Γ D Γ Ν. Metoda elementów skończonych, problemy dwuwymiarowe. problem modelowy: w Ω. warunki brzegowe: Dirichleta. na Γ D. na Γ N.

Transkrypt

1 Metoda elementów skończonych, problemy dwuwymiarowe Ω Γ D v problem modelowy: Γ Ν warunki brzegowe: na Γ D w Ω Dirichleta na Γ N Neumanna problem ma jednoznaczne rozwiązanie, jeśli brzeg Γ D nie ma zerowej długości.

2 gdyby na brzegu tylko warunek Neumanna (na pochodną): rozwiązanie będzie niejednoznaczne, bo stałą można dodać do u nie zmieniając wartości pochodnej układ równań z macierzą sztywności w której narzucono tylko warunek Neumanna -? jak wygląda?

3 stara folia

4 stara folia taki pierwszy wiersz dostaniemy ze składania macierzy lokalnych w równaniu u (x)= - ρ(x)

5 stara folia taki pierwszy wiersz dostaniemy ze składania macierzy lokalnych w równaniu u (x)= - ρ(x) warunek Neumanna= tzw. naturalny wb (natural bc) naturalny bo: nie zmienia macierzy sztywności

6 weźmy z lewej strony warunek naturalny, z prawej Dirichleta macierz sztywności po złożeniu i narzucewniu war.b. dla funkcji liniowych i trzech węzłów w D : c = ( pochodna na lewym końcu ) F wartość na prawym końcu warunek Dirichleta wymaga interwencji w macierz sztywności w.d.= istotny warunek brzegowy (essential BC) det=/h h

7 weźmy warunek naturalny, z obu stron c = ( pochodna na lewym końcu ) F pochodna na prawym końcu

8 weźmy warunek naturalny, z obu stron macierz sztywności po złożeniu jest osobliwa! UR nie ma jednoznacznego rozwiązania!

9 Przybliżenie brzegu Ω Ω gdy skomplikowany brzeg: skończona liczba elementów (trójkątów, czworokątów itp) opisuje problem tylko w sposób przybliżony = przybliżone warunki brzegowe gdy brzeg opisany funkcja wielomianową problem można opisać przypisać za pomocą skończonej liczby elementów krzywoliniowych

10 Słabe sformułowanie problemu z funkcją wagową w(x) całkowanie macierzy sztywności Γ Ω całkowanie przez części, i więcej wymiary Tw. Gaussa v strumień pola wektorowego przez zamkniętą powierzchnię = dywergencja pola wewnątrz objętości ograniczonej powierzchnią

11 a,b dwie funkcje skalarne tożsamość: scałkować po objętości całkowanie przez części w D W D całka brzegowa w D: brzeg składa się z dwóch punktów

12 wracamy do słabej formy równania różniczkowego całkowanie przez części: redukuje rząd pochodnych w na części Γ: w. brzegowy na wartość u. Całka po Γ znika jeśli w(na Γ)=. U Galerkina w takie jak funkcje bazowe. Jeśli rozwiązanie u nie znika na brzegu, całka brzegowa istnieje i trzeba się z nią uporać. Z całkami tego typu walczyć będziemy w dalszej części wykładu, przy metodzie elementów brzegowych.

13 Pierwszy problem: uziemiona skrzynka potencjał u= y=+ y=- x=- x=+

14 Pierwszy problem: y=+ ) podzielić płaszczyznę na elementy (zaczniemy od czworokątnych el.) ) wybrać funkcje kształtu ) policzyć macierze sztywności i wektory obciążeń dla wszystkich elementów 4) złożyć globalną macierz sztywności i globalny wektor obciążeń x=- x=+ y=-

15 ) wybrać funkcje kształtu najniższy rząd na kwadratowym elemencie: biliniowe funkcje kształtu u 4 u D: x m- - element x m φ =/ / ξ φ =/ +/ ξ u u.5.5 ξ ξ ξ ξ ξ każda z funkcji kształtu: osiąga wartość w jednym za narożników zeruje się w pozostałych ξ ξ ξ

16 wyższego rzędu: iloczyny funkcji bazowych Lagrange a w obydwu wymiarach np. kwadratowe w x, liniowe w y u 4 u 5 u u u u 6 (-,-) (,-) (,-) itd.

17 ) transformacja elementu z przestrzeni referencyjnej (x 4,y 4 ) (x,y ) (-, ) (,) (x,y ) r =(x,y ) (-,-) (,-) wzajemnie jednoznaczne mapowanie??? Jak to zrobić?

18 ) transformacja elementu z przestrzeni referencyjnej (x 4,y 4 ) (x,y ) (-, ) (,) (x,y ) r =(x,y ) (-,-) (,-) wzajemnie jednoznaczne mapowanie:??? Jak to zrobić? - zaskakująco łatwo biliniowe funkcje kształtu (do mapowania zawsze, nawet gdy używane są później wyższe)

19 transformacja elementu do przestrzeni referencyjnej y x składanie narożników : w każdym tylko funkcja nie znika ξ ξ

20 co się dzieje z przekątnymi? transformacja elementu do przestrzeni referencyjnej y przekształcenie nie jest liniowe i nie zachowuje równoległości prostych - x element wklęsły wnętrze mapowane na zewnętrze, nie chcemy takich elementów. mają być wypukłe

21 element wklęsły niedobry -mapowanie nie jest bijekcją liczone wzdłuż antydiagonali

22 Mapowanie p. referencyjnej na fizyczną: przypadki szczególne. tożsamość (ξ,ξ ) 4 (,) (-, ) (,) (-, ) (x,x ) (-,-) (,-) (-,-) (,-)

23 Mapowanie p. referencyjnej na fizyczną: przypadki szczególne powiększenie (,) (ξ,ξ ) (-,) (-, ) (,) (-,-) (,-) (-,-) (,-)

24 Mapowanie p. referencyjnej na fizyczną: przypadki szczególne przesunięcie (ξ,ξ ) (,) (,) (,) (-, ) (x,x ) (,) (,) (-,-) (,-)

25 Mapowanie p. referencyjnej na fizyczną: przypadki szczególne 4 obrót 4: (,sqrt()) (-, ) (ξ,ξ ) (,) : (-sqrt(),) : (sqrt(),) (-,-) (,-) : (,-sqrt()) θ= π/4

26 Macierz sztywności-całkowanie w przestrzeni referencyjnej f=-ρ(x,y) bo warunki brzegowe bo tego wyrazu nie ma w równaniu (Poissona) Galerkin: do macierzy sztywności

27 potrzebne k=, a mamy x(ξ, ξ ) i y(ξ, ξ ) Jakobian

28

29 Jakobian (mianownik) zależy od kształtu i rozmiaru elementu w przestrzeni fizycznej Jakobian dla powiększenia (-a,a) 4 (a,a) (-a,-a) (a,-a) J=a

30 Jakobian dla przesunięcia (,) (,) 4 (-, ) (,) (x,x ) (,) (,) (-,-) (ξ,ξ ) (,-) J=

31 Jakobian dla obrotu 4: (,sqrt()) (ξ,ξ ) (-, ) (,) : (-sqrt(),) : (sqrt(),) (-,-) (,-) : (,-sqrt()) J=

32 Ogólnie, przy transformacjach zachowujących kształt [kwadrat=kwadrat] J=const S Σ - - J=S/4 stosunek pola elementu fizycznego do pola elementu odniesienia (J=czynnik skali) gdy transformacja=rozciągnięcie jednego z kierunków, powiedzmy x razy a S również wtedy jakobian = const Σ - -

33 zależność J od współrzędnych referencyjnych gdy różne fragmenty elementu mają wchodzić do całki z różną wagą, tj., gdy element fizyczny nie jest prostokątny zawsze jest tak, że całka z J(ξ,ξ) po elemencie odniesienia = Pole elementu fizycznego

34 S=(a+b)/*h=.5/* -, a.5, 4 Jakobian transformacji biliniowej która nie zachowuje kształtu h S Σ b -,-, mniejsza waga punktów z górnej części elementu referencyjnego

35 Macierz sztywności: różniczkowanie w przestrzeni fizycznej zapisane we wsp. referencyjnych w całkowaniu : przy przejściu do współrzędnych referencyjnych uwzględniamy jakobian.

36 W naszym przykładzie weźmy szesnaście kwadratowych elementów: m= 4 (,) 4 Macierz sztywności D, kwadratowe elementy, biliniowe funkcje kształtu Lagrange a element m (-,-) dzielenie integerów (bez reszty)

37 Macierz sztywności: Macierz sztywności D, kwadratowe elementy, biliniowe funkcje kształtu Lagrange a 4 nie zależy od m (ten sam kształt i rozmiar) podkreślam zera - J = Δx /4

38 Macierz sztywności D, kwadratowe elementy, biliniowe funkcje kształtu 4

39 Macierz sztywności D, kwadratowe elementy, biliniowe funkcje kształtu Lagrange a wszystkie elementy mają ten sam kształt i rozmiar odpowiada im ten sam Jakobian wszystkie lokalne macierze sztywności są identyczne

40 Macierz sztywności D, kwadratowe elementy, biliniowe funkcje kształtu Lagrange a / / /6

41 Macierz sztywności D, kwadratowe elementy, biliniowe funkcje kształtu Lagrange a 4 składanie globalnej macierzy sztywności ) globalna numeracja węzłów 4 5 sąsiednie: - naprzeciwległe - m= Potrzebne funkcja nadająca węzłowi lokalnemu i z elementu m numer globalny nr(i,m) =nr(4,) =nr(,)=nr(4,) =nr(,)=nr(,4)... =nr(,6)=nr(,7)=nr(,),nr(4,)

42 składanie globalnej macierzy sztywności ) globalna numeracja węzłów 4 5 m= Macierz sztywności D, kwadratowe elementy, biliniowe funkcje kształtu Lagrange a nr(i,m) funkcja nadająca węzłowi lokalnemu i z elementu m numer globalny =nr(4,) =nr(,)=nr(,4) =nr(,)=nr(,4)... =nr(6,)=nr(7,)=nr(,),nr(,4) pętla po elementach m=,6 pętla po węzłach lokalnych k=,4 pętla po węzłach lokalnych l=,4 identyfikacja numeru globalnego węzła i=nr(k,m) j=nr(l,m) S(i,j)=S(i,j)+E(m,k,l)

43 S=/ MES produkuje macierze rzadkie: liczba elementów niezerowych w macierzy N N: rzędu N. (przekrywanie tylko funkcji kształtu sąsiednich elementów) macierz gęsta przy węzłach N= N 8 bajtów (double) = 8GB

44 Prawa strona=całkowanie po elemencie w przestrzeni referencyjnej tu zależność od elementu m-ukryta ) Całkowanie numeryczne po kwadracie ) Składanie prawych stron w globalną F pętla po elementach m=,6 pętla po węzłach lokalnych k=,4 identyfikacja numeru globalnego węzła i=nr(k,m) F(i)=F(i)+P(k,m) Gaussa N punktowa Gaussa N punktowa

45 4) jednorodne warunki brzegowe Dirichleta wpisanie do układu równań 4 5 m= Su=F S-macierz 5x5 F-wektor 5 szukamy wierszy macierzy S odpowiadających węzłom brzegowym -6, -, 5-6, -5 [wiersze te mają 4/6 i 8/6 na diagonali, wspólne dla nie więcej niż elementów] wpisujemy na diagonali, zero wpisujemy do macierzy F

46 Wynik:.5 wydruk po diagonali (dokładny i MES z biliniowymi f. kształtu) MES dokladny

47 MES (6 kwadratowych elementów z biliniowymi funkcjami kształtu) a MRS Dokładny MES funkcje biliniowe 5 węzłów MRS 5 węzłów (dramat) przekrój po diagonali

48 identycznych elementów: nadal widoczne ścianki odstępstwa dokładny/mes wciąż widoczne wyjście: zagęścić elementy w środku pudła lub zmienić funkcje kształtu na ciągłe z pochodną MRS przy tej samej liczbie węzłów

49 podział przestrzeni na nierówne elementy: domek z kart (płaskie ściany) globalna numeracja węzłów: numeracja elementów z góry wiadomo, że w rezultacie dostaniemy płaskie ściany

50 problem z odwróceniem równania Dla biliniowych funkcji kształtu, w każdym z elementów: dokładne MES 6 kwadratowych elementów ciągłe = po diagonali przerywane = po y= zamiast x

51 4 Baza bikwadratowa: dodatkowe węzły globalna numeracja węzłów narożnych`: numeracja elementów węzłów y (-, ) (-,-) 7 4 etc. x = (,) (,-) Węzły wierzchołkowe numerujemy jak poprzednio. Mapowanie wtedy bez zmian. 5 mapowanie wciąż używa funkcji biliniowych

52 bikwadratowe funkcje kształtu D: u u u - ξ Φ =ξ(ξ -)/ Φ =-(ξ -)(ξ +) Φ = ξ(ξ +)/ D: (-, ) 4 8 (,) lista funkcji kształtu (-,-) 6 (,-)

53 Bikwadratowe funkcje kształtu w elemencie odniesienia jakobian i transformacje pochodnych/całek bez zmian (mapowanie bez zmian)

54 Wyniki: funkcje biliniowe bikwadratowe r. dokładne dokładny bikwadratowe biliniowe po diagonali

55 Rozwiązanie ciągłe z pochodną: (bikubiczne) funkcje Hermita w dwóch wymiarach parametry węzłowe na węzeł D: u =u(x ) u =u (x ) ξ u =u(x ) u =u (x ) ξ J m =dx/dξ ξ 4 parametry węzłowe na węzeł: ) wartość funkcji ) pierwsza pochodna w kierunku x ) pierwsza pochodna w kierunku y 4) druga pochodna mieszana ξ

56 4 ξ ξ 4 parametry węzłowe na węzeł: ) wartość funkcji ) pierwsza pochodna w kierunku x ) pierwsza pochodna w kierunku y 4) druga pochodna mieszana D: D

57 z szesnastu funkcji Hermite a

58 x 4 5 m= węzłów, parametrów węzłowych wynik dokładny Hermite a - p.w. po diagonali dokładny

59 Optymalizacja kształtu elementów: przykład dla bazy bikwadratowej jak dobrać optymalne rozmiary α/β? metoda elementów skończonych, jak każda Galerkina, ma charakter wariacyjny α β a y warunek na optymalne α/β: a=min

60 a a w elemencie m: przy czym zależność x i y od xi zależy od m Sc=F

61 Optymalizacja kształtu elementów: wyniki dla bazy bikwadratowej.9 a(α,β). Optymalne położenie narożnych węzłów β b taki kształt. został. wybrany do poprzednich rysunków S= -6.5e-4 αa dokładne minimum funkcjonału -6.74e zoptymalizowany dokładny

62 Metoda elementów skończonych dla dwuwymiarowego równania własnego podejdziemy dla problemu, w którym znane jest rozwiązanie analityczne D oscylator harmoniczny separacja zmiennych D oscylator: E i =/+i E n =E i +E j

63 bikwadratowe funkcje kształtu: po elementach po węzłach w ramach jednego elementu lokalna numeracja węzłów ciągłość: c =c c 6 =c 8 c =c 4 zapewnimy ją globalną numeracją węzłów i odpowiednią konstrukcją macierzy element element

64 Rachunki dla siatki elementów na, bikwadratowe funkcje kształtu wierzchołki= granice elementów rozmiar pudła obliczeniowego - pozostałe wierzchołki elementy kwadratowe, identycznego kształtu warunek brzegowy: znikanie wektorów własnych rozmiar pudła obliczeniowego= parametr wariacyjny -

65 przenumerowanie jest tyle funkcji ile węzłów globalnych narysowane tylko funkcje narożne jedna φ i składa się z w istocie z czterech Hc=ESc uogólnione równanie własne do rozwiązania macierz Hamiltonianu (odpowiednik macierzy sztywności) macierz przekrywania [ESc odpowiednik wektora obciążeń]

66 Hc=ESc T ij V ij Lokalne macierze sztywności (Hamiltonianu) + lokalne macierze przekrywania lokalna macierz energii kinetycznej kwadratowe, identyczne elementy identyczne macierze, niezależne od elementu

67 Macierz potencjału: zależy od elementu, bo mapowania x/y(ξ,ξ ) od m zależą od elementu już nie zależy

68 Składanie macierzy: wszystkie węzłów ponumerowane w sposób jednoznaczny dodatkowo lg(i,m) = numer globalny węzła i w elemencie m - - do m=, do i=,9 do j=,9 H(lg(i,m),lg(j,m))+=H(i,j,m) S(lg(i,m),lg(j,m))+=S(i,j,m) continue continue np. dla tego węzła zsumujemy przyczynki od funkcji w 4 różnych elementach

69 Warunki brzegowe - - chcemy, żeby funkcje własne znikały na brzegu jak? wyrzucić wszystkie funkcje kształtu z bazy z brzegu [pozostałe funkcje kształtu = na węzłach brzegowych] albo (wersja dla leniwych) H k-ty wiersz/kolumna S Zerowanie: odsprzęgnie węzły brzegowe od całej reszty. zerujemy, potem H kk =-4 S kk = dostaniemy wartość własną 4 zdegenerowaną tylu krotnie ile jest węzłów brzegowych również: można po prostu skreślić te kolumny/wiersze z macierzy

70 Wyniki / optymalizacja rozmiaru pudła obliczeniowego 6 na 6 elementów na elementów wartosc wlasna 4 wartosc wlasna rozmiar rozmiar bikwadratowe funkcje kształtu, 9 na element. elementy identyczne, kwadratowe

71 pudło obliczeniowe na, na elementów: λ=. λ=.77 λ=.4 λ= E n =E i +E j =i+j (i,j)=(,) (,) (,) (,) (,) (,) gdy 6 na 6 elementów i pudło za duże (,) granice elementów widać, gdy elementy źle dobrane

72 czy warto się trudzić, czyli, czy FEM skuteczna w porównaniu z FDM? ponumerować węzły, (np. tak jak w równaniu przewodnictwa cieplnego), równanie różnicowe zapisać w postaci równania wlasnego macierzy o strukturze:

73 Dla porównania metod: MES i MRS liczba węzłów identyczna: na, pudło na MRS widmo MRS błąd MES widmo MES błąd wartości własne MRS lepsze niż wektory, ale to przypadkiem

74 Jeszcze jedno porównanie V= [stany pudła obliczeniowego] E mn =E (m +n ) dla m,n> dokładne MES/E MRS/E (6 razy większy błąd) 5 razy 6 razy