popytu na piwo ze względu na cenę wina i podać interpretację ekonomiczną wyniku. Wiemy, że Q y(2, 3) = 66 49. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 34 / 35

Elastyczność - przykład Zadanie (egzamin, I termin, 2015) Popyt na piwo Q zależy od jego ceny x, ale także ceny wina y i wyraża się wzorem: Q(x, y) = 5 + xy 2. Dla układu cen: x 2 +y (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) obliczyć elastyczność popytu na piwo ze względu na cenę wina i podać interpretację ekonomiczną wyniku. Wiemy, że Q y(2, 3) = 66 49. Możemy obliczyć Q(2, 3) = 53 7. Stąd: E y Q(2, 3) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 34 / 35

Elastyczność - przykład Zadanie (egzamin, I termin, 2015) Popyt na piwo Q zależy od jego ceny x, ale także ceny wina y i wyraża się wzorem: Q(x, y) = 5 + xy 2. Dla układu cen: x 2 +y (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) obliczyć elastyczność popytu na piwo ze względu na cenę wina i podać interpretację ekonomiczną wyniku. Wiemy, że Q y(2, 3) = 66 49. Możemy obliczyć Q(2, 3) = 53 7. Stąd: E y Q(2, 3) = 3 53 7 66 49 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 34 / 35

Elastyczność - przykład Zadanie (egzamin, I termin, 2015) Popyt na piwo Q zależy od jego ceny x, ale także ceny wina y i wyraża się wzorem: Q(x, y) = 5 + xy 2. Dla układu cen: x 2 +y (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) obliczyć elastyczność popytu na piwo ze względu na cenę wina i podać interpretację ekonomiczną wyniku. Wiemy, że Q y(2, 3) = 66 49. Możemy obliczyć Q(2, 3) = 53 7. Stąd: E y Q(2, 3) = 3 53 7 66 49 = 198 371. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych - pochodne cząstkowe lato 2015/2016 34 / 35