Koputerowe wspogie decyzi 008/009 Liiowe zgdiei decyzye Nottki do tetu Metody poszukiwi rozwiązń edokryterilych probleów decyzyych etody dl zgdień liiowego progrowi tetyczego Liiowe zgdiei decyzye część II Podstwy progrowi liiowego, lgoryt sipleksowy. Podstwy tetycze etod progrowi liiowego.. Przestrzeie liiowe i wektory W poprzedich rozdziłch wprowdziliśy do szych zpisów wektory, których eleeti były liczby rzeczywiste. Ze zbiori wektorów oż wiązć poęcie przestrzei liiowe. Defiic. Zbiór X zywy przestrzeią liiową eśli: I. W zbiorze X określoe zostło dziłie zwe dodwie +, tz. kżde uporządkowe prze eleetów zbioru X,,b X X zostł przyporządkowy edozczie trzeci eleet zbioru X, zywy ich suą i ozczy b X, przy czy: b b (przeieość dodwi) b c b c (łączość dodwi) c (edozczość odeowi) c c c II. W zbiorze X określoe zostło dziłie ożei przez liczby, tz. X R istiee edozczie określoy eleet zbioru X, zywy ich iloczye i ozczy X, przy czy: 4 (łączość ożei) 5 b b (rozdzielość ożei względe dodwi eleetów) 6 (rozdzielość ożei względe dodwi liczb) 7 Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Kziierz Duzikiewicz Jeżeli R - przestrzeń liiową zywy rzeczywistą. Przykłd: Zbiór wszystkich wektorów - eleetowych liczb rzeczywistych )...... ( i T ste się przestrzeią liiową, eżeli zdefiiuey w sposób turly dziłi dl wektorów: i i b b b, b i i i i i i, b b b b b b b Przestrzeń tą zywy przestrzeią rytetyczą i ozczy R. Defiic. Eleet X, 0, zyw się zere przestrzei X i ozczy est przez 0. Przykłd: W przestrzei - eleetowych wektorów liczb rzeczywistych, zere te przestrzei est wektor, którego wszystkie eleety są zeri. Dodtkowe włściwości przestrzei liiowych: 0 0 0 0 X Defiic. Eleet przestrzei liiowe X zyw się kobicą liiową eleetów i,...,,...,, eżeli i tkie, że: i i...... Defiic.4 Eleety i,...,,..., przestrzei liiowe X zywy liiowo zleżyi, eżeli
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye W przeciwy przypdku eleety Defiic.5 i i i,...,,..., 0 tkie, że... ii... i,..., 0,..., zywy liiowo iezleżyi. Jeżeli w przestrzei liiowe X istieą eleety liiowo iezleże tkie, że kżdy eleet eleetów: e ei,...,,..., e X de się przedstwić w postci kobici liiowe tych e iei...... e to ówiy, że przestrzeń X est skończeie wyirow, zbiór eleetów e,..., e zywy bzą te przestrzei. ei,..., Liczby,..., i,...,, wobec liiowe iezleżości,..., i,...,, są określoe edozczie dl kżdego eleetu przestrzei X i oszą zwę współrzędych eleetu względe bzy. W kżde przestrzei skończeie wyirowe istiee ieskończeie wiele bz, le liczb eleetów bzy est iezleż od wyboru bzy i est zyw wyire przestrzei X, di X. Przykłd: Jeżeli X przestrzeń - eleetowych wektorów liczb rzeczywistych, to bzą te przestrzei est p. ukłd eleetów: e 0, e 0 0,..., e 0 0 0 Zdefiiuey poęcie fukcołu liiowego. Weźy przestrzeń liiową X orz zbiór liczb rzeczywistych R. Jeżeli: X! z R Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye to ówiy, że zbiorze X zostł określoy fukcoł f odwzorowuący X w R : f : X R Defiic.6 Fukcoł f, f : X R, est liiowy, eżeli: fukcoł f est ddytywy fukcoł f est edorody f f f f f Przykłd: Fukc celu zdi progrowi liiowego: z c... c... c est fukcołe liiowy określoy w przestrzei wektorów -eleetowych liczb rzeczywistych:.. Mcierze W poprzedich rozdziłch wprowdziliśy do szych zpisów rówież cierze. Przypoiy wybre defiice i twierdzei związe z ii. Defiic.7 Mcierz A est prostokątą tblicą liczb uporządkowych w wierszch i koluch. A i i i Kziierz Duzikiewicz 4
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Poszczególe liczby i zwe są eleeti cierzy. Liczb i określ uer wiersz liczb uer koluy w których uiescowioy est eleet. Mcierz A zyw się kwdrtową, eśli stopi. ; ówiy wtedy, że cierz est Wektor koluowy est cierzą skłdącą się tylko z ede koluy, wektor wierszowy est cierzą skłdącą się tylko z edego wiersz. Mcierz kwdrtow, które eleety ie leżące główe przekąte i dl i są rówe zeru, zyw est cierzą digolą. Szczególy przypdkie cierzy digole est cierz edostkow. Jest to cierz digol, które eleety leżące przekąte są rówe. Mcierz edostkową stopi ozczy I lub po prostu I. I 0 0 0 0 0 0 Mcierz trspoow T A cierzy A postć: A T i i i tz. wiersze i koluy są zieioe. Z kżdą cierzą kwdrtową A związ est liczb zw e wyzczikie. Wyzczik cierzy ozczy det A. Mówiy, że cierz kwdrtow A est ieosobliw, eżeli e wyzczik det A 0. Jeżeli det A 0 ówiy, że cierz kwdrtow A est osobliw. Twierdzeie. Mcierz A stopi est ieosobliw wtedy, i tylko wtedy, gdy ukłd tworzących ą wektorów koluowych est liiowo iezleży czyli tworzy bzę przestrzei liiowe tych wektorów. Kziierz Duzikiewicz 5
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rzęde cierzy A zywy stopień większe cierzy kwdrtowe zwrte w A, które wyzczik ie est rówy zeru. Defiic.8 Mcierz kwdrtową B zywy cierzą odwrotą cierzy kwdrtowe A, eżeli AB I. Mcierz odwrotą cierzy A ozczy przez ieosobliwe cierzy A istiee ed i tylko ed cierz AA A A I A tk, że: A. Dl kżde.. Zbiory wypukłe Defiic.9 Kobicą liiową wypukłą wektorów (w skrócie kobicą wypukłą wektorów),..., i,..., zywy wektor eżeli: ii...... i i 0, i i Defiic.0 Odcikie o końcch, w X zywy zbiór : ;0, Defiic. Podzbiór W przestrzei X zywy zbiore wypukły, eżeli:, W, W Kziierz Duzikiewicz 6
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Zbiory iewypukłe Zbiory wypukłe Rys... Przykłdy zbiorów wypukłych i iewypukłych Twierdzeie. Zbiór W est wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dowol kobic wypukł dowole liczby puktów zbioru W leży do zbioru W. Defiic. Pukt zbioru wypukłego W zywy wierzchołkie, eżeli ie oże o być wyrżoy ko kobic wypukł dowolych dwóch rożych puktów tego zbioru..4. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych lgebriczych Zsdicze wruki ogriczące zdi progrowi liiowego są ukłde rówń liiowych. W etodę sipleksową wkopoow est etod rozwiązywi tkich ukłdów rówń zw etodą Guss-Jord. Weźy ukłd rówń liiowych z iewidowyi: i i............... i............ i... b b i b b (.) Kziierz Duzikiewicz 7
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye który, oż oczywiście przedstwić stosuąc zpisy logicze k dl zdń progrowi liiowego: i bi, i, (.) lub: A b (.) gdzie: A i i............ i............ i b b,, b bi b lub: b (.4) gdzie: i, b b b bi b Iteresue s przypdek, gdy. Dl ilustrci będziey się posługiwć stępuący przykłde: T Rozwiązie tego ukłdu est kżdy wektor postci:,, oże być wybr dowolie. Przykłdowe rozwiązie: T (,, ). 7 R R, gdzie liczb Ukłd rówń posidący edo lub więce rozwiązń zywy iesprzeczy, w przeciwy przypdku ukłd zywy sprzeczy. Kziierz Duzikiewicz 8
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Zwróćy uwgę wży fkt. Poóży p. (R) przez i (R) przez - orz dody e do siebie: : : 4 5 5 7 7 Rozwiązie T (,, ) spełi rówież, otrzye ko kobic liiow (R) i (R), owe rówie. Możey powiedzieć: Dowole rozwiązie liiowego ukłdu rówń est rówież rozwiązie dowole kobici liiowe rówń tego ukłdu - zte, rówie tkie oż dołączyć do ukłdu rówń ie zieiąc ego zbioru rozwiązń. R R Jeżeli w dowoly ukłdzie rówń liiowych edo z rówń est kobicą liiową iych rówń ukłdu, to rówie tkie zywy zleży od ich; rówie zleże zywe est czse zbędy. Ukłd rówń liiowych ie zwierący rówń zbędych zyw się iezleży. Rozwżyy dw proste typy kobici liiowych rówń zwe przeksztłceii eleetryi: Zi dowolego rówi Ri rówie kri, gdzie k0; Zi dowolego rówi Ri rówie Ri +kr, gdzie R - dowole ie rówie ukłdu. Zstosuy przeksztłcei eleetre do szego przykłdu w stępuący sposób: 7 R R 0 0 R R R R (0) () (0) (0) Zi R R R R () () () Zi R R R R R () () () () Zi R R R R Kziierz Duzikiewicz 9
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Otrzyliśy ukłd z którego ożey łtwo określić zbiór rozwiązń: T (,, ); est o idetyczy ze zbiore rozwiązń ukłdu wyściowego. Mówiy, że ukłdy te są rówowże. W szczególości eżeli przyiey 0, to otrzyy,. Defiic. Dw ukłdy rówń liiowych zywy rówowżyi, eżeli drugi ukłd zostł otrzyy z pierwszego poprzez wykoie sekweci przeksztłceń eleetrych. Twierdzeie. Ukłdy rówowże rówń liiowych ą tkie se zbiory rozwiązń Otrzy postć ukłdu rówń liiowych szczególe zczeie przy rozwiązywiu zdń progrowi liiowego i zyw est postcią koiczą. Defiic.4 Ukłde rówń liiowych w postci koicze z uporządkowy podzbiore zieych, zywych zieyi bzowyi, zywy ukłd, w który dl kżdego i, i t zie bzow współczyik rówy edości w i ty rówiu i zerowe współczyiki w pozostłych rówich. Ukłd rówń liiowych (.), w postci koicze wygląd stępuąco: i,, i,,...... i......... i,,...,, b b i b b (.5) Defiic.5 Rozwiązie bzowy ukłdu rówń liiowych o zieych, zywy rozwiązie tego ukłdu powstłe przez przyrówie do zer zieych, przy złożeiu, że ukłd przy określoy wyborze zieych bzowych de się sprowdzić do postci koicze. Kziierz Duzikiewicz 0
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rozwiązie bzowe, o ile istiee dl dego wyboru zieych bzowych, wyosi: b b b i (.6) b 0 Przedstwio etod uzyskiwi rozwiązń bzowych ukłdów rówń liiowych osi zwę etody Gus-Jord. Algoryt postępowi w te etodzie oż przedstwić stępuąco: wybiery w ukłdzie (.5) eleet rss, zywy eleete cetrly, tk by rs 0; 0 zieiy r te rówie ukłdu (.5) ego r te rówie poożoe przez ( ); rs dl kżdego i,,...,, oprócz i, zieiy i te rówie suą i tego rówi i zieioego rówi r tego, poożoego przez ( is ). Przedstwioe kroki postępowi, wykoe dl koleych wierszy, zywy przeksztłceie cetrly ukłdu rówń liiowych. Weźy przykłd: 4 5 6 6 8 Rozpozey w i zsdicze wruki ogriczące rozwżego uprzedio przykłdu sprowdzoe do postci stdrdowe. Jest to ukłd rówń liiowych, 4, 6 dy w zpisie koiczy ze zieyi bzowyi,,,, R R R R4 4 5 6 i iebzowyi,. Odpowidące teu zpisowi koiczeu rozwiązie bzowe wyosi: Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye 0 0 6 8 Doprowdźy te ukłd do zpisu koiczego ze zieyi bzowyi, 4, 5, 6, i iebzowyi,. W ty celu wybiery eleet cetrly, czyli rs r s, czyli,. 0 6 R 4 5 8 6 R R R4 0 0 0 Wykouey kolee operce przeksztłcei cetrlego: 4 4 4 5 5 6 6 (0) () (0) Zi R R R 8 R R R R4 0 0 0 Zi R R R ( ) R 4 6 6 (0) () (0) () R R R R4 0 0 Zi R R R ( ) R 5 4 6 6 7 (0) () (0) () R R R R4 0 Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye 4 Zi R4 R4 R4 ( ) R 5 6 (0) () (0) () 4 6 4 7 R R R R4 Przeprowdzoe przeksztłceie cetrle poległo wprowdzeiu do zbioru zieych bzowych ziee i usuięciu z tego zbioru ziee. Otrzyliśy owy zpis ukłdu rówń w postci koicze ze zieyi bzowyi, 4, 5, 6 i iebzowyi,. Odpowidące teu zpisowi koiczeu rozwiązie bzowe wyosi: 6 0 0 4 7 Jest to rozwiązie ie spełiące wruków ieueości. Poptrzy ki wyik dłoby przeksztłceie cetrle, gdybyśy ko eleet cetrly wybrli, czyli rs r s czyli,. 0 8 R 4 5 6 6 R R R4 0 0 0 Wykouey kolee operce przeksztłcei cetrlego: (0) () (0) Zi R R R 6 4 4 5 6 (0) (R ) () (R ) (0) (R ) (0) (R4 ) Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Zi R R R ( ) R (0) () (0) () 4 () (R ) 4 4 5 6 () (R ) (0) (R ) (0) (R4 ) Zi R R R ( ) R (0) () (0) () 4 4 4 () (R ) () (R ) 5 4 5 6 () (R ) (0) (R4 ) Zi R4 R4 R4 ( ) R (0) () (0) () 4 4 4 4 5 4 5 6 () (R ) () (R ) () (R ) () (R4 ) Przeprowdzoe przeksztłceie cetrle poległo wprowdzeiu do zbioru zieych bzowych ziee i usuięciu z tego zbioru ziee. Otrzyliśy owy zpis ukłdu rówń w postci koicze ze zieyi bzowyi,, 5, 6 i iebzowyi, 4. Odpowidące teu zpisowi koiczeu rozwiązie bzowe wyosi: 4 0 0 5 To rozwiązie spełi wruki ieueości. Wioski: () Mąc ukłd rówń liiowych w postci koicze przez wykoie przeksztłcei cetrlego ożey przechodzić od edego do drugiego rozwiązi bzowego ukłdu. Kziierz Duzikiewicz 4
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye () Wybór eleetu cetrlego wpływ uzyskie rozwiązi bzowego spełiącego lub ie wruki ieueości. Metod rozwiązywi zdń progrowi liiowego powi zpewić tki wybór eleetu cetrlego, by: () koleo uzyskiwe rozwiązi bzowe odpowidły corz większy wrtościo fukci celu; () koleo uzyskiwe rozwiązi bzowe spełiły wruki ieueości..5. Włsości rozwiązń zdi progrowi liiowego Przypoiy postć stdrdową zdi progrowi liiowego kie rozwży: Zpis I stdrdowe postci zdi progrowi liiowego: Zksylizowć liiową fukcę celu: z c... c... c (.7) przy ogriczeich:...... b, b 0...... b, b 0......... b, b 0 i i i i i i......... b, b 0 (.8) 0,, (.9) Defiic.6 Rozwiązie dopuszczly zdi progrowi liiowego (.7)-(.9) est wektor T (,...,,..., ) spełiący ogriczei (.8) i (.9). Defiic. 7 Rozwiązie bzowy ukłdu rówń (.8) zywy rozwiązie ukłdu powstłego z (.8) przez przyrówie do zer zieych, przy złożeiu, że wyzczik współczyików przy pozostłych zieych est róży od zer. Kziierz Duzikiewicz 5
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Defiic.8 Rozwiązie bzowy dopuszczly zywy rozwiązie bzowe, które spełi wruki ieueości (.9). Defiic.0 Niezdegeerowy rozwiązie bzowy dopuszczly zywy rozwiązie bzowe dopuszczle, w który wszystkie ziee bzowe są dodtie. Defiic. Mksyly rozwiązie dopuszczly est rozwiązie dopuszczle, które ksylizue fukcę celu (.7). Twierdzeie.4 Zbiór wszystkich rozwiązń dopuszczlych zdi progrowi liiowego est wieloście wypukły W. Twierdzeie.5 Fukc celu (.7) przyue wrtość ksylą w pukcie wierzchołkowy wielościu wypukłego W tworzoego przez zbiór rozwiązń dopuszczlych zdi progrowi liiowego. Jeżeli przyue wrtość iilą w więce iż edy pukcie wierzchołkowy, to tę są wrtość przyue dl kżde kobici wypukłe tych puktów. Twierdzeie.6 Jeżeli T (,,...,,..., ) est pukte wierzchołkowy wielościu wypukłego W, to wektory odpowidące dodti tworzą zbiór liiowo iezleży. Wyik stąd, że dodtich est co wyże. Wioski: Istiee pukt wierzchołkowy zbioru W, w który fukc celu przyue wrtość ksylą. Kżde rozwiązie bzowe dopuszczle est pukte wierzchołkowy zbioru W. Kziierz Duzikiewicz 6
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Kżdeu puktowi wierzchołkoweu zbioru W odpowid wektorów liiowo iezleżych z dego zbioru wektorów związych z ty pukte. 4. Algoryt sipleksowy Będziey rozróżili etodę sipleksową, służącą do rozwiązywi zdń progrowi liiowego dych w postci stdrdowe, orz lgoryt sipleksowy, który związy est z zpise koiczy. Algoryt sipleksowy est podstwą etody sipleksowe. Zdie progrowi liiowego w zpisie koiczy oż sforułowć stępuąco: Zleźć wrtości 0, 0,..., 0 orz z spełiące:...... b,,...... b,,... i i,... i... i, bi......... b,, z c... c... c z 0 (4.) W zpisie ty osttie rówie zyw się przeksztłcoą fukcą celu, występuące w ie współczyiki ocei względyi. Dl tego zpisu koiczego rozwiązie bzowe wyosi: b, b,..., b,..., b ;... 0 orz z z (4.) i i 0 Zkłdy, że rozwiązie to est dopuszczle, zte: b 0, b 0,..., b 0,..., b 0 (4.) Jeżeli spełioy est wruek (4.) będziey ówili, że zdie przedstwioe est w postci koicze dopuszczle. i Kziierz Duzikiewicz 7
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Posidąc zdie progrowi liiowego w postci koicze dopuszczle ożey sforułowć kryteriu optylości: Twierdzeie 4. Bzowe rozwiązie dopuszczle dące wrtość fukci celu rówą z 0 est rozwiązie ksylizuący tą fukcę eżeli wszystkie ocey względe c są iedodtie: c 0, (4.4) Dowód wyik wprost z lizy zleżości: ( z z0 ) c... c... c (4.5) Złóży, że zleźliśy co ie ede współczyik c 0. Jeżeli tkich współczyików est więce iż ede, przyiy, że zdecydowliśy się wprowdzić do zbioru zieych bzowych zieą s, dl które c s 0. Jeżeli tk, to zieą s, będziey zwiększli od zer w kieruku wrtości dodtich, utrzyuąc pozostłe ziee iebzowe rówe zero. Zleżości iędzy zieiącą się zieą s, dotychczsowyi zieyi bzowyi z ukłdu koiczego są stępuące: b s b s... b i i is s... b s s z z c 0 s s s s (4.6) Z zleżości (4.6) widć, że zwiększąc wrtość s, od zer w stroę wrtości dodtich zwiększy wrtość z edyy czyikie ogriczący wzrost s, oże być to, że ed z dotychczsowych zieych bzowych,,...,,..., oże stć się ue. W zleżości (4.6) ogą zść dw przypdki:, : is 0 (4.7) Kziierz Duzikiewicz 8
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Dl tego przypdku s, oże przyowć dowolie duże wrtości i ie zostą przy ty ruszoe wruki ieueości rozwiązi. Jest to przypdek istiei rozwiązń ieogriczoych. Twierdzeie 4. Jeżeli dl ktulego zpisu koiczego dl pewego s,, : is 0 i c s 0, wówczs oże być skostruow kls rozwiązń dopuszczlych tk, że zbiór wrtości z ie est ogriczoy od góry. Tę klsę rozwiązń tworzy zbiór: b, i, (4.8) i i is s gdzie s przyue dowole wrtości dodtie. i, ; is 0 (4.9) Dl tego przypdku s ie oże przyowć dowolie dużych wrtości dodtich, gdyż wówczs co ie ed zie z dotychczsowych zieych bzowych usiłby przyąć wrtość ueą, ty sy ie spełioe byłyby wruki ieueości. Z zleżości (4.6) wyik, że i dl których is 0 stą się rówe zeru, gdy: s bi dl is 0 (4.0) is Dotychczsow zie bzow i, któr wyg iesze wrtości s 0 dl sprowdzei e do zer deteriue większą wrtość dl s dopuszczlą ze względu koieczość spełiei wruków ieueości przez stępe rozwiązie bzowe. Zte większ wrtość s do kie oże wzrosąć zie s wprowdz do bzy określo est regułą: s br i i, is 0 rs bi is (4.) W te sposób otrzyliśy rówież kryteriu wyboru ideksu ziee bzowe, któr zostie usuięt z bzy przy prześciu do stępego zpisu koiczego: Ze zbioru zieych bzowych usuwy zieą r dl które: b r rs i i, 0 is bi is (4.) Kziierz Duzikiewicz 9
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Przedziey terz do określei kryteriu wyboru ideksu ziee s którą wprowdziy do zbioru zieych bzowych w koley zpisie koiczy. Proble wyboru istiee oczywiście, eżeli co ie dw współczyiki c 0. Jest sprwą oczywistą, że chcielibyśy tk dokoć wyboru s, by uzyskć dzięki teu większy wzrost wrtości fukci celu z. Z zleżości (4.6) otrzyuey, że: z z z0 c s s 0 (4.) przy czy ksyl wrtość s d est wzore: b r s (4.4) Chcąc zte uzyskć większy przyrost wrtości z leżłoby korzystć z stępuącego kryteriu wyboru: Do zbioru zieych bzowych wprowdzy zieą s dl które: c s s rs c, c 0 (4.5) Stosowie tkiego kryteriu est, k ietrudo zuwżyć, kłopotliwe. Stosue się więc prktyczie kryteriu prostsze: Do zbioru zieych bzowych wprowdzy zieą s dl które: c s c, c 0 (4.6) Postępowie przy stosowiu lgorytu sipleks prześledziy rozwiązuąc przykłd, który rozwżliśy uż uprzedio. Kziierz Duzikiewicz 0
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Przykłd. - dzie produkc frby E w toch; - dzie produkc frby I w toch. Fukc celu: Ogriczei: Zksylizowć z Zsoby dziee surowc A 6 Zsoby dziee surowc B 8 Różic popytu frbę I i E Popyt frbę I Wruki ieueości 0, 0 Zdie to zpise w postci stdrdowe wygląd stępuąco: M z przy ogriczeich : 0, 4 0,..., Dle przedstwioe są kolee tblice lgorytu sipleks stępie rysuki 6 5 0 przedstwiące koleość przechodzei rozwiązń bzowych. 6 6 8 Rys.4.. Początkow tblic sipleksow Iterpretc geoetrycz odpowidąc tblicy początkowe przedstwio est rys.4.. Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rys.4.. Rozpoczęcie obliczeń Wybór ziee wprowdze do zbioru zieych bzowych: Rys.4.. Wybór ziee wprowdze do zbioru zieych bzowych Obliczeie ilorzów wskźikowych: Rys.4.4. Obliczeie ilorzów wskźikowych Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Wybór ziee usuwe ze zbioru zieych bzowych: Rys.4.5. Wybór ziee usuwe ze zbioru zieych bzowych Przeksztłceie cetrle Guss-Jord i przeście do stępego kroku obliczeń: Rys.4.6. Przeksztłceie cetrle Guss-Jord i przeście do stępego kroku obliczeń Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Przeście do drugiego kroku obliczeń-iterpretc geoetrycz: Rys. 4.7. Przeście do drugiego kroku obliczeń-iterpretc geoetrycz Wybór ziee wprowdze do zbioru zieych bzowych: Rys.4.8. Wybór ziee wprowdze do zbioru zieych bzowych: Obliczeie ilorzów wskźikowych: Rys.4.9. Obliczeie ilorzów wskźikowych Kziierz Duzikiewicz 4
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Wybór ziee usuwe ze zbioru zieych bzowych Rys.4.0. Wybór ziee usuwe ze zbioru zieych bzowych Przeksztłceie cetrle Guss-Jord i przeście do stępego kroku obliczeń: Rys.4.. Przeksztłceie cetrle Guss-Jord i przeście do stępego kroku obliczeń: Kziierz Duzikiewicz 5
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Przeście do trzeciego kroku obliczeń-iterpretc geoetrycz: Rys.4.. Przeście do trzeciego kroku obliczeń-iterpretc geoetrycz Rozwiązie optyle: Rys. 4.. Rozwiązie optyle Kziierz Duzikiewicz 6
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye 5. Metod sztucze bzy - dwuetpow etod sipleksow Przedstwioy w poprzedi prgrfie lgoryt sipleksowy wyg posidi zdi progrowi liiowego zpisego w ukłdzie koiczy dopuszczly ko puktu strtowego. Przypdek tki oże oczywiście wystąpić, przykłd w zdich, w których do kżdego ogriczei dodey ziee uzupełiące iedoboru. Wiele zdń ie posid edk, w swy początkowy sforułowiu, postci koicze, czyli postci zwierące cierz edostkową związą ze zieyi bzowyi. Dl zdń tkich etod sztucze bzy de ożliwość rozpoczęci obliczeń z wykorzystie lgorytu sipleksowego. Metod t pozwl tkże stwierdzić czy zdie posid rozwiązi dopuszczle. Weźy zdie progrowi liiowego zpise w postci stdrdowe: Zleźć wrtości 0, 0,..., 0 orz z spełiące:... c......... b b...... b (5.) i i i i i c...... c...... c z 0 b W wielu przypdkch dl tk sforułowego zdi oż wprost wskzć początkowy zbiór zieych bzowych i drogą przeksztłceń cetrlych Guss'- Jord' otrzyć początkową postć koiczą dopuszczlą. Istieą edk zdi, o których, tetyczie ówiąc, początkowo iczego ie wiey i dl których ie potrfiy wskzć początkowe postci koicze. W zdich tkich ogą w szczególości występowć: () rówi zbęde, (b) rówi sprzecze. Jest sprwą oczywistą, że ogól etod tetycz powi być oprcow tk, by rozwiązywć zdi progrowi liiowego iezleżie od priorycze wiedzy o systeie, którego zdie dotyczy. Metodą tką est dwuetpow etod sipleksow. Kziierz Duzikiewicz 7
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Etp I etody wykorzystue lgoryt sipleksowy dl uzyski początkowe dopuszczle postci koicze dl etpu II lub stwierdzei, że tkie postci uzyskć ie oż. Etp II etody wykorzystue lgoryt sipleksowy do uzyske w końcu etpu I dopuszczle postci koicze dl uzyski rozwiązi ksylizuącego z lub stwierdzei, że zdie posid rozwiązi ieskończoe. Etp I posid stępuące cechy chrkterystycze: () Nie czyi się żdych złożeń o początkowy ukłdzie rówń (5.); oże o zwierć rówi zbęde, sprzecze lub ie ieć rozwiązń w dziedziie liczb rzeczywistych dodtich. (b) Dl uzyski pierwszego rozwiązi w postci koicze iepotrzebe są żde przeksztłcei. Postępowie w Etpie I przebieg stępuąco: (i) Powiększy liczbę zieych w ukłdzie (5.) wprowdząc zbiór sztuczych zieych bzowych 0, 0,..., 0,..., 0 otrzyuąc w rezultcie rozszerzoy ukłd rówń:......... i c i c i... i i i b b...... b (5.)......... c... c z 0 b i Ukłd (5.) posid początkowe rozwiązie bzowe dopuszczle rówe:...... 0, b, b,..., b,..., b, z 0 i i (ii) Jkiekolwiek bzowe rozwiązie ukłdu (5.), spełiące wruki ieueości, dl którego:...... i 0 będzie bzowy rozwiązie dopuszczly ukłdu (5.). Tk więc edą z etod zleziei początkowego bzowego rozwiązi dopuszczlego dl Kziierz Duzikiewicz 8
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye zdi związego z ukłde (5.) est: rozpoczyąc od początkowego rozwiązi bzowego dopuszczlego dl ukłdu (5.) próbowć sprowdzić sztucze ziee, i, do zer. Moż to wykoć poprzez iilizcę i fukci: w... i... (5.') lub, co est rówowże, poprzez ksylizcę fukci: w... i... (5.) przy spełieiu wruków ukłdu (5.). Zleżość (5.) zywy sztuczą fukcą celu dl etpu I. Zdie progrowi liiowego dl etpu I oże być zte sforułowe stępuąco: Zleźć wrtości 0, 0,..., 0,..., 0, 0, 0,..., 0,..., 0 orz w i............ spełiące: c c...... b (5.4) i i i i i i...... c...... c... i... b b b z 0 w 0 Otrzye sforułowie ie edk postci koicze. Aby ą uzyskć powiiśy wyrugowć ziee,,...,,..., z osttiego rówi i ukłdu (5.4). Nie est to trude, eżeli zuwżyy, że: i i i b (5.5) Stąd: w ( b ) b b ( ) i i i i i i i i i i i i i (5.6) Lub icze: ( i) w bi i i (5.7) Kziierz Duzikiewicz 9
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Wprowdząc ozczei: d,, ; w b (5.8) i ożey zdie związe z ukłde (5.4) zpisć stępuąco: i Zleźć wrtości 0, 0,..., 0,..., 0, 0, 0,..., 0,..., 0 orz w i............ spełiące:...... b (5.9) i i i i i i...... c c d d... c... d... c... d 0 i i z b b b 0 w w Otrzyliśy początkowe sforułowie zdi progrowi liiowego dl etpu I. Wiersz fukci celu dl tego etpu, to oczywiście wiersz w który występue zie w. (iii) Rozwiązuey zdie progrowi liiowego etpu I de w postci (5.9). W koleych krokch tego procesu otrzyuey kolee postcie koicze ukłdu (5.9), który odpowidą określoe rozwiązi bzowe. Przeksztłceio podlegą rówież wiersze zwize ze zieyi w orz z przyuące w koleych krokch ogólą postć: c c... c... c c c... c... c z z i i 0 d d... d... d d d... d... d w w i i 0 Proces przechodzei od edego rozwiązi bzowego do stępego relizuey do oetu ż dl ktulego rozwiązi bzowego spełioe będzie kryteriu optylości etpu I, czyli; Mogą zść dw przypdki: d 0,, (5.0) () w 0 ; ozcz to, że pierwote zdie progrowi liiowego (5.) ie rozwiązń dopuszczlych - w tkie sytuci proces poszukiwi rozwiązi optylego kończy się. 0 Kziierz Duzikiewicz 0
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye (b) w 0 ; ozcz to, że pierwote zdie progrowi liiowego (5.) rozwiązi dopuszczle - w tkie sytuci proces poszukiwi rozwiązi optylego przechodzi do etpu II. Mogą przy ty zść zowu dw przypdki:, zchodzi tylko 0 d 0 (5.) iyi słowy ozcz to, że wszystkie sztucze ziee wprowdzoe początku etpu I są zieyi iebzowyi. W tki przypdku wszystkie sztucze ziee eliiuey z dlszych obliczeń., zchodzi lbo 0 d 0, lbo 0 d 0 (5.) Ziee sztucze czyli ziee o ideksch, dl których spełioy est wruek d 0 są zieyi iebzowyi - ziee te eliiuey z dlszych obliczeń. Pozostłe sztucze ziee, czyli ziee dl których spełioy est wruek d 0 stowią część zbioru zieych bzowych ich wrtości są rówe zeru. Zieych tych ie ożey wyeliiowć z dlszych obliczeń - usiy edk zpewić, by po prześciu do etpu II ich wrtości ie stły się róże od zer. Wruek te oż spełić. Dopóki zie sztucz, któr przedzie do etpu II będzie pozostwł w bzie e wrtość pozostie rów zeru. Wyik to z zleżości wiążących wrtości ktulych zieych bzowych i z wrtością ziee iebzowe s wprowdze do bzy (4.6): i bi iss orz reguły określące wrtość ieueą do kie oże wzrosąć zie iebzow s (4.): s br rs bi i i, is 0 Jeżeli toist sztucz zie zostie usuięt z bzy, eliiuey ą z dlszych obliczeń. Przechodząc do etpu II eliiuey rówież wiersz fukci celu związy ze zieą w. (iv) Po prześciu do etpu II rozwiązuey zdie progrowi liiowego de w postci koicze stępuąco (poiy przypdek przechodzei is Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye sztuczych zieych do etpu II orz dl przerzystości zpisu przyęto, że zieyi bzowyi są ziee,,...,,..., ): i Zleźć wrtości 0, 0,..., 0,..., 0 orz z spełiące:...... b,,...... b,,... i i, i,... i... i bi (5.)...,,...... b z c c... c... c z 0 (v) Rozwiązuey zdie progrowi liiowego etpu II de w postci (5.). W koleych krokch tego procesu otrzyuey kolee postcie koicze ukłdu (5. ), który odpowidą określoe rozwiązi bzowe. Proces przechodzei od edego rozwiązi bzowego do stępego relizuey do oetu ż zdzie ede z dwóch przypdków: i, is 0 (5.4) Ozcz to, że y w zdiu do czyiei z przypdkie istiei rozwiąń ieogriczoych. Kończyy proces obliczeń., c 0 (5.5) Ozcz to, że ktule rozwiązie bzowe dopuszczle est rozwiązie ksyly. Kończyy proces obliczeń. Możey proces poszukiwi rozwiązi zdi progrowi liiowego dwuetpową etodą sipleksową przedstwić z poocą schetu blokowego (rys. 5..). Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rys.5.. Schet blokowy dwuetpowe etody sipleksowe Obliczei z poocą dwuetpowe etody sipleksowe przeprowdz się ogół wykorzystuąc tblice obliczeiowe. N rys. 5. przedstwio zostł ogól postć przykłdowe tblicy tkiego rodzu. Kziierz Duzikiewicz
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Współ- Ideks czyik Nuer kroku wiersz odpowidącego Zie bzow fukci celu odpowi- Zie e Rozwią- ziee bzowe dący ziee bzowe Ziee iebzowe Ziee bzowe fuk ci ce lu zie c c,,...,, s..., 0... 0... 0 0 0 b......,, s, 0... 0... 0 0 0 b M M M M M M M M M M M... M... M M M M k r r c r r, r,...... r, s 0 0...... 0 0 0 r, b r M M M M M M M M M M... M... M M M M c...,,..., s, 0 0... 0... 0 0 b + z c c... c s... c 0 0... 0... 0 0 z 0 + w d d... d s... d, 0 0... 0... 0 0 w 0 Rys. 5.. Tblic obliczeiow dwuetpowe etody sipleks Kziierz Duzikiewicz 4
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye 6. Róże przypdki zdń progrowi liiowego - rozwiązywie etodą sipleksową. Weźy przykłd, który zilustrue tok obliczeń z poocą dwuetpowe etody sipleksowe. Przykłd. Zksylizowć z przy ogriczeich: 5 5 0, 0 Rozwiązie tego zdi etodą grficzą przedstwioe est rys. 6.. Rys.6.. Przykłd. Rozwiązie grficze Kziierz Duzikiewicz 5
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Aby zstosowć etodę sipleksową sprowdzić usiy zdie do postci stdrdowe: Zksylizowć z przy ogriczeich: 4 5 5 6 0, 0 Zdie przedstwioe w postci stdrdowe zwier cztery ziee uzupełiące, dwie ziee iedoboru orz 6 5 i dwie ziee diru orz, ie posid edk postci koicze. Aby uzyskć postć koiczą 4 5 usiy wprowdzić dwie ziee sztucze orz. Zsdicze wruki ogriczące zdi przyą wówczs postć: 7 8 4 7 5 8 5 6 Sforułuey zdie dl etpu I obliczeń etodą sipleksową. Początkowy zbiór zieych bzowych dl tego etpu dący postć koiczą tworzą dwie ziee uzupełące iedoboru orz i dwie ziee sztucze orz. Fukcę celu 6 dl tego etpu ożey sforułowć stępuąco: lub: Ziilizowć w 7 8 5 Zksylizowć w 7 8 7 8 Jk pięty, by uzyskć postć koiczą dl etpu I powiiśy wyrugowć z sztucze fukci celu sztucze ziee. Nie powiy w ie rówież wystąpić pozostłe ziee bzowe. Z przedstwioego wyże ukłdu zsdiczych wruków ogriczących y: lub: 7 4 8 5 w 7 8 4 5 w 7 8 4 5 Kziierz Duzikiewicz 6
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Przykłdowe zdie w postci koicze dl etpu I ożey zte zpisć stępuąco: Zleźć wrtości 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 orz w 4 5 6 7 8 spełiące: 5 4 7 5 8 5 6 z 0 w N rys.6. przedstwioe są tblice obliczeiowe koleych kroków etpu I dl rozwżego zdi przykłdowego. Kziierz Duzikiewicz 7
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rys.6.. Przykłd. Tblice obliczeiowe etpu I Etp I obliczeń kończy się z wrtością w = 0. Możey prześć do etpu II obliczeń. Początkow postć koicz zdi dl etpu II wygląd stępuąco: Kziierz Duzikiewicz 8
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Zleźć wrtości 0, 0, 0, 0, 0, 0 orz z 4 5 6 spełiące: 4 5 6 5 6 6 5 4 5 6 z Uzyske pierwsze rozwiązie etpu II ie est optyle. Kotyuuey obliczei. Tblice obliczeiowe etpu II przedstwioe są rys.6.. 5 Rys.6.. Przykłd. Tblice obliczeiowe etpu II Kziierz Duzikiewicz 9
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Etp II kończy się uzyskie rozwiązi optylego. Rport dotyczący tego rozwiązi przedstwioy est rys.6.4. Kziierz Duzikiewicz 40
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rys.6.4. Przykłd. Rport rozwiązi W sforułowiu zdi progrowi liiowego ogą występowć ogriczei zbęde. Spróbuy, posługuąc się przykłdowy zdie odpowiedzieć pytie: czy w tblicy obliczeiowe etody sipleksowe zdue się iforc pozwląc zidetyfikowć tki przypdek. W ty celu rozwży stępuący przykłd: Przykłd. Zksylizowć z przy ogriczeich: 0 0 0, 0 Jest przykłd z dwo dodtkowyi ogriczeii, wstwioyi ko ogriczei i 6. Ilustrc grficz tego zdi i ego rozwiązie etodą grficzą przedstwioe est rys.6.5. Widć, że obydw dode ogriczei są ogriczeii zbędyi. N rys.6.6 przedstwioe są tblice obliczeiowe koleych kroków etpu I. 5 5 Kziierz Duzikiewicz 4
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Ilustrc grficz i rozwiązie grficze: Etp I: Tblice obliczeiowe Rys.6.5. Przykłd. Rozwiązie grficze Kziierz Duzikiewicz 4
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rys.6.6. Przykłd. Tblice obliczeiowe etpu I Tblice obliczeiowe etpu II przedstwioe są rys.6.7. Kziierz Duzikiewicz 4
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rys.6.7. Przykłd. Tblice obliczeiowe etpu II Przyrzeie się zwrtosci tblic obliczeiowych zrówo etpu I k i II prowdzi do stwierdzei, że w tblicch sipleksowych ie iforci wskzuące występowie ogriczeń zbędych o tkie postci, kie dodliśy do przykłdu otrzyuąc przykłd. Zuwży bowie, że dode ogriczei, po zpisiu ich w postci stdrdowe ko rówi, ie dą się przedstwić ko kobic liiow kiegokolwiek zestwu pozostłych rówń. Pewą iforcę o istieiu ogriczeń zbędych zwier tblic obliczeiow w przypdku występowi rozwiązń zdegeerowych. Przypdek tki zilustrowy est w przykłdzie. Przykłd. Zksylizowć z 9 Kziierz Duzikiewicz 44
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye przy ogriczeich: 4 8 4 0, 0 Ilustrc grficz przykłdu przedstwio est rys.6.8. Jest to przykłd zwierący ogriczeie zbęde, przechodzące przez pukt rozwiązi optylego. Rys.6.8. Przykłd. Ilustrc i rozwiązie grficze W tblicy obliczeiowe (rys.6.9) pierwszego kroku w koluie ilorzów wskźikowych występue dw rzy t s wrtość. Ozcz to, że w stępy kroku dwie ziee, które w ktuly kroku zduą się w bzie i z których ed zostie usuięt z bzy drug w ie pozostie przyą wrtość zero. Icze ówiąc, zist ziy w stępy kroku obliczeiowy edego ogriczei ktywego iy, stąpi zi edego ogriczei ktywego dwo - edo z tych ogriczeń est zbęde. W tblicy obliczeiowe etody sipleksowe brk est dych dl stwierdzei, które to est ogriczeie. Kziierz Duzikiewicz 45
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Przykłd 4. Rys.6.9. Przykłd. Tblice obliczeiowe etody sipleksowe Zksylizowć z przy ogriczeich: 4 4 0, 0 Ilustrc grficz przykłdu przedstwio est rys. 6.0. Jest to przykłd ilustruący ożliwość wystąpiei rozwiązń optylych wielokrotych. Pukti wierzchołkowyi rozwiązń optylych są pukty C ( T 4 6 0 0 ) orz D ( T.5.5 0 0.75 ). W obydwu tych puktch wrtość fukci celu wyosi z = 4. Tką są wrtość fukci celu de oczywiście kżdy pukt leżący proste (). Współrzęde tych puktów obliczy ko kobicę wypukłą puktów C i D. Kziierz Duzikiewicz 46
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye ( ), 0 Rys.6.0. Przykłd 4. Ilustrc i rozwiązie grficze W ki sposób podstwie dych zwrtych w tblicy obliczeiowe (rys.6.) rozwiązi optylego oż stwierdzić istieie ltertywych rozwiązń optylych? Iforc o ty zwrt est w wierszu przeksztłcoe fukci celu. Jeżeli dl którekolwiek ziee iebzowe e oce względ wyosi zero, to ozcz to, że ożey tą zieą wprowdzić do bzy i uzyskć owe rozwiązie bzowe ie zieiąc wrtości optyle fukci celu. Kziierz Duzikiewicz 47
Koputerowe wspogie decyzi 006/007 Liiowe zgdiei decyzye Rys.6.. Przykłd 4. Tblice obliczeiowe etody sipleksowe Kziierz Duzikiewicz 48