PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ] T S P S P S siły węzłowe (elementowe) P = K e U
u(, y) = α + α + α y v(, y) = α + α + α y u = α + α i v = α + α i 4 4 5 i i 5 6 + α y, + α y, 6 i i Z: linowy rozkład przemieszczeń na obszarze elementu i =,, i =,, α = A α = A α = A [ u ( y y ) + u ( y y ) + u ( y y )] [ u ( y y ) + u ( y y ) + u ( y y )] [ u ( ) + u ( ) + u ( )] (, ) = Φ (, ) + Φ (, ) + Φ (, ) (, ) = Φ (, ) + Φ (, ) + Φ (, ) A pole powierzchni trójkąta u y y u y u y u v y y v y v y v Φ = ( y y ) ( y y ) ( ) y A + + Φ = ( y y ) ( y y ) ( ) y A + + Φ = ( y y ) + ( y y ) + ( ) y A u v u Φ 0 Φ 0 Φ 0 u (, y) v = 0 0 0 Φ Φ Φv u v elementowe funkcje kształtu =Φ U
ε σ T = ε ε y γ y T = σ σ y τ y wektor odkształcenia wektor naprężenia ε = 0 płaski stan odkształcenia σ ( ) Z = ν σ X + σ Y Z ν σ = 0 płaski stan naprężenia ε ( ) Z ε X + εy Z ε ε y γ y 0 u, y v y ( y ) = 0 (, y ) związki geometryczne (Cauchy ego) = ν u(, y) ( ) ε = D ( ) v, y = DΦ U= BU B macierz geometryczna elementu ε = BU u v ε Φ, 0 Φ, 0 Φ, 0 u ε y = 0 Φ, y 0 Φ, y 0 Φ, y v γ y Φ, y Φ, Φ, y Φ, Φ, y Φ, u ε ε = const y γ y σ σ τ y y ε = E ε γ y y prawo Hook a e v element o stałym odkształceniu...... i naprężeniu ν E E = ν ν σ = Eε = EBU 0 0 0 0 ν macierz sprężystości dla płaskiego stanu naprężenia
warunki nierozdzielności ciągłość przemieszczeń w węzłach (ale nie wzdłuż boków!) nieciągłość (skokowa zmiana) odkształceń od elementu do elementu najlepsze przybliżenie odkształceń w środku ciężkości elementu podział obszaru na elementy trójkątne nieciągły rozkład odkształceń rozkład skorygowany przez uśrednienie rozkład skorygowany przez aproksymację 4
podział obszaru na elementy trójkątne nieciągły rozkład odkształceń rozkład skorygowany przez uśrednienie rozkład skorygowany przez aproksymację Macierz sztywności elementu Φ = T ε σ gęstość energii odkształcenia T ε T = ( BU ) = U T B T LW = energia odkształcenia LW = = LZ = T P U = UTK et U praca sił węzłowych K et = K e ε T σ h d dy h - grubość ( A) symetria macierzy sztywności U T B T EB U h d dy ( A) T U B T EB h d dy U ( A) K e = B T EB h d dy ( A) K e = ha B T EB w elemencie trójkątnym 5
Element skończony prosta figura geometryczną (liniowa, płaska lub przestrzenna), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jej wnętrzu i na jej bokach. Funkcje te nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu. Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym ponieważ funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe. W pozostałych przypadkach (węzły poza wierzchołkami) mamy do czynienia z elementem wyższego rzędu. Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu). 6
elementy z liniowymi funkcjami kształtu elementy z funkcjami kształtu wyższych stopni elementy, przy których zachodzi ciągłość pochodnych na granicach nazywane są dostosowanymi Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach, których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a w pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero. Dziedziną funkcji kształtu jest obszar elementu. http://www.kmb.po.opole.pl/pliki/wyklad.pdf 7
Część obliczeń wykonywana jest na elemencie wzorcowym, np. wyznaczanie macierzy pochodnych funkcji kształtu Element wzorcowy: ξ, η [,], relacja między pochodnymi y przez macierz Jacobiego ζ = J η y, ζ η y ξ ξ J = y η η Całkowanie po elemencie - punkty Gauss a Wzory kwadraturowe ( ) ( ξ η ) f, y d A = f, J dξdη = ( A) n n k = j= (, ) J (, ) α α f ξ η ξ η j k j k j k 8
Twierdzenie o wartości średniej dla całek b [ a, b] : f ( ) d = ( ξ)( b a) ξ f a ξ =? n n n 0 ( ) f d = lim f ( w ) f ( w ) i i i i n i = i = 9
b a d c ( ) n i, j = i, j = f, y ddy n (, ) = lim f w v y n (, ) i j i j f w v y i j i j (, ) = + (, ) f y y f y = + y www.au.poznan.pl/~rwal/wtd_niestac_mat_pliki/wyklad_8.doc wazniak.mimuw.edu.pl/inde.php?title=analiza.../wykład...całka. Wybór stopni swobody (w węźle) elementu zależy od typu zadania: kratownica płaska dwa przemieszczenia kratownica przestrzenna trzy przemieszczenia rama płaska (zginanie) dwa przemieszczenia i kąt obrotu rama przestrzenna trzy przemieszczenia i trzy kąty obrotu płaska tarcza dwa przemieszczenia płyta (zginanie) jedno przemieszczenie i dwa obroty normalnej powłoka (płyta + stan tarczowy) trzy przemieszczenia i dwa obroty trójwymiarowy trzy przemieszczenia przemieszczeniowe sformułowanie MES 0
. kształt elementu i stopnie swobody q. funkcje kształtu Φ (aproksymacja przemieszczeń przy pomocy q). macierz operatorów D i macierz odkształceń B=D Φ, ε=b q 4. macierz naprężeń C, σ=eb q 5. macierz sztywności 6. transformacja do układu globalnego ( V ) 7. agregacja macierzy sztywności całego układu (wszystkich elementów) 8. zadanie warunków brzegowych i obciążeń T B EB dv 9. rozwiązanie układu równań MES (wyznaczenie stopni swobody wszystkich elementów w układzie globalnym) 0. powrót do elementu (transformacja do układów lokalnych) k e = e K e = T e R k R dyskretyzacja konstrukcji (obszaru): skończona liczba elementów zamiast układu ciągłego dyskretyzacja obciążeń: siły przyłożone tylko w węzłach zamiast rozłożone w rzeczywisty sposób dyskretyzacja warunków brzegowych (więzów): warunki spełnione w skończonej liczbie punktów-węzłów warunki ciągłości przemieszczeń spełnione tylko w węzłach; naruszona ciągłość odkształceń i naprężeń na brzegach elementów
model rzeczywisty model elementowy dyskretyzacja obciążenia: siły tylko w węzłach - statycznie równoważne zadanym obciążeniom dyskretyzacja warunków brzegowych: ograniczenia (więzy) tylko w węzłach model rzeczywisty model elementowy