2a. Przeciętna stopa zwrotu

Transkrypt

1 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 1 / 13

2 1 Motywacje i definicja rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 2 / 13

3 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

4 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

5 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

6 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

7 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? Z pomocą nam przyjdzie tzw. przeciętna procentowa stopa zwrotu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

8 Definicja Przeciętna procentowa stopa zwrotu Przeciętną (średnią) procentową stopą zwrotu w zadanym okresie (np. roczną) dla danej lokaty w czasie t nazywa się stopę r prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie t z kapitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jakie wygenerowała dana lokata. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 4 / 13

9 Definicja Przeciętna procentowa stopa zwrotu Przeciętną (średnią) procentową stopą zwrotu w zadanym okresie (np. roczną) dla danej lokaty w czasie t nazywa się stopę r prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie t z kapitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jakie wygenerowała dana lokata. Jak widać z definicji, jeśli chcemy porównać pod względem opłacalności lokatę o zmiennej stopie procentowej z inwestycją o znanej stopie zwrotu, wystarczy dla lokaty obliczyć przeciętną stopę zwrotu o okresie takim, jak stopa zwrotu inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 4 / 13

10 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

11 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

12 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

13 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach: K 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

14 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach: K 2 = 100(1, 15) 2 = 132, 25. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

15 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach: K 2 = 100(1, 15) 2 = 132, 25. Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

16 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu Przeciętna i całkowita stopa zwrotu Jeśli całkowita stopa zwrotu z danej inwestycji trwającej N okresów kapitalizacji wyniosła R (okres tej stopy=n OK), to przeciętna stopa zwrotu z tej inwestycji przypadająca na jeden okres kapitalizacji (OK) wynosi: r prz = N 1 + R 1. Oczywiście OS rprz = 1 N OS R = OK. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 6 / 13

17 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

18 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

19 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = = Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r prz = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

20 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = = Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r prz = = 11, 61%, a kwartalna rprz = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

21 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = = Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r prz = = 11, 61%, a kwartalna rprz = = 2, 78%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

22 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

23 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r 1 obowiązywała przez n 1 okresów bazowych, stopa r 2 obowiązywała przez n 2 okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r p obowiązywała przez n p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

24 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r 1 obowiązywała przez n 1 okresów bazowych, stopa r 2 obowiązywała przez n 2 okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r p obowiązywała przez n p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. Lokata trwała przez N = Σ p i=1n i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS R = N okresów bazowych). Wtedy: 1 + R = (1 + r 1 ) n 1 (1 + r 2 ) n2... (1 + r p ) np. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

25 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r 1 obowiązywała przez n 1 okresów bazowych, stopa r 2 obowiązywała przez n 2 okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r p obowiązywała przez n p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. Lokata trwała przez N = Σ p i=1n i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS R = N okresów bazowych). Wtedy: 1 + R = (1 + r 1 ) n 1 (1 + r 2 ) n2... (1 + r p ) np. Stąd i z poprzedniego wzoru wynika główny wzór tego podrozdziału: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

26 Przeciętna stopa zwrotu - główny wzór Przeciętna stopa zwrotu Niech n 1, n 2,..., n p - będą liczbą okresów bazowych w których obowiązywały efektywne stopy zgodne z tymi okresami r 1, r 2,..., r p. Niech N = Σ p i=1n i. Wtedy: r prz = N (1 + r 1 ) n 1 (1 + r2 ) n 2... (1 + rp ) np 1 i okres stopy przeciętnej jest równy okresom stóp r 1, r 2,..., r p. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 9 / 13

27 Przeciętna stopa zwrotu - główny wzór Przeciętna stopa zwrotu Niech n 1, n 2,..., n p - będą liczbą okresów bazowych w których obowiązywały efektywne stopy zgodne z tymi okresami r 1, r 2,..., r p. Niech N = Σ p i=1n i. Wtedy: r prz = N (1 + r 1 ) n 1 (1 + r2 ) n 2... (1 + rp ) np 1 i okres stopy przeciętnej jest równy okresom stóp r 1, r 2,..., r p. Zauważmy, że ten wzór możemy zastosować tylko gdy okresy kapitalizacji i okresy stóp dla wszystkich stóp we wzorze są równe. Jeśli okresy te nie są równe - trzeba odpowiadające im stopy przeliczyć wzorami na stopy względne i efektywne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 9 / 13

28 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

29 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

30 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

31 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

32 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

33 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

34 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = e 0,2 2 1 = 0, 1052; r 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

35 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = e 0,2 2 1 = 0, 1052; r 2 = (1 + 0,12 12 )6 1 = 0, 0615; r 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

36 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = e 0,2 2 1 = 0, 1052; r 2 = (1 + 0,12 12 )6 1 = 0, 0615; r 3 = (1 + 0, 1) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

37 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty? n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4, N = = 12. r 1 = 0, 1052; r 2 = 0, 0615; r 3 = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 11 / 13

38 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty? n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4, N = = 12. r 1 = 0, 1052; r 2 = 0, 0615; r 3 = 0, Teraz wystarczy podstawić do wzoru: r prz = 12 1, , , = 6, 44%. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 11 / 13

39 Przeciętna stopa zwrotu - uwaga Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

40 Przeciętna stopa zwrotu - uwaga Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. Dlatego przeliczając przecietną stopę zwrotu na inny okres czasu używamy wzorów na stopę efektywną, a nie względną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

41 Przeciętna stopa zwrotu - uwaga Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. Dlatego przeliczając przecietną stopę zwrotu na inny okres czasu używamy wzorów na stopę efektywną, a nie względną. Na przykład, gdybyśmy w poprzednim zadaniu potrzebowali również przeciętnej rocznej stopy zwrotu możnaby przeliczyć wynik ze stopy półrocznej na roczną używając stopy efektywnej: r prz,rocz = 1, = 13, 29%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

42 Kapitalizacja prosta lub ciągła Na koniec uwaga - ciekawostka - nie wymagająca uczenia się na ćwiczenia/egzamin, ale jakby się przydało... Jeśli wiemy, że kapitalizacja jest prosta, to przeciętna stopa procentowa na lokacie faktycznie będzie średnią arytmetyczną ważoną (okresami obowiązywania) stóp obowiązujących w trakcie lokaty. Taka sama sytuacja zajdzie dla kapitalizacji ciągłej tj. jeśli zakładamy, że kapitalizacja była cały czas ciągła i chcemy obliczyć nie przeciętną stopę zwrotu, lecz jaką stopą trzeba zastąpić te wszystkie stopy obowiązujące w trakcie lokaty, by przy założeniu, że utrzymujemy kapitalizację ciągłą, otrzymać taki sam efekt. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 13 / 13