Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Transkrypt

1 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe zgdnieni decyzyne część I Formułownie, grficzne rozwiązywnie i grficzn nliz wrżliwości. Wstęp Progrmownie liniowe nleży do ednych z nowszych dziedzin mtemtyki. Stnowi ono dził szersze dziedziny nzywne progrmowniem mtemtycznym. Progrmownie mtemtyczne zmue się metodmi poszukiwni rozwiązń zdń, które w sposób ogólny możn sformułowć nstępuąco: lub z minimlizowc z f Zmksymli zowc (.) przy wrunku D (.) Symbol może oznczć nieznną liczbę rzeczywistą, nieznny wektor, którego skłdowymi są liczby rzeczywiste, nieznną funkcę, nieznny wektor, którego skłdowymi są funkce itd. W przypdku progrmowni liniowego est wektorem, którego skłdowymi są liczby rzeczywiste, tzn. eżeli skłdowych tych est n, to est on elementem przestrzeni n-wymirowe i oznczmy go zwykle symbolem. Symbol f ozncz dną funkcę, które wrtość poszukiwny powinien mksymlizowć (lub minimlizowć). Funkcę tę nzywny funkcą celu lub funkcą kryterilną. W przypdku progrmowni liniowego m on postć: z c... c... cn n czyli est on funkcą liniową. n, gdzie c są liczbmi rzeczywistymi, Symbol D ozncz dny zbiór, z którego możn wybierć. Zbiór ten może być określony ukłdem wrunków, które mogą być sformułowne np. w postci równń i nierówności. Wrunki te nzywmy wrunkmi ogrniczącymi. W przypdku progrmowni liniowego mogą one mieć postć: Kzimierz Duzinkiewicz

2 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne i i... i... in n bi, lub i... i... in n bi i in n i, lub b, orz 0, gdzie i są liczbmi rzeczywistymi, czyli są one równnimi lub nierównościmi liniowymi. Rozwiązniem dopuszczlnym zdni progrmowni mtemtycznego nzywmy kżdy element zbioru D. Rozwiązniem optymlnym zdni progrmowni mtemtycznego nzywmy element zbioru D mksymlizuący (lub minimlizuący) wrtość funkci ( ) f. W przypdku mksymlizci est to więc tki element zbioru D, że: m f D f Chociż pierwsze oprcowni n temt progrmowni liniowego powiły się w ltch trzydziestych ubiegłego stuleci, to ednk zsdniczy rozwó te dziedziny przypd n ego lt pięćdziesiąte. Rozwó ten związny był z zproponowniem przez G. B. Dntzig' metody rozwiązywni zdń progrmowni liniowego nzwne metodą simpleksową orz oprcowniem progrmów komputerowych w których zstosowno tę metodę do ich rozwiązywni. Miło to miesce w ltch Obecnie istnieą również inne metody rozwiązywni zgdnień progrmowni liniowego, które zostną przedstwione w innym oprcowniu. Progrmownie liniowe znlzło brdzo wszechstronne zstosownie w rozwiązywniu zgdnień optymlizci sttyczne. Wynik to przede wszystkim z prostoty formułowni zdń progrmowni liniowego orz duże efektywności obliczeniowe metody simpleksow. Metody progrmowni liniowego znlzły nwcześnie zstosownie głównie w trzech dziedzinch: w zgdnienich woskowych, w zgdnienich ekonomii głęzi przemysłu orz w zgdnienich tzw. gier dwuosobowych. Późnie główny ciężr zstosowń progrmowni liniowego przesunął się n dziedzinę zstosowń przemysłowych. Możn tut wymienić nstępuące: Przemysł chemiczny. Zstosowni w przemyśle chemicznym związne były głównie z zgdnienimi sterowni (plnowni) produkci i zpsów. Kzimierz Duzinkiewicz

3 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Przemysł węglowy. W te głęzi przemysłu zstosowni progrmowni liniowego związne były z zgdnienimi rozplnowni dostw węgl z skłdnic do miesc zpotrzebowni. Cywilne linie lotnicze. Prce w te dziedzinie związne były z plnowniem lotów i eksplotcą linii lotniczych. Łączność. Główne prce dotyczyły optymlnego proektowni i wykorzystni sieci telekomunikcynych. Hutnictwo. W te dziedzinie sformułowno szereg modeli odnoszących się do plnowni produkci. Przemysł ppierniczy. Zstosowni w te dziedzinie dotyczyły lokci zmówień w kilku zkłdch, plnowni trnsportu i sortymentu ppierów. Przemysł rfineryny i petrochemiczny. T dziedzin przemysłu dostrczył wielu różnorodnych i interesuących zstosowń progrmowni liniowego. Nwżniesze wśród nich dotyczyły komponowni różnych gtunków benzyn, optymlizci dostw surowców do kilku rfinerii orz optymlnego plnowni produkci i zpsów. Kolenictwo. Model progrmowni liniowego zostł tu zstosowny do optymlnego plnowni przebiegu pociągów towrowych n głównych trsch koleowych. Poz zstosownimi przemysłowymi rozwiły się również zstosowni w innych dziedzinch. Możn tut wymienić zstosowni w grotechnice, w nlizch ekonomicznych, w nlizie ruchu drogowego.. Chrkterystyk zdń progrmowni liniowego.. Formułownie zdń progrmowni liniowego Złóżmy, że bdmy system, istnieący rzeczywiście lub dopiero proektowny, n którego dziłnie, to znczy n to, kie dziłlności będą przez niego relizowne, kie będą rozmiry tych dziłlności, m wpływ szereg różnorkich czynników, k n przykłd ludzie, surowce, wyposżenie technologiczne, pieniądze itp. Złóżmy tkże, że dl systemu tego esteśmy w stnie wskzć określony cel dziłni. Podeście od strony progrmowni liniowego do tkiego systemu poleg n tym, iż trktue się system ko rozkłdlny w tym sensie, że możn w nim wyróżnić pewne elementrne funkce zwne dziłlnościmi. Przykłdem dziłlności może być proces przerobu surowc n określone instlci technologiczne, proces Kzimierz Duzinkiewicz 3

4 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne mgzynowni surowc, półproduktu lub produktu, proces sprzedży produktu lub półproduktu itd. Kżd, w tki sposób wyróżnion, dziłlność może być rozumin ko "mgiczn skrzynk" do które wpływą pewne czynniki, które będziemy nzywli wsdmi, tkie k np. surowce, półprodukty, z które wypływą inne czynniki, które będziemy nzywli uzyskmi, tkie k np. półprodukty, produkty. Szczegóły tego co dziee się wewnątrz skrzynki interesuą edynie technolog lub konstruktor. Formułuącego zdnie progrmowni liniowego interesuą edynie strumienie wsdów i uzysków orz ich rozmiry. Różne postcie wsdów i uzysków stnowią skłdniki dziłlności. Po określeniu zbioru dziłlności skłdących się n bdny system nleży wybrć dl kżde z nich, spośród e skłdników, tkie wielkości, które w sposób ednoznczny określą e intensywność. Wielkością tką może być np. eden z wsdów. Wielkości te nzyw się zwykle zmiennymi decyzynymi lub wielkościmi decyzynymi. W zdnich progrmowni liniowego dl tk określonych dziłlności spełnione są nstępuące złożeni: Złożenie : PROPORCJONALNOŚĆ Wrtości wsdów i uzysków różnych skłdników dziłlności są zwsze proporconlne do e intensywności. Jeżeli chcemy relizowć kąś dziłlność z podwóną intensywnością, to musimy się liczyć z dwukrotnym zwiększeniem wielkości wsdów i uzysków. Złożenie : NIEUJEMNOŚĆ Wrtości wybrne wielkości chrkteryzuące intensywność określone dziłlności muszą być nieuemne. Złożenie 3: ADDYTYWNOŚĆ Poszczególne skłdniki zdefiniownych dziłlności systemu, wsdy i uzyski, powiązne są ze sobą szeregiem zleżności. System est również zwykle połączony z otoczeniem np. przez dziłlności zkupu surowców, sprzedży produktów itd. W zdniu progrmowni liniowego wszystkie te zleżności muszą być wyrżone z pomocą zleżności liniowych. Kzimierz Duzinkiewicz 4

5 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Złożenie 4: LINIOWOŚĆ FUNKCJI CELU Mir efektywności osiągni celu systemu musi być funkcą liniową intensywności dziłlności zdefiniownych w systemie. REASUMUJĄC: w procesie formułowni zdni progrmowni liniowego nleży uwzględnić nstępuące podstwowe etpy: () Rozłożyć bdny system n pewne elementrne funkce zwne dziłlnościmi; dl kżde z nich określić wsdy i uzyski () Dl kżde dziłlności określić zbiór wielkości decyzynych określących ednozncznie rozmiry ilościowe dziłlności (3) Zbudowć ukłd lgebricznych zleżności liniowych opisuących system i ego powiązni z otoczeniem. (4) Utworzyć liniową funkcę celu systemu... Postć mtemtyczn zdń progrmowni liniowego N podstwie przedstwionego przykłdu widć, że w ogólne postci sformułowni zdni progrmowni liniowego wystąpią nstępuące skłdniki: () funkc celu postci: Zmksymli zowc lub z minimlizowc z c... c... cnn (.7) () zsdnicze wrunki ogrniczące o edne z nstępuących postci: (3) wrunki nieuemności postci: b, i, k, i N (.8) i i in n i b, i k, k, i N (.9) i i in n i b, i k, m, i N (.0) i i in n i 0,,s,s n (.) Kzimierz Duzinkiewicz 5

6 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Wrunki nieuemności nie muszą dotyczyć wszystkich zmiennych. Jeżeli s n, to wrunki nieuemności nzywmy pełnymi. Przedstwion powyże postć sformułowni zdni progrmowni liniowego nzywn est postcią mieszną. Metod simpleksow wykorzystue postć zpisu zdni progrmowni liniowego zwną postcią stndrdową. Postć t chrkteryzue się tym, że: () zsdnicze wrunki ogrniczące są dne w postci równń; () elementy prwe strony ogrniczeń b i są liczbmi nieuemnymi; (3) wrunki nieuemności są pełne. Ztem zdnie progrmowni liniowego w postci stndrdowe m postć: Zpis I stndrdowe postci zdni progrmowni liniowego: Zmksymlizowc lub z minimlizowc z c... c... cnn liniow funkce celu : (.) przy ogrniczenich: i m i m in n... n mn n b b, b n i b b, i m 0 b, 0 m 0 (.) 0,,n (.3) Przy rozwiązywniu zdń progrmowni liniowego metodą simpleks, nleży e zpisć w postci stndrdowe Jeżeli sformułowne przez ns zdnie progrmowni liniowego m postć mieszną musimy przed przystąpieniem do ego rozwiązni sprowdzić go do postci stndrdowe. Możn to zrobić korzystąc z nstępuących zsd: Kzimierz Duzinkiewicz 6

7 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Zsd. Jeżeli b i 0, to i-te ogrniczenie nleży pomnożyć przez - Zsd. Jeżeli zmienn m być uemn, dokonuemy podstwieni: 0 (.4) Zsd 3. Jeżeli zmienn nie m ogrniczeni n znk, dokonuemy podstwieni:, 0, 0 (.5) Zsd 4. Kżd nierówność: b (.7) i i in n i est równowżn ukłdowi wrunków: b, (.8) i i in n ni i ni 0 Zsd 5. Kżd nierówność: est równowżn ukłdowi wrunków: i... i... in n bi (.9) b, (.0) i i in n ni i ni 0 Zmienną n i, którą dodemy lub odemuemy od lewe strony nierówności, by tę nierówność zmienić n równowżne równnie, nzywmy zmienną swobodną lub uzupełniącą. Zmienną dodwną do lewe strony nierówności nzywmy zmienną niedoboru, zś zmienną odemowną od lewe strony nierówności nzywmy zmienną ndmiru. Wprowdzone zmienne uzupełniące wchodzą do funkci celu ze współczynnikmi równymi zeru. W zdnich progrmowni liniowego możemy, k to zznczono wyże, rozwżć dw rodze optymlizci funkci celu: mksymlizcę lub minimlizcę. Z punktu Kzimierz Duzinkiewicz 7

8 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne widzeni postępowni obliczeniowego wygodnie est ogrniczyć się do rozptrywni zdń o ednym rodzu optymlizci np. mksymlizci. Nie zmniesz to ogólności rozwżń poniewż zwsze możn zstąpić eden rodz optymlizci rodzem przeciwnym. Rozwżć będziemy zdni mksymlizci. Twierdzenie.: Zdnie progrmowni liniowego z funkcą celu: Minimlizo wc z c (.)... c... cnn est równowżne zdniu progrmowni liniowego z funkcą celu: Mksymliz owc Jest przy tym spełnion zleżność: z c (.) m z... c... cnn minz Słuszne est również nstępuące twierdzenie: Twierdzenie.: Jeżeli w zdniu progrmowni liniowego zstąpimy funkcę celu postci: z c... c... cn n (.3) funkcą celu postci: c... c... c d, p 0 z p (.4) n n to rozwiąznie optymlne, o ile ono istniee, dl obu zdń będzie identyczne. Dl stndrdowe postci zdni progrmowni liniowego stosue się różne e zpisy. Poz zpisem I przedstwionym powyże możn nczęście spotkć nstępuące: Zpis II: n Zmksymli zowc z c (.5) n przy ogrniczenich b b, 0 i,, m (.6) i i i 0,,n (.7) Zpis III: Zmksymli zowc z c T (.8) Kzimierz Duzinkiewicz 8

9 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Kzimierz Duzinkiewicz 9 0 b b A, ogrniczenich przy (.9) 0 (.30) gdzie: m i n n mn m m in i i n b b b, c c c,, b c A Zpis IV: n c z zowc Zmksymli (.3) 0 b b, przy ogrniczenich n (.3),n 0, (.33) gdzie: m i m i b b b, b.3. Grficzne rozwiązywnie zdń progrmowni liniowego - studium przypdków Powyże podny był przykłd pokzuący w ki sposób możn formułowć zdni progrmowni liniowego. Pokżemy w ki sposób możn grficznie rozwiązywć zdni progrmowni liniowego. W sposób grficzny możn rozwiązywć zdni z dwiem zmiennymi decyzynymi. W prktyce zdń o tkim rozmirze rcze się nie spotyk, ednkże n tkich przykłdch możn dobrze zilustrowć pewne

10 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne podstwowe poęci wykorzystywne przy rozwiązywniu i nlizie zdń progrmowni liniowego o dużych rozmirch. Przykłd. Pewn firm produkue dw rodze frb: dl prc wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowne frby kierowne są do sprzedży hurtowe. Do produkci frb stosue się dw surowce A i B. Mksymlne dostępne dziennie ilości tych surowców wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B n edną tonę odpowiednie frby pode tbel. Surowiec Zużycie surowc w tonch Mksymln n tonę frby dostępn dziennie Frb E Frb I ilość surowc A 6 B 8 Bdnie rynku pokzło, że dzienny popyt n frbę I nigdy nie przewyższ popytu n frbę E o więce niż tonę. Poz tym ustlono, że popyt n frbę I nigdy nie przekrcz ton n dobę. Ceny hurtowe edne tony frb są równe: 3.p. dl frby E, i.p. dl frby I. Jkie ilości frby E i I powinn produkowć firm, by dochód z produkci był mksymlny? Rozwiązuąc to zdnie możn wyróżnić dwie dziłlności: produkc frby E i produkc frby I. Jko zmienne decyzyne dl tych dziłlności dogodnie est przyąć: - dzienn produkc frby E w tonch; - dzienn produkc frby I w tonch. Funkc celu: Ogrniczeni: Zmksymlizowć z 3 Zsoby dzienne surowc A 6 Zsoby dzienne surowc B 8 Kzimierz Duzinkiewicz 0

11 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Różnic popytu n frbę I i E Popyt n frbę I Wrunki nieuemności 0, 0 Pierwszy krok przy grficznym rozwiązywniu zdni progrmowni liniowego - grficzne przedstwienie obszru rozwiązń dopuszczlnych. Obszr ten dl przykłdu przedstwiony est ko zcieniowny wielokąt ABCDEF n rys..7. W kżdym punkcie tego obszru spełnione są wszystkie ogrniczeni zdni. Rys..7. Przykłd. Obszr rozwiązń dopuszczlnych i lini stłe wrtości funkci celu Drugi krok to wrysownie lini stłe wrtości funkci celu i zznczenie kierunku e wzrostu. N rys..7 est to prost przechodząc przez początek ukłdu współrzędnych. Aby znleźć rozwiąznie optymlne przemieszczmy prostą stłe wrtości funkci celu w kierunku e wzrostu (rozwiązuemy zgdnienie mksymlizci) dopóty, dopóki nie zndzie się on n grnicy obszru rozwiązń dopuszczlnych (rys..8). Kzimierz Duzinkiewicz

12 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne W nszym przykłdzie nstąpi to w punkcie C. Punkt C est punktem przecięci prostych ogrniczeń () i (); wrtości zmiennych i w tym punkcie możn ztem otrzymć ko rozwiąznie ukłdu równń: 6 8 Rozwiąznie to wynosi: funkci celu wynosi z 3. 3,, odpowidąc temu rozwiązniu wrtość 3 3 Rys..8. Przykłd. Zndownie rozwiązni optymlnego Zwróćmy uwgę, że rozwiąznie optymlne związne est z punktem wierzchołkowym obszru rozwiązń dopuszczlnych. Jest to cech chrkterystyczn rozwiązń optymlnych zdń progrmowni liniowego. Kzimierz Duzinkiewicz

13 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Zwróćmy uwgę n eszcze eden fkt. Zsdnicze ogrniczeni nszego zdni sprowdzone do postci stndrdowe mą postć (ukłd równń liniowych): Mmy ztem n 6, m 4. Ustliliśmy uż, że w punkcie optymlnym 3,. W punkcie tym oczywiście. Nietrudno policzyć, że ,. Rozwiąznie optymlne nszego zdni, sformułownego w postci stndrdowe wynosi ztem: Widć, że w rozwiązniu tym liczb niezerowych skłdowych wynosi 4 (pozostłe skłdowe są równe zeru) i est równ liczbie zsdniczych ogrniczeń nszego zdni. Rozwiąznie o tkich włściwościch nosi nzwę rozwiązni bzowego. Możn, postępuąc podobnie k powyże, pokzć, że rozwiązni związne z wszystkimi punktmi wierzchołkowymi obszru rozwiązń dopuszczlnych są rozwiąznimi bzowymi tzn. mą co nwyże m skłdowych niezerowych. Pokżemy terz, wykorzystuąc możliwości metody grficzne rozwiązywni zdń progrmowni liniowego, w ki sposób możn nlizowć wrżliwość otrzymnego rozwiązni optymlnego n zminy prmetrów modelu. Późnie pokżemy, w ki sposób nlizy tkie możn uzyskć korzystąc z dnych obliczeniowych metody simpleks. Pierwsze zdnie nlizy wrżliwości Kzimierz Duzinkiewicz 3

14 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Po znlezieniu rozwiązni optymlnego w pełni uzsdnione est pytnie o to, k mogą wpłynąć n to rozwiąznie zminy zsobów odpowiednich skłdników procesów. Interesuące są dw nstępuące spekty: () O ile możn zwiększyć zsób określonego skłdnik dl poprwieni wrtości funkci celu z? () O ile możn zmnieszyć zsób określonego skłdnik przy zchowniu otrzymne wrtości funkci celu z. Poniewż zsoby kżdego ze skłdników określone są przez prwe strony ogrniczeń, ten rodz nlizy wrżliwości zwykle nzyw się nlizą wrżliwości n zminy prwe strony ogrniczeń. Znim odpowiemy n te pytni dokonmy pewne klsyfikci ogrniczeń modelu liniowego. Dl otrzymnego rozwiązni optymlnego możemy ogrniczeni modelu podzielić n: ktywne i niektywne. Jeżeli ogrniczenie odpowidące dnemu skłdnikowi przechodzi przez punkt rozwiązni optymlnego, to ogrniczenie tkie nzywmy ktywnym; w przeciwnym przypdku nzywmy e niektywnym. W nszym przykłdzie dl otrzymnego rozwiązni ogrniczenimi ktywnymi są ogrniczeni () i (), niektywnymi (3) i (4). Jeżeli kieś ogrniczenie est ktywne to odpowidący mu skłdnik nzywmy deficytowym, poniewż est on wykorzystywny w cłości. Skłdnik z którym związne est ogrniczenie niektywne nzywmy niedeficytowym tzn. posidnym w pewnym ndmirze. W nlizie wrżliwości n zminy prwe strony określ się: () nwiększe dopuszczlne zwiększenie zsobu skłdnik deficytowego, pozwlące zwiększyć wrtość funkci celu z; () nwiększe dopuszczlne zmnieszenie zsobu skłdnik niedeficytowego, nie zmieniące otrzymne wrtości funkci celu z. W nszym przykłdzie deficytowymi skłdnikmi są zsoby surowców A i B. N rys..9 przedstwiono sposób określeni grnicy do kie możn by zwiększyć zsób skłdnik A, by poprwić wrtość funkci celu z. W punkcie K ogrniczenimi ktywnymi są ogrniczeni () i (4), obszrem rozwiązń dopuszczlnych ste się wielokąt ABKEF. W punkcie tym ogrniczenie () (n zsób surowc A) ste się ogrniczeniem zbędnym, poniewż kikolwiek dlszy wzrost zsobu surowc A nie wpływ n obszr rozwiązń dopuszczlnych. Ztem, ilość zsobu surowc A nie nleży zwiększć pond wrtość, przy które odpowidące mu ogrniczenie stnie się zbędnym t. prost () przedzie przez nowy punkt optymlny K. Nietrudno Kzimierz Duzinkiewicz 4

15 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne policzyć współrzędne tego punktu: A wynoszący 7t. 3, i odpowidący mu zsób surowc Rys..9. Przykłd. Anliz wrżliwości rozwiązni n zminę prwe strony ogrniczeni ktywne N rys..9 przedstwione est też zobrzownie nlogiczne nlizy dl zsobów surowc B. Rozwżymy terz zgdnienie zmnieszni elementów prwe strony dl ogrniczeń niektywnych. Zilustrownie te nlizy przedstwione zostło n rys..0. Ogrniczenie (4) określ grniczny poziom popytu n frbę I. Z rysunku wynik, że, nie zmieniąc optymlnego rozwiązni, możn prostą (4) obniżyć ż do przecięci się e z punktem optymlnym: 3, - obniżenie popytu n frbę I do 3 3 poziomu 3 nie wpłynie n rozwiąznie optymlne. Podobną nlizę możn przeprowdzić dl ogrniczeni (3) - różnicy popytu. Nie zmieniąc optymlnego rozwiązni możn prostą (3) przesunąć ż do przecięci się e z punktem optymlnym. W punkcie tym prw stron ogrniczeni (3) przymie wrtość -. Ztem - Kzimierz Duzinkiewicz 5

16 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne rozwiąznie optymlne nie zmieni się, eżeli popyt n frbę E przewyższy popyt n frbę I o nie więce niż t. Wyniki przeprowdzone nlizy możn zwrzeć w tbeli. Mksymln Mksymln Zsób Rodz zsobu zmin ilości zmin dochodu zsobu przy zminie Deficytowy + + /3 Deficytowy /3 3 Niedeficytowy Niedeficytowy - /3 0 Rys..0. Przykłd. Anliz wrżliwości rozwiązni n zminę prwe strony ogrniczeni niektywne Drugie zdnie nlizy wrżliwości W pierwszym zdniu nlizy wrżliwości bdliśmy wpływ n rozwiąznie optymlne zsobów deficytowych skłdników. Przy ogrniczenich n nkłdy, Kzimierz Duzinkiewicz 6

17 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne związne z pozyskniem większe ilości zsobów istotne może być pytnie: który z zsobów nleży powiększć w pierwsze koleności? W tym celu wprowdzimy chrkterystykę cenności kżde dodtkowe ednostki zsobu skłdnik deficytowego: Mksymln y przyrost wrtosci funkci celu z i Mksymln y dopuszcz ln y przyrost zsobu i Korzystąc z dnych uzysknych w poprzednim zdniu możemy określić cenności kżdego z zsobów. Wyniki zestwione są w tbeli. Zsób Rodz zsobu Wrtość i.p./t Deficytowy 3 Deficytowy Niedeficytowy Niedeficytowy 4 0 Uzyskne wyniki wskzuą, że dodtkowe nkłdy w pierwsze koleności nleży skierowć n pozysknie dodtkowych ilości skłdnik B, potem skłdnik A. Trzecie zdnie nlizy wrżliwości W trzecim zdniu nlizy wrżliwości próbuemy odpowiedzieć n pytnie: k n otrzymne rozwiąznie optymlne wpływą zminy współczynników funkci celu? Zmin współczynników funkci celu wpływ n nchylenie proste stłe wrtości funkci celu. Możn zuwżyć, że wybór tego lub innego punktu wierzchołkowego ko punktu rozwiązni optymlnego zleży, przy określonym zbiorze rozwiązń dopuszczlnych, włśnie od nchyleni proste stłe wrtości funkci celu. Ozncz to, że zmin współczynników funkci celu może prowdzić do zminy punktu rozwiązni optymlnego i związne z tym zminy zbioru ogrniczeń ktywnych i sttusu tego lub innego skłdnik (tzn. skłdnik deficytowy może stć się niedeficytowy i n odwrót). Możn ztem rozwżć nstępuące zgdnieni: Kzimierz Duzinkiewicz 7

18 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne () Jki est przedził zmin (zmnieszeni lub zwiększeni) tego lub innego współczynnik funkci celu, dl którego nie dochodzi do zminy rozwiązni optymlnego? () O ile nleży zmienić ten lub inny współczynnik funkci celu, by uczynić określony skłdnik niedeficytowy deficytowym i n odwrót? Rozwżymy npierw pierwsze zgdnienie dl nszego przykłdu. Postć funkci celu w przykłdzie est nstępuąc: z c c Dl przykłdu spróbumy określić przedził zmin c przy c const, potem c przy c 3 const. Zilustrownie tkie nlizy przedstwione est n rys... Je wynik est nstępuący: przy c const c 4 przy c 3 const 3 c 6 Dl kżde z tych sytuci, eżeli wrtości współczynników funkci celu wydą poz wskzny przedził, otrzymmy lbo lterntywne rozwiązni optymlne (punkty C i D lub C i B) lbo nowe rozwiąznie optymlne (punkt D lub B). Dl pierwsze nlizowne sytuci, kiedy tylko cen c, skłdnik ste się niedeficytowym, skłdnik 4 deficytowym. Ozncz to że, eżeli cen frby E stnie się mniesz niż.p. nleży zmienić pln produkci - produkowć mksymlnie dopuszczlną ilość frby I i ogrniczyć produkcę frby E. Podobne nlizy możn przeprowdzić dl pozostłych możliwych sytuci. Kzimierz Duzinkiewicz 8

19 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys... Przykłd. Anliz wrżliwości n zminy współczynników funkci celu Przykłd. Zmksymli zowc z 3 przy ogrniczenich: 4 3 0, Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys... Jest to przykłd zwierący ogrniczeni zbędne. Rozwiąznie optymlne osiągne w punkcie B wynosi T i zwier 4 = m skłdowych niezerowych. Kzimierz Duzinkiewicz 9

20 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys... Przykłd. Zbędne ogrniczeni Przykłd 3. Zmksymli zowc przy ogrniczenich: z , 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..3. Jest to przykłd zwierący ogrniczenie zbędne, przechodzące przez punkt rozwiązni optymlnego. Rozwiąznie optymlne osiągne w punkcie C wynosi T zwier < m = skłdową niezerową. Rozwiąznie tkie nzywmy rozwiązniem zdegenerownym. Punkty rozwiązń zdegenerownych mogą wystąpić w zdniu również ko rozwiązni nieoptymlne. Kzimierz Duzinkiewicz 0

21 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys..3. Przykłd 3. Rozwiąznie optymlne zdegenerowne Przykłd 4. Zmksymli zowc z 3 przy ogrniczenich: , 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..4. Jest to przykłd ilustruący możliwość wystąpieni rozwiązń optymlnych wielokrotnych. Punktmi wierzchołkowymi rozwiązń optymlnych są punkty C ( T ) orz D ( T ). W obydwu tych punktch wrtość funkci celu wynosi z 4. Tką smą wrtość funkci celu de oczywiście kżdy punkt leżący n proste (). Współrzędne tych punktów możn obliczyć w nstępuący sposób: Kzimierz Duzinkiewicz

22 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne ( ) To osttnie wyrżenie mówi, że punkt est wypukłą kombincą liniową punktów i. Rys..4. Przykłd 4. Rozwiązni optymlne wielokrotne Przykłd 5. Zmksymli zowc z przy ogrniczenich: , 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..5. Jest to przykłd ilustruący możliwość wystąpieni rozwiązń dących nieskończoną wrtość funkci celu czyli tzw. rozwiązń nieogrniczonych. Przypdek ten k widć może Kzimierz Duzinkiewicz

23 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne wystąpić (chociż nie musi - ptrz przykłd 6), eżeli obszr rozwiązń dopuszczlnych est nieogrniczony. Rys..5. Przykłd 5. Rozwiązni nieogrniczone Przykłd 6. Zmksymli zowc przy ogrniczenich: z 6 4 0, 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..6. Jest to przykłd ilustruący istnienie skończonych rozwiązń optymlnych przy nieogrniczonym obszrze rozwiązń dopuszczlnych. Kzimierz Duzinkiewicz 3

24 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys..6. Przykłd 6. Skończone rozwiąznie optymlne przy nieogrniczonym obszrze rozwiązń dopuszczlnych Przykłd 7. Zmksymli zowc przy ogrniczenich: z , Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..7. Jest to przykłd ilustruący możliwość brku rozwiązń dopuszczlnych. Kzimierz Duzinkiewicz 4

25 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys..7. Przykłd 7. Brk rozwiązń dopuszczlnych Kzimierz Duzinkiewicz 5