ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum, proporcjonalna do odległości tego puntu od centrum. Oznaczając tę siłę przez F możemy zapisać: F~x, lub w postaci równości F = x, (1) gdzie: - jest współczynniim proporcjonalności. Jeżeli punt poddawany jest tylo działaniu siły danej wzorem (1), wówczas mamy do czynienia z jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym bez tłumienia. W rzeczywistości trudno usunąć siły oporu ośroda i tarcia. Każdy rzeczywisty oscylator harmoniczny jest oscylatorem tłumionym, tórego ruch wywołany jest przez siłę F = x + F0 + F t, gdzie: F 0 - siły oporu ośroda, F t - siły oporu tarcia. Załadając, że F 0 = 0 i F t = 0 różniczowe równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego zapiszemy w postaci: m d x = x, lub d x + m x = 0. Wprowadźmy oznaczenie ω =, gdzie: ω - nazywać będziemy częstością m ołową lub pulsacją. Zatem d x + ω x = 0. () Ostatnie równanie często nazywamy różniczowym równaniem oscylatora harmonicznego. Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest funcja x = A sinωt + A cos ω t, (3) 1 Ćwiczenie 3 1
gdzie: A 1 i A są dowolnymi stałymi. Wyznaczamy je z warunów początowych. W tym celu założymy, że w chwili t = 0 punt znajdował się w położeniu x = x 0 i poruszał się z prędością V = V 0. Różniczując (3) względem czasu dostajemy dx V = = A1ω cosωt Aω sin ωt. (4) Naładając waruni początowe w wyrażeniu (3) i (4) otrzymujemy uład równań agebraicznych: x = A 0 V0 = A1ω. Stąd łatwo obliczyć stałe A 1 i A. Po podstawieniu do wzoru (3) i (4) otrzymujemy odpowiednio: V0 x = sinωt + x0 cos ωt, ω (5) V = V cosωt x ω sin ωt. 0 0 Wprowadźmy stałe A i φ oreślone równaniami: Asin φ = x, V (6) 0 Acos φ =. ω W taim przypadu równania (5) przybierają postać: x = A cosφ sinωt + sinφ cos ωt, albo ( ) ω ( φ ω φ ω ) V = A cos cos t sin sin t, 0 ( ω φ) ( ) x = Asin t +, V = Aω cos ωt + φ, A - oznacza amplitudę ruchu, φ - fazę początową. Łatwo zauważyć, że przyspieszenie dv a = = Aω sin ( ωt + φ) = ω x (8) proporcjonalne do wychylenia - jest cechą charaterystyczną dla ruchu harmonicznego prostego. Punt materialny, tóry doznaje taiego przyspieszenia jest oscylatorem harmonicznym prostym. Torem opisywanego ruchu jest odcine prostoliniowy zawarty między amplitudami - A i + A a ruch jest oresowy o oresie (7) Ćwiczenie 3
T m = π. (9) Ores zależy od masy puntu (m ) oraz od siły centralnej (scharateryzowanej współczynniiem ), nie zależy natomiast od wychylenia i fazy. Drgania posiadające taą własność są izochroniczne. Zatem oscylator harmoniczny prosty jest oscylatorem izochronicznym. Z warunu (6) wynia zależność amplitudy i fazy początowej od warunów początowych. Po prostych przeształceniach w (6) otrzymujemy wzory: V0 A = x0 + ω, (10) oraz ωx0 tgφ =. V0 Jeżeli drgania zachodzą tylo po wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi, wówczas mamy do czynienia z drganiami własnymi lub swobodnymi. Praca jaą należy wyonać wychylając punt od położenia równowagi na odległość x w polu sił centralnych (1) jest miarą energii potencjalnej oscylatora x 1 E p = xdx = x (11) 0 (siłę wzięto ze znaiem plus, ponieważ pracę wyonujemy przeciwo sile centralnej 1). Potencjał oscylatora harmonicznego E p 1 V m m x 1 x n = = = ω. (1) Energia inetyczna E = mv = m A ω cos ( ω t + φ), lub E = m ( A ω x ). (13) Z (11) i (13) łatwo zauważyć, że energia całowita E ma = = A ω π m (14) T jest wielością stała, gdzie m, A i ω są stałe dla danego oscylatora. Energię inetyczną można wyrazić za pomocą pędu p = m V, wówczas Ćwiczenie 3 3
Wtedy energia całowita mv p E = =. m 1 p E = x + m. (15) Stąd x p + = 1 E me. (16) Ja wiadać równanie (16) jest równaniem elipsy. Pole powierzchni taiej elipsy w przestrzeni (onfiguracyjnej) położenia i pędu (x, p) obliczamy ze wzoru: S = π a b, (17) gdzie: a Rys 3.1 E = ; b = me. (18) Po podstawieniu (18) do wzoru (17) otrzymujemy S = π E m = TE, T - jest oresem drgań, lub uwzględniając (14) i odpowiednio gdzie: przeształcając ostatni wzór dostajemy: S A m = π T. (19) W przypadu oscylatora wantowego energia całowita zmienia się w sposób nieciągły i pole elipsy może przyjmować sciśle oreślone wartości, prowadzi to w prosty sposób do wantowania orbit w modelach atomu wodoru Bohra - Sommerfelda. Przyładem oscylatora harmonicznego,w pewnym Ćwiczenie 3 4
przybliżeniu, może być sprężyna zawieszona jednym ońcem, z drugiej strony obciążona obciążniiem o masie m i wprawiona w ruch drgający. Drgania odbywają się woół puntu równowagi, tórego położenie uzależnione jest od wielości siły ciężości działającej na sprężynę i zaczepioną masę m. Drgania sprężyny odbywają się pod wpływem siły sprężystej -proporcjonalnej do wychylenia. Ores drgań jest wyrażony wzorem (9), gdzie: m - jest masą obciążającą sprężynę, a - wielością charaterystyczną dla danej sprężyny. Wzór ten został wyprowadzony przy założeniu, że w drganiach uczestniczy jedynie masa m. W drganiach jedna bierze również udział masa sprężyny. Ores drgań z uwzględnieniem masy sprężyny m s obliczymy ze wzoru 1 m + ms T = 3. (0) π Opis przyrządu Przyrząd, tóry służy do przeprowadzania pomiarów słada się ze statywu sztywno zespolonego ze stołem, sprężyny zawieszonej na statywie na tle sali milimetrowej oraz obciążniów. Rys. Ćwiczenie 3 5
Przebieg pomiarów A. Badanie zależności F = f(x) 1. Przeprowadzamy pomiar wartości wychylenia od położenia równowagi dla 10-ciu różnych obciążeń sprężyny.. Sporządzamy wyres zależności F = f(x). 3. Obliczamy na podstawie wyresu współczynni ierunowy. B. Badanie izochronizmu drgań wahadła sprężynowego. 1. Wyznaczamy czas t n drgnień sprężyny.. Obliczamy ores ze wzoru T = t/n. 3. Porównujemy ores zmierzony z obliczonym ze wzoru (17). 4. Pomiary powtarzamy dla trzech różnych wychyleń początowych. 5. Pomiary i obliczenia 1-4 powtarzamy dla różnych obciążeń sprężyny. C. Obliczanie parametrów elipsy energetycznej. 1. Mierzymy ores ja w puncie B dla 10 różnych amplitud przy ustalonej masie m.. Obliczamy energię całowitą ze wzoru (14). 3. Pomiary powtarzamy dla pięciu różnych mas. 4. Badamy zależność energii potencjalnej od amplitudy E p = f 1 (x), przy m = const. 5. Badamy zależność energii inetycznej od amplitudy E = f (x), przy m = const. 6. Sprawdzamy zasadę zachowania energii E = E + E p dla pięciu wychyleń, przy m = const. 7. Pomiary (pt.4. 5.) i obliczenia (pt.6.) powtarzamy dla tych samych mas, dla tórych wyonujemy pomiary w pt. 3. 8. Sporządzamy wyres elipsy energetycznej i obliczamy jej pole. a). Pomiary i obliczenia wyonujemy dla tych samych mas co w puncie A. b). Obliczanie pola elipsy energetycznej wyonujemy na podstawie wzoru (19). C` 1. Dla ustalonej amplitudy początowej (A 0 ) wyznaczyć ores T dla 5-ciu różnych obciążeń.. Obliczyć S (19) dla ażdego przypadu i sporządzić wyres S = f(m). 3. Dla ustalonej masy wyznaczyć dla 5-ciu różnych amplitud początowy ores T. 4. Obliczyć S ze wzoru (19) biorąc średnią amplitudę z ażdego pomiaru. 5. Sporządzić wyres S = f(a śr ). Każdemu etapowi pomiarów towarzyszy rachune błędów, dysusja wyniów i wniosi. Ćwiczenie 3 6