Wiadomości uzupełniające

Rozdział 3 Wiadomości uzupełniające (Fragment z książki: I. Sobol. Metoda Monte Carlo. Moskwa, Nauka, 985.). O liczbach pseudolosowch Większość algortmów otrzmwania liczb pseudolosowch jest postaci γ k+ = F(γ k ). (38) Jeśli zadana jest początkowa liczba γ to wszstkie następne γ, γ 2,..., wliczane są według tego samego wzoru (38) dla k =, 2,..., Metoda środka kwadratów z p. 3.3 jest również postaci (38). W jej wpadku zamiast analitcznego wrażenia = F() podano zbiór operacji, które należ wkonać nad argumentem w celu otrzmania. =F() Rs. 28.. Jaka powinna bć funkcja F()? Następując przkład pozwala zrozumieć na czm polega podstawowa trudność związana z wborem F(). P r z k ł a d Pokażem, że funkcja = F() przedstawiona na Rs. 28 nie może bć użwana w procesie generowania liczb pseudolosowch według wzoru (38). Rozpatrzm punkt o współrzędnch kartezjańskich (γ, γ 2 ), (γ 3, γ 4 ), (γ 5, γ 6 ),... rozmieszczone w jednostkowm kwadracie { < <, < < }. Ponieważ w tm wpadku γ 2 = F(γ ), γ 4 = F(γ 3 ), γ 6 = F(γ 5 ),..., to wszstkie takie punkt leżą na krzwej = F(). Jest to źle gdż punkt losowe powinn wpełniać równomiernie cał kwadrat. Z rozpatrzonego przkładu wnika, że użwając funkcji = F() we wzorze (38) można spodziewać się sukcesu tlko wted, gd jej grafik dostatecznie gęsto zapełnia cał kwadrat. Własność taką posiada np. funkcja = {g}, (39) gdzie g jest dużą liczbą, a {z} oznacza ułamkową część liczb z, tzn. {z} = z [z]. Na Rs. 29 pokazano wkres takiej funkcji prz g = 2. Cztelnik może sobie wobrazić, jak taki wkres wgląda w przpadku g = 5 7.

2 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Rs. 29.2. Metoda porównań (metoda residuów) Najbardziej powszechną metodą generowania liczb pseudolosowch jest metoda zaproponowana przez D. Lemmera. Podstawę algortmu stanowi funkcja (39), jednakże dla wgod, jej realizacja na komputerze przebiega nieco inaczej. Definiuje się ciąg liczb całkowitch m k, w którm zadana jest liczba początkowa m =, a następne, m, m 2,... są wliczane według tego samego wzoru m k+ = 5 7 m k (mod2 4 ) (4) dla k =,, 2,.... Z liczb m k otrzmuje się liczb pseudolosowe γ k = 2 4 m k. (4) Formuła (4) mówi, że liczba m k+ jest równa reszcie z dzielenia liczb 5 7 m k przez 2 4. W teorii porównań (patrz dowoln podręcznik z teorii liczb) taką resztę nazwa się najmniejszm dodatnim residuum modulo 2 4. Stąd pochodzą obie nazw algortmu metoda porównań i metoda residuów. Spotkan termin metoda kongruencji jest wnikiem błędnego tłumaczenia. Angielski termin congruence posiada dwa znaczenia i oznacza zarówno kongruencję jak też równość modulo. Formuł (4) i (4) dają się łatwo realizować na komputerach pracującch z liczbami 4 bitowmi z wkorzstaniem polecenia mnożenia liczb podwójnej preczji. Należ wkorzstać młodsze cfr ilocznu. Okres ciągu m, m, m 2,..., pokrwa się z odcinkiem aperiodczności: P = L = 2 38. Zawarte są w nim wszstkie liczb postaci 4n + nie większe niż 2 4..3. Komputer serii EC Większość maszn cfrowch tej serii pracuje z liczbami 3 bitowmi. W ich oprogramowanie matematczne wchodzi generator RANDU polecan przez specjalistów IBM. Również tutaj realizowana jest metoda residuów: m k+ = g m k (mod 2 3 ), γ k = 2 3 m k, m =. Cznnik g = 65539 = 2 6 + 3 został jednak wbran tak niezręcznie, że generator jest, praktcznie biorąc, zł. Zostało to pokazane przez wielu obliczeniowców dużo wcześniej nim udowodniono nieprzdatność generatora. W tm przpadku można polecić cznnik g = 5 3. Ciekawe, że liczb z grup γ, γ 2,..., γ N dla N = są jawnie żle rozmieszczone w przedziale (, ). 2 Jednak prz wzroście N rozkład poprawia się i prz N 5 jest całkowicie zadowalając. Dla rozpatrwanego ciągu P = L = 2 29. Forsth J., Malcolm M., Mouler K., Komputerowe metod obliczeń matematcznch. M., Mir, 98. Tłumacz tej książki z niewiadomch powodów uznał za stosowne opatrzć wezwanie autorów b nie użwać RANDU następującą uwagą: To ostrzeżenie odnosi się oczwiście, do amerkańskich cztelników książki... 2 Pokazał to B. W. Schuhman.

. O metodach generowania wielkości losowch 3. O metodach generowania wielkości losowch W paragrafie tm przedstawiono najważniejsze metod generowania wielkości losowch. U podstaw klasfikacji tego rodzaju metod leż ilość liczb losowch potrzebnch do otrzmania jednej wartości ξ. Podstaw klasfikacji można znaleźć w [3] gdzie pokazano ją po raz pierwsz.. Przekształcenie postaci ξ = g() Pierwsze miejsce wśród tego tpu przekształceń zajmuje bezspornie metoda funkcji odwrotnch. Pokażem, że sposob generowania dskretnch i ciągłch wielkości losowch, które został pokazane w 4, są szczególnmi przpadkami tej metod. Przpominam, że dstrbuantą (funkcją rozkładu) dowolnej wielkości losowej nazwa się funkcję F() = P{ξ < }, określoną dla wszstkich < <. Oczwiście, F(). łatwo pokazać, że funkcja F() nie maleje ze wzrostem i, że zawsze istnieją granice lim F() = i lim F() =. Funkcja F() nie musi jednakże bć silnie monotoniczna: w pewnch przedziałach może bć stała. Nie musi też bć ciągła: może posiadać skoki. =F() =G() Rs. 3 Załóżm, że = F() jest ciągła i silnie monotoniczna (Rs. 3). Istnieje wówczas ciągła funkcja odwrotna = G(), dla której prz wszstkich < < i wszstkich < < G(F()) =, F(G()) =. (42) Pokażem, że dstrbuantą zmiennej losowej G() jest F(). Rzeczwiście, P{G(γ) < } = P{F(G(γ)) < F()} = P{γ < F()}. Ponieważ γ ma rozkład jednorodn w przedziale (, ), to prawdopodobieństwo P{γ < F()} = P{ < γ < F()} jest równe długości przedziału (, F()), tzn. równa się F(). Pokazaliśm więc, że P{G(γ) < } = F(). (43) W konsekwencji, zmienna losowa ξ z ciągłą i monotoniczną funkcją rozkładu F() może bć generowana według reguł ξ = G(γ). (44) Podobnie jak γ, γ równomiernie wpełnia przedział (, ). Zamiast formuł (44) można więc użwać formuł ξ = G( γ). (45)

4 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Przedstawiona metoda generowania zmiennch losowch według reguł (44) lub (45) nosi nazwę metod funkcji odwrotnch. Okazuje się, że metodę funkcji odwrotnch można zastosować do generowania liczb losowch ξ dla przpadku dowolnej funkcji rozkładu F(). W miejscach gdzie funkcja odwrotna (w zwkłm sensie) jest niejednoznaczna lub, gd nie jest określona dla wszstkich < <, należ ją rozsądnie rozszerzć. W ten sposób = G() stanie się jednoznaczna i niemalejąca, i chociaż nie można zagwarantować, że prz wszstkich < < i < < będą spełnione równości (42) to będzie spełnione żądanie słabsze, a mianowicie nierówności G() i F(). To wstarcza b zamiast (43) zapisać P{G(γ) < } = P{G(γ) } = P{γ F()} = P{γ < F()}. P r z k ł a d Rozpatrzm ciągłą wielkość losową ξ z p 4.2. łatwo pokazać, że krzwa przedstawiona na Rsunkach 2 i 3 jest częścią dstrbuant. Jeśli a < < b to F() = P{ξ < } = P{a < ξ < } = p() d. (46) Pełna dstrbuanta została przedstawiona na Rs.3. Pokazano też funkcję odwrotną = G(). W przkładzie tm rozsądne rozszerzenie funkcji odwrotnej sprowadziło się do tego, że fragment funkcji = F() uzupełniono prz < a i > b. Jest rzeczą oczwistą, że metoda z p. 4.2 (patrz (23)) pokrwa się z metodą funkcji odwrotnch (patrz (44)). =F() p +p +p 2 3 p +p 2 p =F() a b =G() 2 3 4 p +p +p 2 3 p +p 2 =G() p a b Rs. 3 2 3 4 Rs. 32 P r z k ł a d Rozpatrzm dskretną zmienną losową ξ z p. 4.. Funkcję rozkładu tej zmiennej w szczególnm przpadku n = 4 pokazuje Rs.32. Wbierając dowolną wartość γ na osi, zawartą międz zerem i jednością stwierdzam, że odpowiadająca jej wartość G(γ) jest równa jednej z wartości i takiej, że P{G(γ) = i } = p i. Widać stąd, że metoda z p. 4. jest również metodą funkcji odwrotnch. P r z k ł a d Rozpatrzm wielkość losową ξ tpu mieszanego, której rozkład z prawdopodobieństwem.4, jest równomiern w przedziale < < 2 i z prawdopodobieństwem.6 zmienna ta przjmuje wartość. Na Rs.33 pokazano nieciągłą dstrbuantę F() tej zmiennej oraz funkcję odwrotną G(). Ponieważ {.2, < <, F() =.2 +.6, < < 2.

. O metodach generowania wielkości losowch 5..8 =F().2..8 2 =G().2 2 Rs. 33 to z (44) otrzmujem następującą regułę losowania ξ: { 5γ, < γ <.2, F() =,.2 < γ <.8, 5(γ.6),.8 < γ <. Wbór losowego kierunku w przestrzeni Kierunek będziem zadawać za pomocą wektora jednostkowego wstawionego w początku układu współrzędnch. Końce takich wektorów leżą na sferze jednostkowej. Powiedzenie dowoln kierunek jest równoważne stwierdzeniu, że koniec wektora kierunkowego reprezentuje losow punkt Ω o rozkładzie równomiernm na powierzchni sfer. Prawdopodobieństwo tego, że Ω wpadnie w dowolnm elemencie powierzchni ds jest równe ds/(4π). φ Ω ψ z Rs. 34 Wbierzm na sferze współrzędne sferczne (φ, ψ) z osią biegunową O (Rs.34). Wówczas ds = sin φ dφ dψ, gdzie φ π, ψ < 2π. Oznaczm przez p(φ, ψ) gęstość punktu losowego (φ, ψ). Z żądania i poprzedniej równości wnika, że p(φ, ψ) dφ dψ = ds/(4π) p(φ, ψ) = (4π) sin φ.

6 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Na podstawie wspólnej gęstości φ i ψ można wznaczć oddzielne gęstości obu tch wielkości p (φ) = p 2 (ψ) = 2π π p(φ, ψ) dψ = 2 sin φ, p(φ, ψ) dφ = 2π. Równość p(φ, ψ) = p (φ)p 2 (ψ) pokazuje, że zmienne φ i ψ są niezależne. Jest jasne, że ψ ma rozkład równomiern w przedziale (, 2π) i formuła losowania ψ jest ψ = 2πγ. (47) Formułę wboru φ otrzmam z metod funkcji odwrotnch (45): a stąd F(φ) = φ p (φ) dφ = ( cos φ) = γ, 2 cos φ = 2γ. (48) Formuł (47), (48) pozwalają wbrać losow kierunek. Oczwiste jest, że wartości γ wstępujące w tch formułach, powinn bć niezależne od siebie. Przekształcenie tpu ξ = g(γ, γ 2 ) Ten rodzaj przekształceń obejmuje bardzo często spotkaną w praktce, metodę superpozcji. Założm, że dstrbuanta F() wielkości losowej ξ może bć przedstawiona jako superpozcja wielu funkcji rozkładu: F() = m c k F k (), (49) k= gdzie wszstkie c k > i c + c 2 +... + c m =. Założm jednocześnie, że wielkości losowe zadane przez dstrbuant F k () potrafim modelować, np. prz pomoc metod funkcji odwrotnch G k (). Wprowadźm pomocniczą zmienną losową ( ) 2... m κ, c c 2... c m tak, że P{κ = k} = c k. Pokażem, że jeśli wbierzem dwie liczb losowe γ i γ 2 i według γ wlosujem numer κ, a następnie wliczm G κ (γ 2 ), to dstrbuantą tej wielkości będzie F(). Rzeczwiście, ze znanego wzoru na całkowite prawdopodobieństwo wnika, że m P{G κ (γ 2 ) < } = P{G κ (γ 2 ) < κ = k}p{κ = k}. k= Wstępujące tutaj prawdopodobieństwo warunkowe jest P{G κ (γ 2 ) < κ = k} = P{G k (γ 2 ) < } = P{γ 2 < F k ()} = F k (). W konsekwencji dostajem P{G κ (γ 2 ) < } = m F k ()c k = F(). k= Jeśli istnieją odpowiadające gęstości to zamiast superpozcji (49) można rozpatrwać superpozcję gęstości: p() = m c k p k (). k=

. O metodach generowania wielkości losowch 7 P r z k ł a d w procesie rozpraszania fotonu na zimnm elektronie cosinus kąta rozpraszania µ = cosθ jest wielkością losową o gęstości p() = (3/8)( + 2 ),, < < ; jest to tzw. prawo Raleigha. Jeśli zastosujem metodę funkcji odwrotnch, to otrzmam równanie sześcienne (/8)(µ 3 + 3µ + 4) = γ. Skorzstam z metod superpozcji kładąc p() =.75p () +.25p 2 (), gdzie p () =.5 jest gęstością stałą, a p 2 () =.5 2. Odpowiadające tm gęstościom funkcje rozkładu są bardzo proste F () = ( + )/2, F 2 () = ( 3 + )/2. Funkcje odwrotne pozwalają zapisać następującą, końcową formułę modelowania { 2γ2, γ µ = <.75, 3 2γ2, γ >.75. P r z k ł a d Rozpatrzm dskretną zmienną losową ( ) ξ 2... n. (5) p p 2... p n Założm, że wszstkie prawdopodobieństwa w (5) są postaci p i = m i 2 s, gdzie m i są liczbami całkowitmi, ( m i 2 s ), i wartość s jest wielokrotnie mniejsza niż n. Wówczas, może okazać się rzeczą wgodną przedstawienie ξ w postaci superpozcji nie więcej niż s zmiennch losowch o jednakowo prawdopodobnch wartościach (w p. 4. obserwowaliśm, że takie wielkości łatwo jest modelować). Wjaśnim tę możliwość w konkretnm przkładzie. Niech w (5) n = 9 i wszstkie p i = m i /64. Liczniki m i przedstawione są w tablic 3. Z prawej stron te m i zapisane są w sstemie dwójkowm, v k oznacza liczbę jednek w k-tej kolumnie. T a b l i c a 3 k i m 2 3 4 5 6 6 2 6 3 5 4 5 5 5 6 5 7 4 8 4 9 3 3 3 2 3 3 3 4 2 5 2 6 2 7 8 9 v k 8 2 Wnika stąd, że ξ można zapisać w postaci superpozcji trzech zmiennch losowch ξ (k) prz k = 4, 5, 6: ξ (4) przmuje wartości 8 z prawdopodobieństwem / 8; ξ (5) przmuje wartości, 2, 9 6 z prawdopodobieństwami / ; ξ (6) przmuje wartości 3 6, 9 3, 7 9 z prawdopodobieństwami / 2. Współcznniki c k odpowiadające tm wielkościom, wliczone według wzoru c k = v k 2 k, są równe c 4 = / 2, c 5 = 5 / 6, c 6 = 3 / 6. W celu zapisania ostatecznej reguł wbierania ξ wprowadzim oznaczenia Otrzmam formułę (, 2,..., ) = (, 2, 9,,..., 6 ), (z, z 2,..., z 2 ) = ( 3, 4, 5, 6, 9,,..., 3, 7, 8, 9 ). i, i = + [8γ 2 ], γ < / 2, ξ = i, i = + [γ 2 ], / 2 < γ < 3 / 6, z i, i = + [2γ 2 ], 3/ 6 < γ. Jeśli do tego przkładu zastosujem metodę modelowania z p. 4., to okaże się, że trzeba wielokrotnie porównwać γ z p, p + p 2, p + p 2 + p 3, itd.

8 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Modelowanie zmiennej losowej normalnej Niech ξ będzie normalną zmienną losową z parametrami a =, σ =. Niech η będzie taką samą zmienną losową niezależną od ξ. Gęstość punktu losowego o współrzędnch kartezjańskich (ξ, η) na płaszczźnie (, ) równa się wówczas ilocznowi gęstości ξ i η: p(, ) = e 2 /2 e 2 /2 = + 2 )/2 2π 2π 2π e (2. Przejdźm do współrzędnch biegunowch na płaszczźnie: = r cos φ, = r sin φ. Niech ρ, θ będą losowmi współrzędnmi biegunowmi punktu (ξ, η): ξ = ρ cos φ, η = ρ sin φ. Wspólna gęstość ρ, θ jest p(r, φ) = p(, ) (, ) (r, φ) = r /2 2π e r2. Gęstości ρ, θ wlicza się w prost sposób p (r) = p 2 (φ) = 2π p(r, φ) dφ = re r2 /2, p(r, φ) dr = 2π. Ponieważ p(r, φ) = p (r)p 2 (φ), to ρ i θ są niezależne i łatwo je modelować według ich dstrbuant. Funkcje te są w miarę proste: F (r) = e r2 /2, F 2 (φ) = φ/(2π), gdzie < r <, < φ < 2π. Z równań F (ρ) = γ, F 2 (θ) = γ 2 otrzmam formuł modelowania: Końcowe formuł ρ = 2 ln γ, φ = 2πγ 2. ξ = 2 ln γ cos 2πγ 2, η = 2 ln γ sin 2πγ 2 pozwalają, na podstawie dwóch liczb γ i γ 2, wliczać dwie niezależne wartości normalnej zmiennej losowej z parametrami a =, σ =. Każda z tch formuł ma jednakże postać ξ = g(γ, γ 2 )..3. Przekształcenie postaci ξ = g(γ, γ 2,..., γ n ) Przkład. Wielkość losową ξ, której dstrbuanta F() = n dla < <, można wznaczć według reguł ξ = ma(γ, γ 2,..., γ n ), (5) gdzie γ, γ 2,..., γ n są liczbami losowmi. W samej rzecz, jasne jest, że P{ξ < } = P{ ma i n γ i < } = P{γ <,..., γ n < }, i ponieważ γ, γ 2,..., γ n są niezależne, to P{γ <,..., γ n < } = P{γ < }... P{γ n < } = n Jeśli będziem modelować ξ metodą funkcji odwrotnch (44), to z równania ξ n = γ otrzmam, że ξ = n γ. (52) Porównując (5) z (52) dochodzim do następującego wniosku: zamiast wciągać n-t pierwiastek z liczb losowej można znajdować największą spośród n liczb losowch.

. O metodach generowania wielkości losowch 9 P r z k ł a d W p. 5.2 rozpatrzono prost strumień zgłoszeń, w przpadku, którego przedział czasu τ międz dwoma kolejnmi zawiadomieniami jest eksponencjalną wielkością losową. W bardziej złożonch strumieniach, nazwanch strumieniami Erlanga, przedział τ jest wielkością losową o gęstości p() = w której. Ponieważ funkcja Γ(n) = n e d = (n )! an (n )! n e a, (53) nazwa się funkcją gamma, to również gęstość (53) nazwana jest rozkładem gamma. Okazuje się, że wielkość (53) można losować według wzoru ξ = (/a) ln(γ γ 2... γ n ). Nie będziem go dowodzić. Zauważm tlko, że formuła (27) jest szczególnm przpadkiem ostatniego wzoru dla n =. Wkorzstanie statstk porządkowch Wbierzm n liczb losowch γ, γ 2,..., γ n i uporządkujm je w kolejności rosnącej: γ () γ (2)... γ (s)... γ (n). Wielkość γ (s) nazwana jest s-tą porządkową statstką rozkładu równomiernegonego. Jest jasne, że γ (s) zależ od wszstkich γ, γ 2,..., γ n. Gęstość rozkładu γ (s) jest znana 3 : dla < < gęstość jest równa p() = nc s n s ( ) n s. (54) Oznacza to, że różne wielkości losowe o takich gęstościach można modelować za pomocą statstk porządkowch. Niech będą zadane liczb naturalne s i t. Połóżm n = s + t. Gęstość (54) przejdzie w tzw. rozkład beta: gdzie B(s, t) jest funkcją beta p() = s ( ) t /B(s, t), < <, (55) B(s, t) = Γ(s)Γ(t)/Γ(s + t) = (s )!(t )!/(s + t )!. W celu modelowania wielkości losowej ξ o rozkładzie beta należ wziąć liczb losowe γ, γ 2,... γ s+t i spośród nich wbrać γ (s). Zauważm, że nadrzędną statstką porządkową γ (n) jest rozpatrwana wcześniej wielkość losowa ma(γ, γ 2,..., γ n ). Sposob modelowania rozkładów beta i gamma o parametrach ułamkowch rozpatrwane są w [4]..4. Przekształcenia postaci ξ = g(γ, γ 2,..., γ n,...) Do tej klas należą przekształcenia, w którch liczba zmiennch losowch użwanch prz 3 Schemat dowodu. Wbierzm dowoln przedział (, + ). Z każdą wartością γ zwiążem trz losowe zdarzenia A = {γ < }, A 2 = { γ < + }, A 3 = { + γ}. Prawdopodobieństwa tch zdarzeń są równe p =, p 2 =, p 3 =. Rozważm n niezależnch wartości γ, γ 2,..., γ n. Zdarzenie i wstąpi ν i raz, ν +ν 2 +ν 3 = n. Jeśli m + m 2 + m 3 = n i dla wszstkich i m i n, to zgodnie z prawem wielomianowm Nie jest trudno zrozumieć, że P{ν = m, ν 2 = m 2, ν 3 = m 3 } = n! m!m 2!m 3! pm p m 2 2 p m 3 3. P{ γ (s) < + } = P{ν = s, ν 2 =, ν 3 = n s} + O(( ) 2 ). Dzieląc przez i przechodząc do granic otrzmam poszukiwaną gęstość P{ γ (s) < + } p() = lim = ncn s s ( ) n s. (54)

Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające obliczaniu jednej wartości ξ jest losowa i dowolnie duża. Średnia liczba zmiennch losowch potrzebnch do wliczenia pojednczego ξ musi bć oczwiście skończona. Wśród przekształceń tego tpu najczęstsze są metod akceptacji. Należ do nich przkładowo, metoda Neumanna opisana w p. 4.3. Podstawowa właściwość metod akceptacji: oprócz formuł modelowania zadan jest warunek akceptacji; na przkład, ξ = g(γ, γ 2,..., γ m ) prz warunku h(γ, γ 2,..., γ m ) >. W celu wbrania ξ tą metodą, należ wziąć liczb losowe γ, γ 2,..., γ m i jeśli spełnion jest warunek akceptacji wznaczć ξ. W przeciwnm wpadku odrzuca się te liczb i wbiera nowe. Prawdopodobieństwo, że grupa liczb γ, γ 2,..., γ m nie zostanie odrzucona, równe ε = P{h(γ, γ 2,..., γ m ) > }, nazwa się efektwnością metod akceptacji. To bardzo ważna charakterstka metod. Prz wborze N grup liczb γ, γ 2,..., γ m otrzmuje się średnio εn wartości ξ. Oznacza to, że ab otrzmać εn losowch wartości ξ zużwa się Nm liczb losowch. Na jedną wbraną wartość ξ zużwa się natomiast średnio m/ε liczb losowch. Metoda ta staje się więc nieefektwna dla ε. Uogólniona metoda Neumanna Załóżm, że gęstość p() wielkości losowej ξ określonej w przedziale a < < b da się zapisać w postaci p() = p ()f(), gdzie p () jest gęstością pomocniczej zmiennej losowej η, którą potrafim modelować, a cznnik f() jest ograniczon: f() C. Przedział (a, b) nie musi bć skończon. Wielkość ξ można generować następująco: ) wbieram wartość η oraz losową liczbę γ niezależną od η i wliczam η = Cγ. 2) Jeśli η < f(η ) to kładziem ξ = η, w przeciwnm wpadku odrzucam η, γ i wbieram nową parę wartości η, γ. Dowód. Prawdopodobieństwo, że punkt (η, η ) znajdzie się w pasie (, + d), (Rs. 35), jest równe p ()d. Ponieważ η ma w przedziale < < C rozkład równomiern, to prawdopodobieństwo warunkowe, że punkt ten nie zostanie odrzucon jest równe f()/c, a więc jest proporcjonalne do f(). W konsekwencji, prawdopodobieństwo znalezienia się wartości ξ = η w przedziale (, + d) jest proporcjonalne do ilocznu p ()d f() = p()d. C =f() a +d Rs. 35 Prawdopodobieństwo akceptacji można obliczć drogą sumowania warunkowch prawdopodobieństw akceptacji f()/c, a mianowicie ε = b a f() C p () d = C b a p() d = C.

. O metodach generowania wielkości losowch Metoda Neumanna (p. 4.3) jest szczególnm przpadkiem metod uogólnionej, w której wbrano p () = /(b a) oraz f() = (b a)p(). Ponieważ p() M to f() (b a)m. Efektwność metod Neumanna jest więc ε = /(b a)m. Wnik ten można łatwo otrzmać bezpośrednio z Rs. 4 jeśli wobrazim, że punkt Γ ma równomiern rozkład w prostokącie a < < b, < < M. Efektwność losowania jest wted równa stosunkowi pola pod krzwą = p() do pola całego prostokąta ε = (b a)m b a p() d = (b a)m. P r z k ł a d Rozpatrzm gęstość p() = v() /3 dla < <, gdzie funkcja v() jest ograniczona v() A. Jako gęstość pomocniczą wbierzm p () = (2/3) /3, którą łatwo jest modelować metodą funkcji odwrotnch: η = γ 3/2. Wówczas f() = p()/p () = (3/2)v() (3/2)A. Warunek akceptacji η f(η ) można nieco uprościć dzieląc przez 3/2. Dostajem następującą metodę losowania ξ z gęstością p(). ) Wbiera się γ, γ 2 i oblicza się następnie η = (γ ) 3/2. 2) Jeżeli Aγ 2 < v(η ) to należ położć ξ = η, w przeciwnm wpadku wbiera się nowe γ, γ 2. Tablica A. 4 cfr losowch ) 8655 9795 6655 66434 56558 2332 94377 5782 6886 3393 4252 99224 88955 53758 964 8867 4686 4263 858 38967 338 72664 5387 67 86522 477 8859 89342 67248 982 23 936 72587 93 89688 7846 27589 99528 448 596 52452 42499 33346 83935 793 94 4542 77757 76773 97526 27256 66447 2573 37525 6287 668 4825 8234 837 752 4594 756 7492 274 873 84778 45863 2452 9976 4925 7824 7644 84754 5766 3832 64294 528 49286 8957 4293 Tablica B. 88 liczb normalnch ).25.922 -.77.348.423 -.849.83.33.69 -.669 -.5893.586.888.739 -.2736.828.5864 -.9245.94.568 -.47.2776.2 -.3566.425 -.2863.289.443.6379 -.4428-2.36 -.6446.956 -.778 2.8854.4686.4664.6852 -.969 -.83 -.5863.8574 -.5557.85 -.2676 -.2496 -.225.3846.572.999 -.32.545 -.622.93.29 -.4647 -.4428 -.5564 -.598 -.929 -.572 -.56 -.557 -.2384 -.3924.798.64 -.3596.4943 -.446 -.233 -.36.839.427 -.8888.467 -.853.54.2237 -.73.978 -.7679.896.554 -.765.8563 -.63.88 ) Liczb losowe imitują wartości wielkości losowej o rozkładzie (22). ) Liczb normalne imitują wartości normalnej zmiennej losowej (gaussowskiej) ζ, o parametrach rozkładu a =, σ =. LITERATURA. Buslenko, N.P., Metod statsttscheskh sptani (metod Monte-Karlo). Ed. Yu.A. Schreider, Moskwa, Fizmatgiz, 962. 2. Ermakov, S.M., Metod Monte-Karlo smezhne vapros, Moskwa, Nauka, 975. 3. Sobol, I.M., Tschslenne metod Monte-Karlo, Moskwa, Nauka, 973. 4. Ermakov, S.M, Mikhalov, G.A., Kurs statsttscheskovo modelrovana, Moskwa, Nauka, 976.