P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
|
|
- Leszek Stankiewicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykaz oznaczeń stosowanych w pracy a długość elementu łukowego, c kosinus kąta rozwarcia elementu, c 0 kosinus połowy kąta rozwarcia elementu, d współczynnik ścinania, e współczynnik membranowy, g ij, g ~ element konsystentnej macierzy geometrycznej, ij h wysokość przekroju pręta, i promień bezwładności przekroju pręta, k ij, k ~ ij element macierzy sztywności, l naturalna współrzędna wzdłuż osi łuku, n obciążenie równomiernie rozłożone w kierunku obwodowym, m moment zginający przypadający na długość elementu, m ij, m ~ element konsystentnej macierzy mas, ij p kr krytyczny mnożnik obciążenia, q uogólnione obciążenie równomiernie rozłożone, g globalny wektor przemieszczeń węzłowych, ij r współrzędna dyskretna, s sinus kąta rozwarcia elementu, s 0 sinus połowy kąta rozwarcia elementu, t obciążenie równomiernie rozłożone w kierunku promieniowym u przemieszczenie w kierunku obwodowym, v przemieszczenie w kierunku promieniowym, x współrzędna kątowa, A pole powierzchni przekroju pręta, Â wektor amplitud drgań węzłów, C i współczynniki w dokładnych funkcjach kształtu, C ~ i współczynniki w wielomianowych funkcjach kształtu, D macierz podatności, E moduł Younga, n E ~ operator przesunięcia Boole'a, Fˆ globalny wektor sił węzłowych wywołanych obciążeniem przęsłowym dla układu, 0 Fˆ globalny wektor sił węzłowych układu, G moduł Kirchhoffa, G, G ~ konsystentna macierz geometryczna elementu, Ĝ globalna macierz geometryczna układu, I moment bezwładności przekroju, I zmodyfikowany moment bezwładności przekroju, 4
2 J zastępczy moment bezwładności przekroju, K, K ~ macierz sztywności elementu, Kˆ globalna macierz sztywności układu, M moment zginający, M, M ~ konsystentna macierz mas elementu, Mˆ globalna macierz mas układu, N siła normalna, N δ i funkcja kształtu opisująca przemieszczenie δ wywołane i-tym jednostkowym przemieszczeniem węzłowym, P uogólniona siła, R promień krzywizny łuku, T macierz transformacji, U energia sprężysta, V objętość, α kąt rozwarcia elementu, α 0 połowa kąta rozwarcia elementu, δ uogólnione przemieszczenie, ε uogólnione odkształcenie liniowe, ϕ całkowity kąt obrotu przekroju, φ zmodyfikowany całkowity kąt obrotu przekroju, γ kąt odkształcenia postaciowego, η względny przyrost kąta obrotu przekroju, ι bezwładność obrotowa pręta przypadająca na jednostkę długości, κ zmiana krzywizny, κ współczynnik korekcyjny ścinania λ względne wydłużenie osi środkowej pręta, µ masa pręta przypadająca na jednostkę długości, ν współczynnik Poissona, ρ gęstość materiału, σ uogólnione naprężenie normalne, τ czas, ω częstość kołowa drgań własnych, ξ współrzędna bezwymiarowa, n operator różnicowy n-tego rzędu. 5
3 1. WSTĘP 1.1 Temat pracy Praca dotyczy podstawowych problemów metody elementów skończonych. Związana jest z bardzo istotnym zagadnieniem, jakim jest właściwe modelowanie matematyczne elementów skończonych stosowanych w obliczeniach inżynierskich. Metoda elementów skończonych (MES) jest z pewnością jedną z najczęściej stosowanych metod analizy komputerowej konstrukcji. Bibliografia jest olbrzymia i nie sposób jej w całości wymienić. Z prac monograficznych za ważną uznaje się [58]. Ponadto można wymienić dostępne w języku polskim [16, 25, 32, 33, 48, 52, 53]. Jedną z najnowszych jest natomiast [4]. Zastosowanie MES w istotny sposób wpłynęło na rozwój wielu dziedzin nauki, nie tylko mechaniki konstrukcji. W miarę żywiołowego rozwoju i aplikacji tej metody obliczeń pojawiły się nowe problemy, często nieoczekiwane, których aktualność rozciąga się po dzień dzisiejszy. Do najistotniejszych z całą pewnością należy otwarte pytanie dotyczące optymalnego, ze względu na czas i dokładność obliczeń, modelowania fizycznego konstrukcji oraz modelowania matematycznego na poziomie elementu. W końcu lat sześćdziesiątych rozpoznane zostało zjawisko występowania znacznych błędów w obliczeniach numerycznych. Pojawiły się one nieoczekiwanie w fizycznie poprawnie sformułowanych dyskretyzacjach układów ciągłych i dla określonych aproksymacji funkcji kształtu stosowanych elementów skończonych. Stwierdzono, że pewne aproksymacje wielomianowe, wielokrotnie sprawdzone w zaawansowanych obliczeniach inżynierskich, prowadzą do występowania zjawisk blokady ścinania (shear locking) w układach zginanych oraz dodatkowo blokady membranowej (membrane locking) w układach uwzględniających efekty tarczowe. Zjawiska te polegają na tym, że uwzględnienie wpływu sił poprzecznych i normalnych w funkcjonale wyrażającym energię sprężystą prowadzi do ogromnych błędów w przypadku, gdy wymiar grubości elementu jest mały (obliczeniowe przemieszczenie maleje w stosunku do poprawnego). Efekty te są już dobrze znane, ich analizie poświęcono wiele prac (Rozdział 1.2). Zaproponowano wiele sposobów przeciwdziałania tym zjawiskom. Ponieważ większość opracowanych metod bazuje na sztucznych, nie uzasadnionych fizycznie zabiegach, w pracy niniejszej proponuje się inną koncepcję elementu skończonego, który nie będzie wykazywał zjawisk blokady. 1.2 Przegląd literatury Zagadnieniom dotyczącym opracowania efektywnych elementów skończonych bazujących na wielomianowych funkcjach kształtu niskiego stopnia poświęcono bardzo dużo prac. Na problem związany z występowaniem zjawiska numerycznego blokady natknięto się już pod koniec lat sześćdziesiątych. Stwierdzono wtedy, że aproksymacje wykorzystujące liniowe funkcje kształtu stosowane do analizy układów zakrzywionych (łuki, powłoki) dają wyniki obarczone poważnymi błędami [1]. Paradoksalne było późniejsze odkrycie, że zastosowanie elementów belkowych tego 6
4 samego rzędu prowadzi do rezultatów znacznie lepszych [14, 15]. Z dzisiejszego poziomu wiedzy można odpowiedzieć, że przyczyną takiego zachowania się tych modeli obliczeniowych było zjawisko blokady membranowej. Praca [57] jest jedną z pionierskich, w których zaproponowano i skutecznie zastosowano pewne techniki usunięcia skutków zjawisk blokady. Autorzy stwierdzili, że zredukowanie liczby punktów Gaussa przy całkowaniu niektórych składników energii sprężystej daje pożądany efekt. Technikę tę zastosowano do modyfikacji opracowanych wcześniej [2] elementów płytowych, gdzie udało się wyeliminować skutki blokady ścinania, oraz powłokowych, w których występowała blokada membranowa. Technika zaproponowana przez autorów jest właściwie stosowana do dziś, jest najpopularniejsza i powszechnie wiadomo, że jest skuteczna. Natomiast do dziś nie ma jej racjonalnego uzasadnienia. W pracy [54] wyprowadzono dokładną macierz sztywności elementu łukowego o małej krzywiźnie. Wykazano jej identyczność z odwrotnością dokładnej macierzy podatności. Następnie przeprowadzono porównania odwrotności macierzy sztywności dla różnych elementów krzywoliniowych wskazując na możliwość pojawienia się błędów spowodowanych występowaniem zjawisk blokady w tych aproksymacjach. Praca [39] przedstawia porównanie efektywności różnych elementów zakrzywionych w obliczeniach drgań własnych łuków kołowych. Wzięto pod uwagę dwa elementy wykorzystujące trygonometryczne funkcje kształtu zaproponowany przez Cantina i Clougha oraz jego modyfikację, a także elementy z funkcjami trzeciego stopnia typowy i zredukowany. Najlepszym w badanych zagadnieniach okazał się zmodyfikowany element trygonometryczny. Już te pierwsze porównanie wskazuje, że do poprawnego opisu zachowania się konstrukcji łukowej niezbędne jest użycie funkcji trygonometrycznych. Autorzy w swej pracy wskazali również uwagę na to, że do sformułowania efektywnego elementu nie wystarczy zapewnienie poprawnego modelowania przemieszczeń bezodkształceniowych. Konieczne jest przede wszystkim wprowadzenie zgodnych pól odkształceń do modelu. Podobny wniosek został sformułowany w pracy [7]. W pracy [44] autorzy analizowali zjawisko blokady membranowej w łukach. Wykazali, że w łuku płaskim, w którym pola przemieszczeń są aproksymowane wielomianami niskiego stopnia sztywność elementu jest nadmiernie powiększona przez wpływ jego sztywności osiowej. Zjawisko to nasila się dla łuków mało wyniosłych. Autorzy wskazali, że właśnie to jest istotą blokady membranowej. W celu wyeliminowania tego efektu zastosowano całkowanie zredukowane dla tej części energii sprężystej, która dotyczy ściśliwości elementu. W wyniku tego zabiegu otrzymano element zakrzywiony, w którym nie ma już tego nie pożądanego zjawiska, zachowane natomiast zostało sprzężenie pomiędzy zginaniem a ściśliwością. Autorzy stwierdzili także, że technikę całkowania zredukowanego można zastąpić stosując sformułowanie mieszane. Zauważyli jednak, że w pracy poświęconej takiemu podejściu [27] wiele wyników liczbowych odbiega od rozwiązań dokładnych z powodu zastosowania dokładnego całkowania. Zasugerowali więc, że w niektórych przypadkach konieczne jest połączenie obu metod. W kolejnej pracy [45] ci sami autorzy kontynuowali podjęte wcześniej rozważania. Badali sformułowania przemieszczeniowe, naprężeniowe oraz mieszane z elementami klasy C 0 pod kątem 7
5 występowania i eliminowania zjawisk blokady ścinania i membranowej. Stwierdzili, że oba te zjawiska są ze sobą powiązane. W elementach klasy C 0 całkowanie zredukowane zastosowane do wyrażeń związanych ze ściśliwością i ścinaniem usuwa problem. Jednak według autorów zredukowanie całkowania przy energii ścinania prowadzi do eliminacji sprzężenia zginanieściśliwość, co powinno być cechą charakterystyczną poprawnej aproksymacji krzywoliniowej. W efekcie otrzymuje się element zachowujący się niemal jak element belkowy. Dalej wykazano, potwierdzając wstępne wnioski z pracy poprzedniej, że sformułowanie mieszane wykorzystujące wielomianowe pola uogólnionych naprężeń w elemencie jest narażone na blokadę. Stwierdzono także, że izoparametryczny element sześcienny nie wykazuje tego nie pożądanego efektu. Efekt ten natomiast pojawia się w sformułowaniu elementu kwadratowego. Autorzy zwrócili uwagę na paradoks, że często zalecane w problemach plastyczności zwiększenie liczby punktów całkowania dla uzyskania większej dokładności w badanym zagadnieniu daje rezultat przeciwny do zamierzonego. Ciekawą koncepcję wyjaśniającą przyczynę występowania zjawiska blokady ścinania w elementach belkowych podano w [31]. Autorzy wprowadzili pojęcie zbędnych więzów wewnętrznych. Po wstawieniu do formuły wyrażającej energię sprężystą przyjętej postaci aproksymacji pól przemieszczeń i wykonaniu całkowania wzdłuż elementu oraz obliczeniu granicy przy wysokości przekroju dążącej do zera otrzymuje się zależności pomiędzy przemieszczeniami węzłowymi. Jeśli tak wyznaczone więzy nie mają uzasadnienia fizycznego to badana aproksymacja musi wykazywać blokadę. Usunięcie zbędnych więzów prowadzi do modyfikacji aproksymacji, która jest już pozbawiona wad. Autorzy wyjaśnili również problemy występujące przy zastosowaniu parametru kary. Koncepcja ta polega na wprowadzeniu do aproksymacji z niezależnymi interpolacjami kąta odkształcenia postaciowego oraz przemieszczenia poprzecznego pewnego parametru, dzięki któremu można sztucznie sterować wielkością odkształcenia postaciowego [49]. Parametr ten jest tak zdefiniowany, by jego wartość zmniejszała sztucznie rosnącą sztywność na ścinanie w przyjętej aproksymacji, gdy wysokość przekroju maleje. Według autorów taka koncepcja jest nieskuteczna bez usunięcia zbędnych więzów. Ponadto ograniczeniem stosowalności tej metody jest dokładność obliczeniowa komputera, może tu dojść do zjawiska blokady wywołanego przez komputer (machine induced locking). W pracy [3] zaproponowano ideę zgodności pól aproksymujących odkształcenia wywołane zginaniem, ścinaniem oraz ściskaniem. Opracowano element klasy C 0 eliminując z aproksymacji te wyrażenia, które powodowały niezgodności. W efekcie otrzymano element identyczny z tym, który jest wynikiem zastosowania całkowania zredukowanego. W pracy [42] przedstawiono sformułowanie hybrydowe wykorzystujące zakrzywiony element klasy C 0. Na poziomie elementu pola odkształceń i naprężeń były aproksymowane niezależnie. Następnie parametry naprężeniowe wyeliminowano przy użyciu warunku stacjonarności Hellingera-Reissnera otrzymując standardowe równania równowagi. Takie podejście zapewniło poprawność otrzymanego elementu skończonego. W pracy zwrócono dużą uwagę na właściwy dobór funkcji naprężeń. Zaproponowano dwa kryteria, których spełnienie powoduje, że otrzymywany element nie wykazuje zjawisk blokady. Są to: kryterium unikania kinematycznych 8
6 postaci deformacji oraz kryterium wskaźnika więzów. Na ich podstawie autorzy zbudowali dwa elementy zakrzywione bazujące na funkcjach liniowych i kwadratowych. W pracy [38] wykazano, że selektywne całkowanie zredukowane zastosowane do standardowego problemu dyskretnego prowadzi do powstania elementu skończonego równoważnego temu, który otrzymuje się ze sformułowania hybrydowego. Tą samą prawidłowość udowodniono w [56]. W [28] zastosowano dwie metody usuwania zjawiska blokady membranowej w elemencie skończonym z funkcjami kształtu trzeciego stopnia. Przyjęto całkowanie zredukowane oraz koncepcję zgodności pól dla odkształceń membranowych z wykorzystaniem metody najmniejszych kwadratów. Wykazano, że wprowadzenie całkowania zredukowanego o jeden punkt Gaussa prowadzi do wyników identycznych z otrzymywanymi po wprowadzeniu zgodności pól dla odkształceń membranowych. Jednak zastosowanie redukcji o dwa punkty daje lepsze efekty. W pracy [25] podjęto badania podobne do przedstawionych w niniejszej rozprawie. Wyprowadzono dokładną macierz sztywności dla elementu parabolicznego. Tak opracowany element do analizy statyki jest oczywiście wolny od zjawisk blokady, które są charakterystyczne tylko dla aproksymacji z funkcjami kształtu nie spełniającymi podstawowych zależności pomiędzy przybliżanymi polami przemieszczeń. Kolejnym sposobem zapobiegania zjawiskom blokady jest koncepcja rozkładu modalnego zaproponowana w [45]. W rozważanym elemencie izoparametrycznym klasy C 0 zapewniona została możliwość powstania odkształceń zgięciowych, którym nie towarzyszy wydłużenie. Przedstawiana koncepcja polega na rozdzieleniu całkowitych deformacji na dwie postacie: czysto zgięciową i pozostałą. Następnie z wyrażenia na energię części zgięciowej usuwa się wszystkie elementy związane ze ściśliwością i ścinaniem. Efektem takiego podejścia jest poprawiony element zachowujący wszystkie pozytywne cechy sformułowania izoparametrycznego. Bardzo ciekawą metodę określania przyczyn i wielkości błędów wywołanych przez zjawiska blokady ścinania w elementach belkowych Timoshenki przedstawiono w [35]. Warunki równowagi belki złożonej z identycznych elementów przedstawiono w postaci równań różnicowych. Porównując takie sformułowania różnicowe dla elementu ścisłego oraz dla badanych aproksymacji liniowych można wyraźnie zaobserwować źródła i wartości błędów. Możliwe jest także wprowadzenie współczynników korekcyjnych, poprawiających wadliwe aproksymacje. Jednak podejście takie jest mało efektywne dla elementów łukowych z uwagi na znacznie bardziej złożone postacie odpowiednich równań różnicowych dla elementu dokładnego. Niemożliwym wydaje się wprowadzenie podobnie prostych współczynników korekcyjnych jak dla belki. Kontynuacją tej pracy były podobne rozważania dla elementów kwadratowych przedstawione w [36]. Testowaniu trójwymiarowych elementów zakrzywionych z funkcjami kształtu trzeciego stopnia, w których zastosowano selektywne całkowanie zredukowane, poświęcono pracę [29]. Zastosowano także metodę hybrydową z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej. Warunki nieliniowości wprowadzono stosując metodę kolokacji. Wykazano, że takie podejście eliminuje zjawiska blokady. Stosowano funkcje interpolujące, które uwzględniały dla łuków zakrzywionych w planie sprzężenie zginania w płaszczyźnie łuku z wydłużeniem oraz zginania z płaszczyzny ze 9
7 skręcaniem. W rozważaniach uwzględniano belki zakrzywione o małej grubości (bez wpływu ścinania). W pracy [10] badano różne typy elementów zakrzywionych bazujących na trygonometrycznych funkcjach kształtu. Jednak żadna z kilku przyjętych aproksymacji nie zawierała wszystkich składników charakterystycznych dla funkcji dokładnych. Ponadto były to funkcje o stałych współczynnikach, nie zależących od geometrii elementu. Nowy zakrzywiony element skończony określony przez krzywiznę wyprowadzono w pracy [19]. Wszystkie pola odkształceń wyrażono poprzez zmianę krzywizny. Takie podejście zapewniło zgodność pól odkształceń, gdyż interpolowana była tylko jedna zmienna. Autorzy wskazali, że najmniejszym możliwym do przyjęcia stopniem wielomianu jest 2, gdyż odkształcenie osiowe pręta zakrzywionego zależy od drugiej pochodnej krzywizny. Przyjęcie niższego stopnia aproksymacji prowadziłoby do blokady membranowej. Otrzymany element został przetestowany i wykazano, że jest wolny od zjawisk blokady ścinania i membranowej. Podobne podejście zaproponowano dla łuków, w których uwzględniono duże przemieszczenia [40] oraz plastyczność [41]. W obu przypadkach jedyną aproksymowaną wielkością był kąt obrotu przekroju, co automatycznie zapewniło zgodność pól przemieszczeń. W pracy [5] zaproponowano dwa trójwymiarowe elementy krzywoliniowe wykorzystujące niezależne pola odkształceń: dwuwęzłowy i trzywęzłowy wykorzystujące odpowiednio aproksymację stałą oraz liniową. Takie podejście eliminuje zjawiska blokady. Ponadto wykazano, przeprowadzając liczne testy numeryczne, że tak opracowane elementy dają lepsze wyniki, niż zmodyfikowany kwadratowy element izoparametryczny wyprowadzony w [30]. Dwuwęzłowy element zakrzywiony, w którym zastosowano rozdział postaci odkształcenia dla przemieszczeń radialnych oraz koncepcję zgodności pól w odkształceniach obwodowych przedstawiono w [18]. Wprowadzono macierz transformacji pomiędzy odkształceniami związanymi ze ścinaniem a odkształceniami wywołanymi zginaniem. Wykazano, że takie, jednak dość rozbudowane, sformułowanie jest skuteczne i usuwa problemy związane z występowaniem zjawisk blokady. Do aproksymacji krzywizny przyjęto liniowe funkcje kształtu. Wykonując obliczenia numeryczne autorzy wykazali wyższość swojego elementu nad elementami zaproponowanymi w [3]. Wiele innych prac poświęcono także opracowaniu elementów krzywoliniowych do analizy problemów nieliniowych geometrycznie. Poza kilkoma wspomnianymi wcześniej można wymienić ponadto [8, 12, 17, 43, 47] Cel pracy Niniejsza rozprawa stanowi rozszerzenie wcześniejszych badań dotyczących statyki [20, 23, 24, 37], dynamiki i stateczności łuków [21, 22] na przypadki prętów silnie zakrzywionych. Podstawowym celem rozprawy jest opracowanie wielomianowego elementu skończonego, który byłby efektywnym narzędziem analizy łuków o dużej krzywiźnie. Chodzi o zbudowanie takiego elementu, który będzie nie tylko skutecznym narzędziem analizy, ale którego sformułowanie będzie miało uzasadnienie fizyczne. Ogromna większość wysiłków naukowych w tej dziedzinie bazuje 10
8 bowiem na technikach nie znajdujących takiego uzasadnienia. Całkowanie zredukowane, rozdział postaciowy pól odkształceń, parametry kary, macierze stabilizacyjne, czy idea poprawiania modelu przez wtórne wprowadzanie zgodności pól to wszystko są zabiegi polegające na sztucznej modyfikacji prostego, ale błędnego w samym założeniu, modelu opartego o wymyślone, niepoprawne funkcje kształtu. Podejmowano już próby opracowania elementów bazujących na funkcjach trygonometrycznych. Jednak podstawową zaletą aproksymacji będącej przedmiotem tej rozprawy jest przyjęcie wielomianowych funkcji kształtu, które są przybliżeniem ścisłych funkcji trygonometrycznych. Przy takim podejściu otrzymuje się bardziej rozbudowany element, gdyż proponowane funkcje mają charakter fizyczny. Współczynniki występujące w nich zależą od fizycznych i geometrycznych charakterystyk elementu. Osiąga się jednak ogromny zysk w dokładności obliczeń, a co ważniejsze pewność, że element jest efektywny we wszystkich możliwych przypadkach w ramach przyjętych założeń. Nie można mieć natomiast takiej pewności dla aproksymacji opartych na sztucznych zabiegach. Ich skuteczność potwierdzono jedynie przeprowadzając liczne obliczenia numeryczne, ale to nie stanowi dowodu poprawności. Celem dodatkowym rozprawy jest, po opracowaniu wiarygodnego narzędzia do analizy łuków, określenie wpływu efektów dużej krzywizny na wyniki obliczeń oraz próba zdefiniowania granicy rozdzielającej łuki o małej krzywiźnie od silnie zakrzywionych. Dotyczy to statyki (przemieszczenia), dynamiki (częstości kołowe drgań własnych) oraz stateczności (wartości jednoparametrowych obciążeń krytycznych). Jako oryginalny element pracy można wymienić również wyprowadzenie równań różniczkowych osi odkształconej łuku silnie zakrzywionego z uwzględnieniem sił poprzecznych oraz sił normalnych. Rozważania dotyczące elementów prętowych silnie zakrzywionych ograniczono do materiałów charakteryzujących się liniową sprężystością oraz układów konstrukcyjnych o liniowej geometrii w ramach teorii małych przemieszczeń i małych odkształceń. Jedynie w zagadnieniach stateczności odstąpiono od zasady zesztywnienia Omówienie treści rozprawy Zasadnicza część pracy rozpoczyna się od przedstawienia w Rozdziale 2 elementów teorii płaskich prętów o dużej krzywiźnie. Skupiono się przede wszystkim na podaniu formuł, które były wykorzystane w dalszych obliczeniach równania pracy wirtualnej do obliczania przemieszczeń oraz wzoru na energię sprężystą wyrażoną przez uogólnione przemieszczenia. Rozdział 3 poświęcono opracowaniu konsystentnego elementu łukowego. Bazuje on na dokładnych (dla statyki) funkcjach kształtu, które mają postać trygonometryczną. Zbudowano macierze elementowe: sztywności, mas i geometryczną. Korzystając z macierzy sztywności przedstawiono warunki równowagi łuku podzielonego na identyczne elementy w postaci równań różnicowych. Następnie poprzez przejście graniczne (długość elementu dąży do zera) otrzymano równania różniczkowe osi odkształconej łuku. Wykazano także identyczność macierzy sztywności 11
9 wyznaczonej z warunku minimalizacji energii sprężystej z otrzymaną jako komplet reakcji węzłowych spowodowanych jednostkowymi przemieszczeniami węzłów elementu łukowego. Następnie przytoczono liczne przykłady numeryczne, których celem była weryfikacja opracowanego elementu, określenie wpływów dużej krzywizny na wyniki obliczeń, wykazanie, że opracowany element o stałej krzywiźnie może być również wykorzystany do rozwiązywania łuków o zmiennym promieniu krzywizny, a także porównanie wyników z teorii prętowej z wynikami teorii sprężystości w odniesieniu do łuków traktowanych jako tarcze. Rozdział 4 poświęcono zasadniczemu celowi pracy wyprowadzeniu wielomianowego elementu skończonego. Stosując rozwinięcia funkcji trygonometrycznych w szeregi potęgowe znaleziono przybliżone wielomianowe funkcje kształtu. Ich charakterystyczną cechą, odróżniającą je od funkcji powszechnie stosowanych, jest zależność występujących w nich współczynników od geometrycznych i fizycznych parametrów elementu. Dokonano porównania funkcji dokładnych i przybliżonych. Wyprowadzono macierze elementowe: sztywności stosując rozwinięcia funkcji trygonometrycznych do dokładnej macierzy sztywności oraz mas i geometryczną korzystając z wielomianowych funkcji kształtu. Ponadto przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych, w których zastosowano element wielomianowy. Celem tych obliczeń było przede wszystkim wykazanie bardzo dużej dokładności opracowanego elementu, a także faktu, że nie wykazuje on pasożytniczych zjawisk blokady ścinania ani blokady membranowej oraz jego wyższości nad innymi elementami wielomianowymi, np. elementami wykorzystującymi koncepcję całkowania zredukowanego i selektywnego. W Rozdziale 5 zawarto podsumowanie pracy i wnioski końcowe. Na końcu pracy przedstawiono zestawienie literatury oraz trzy załączniki. W Załączniku 1 podano postać wielomianowej macierzy mas elementu zakrzywionego Eulera-Bernoulliego, w Załączniku 2 wielomianowej macierzy geometrycznej elementu zakrzywionego Eulera- Bernoulliego, a w Załączniku 3 macierzy sztywności elementów wykorzystujących liniowe funkcje kształtu, w których zastosowano całkowanie analityczne oraz selektywne zredukowane. 12
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
4.5. Macierz mas Macierz mas elementu wyprowadzić można według (.4) wykorzystując wielomianowe funkcje kształtu (4. 4.). W tym przypadku wzór ten przyjmie postać: [ m~ ] 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ gdzie: m = [ N
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych
Bardziej szczegółowoAnaliza płyt i powłok MES
Analiza płyt i powłok MES Jerzy Pamin e-mails: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: M. Radwańska, A. Wosatko ANSYS, Inc. http://www.ansys.com Tematyka zajęć Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Elementy
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowo1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz
1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoPierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)
METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.
Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.
Bardziej szczegółowoStateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
Bardziej szczegółowo1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowoOsiadanie kołowego fundamentu zbiornika
Przewodnik Inżyniera Nr 22 Aktualizacja: 01/2017 Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_22.gmk Celem przedmiotowego przewodnika jest przedstawienie analizy osiadania
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali
Poradnik Inżyniera Nr 18 Aktualizacja: 09/2016 Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_18.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoModelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).
Bardziej szczegółowoObliczeniowa nośność przekroju zbudowanego wyłącznie z efektywnych części pasów. Wartość przybliżona = 0,644. Rys. 25. Obwiednia momentów zginających
Obliczeniowa nośność przekroju zbudowanego wyłącznie z efektywnych części pasów. Wartość przybliżona f y M f,rd b f t f (h γ w + t f ) M0 Interakcyjne warunki nośności η 1 M Ed,385 km 00 mm 16 mm 355 1,0
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P
WM Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów I Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM 1 S 0 3 37-0_0 Język wykładowy:
Bardziej szczegółowo5. Indeksy materiałowe
5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,
Bardziej szczegółowo700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:
Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowo8. Metody rozwiązywania układu równań
8. Metody rozwiązywania układu równań [K][u e ]=[F e ] Błędy w systemie MES Etapy modelowania metodami komputerowymi UKŁAD RZECZYWISTY MODEL FIZYCZNY MODEL DYSKRETNY Weryfikacja modelu fiz. Weryfikacja
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH
Część 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5.. ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI W każdym materiale konstrukcyjnym
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoCIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE
CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE Wykład 7: Wymiarowanie elementów cienkościennych o przekroju otwartym w ujęciu teorii nośności nadkrytycznej Wintera. UWAGI OGÓLNE W konstrukcjach smukłościennych zaobserwowano
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA
POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoŁagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych
Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 N 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowo8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny
Bardziej szczegółowoAnaliza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych
Analiza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych Mgr inż. Tomasz Ferenc Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Projektowanie wszelkiego rodzaju konstrukcji
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000
Bardziej szczegółowoNauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis
Nauka o Materiałach Wykład VIII Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste Jerzy Lis Nauka o Materiałach Treść wykładu: 1. Właściwości materiałów -wprowadzenie 2. Klasyfikacja reologiczna odkształcenia
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoStateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Ćwiczenie nr 7 Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji Analiza statyczna obciążonego kątownika
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:
Bardziej szczegółowoDRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WBiIŚ KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAJĘCIA 5 KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE Mgr inż. Julita Krassowska 1 CHARAKTERYSTYKI MATERIAŁOWE drewno lite sosnowe klasy C35: - f m,k =
Bardziej szczegółowoModelowanie w MES. Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowane są materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0).
MES 5 Modelowanie w MES Część I Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowane są materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0). Krok
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE POJĘCIA MES
Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie PODSTAWOWE POJĘCIA WYKŁAD 1 Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl. Literatura KLEIBER M.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych. PAN IPPT,
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoObszary sprężyste (bez możliwości uplastycznienia)
Przewodnik Inżyniera Nr 34 Aktualizacja: 01/2017 Obszary sprężyste (bez możliwości uplastycznienia) Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_34.gmk Wprowadzenie Obciążenie gruntu może powodować powstawanie
Bardziej szczegółowoAnaliza stateczności zbocza
Przewodnik Inżyniera Nr 25 Aktualizacja: 06/2017 Analiza stateczności zbocza Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_25.gmk Celem niniejszego przewodnika jest analiza stateczności zbocza (wyznaczenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoKolejnośd obliczeo 1. uwzględnienie imperfekcji geometrycznych;
Kolejnośd obliczeo Niezbędne dane: - koncepcja układu konstrukcyjnego z wymiarami przekrojów i układem usztywnieo całej bryły budynki; - dane materiałowe klasa betonu klasa stali; - wykonane obliczenia
Bardziej szczegółowoAnaliza statyczna MES dla dźwigarów powierzchniowych
Adam Wosatko PODZIĘKOWANIA DLA: Marii Radwańskiej, Anny Stankiewicz, Sławomira Milewskiego, Jerzego Pamina, Piotra Plucińskiego Tematyka zajęć 1 Analiza statyczna MES algorytm, porównanie z MRS 2 ES tarczowe
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowo1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca
Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu
Karta (sylabus) przedmiotu [Budownictwo] Studia I stopnia Przedmiot: Metody obliczeniowe Rok: III Semestr: VI Rodzaj zajęć i liczba godzin: Studia stacjonarne Studia niestacjonarne Wykład 15 16 Ćwiczenia
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
Bardziej szczegółowo